Đang tải... (xem toàn văn)
Output file ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÃ THỊ LƯƠNG PHÂN PHỐI ỔN ĐỊNH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG THỐNG KÊ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội 2012 z ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TR[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÃ THỊ LƯƠNG PHÂN PHỐI ỔN ĐỊNH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG THỐNG KÊ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2012 z ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÃ THỊ LƯƠNG PHÂN PHỐI ỔN ĐỊNH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG THỐNG KÊ Chuyên ngành: Xác suất thống kê Mã số: 60 46 15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn: PGS TS Hồ Đăng Phúc Hà Nội - 2012 z Mục lục Lời cảm ơn Lời mở đầu Một số kiến thức sở phân phối ổn định 1.1 Định lý giới hạn trung tâm 1.1.1 Định lý giới hạn trung tâm cổ điển 1.1.2 Định lý giới hạn trung tâm suy rộng Phân phối ổn định 15 1.2.1 Định nghĩa 15 1.2.2 Hàm đặc trưng phân phối ổn định 17 1.3 Các cách tham số hóa khác phân phối ổn định 22 1.4 Ý nghĩa tham số phân phối ổn định 23 1.5 Mômen phân phối ổn định tính chất 25 1.6 Phép biến đổi tuyến tính biến ngẫu nhiên ổn định 26 1.7 Hàm mật độ xác suất hàm phân phối biến ngẫu nhiên ổn định 27 1.2 1.7.1 Các phân phối ổn định đặc biệt 27 1.7.2 Các tính chất giải tích phân phối ổn định 28 1.7.3 Khai triển dạng chuỗi hàm mật độ ổn định 29 1.7.4 Vấn đề tính số 32 z 1.7.5 Mô Ước lượng tham số phân phối ổn định 33 34 2.1 Phương pháp phân vị 34 2.2 Phương pháp dựa hàm đặc trưng 36 2.3 Phương pháp hợp lý cực đại 38 2.4 Kiểm định đánh giá dáng điệu đuôi phân phối ổn định 40 Mô hình thống kê phân phối ổn định 42 3.1 Mơ hình tuyến tính với nhiễu ổn định 42 3.2 Mơ hình hồi quy sai số α − ổn định khơng chuẩn 43 3.3 Mơ hình ARMA Áp dụng mơ hình ARMA với sai số phân phối ổn định 46 48 4.1 Cơng ty cổ phần Xun Thái Bình cổ phiếu PAN 48 4.2 Mơ hình ARMA mã cổ phiếu PAN 50 4.3 Ước lượng tham số phân phối ổn định phần dư 56 4.4 Kiểm định tính phù hợp với phân phối ổn định sai số 57 4.4.1 Sử dụng kiểm định Kolmogorov-Smirnov 57 4.4.2 Sử dụng kiểm định Khi bình phương 58 Kết luận 59 Tài liệu tham khảo 61 z Lời mở đầu Trong phương pháp phân tích thống kê cổ điển, giả thiết phân phối chuẩn (Gauss) tác động ngẫu nhiên thường sử dụng để xây dựng công cụ ước lượng, kiểm định mơ hình nói chung Tuy nhiên, áp dụng giả thiết phân phối chuẩn không thấy xuất biến cố phá sản mơ hình kinh tế thơng thường Nhìn vào liệu giá tài sản, ta thấy số lượng kích thước thua lỗ lợi nhuận có biên độ giao động lớn nhiều so với dự đốn theo mơ hình xây dựng theo giả thiết phân phối chuẩn Xem xét liệu liên quan đến diễn biến số lợi nhuận, áp dụng tính tốn dựa giả thiết phân phối chuẩn, ta kì vọng thua lỗ lớn bốn lần độ lệch chuẩn (4σ ) xuất lần 126 năm Mặc dầu vậy, 21 năm, thua lỗ lớn sigma số tổng lợi nhuận FTSE100 ghi nhận 11 trường hợp ngày 22/10/1987 (58%), 30/11/1987 (4.4%), 11/9/2001 (5.9%), 15/7/2002 (5.6%), 19/7/2002 (4.7%), 22/7 /2002 (5.1%), 1/8/2002 (4.9%), 30/9/2002 (4.9%), 12/ 3/2003 (4.6%) 21/1/2008 (5.6%) Chúng ta phải kết luận có vấn đề liên quan đến phù hợp phân phối chuẩn lợi nhuận FTSE100 Vấn đề thấy vào năm 2008 Lehman Brothers đưa danh sách ngân hàng bảo hộ phá sản với số tiền nợ 613 tỷ dolar, vượt 150 tỷ dolar trái phiếu nợ; Merill Lych đồng ý bán tài sản cho ngân hàng Mỹ với giá 50 tỷ dolar, 1/3 giá trị 52 tuần cao nhất; cổ phiếu z AIG rơi từ 52 tuần cao 70.13 dolar vào 9/10/2007 đến mức thấp 1.25 dolar vào 16/9/2008 Quỹ Dự trữ Liên bang Mỹ công bố khoản vay 85 tỷ dolar, theo điều khoản điều kiện thiết kế để bảo vệ lợi ích phủ Mỹ người nộp thuế Chính độ lớn giá trị cực biên dẫn đến xuất biến cố phá sản Một hệ thống đo lường rủi ro tốt đưa ước lượng hợp lý xác suất xảy kiện cực biên khơng biết trước Các thí dụ cho thấy ước lượng xác suất xảy kiện cực biên đưa phân phối chuẩn sai lầm Từ ta thấy sử dụng giả thiết phân phối chuẩn dẫn đến nhiều kết luận sai việc suất giá trị cực biên tài Bằng chứng khiến người ta phải kết luận không nên sử dụng phân phối chuẩn đánh giá rủi ro Điều đặt câu hỏi hiệu lực giả thiết phân phối chuẩn địi hỏi tìm kiếm giả thiết thay Một cách giải nhiều tác giả đề xuất thời gian gần trình bày phần luận văn thay phân phối chuẩn phân phối ổn định Mục đích luận văn thử nghiệm sử dụng phân phối α ổn định phân tích liệu chuỗi thời gian tài mơ hình tự hồi quy trung bình trượt (ARMA) Ngồi phần Mở đầu, Luận văn gồm chương phần Kết luận Chương trình bày số kiến thức sở phân phối ồn định Chương nêu cụ thể định nghĩa, tính chất phân phối ổn định, hàm đặc trưng phân phối ổn định, cách tham số hóa phân phối ổn định, phân phối ổn định đặc biệt, khai triển dạng chuỗi hàm mật độ ổn định Chương giới thiệu số phương pháp ước lượng tham số phân phối ổn định phương pháp phân vị đưa McCulloch (1986); phương pháp hàm đặc trưng Press (1972), Paulson, Holcomb Leitch (1975); phương pháp ước lượng hợp lý cực đại DuMouchel (1975), John Nolan(2002), Mittnik, Rachev, Doganoglu Chenyao (1999) đề xuất Chương giới thiệu số mơ hình thống kê phân phối ổn định z mơ hình tuyến tính với nhiễu ổn định, mơ hình hồi quy sai số α - ổn định không chuẩn, mô hình tự hồi quy trung bình trượt ARMA Chương trình bày việc thử nghiệm áp dụng mơ hình tự hồi quy trung bình trượt ARMA với sai số phân phối ổn định cho số liệu chuỗi thời gian mã chứng khốn PAN Cơng ty cổ phần Xun Thái Bình Chương đưa nội dung phân tích thống kê để xây dựng mơ hình ARMA cho số liệu mã chứng khoán PAN, ước lượng tham số phân phối ổn định cho sai số mơ hình ba phương pháp trình bày Chương kiểm định tính phù hợp với phân phối ổn định sai số Trong chương này, việc ước lượng tham số cho phân phối ổn định sai số thực với hỗ trợ phần mềm stable.exe, việc đưa kết luận phù hợp số liệu với phân phối chuẩn hay phân phối ổn định tiến hành dựa phương pháp kiểm định Phương pháp KolmogorovSmirnov phương pháp Khi-bình phương có sử dụng phần mềm thống kê R Phần Kết luận tổng kết lại kết Luận văn đưa số ý kiến khả ứng dụng phân phối ổn định hướng nghiên cứu tiếp vấn đề Mặc dù cố gắng trình bày vấn đề cách mạch lạc cô đọng chắn luận văn tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tác giả mong nhận nhận xét, đánh giá góp ý quý thầy bạn để luận văn hồn thiện z Chương Một số kiến thức sở phân phối ổn định 1.1 Định lý giới hạn trung tâm Định lý giới hạn trung tâm tảng suy luận thống kê Dạng định lý này, Lindeberg Lévy đưa ra, nói cho trước dãy n biến ngẫu nhiên độc lập phân phối với phương sai hữu hạn, tổng chúng hội tụ đến phân phối chuẩn n tăng đến ∞ Quy luật quan trọng suy luận thống kê hai lý sau: • Hầu hết thống kê mẫu xây dựng cách thêm dần biến ngẫu nhiên độc lập phân phối tương ứng với cá thể đưa thêm vào mẫu; • Một số tượng quan tâm thống kê coi tổng hợp đóng góp nhiều thành phần nhỏ z Do vậy, phân phối chuẩn dùng phổ biến suy luận thống kê mơ hình hóa thống kê Ví dụ, đưa giả thiết nhiễu hồi quy mơ hình chuỗi thời gian kết số lớn hiệu ứng nhỏ với phương sai hữu hạn, dẫn tới phân phối chúng chuẩn Từ ước lượng thực nghiệm thường coi có phân phối gần giống phân phối chuẩn Tính chất lý thuyết phân phối chuẩn luật giới hạn phù hợp với chứng thực nghiệm Hai khía cạnh hỗ trợ khuyến khích sử dụng rộng rãi phân phối chuẩn suy luận thống kê 1.1.1 Định lý giới hạn trung tâm cổ điển Phần trình bày chứng minh định lý giới hạn trung tâm cổ điển, kết tiếng nên nhắc lại để so sánh với vài kết trình bày phần Định lý 1.1 (Lindeberg-Lévy) Cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân phối {Xi } , i = 1, , n, với trung bình µ phương sai σ < ∞ Khi đại lượng n Xi − µ Sn = √ ∑ n i=1 σ (1.1) hội tụ theo phân phối tới luật chuẩn tắc N (0, 1) Chứng minh Trước hết ký hiệu Zi biến chuẩn hóa Xi , có trung bình phương sai 1, Zi = Xi −µ σ Các Zi xác định, chúng có hàm đặc trưng φZ (t) Khi hàm đặc trưng Sn cho n n t itZi n−1/2 = φZ √ φSn (t) = ∏ e n i=1 Khai triển chuỗi McLaurin hàm đặc trưng Zi dẫn tới t t 2t ≈ + i √ E (Zi ) + i E Zi2 φZ √ n n 2n z Bởi hàm đặc trưng tổng Sn t2 φSn (t) ≈ − 2n Vì lim + na n→∞ n n = ea nên t2 lim φSn (t) = e− n→∞ Đây hàm đặc trưng phân phối chuẩn N (0, 1) Định lý Lindeberg-Lévy nhiều phiên định lý giới hạn trung tâm, trình bày luận văn bước đệm để xây dựng định lý giới hạn trung tâm tổng quát, nghiên cứu phần 1.1.2 Định lý giới hạn trung tâm suy rộng Trong định lý giới hạn trung tâm cổ điển đây, biến ngẫu nhiên Xi giả thiết có phương sai hữu hạn Khi phương sai thành phần vơ cùng, phải giải nào? Câu hỏi trả lời phần Định lý giới hạn trung tâm suy rộng, nới lỏng giả thiết tính hữu hạn phương sai, xác định họ phân phối mới, mà phân phối chuẩn trường hợp đặc biệt, chắn phù hợp với điều kiện thực tế Trước tiên ta đưa khái niệm tính ổn định phân phối xác suất sau: Định nghĩa 1.1 (Tính ổn đinh, Gnedenko Komogrov 1954) Hàm phân phối F(x) gọi ổn định với số dương c1 , c2 số thực d1 , d2 tồn số c > d cho F (c1 x + d1 ) F (c2 x + d2 ) = F (cx + d) (1.2) Cơ sở xuất phát để xây dựng định lý giới hạn trung tâm suy rộng dựa khẳng định: Phân phối ổn định luật giới hạn cho tổng chuẩn hóa Sn = X1 +X2 + · · · +Xn −Dn Cn z ... kiến thức sở phân phối ồn định Chương nêu cụ thể định nghĩa, tính chất phân phối ổn định, hàm đặc trưng phân phối ổn định, cách tham số hóa phân phối ổn định, phân phối ổn định đặc biệt, khai... KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÃ THỊ LƯƠNG PHÂN PHỐI ỔN ĐỊNH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG THỐNG KÊ Chuyên ngành: Xác suất thống kê Mã số: 60 46 15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn: PGS TS Hồ... Kiểm định đánh giá dáng điệu đuôi phân phối ổn định 40 Mô hình thống kê phân phối ổn định 42 3.1 Mơ hình tuyến tính với nhiễu ổn định 42 3.2 Mơ hình hồi quy sai số α − ổn định