Спектральные методы исследования теоретико механических моделей гироскопических систем

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ» На правах рукописи Нгуен Вьет Хоа СПЕКТРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ТЕОРЕТИКОМЕХАНИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИСТЕМ Специальность 01.02.01 – Теоретическая механика Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Научный руководитель: д.ф.-м.н профессор Ю.А Коняев Научный консультант: д.ф.-м.н ведущий научный сотрудник Института общей физики им А.М Прохорова РАН А.А Егоров Москва-2015 ОГЛАВЛЕНИЕ Введение Глава Спектральный вариант метода усреднения при анализе гироскопических систем, описываемых регулярно возмущенными системами дифференциальных уравнений периодической матрицей 46 1.1 Введение 46 1.2 О почти приводимости некоторых классов неавтономных регулярно возмущенных теоретико-механических моделей гироскопических систем дифференциальных уравнений с периодической матрицей при наличии предельной матрицы A0 простой структуры 46 1.3 Об особенностях приводимости неавтономных систем дифференциальных уравнений с периодической матрицей при наличии у матрицы A0 кратного спектра 59 1.4 О приводимости квазилинейных систем с периодической матрицей при наличии у матрицы A0 произвольной жордановой структуры 72 Глава Асимптотический анализ теоретико-механических моделей гироскопических систем с полиномиальной матрицей 76 2.1 Введение 76 2.2 О приводимости некоторых классов теоретико-механических моделей гироскопических систем с полиномиальной матрицей при наличии определяющей матрицы A0 простой структуры 77 2.3 Алгоритм приводимости линейных и квазилинейных неавтономких систем дифференциальных уравнений с полиномиальной матрицей при стабильном кратном спектре определяющей матрицы A0 90 Глава Исследование теоретико-механических моделей гироскопических систем с полиномиально периодической матрицей 105 3.1 Введение 105 3.2 Исследование линейных и квазилинейных теоретико-механических моделей гироскопических систем с полиномиально периодической матрицей при наличии некратного стабильного спектра матрицы A0  t  простой структуры 106 3.3 О некоторых теоретико-механических моделей гироскопических систем с полиномиально периодической матрицей при наличии матрицы A0  t  фикцированной жордановой структуры (при m  1 ) 114 3.4 Анализ квазилинейных неавтономных теоретикомеханических моделей гироскопических систем с полиномиально периодической матрицей при наличии у матрицы A0  t  стабильного кратного спектра и различной жордановой структуры  m  1; m   121 Заключение 137 Литература 138 Введение Представленная работа посвящена исследованию различных (в том числе и отличных от ранее известных) теоретико-механических моделей современных гироскопических и некоторых электромеханических систем, реализуемых в виде линейных и квазилинейных неавтономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с периодической матрицей (при наличии малых возмущений), а также нового класса систем с полиномиальной и полиномиально периодической матрицей Разработаны эффективные методы анализа указанного класса систем, включая вопросы устойчивости, которые являются обобщением и развитием известных [4-6, 8, 10, 16, 31, 33, 35, 40, 42, 49-53] и более современных методов [17-23] (см подробнее [54-61]) Термин гироскоп (т.е буквально – «прибор, обнаруживающий вращение») был введен в науку французским физиком Фуко (1852) для обозначения созданного им прибора, основной частью которого был быстро вращающийся ротор [62-64] С помощью гироскопа впервые удалось обнаружить факт суточного вращения Земли непосредственным лабораторным опытом Термин гироскоп применяется теперь в более широком смысле для обозначения приборов, в которых используются свойства быстро вращающегося тела Рассмотрим для примера движение твердого тела в однородном силовом поле (см., например, [63]) Напомним, что движение свободного твердого тела описывается при помощи шести обобщенных координат, например, трех декартовых координат одной из точек тела (чаще всего это – координаты центра масс) и трех углов Эйлера, определяющих положение твердого тела в заданной системе координат, связанной с одной из точек тела и движущейся поступательно [62-64] Однако возможен выбор и других шести обобщенных координат Для вывода уравнений движения свободного тела используют теорему о движении центра масс и теорему об изменении момента количества движения системы относительно центра масс [62-64] Обычно ротор гироскопа выполняется в виде однородного тела вращения, и поэтому его экваториальные моменты инерции равны между собой Пусть эллипсоид инерции1 в неподвижной точке – эллипсоид вращения, а центр масс тела лежит на оси симметрии эллипсоида вращения2 (этим свойством обладает тело, имеющее ось симметрии, проходящую через неподвижную точку) Твердое тело, имеющее ось симметрии и вращающееся вокруг одной из точек на оси симметрии, называется гироскопом Обычно в технических приложениях используются гироскопы, выполненные в виде тел вращения, которым сообщается большая начальная угловая скорость вокруг оси симметрии Напомним, что астатический гироскоп – гироскоп, у которого центр масс совпадает с неподвижной точкой В противном случае его называют тяжелым гироскопом или волчком [63] Астатический гироскоп с тремя степенями свободы еще называют свободным гироскопом Вращающийся вокруг вертикальной оси волчок, называют «спящим» Как показано в [63] в однородном силовом поле возможно вращение гироскопа, совершающееся без нутаций, которое называется регулярной прецессией Нутация (от лат Nūtāre – колебаться) – слабое нерегулярное движение вращающегося твёрдого тела, совершающего прецессию Напоминает «подрагивание» оси вращения и заключается в слабом изменении так называемого угла нутации между осями собственного и прецессионного вращения тела Прецессия гироскопа наблюдается спустя некоторое время после его запуска, когда его вращение начнёт замедляться Первоначально ось вращения гироскопа вертикальна Затем его верхняя точка постепенно опускается и движется по расходящейся спирали Это и есть прецессия оси гироскопа Для ее наблюдения можно также толкнуть ось вращающегося гироскопа – начнётся прецессия Эллипсоид инерции – геометрическая фигура в виде поверхности второго порядка, которая характеризует момент (тензор) инерции I твёрдого тела относительно его центра масс Эллипсоид вращения (сфероид) – фигура вращения в трёхмерном пространстве, образованная при вращении эллипса вокруг одной из его главных осей Примеры: нормальный сфероид – сфера, вытянутый эллипсоид вращения, сплюснутый эллипсоид вращения Особым случаем регулярной прецессии является вращение гироскопа вокруг неподвижной оси Если центр масс гироскопа совпадает с неподвижной точкой, то возможно перманентное вращение тела вокруг некоторой произвольной оси при заданной начальной угловой скорости Перейдем к рассмотрению движения гироскопа в кардановом подвесе [6264] Карданов подвес – универсальная шарнирная опора, позволяющая закреплённому в ней объекту вращаться одновременно в нескольких плоскостях (см ниже рисунок) Главным свойством этого подвеса является то, что если в нем закрепить вращающееся тело, то оно будет сохранять направление оси вращения независимо от ориентации самого подвеса Рис Гироскоп в кардановом подвесе Возьмем, например симметричный гироскоп – вращающееся вокруг оси симметрии твердое тело, закрепленное в одной точке, для которой эллипсоид инерции представляет собой эллипсоид вращения Центр масс тела лежит на оси симметрии (оси фигуры) эллипсоида Такой гироскоп называется астатическим, т.к его центр масс совпадает с неподвижной точкой Астатический гироскоп с тремя степенями свободы часто называют свободным гироскопом Ось фигуры астатического гироскопа сохраняет неподвижное направление в инерциальном пространстве Точнее, ось симметрии гироскопа остается все время неподвижной, если на астатический гироскоп не действуют никакие другие силы, кроме однородных сил тяжести и в начальный момент эта ось не была подвергнута возмущению При аналогичных условиях ось симметрии тяжелого гироскопа описывает прямой круговой конус вокруг вертикальной оси Угловая скорость прецессии зависит от величины смещения центра тяжести вдоль оси симметрии, веса гироскопа и его кинетического момента Именно эти свойства гироскопов позволяют решить задачу определения местоположения объекта в пространстве [62-64] Для этого надо уметь регистрировать и интерпретировать показания гироскопа В гироскопе на кардановом подвесе информацию о положении объекта в (инерциальном) пространстве содержат в себе углы  и  поворотов кардановых колец (см Рисунок):  – определяет поворот внешнего кольца относительно объекта, на котором установлен гироскоп, а угол  – определяет поворот внутреннего кольца вокруг заданной оси (см подробнее, например, в [63]) Эти углы легко определяются по показаниям прибора Для этого достаточно, потенциометрические например, (или укрепить индуктивные) на датчики, заданных статоры осях которых скреплены соответственно с объектом и наружным кольцом, а роторы – с наружным и внутренним кольцом Тогда рассогласования углов  и  между роторами и статорами могут быть преобразованы в электрические сигналы, уровни которых взаимно однозначно связаны с величинами этих углов Как правило, для получения информации о положении объекта в пространстве используют несколько, например, два гироскопа, при этом второй гироскоп повернут относительно первого на угол  При этом существует однозначная связь между относительными углами поворотов колец карданова подвеса гироскопа и углами Эйлера  , , (см подробнее [62-64]) Повороты на углы Эйлера  , , могут быть материализованы при помощи карданова подвеса Часто вместо углов Эйлера используют углы  ,  , В астрономии и географии углам  и  соответствует долгота и широта места земной поверхности [63] В теории гироскопов углам  и  обычно присваиваются названия угла прецессии и угла нутации соотвественно А угол  – угол собственного вращения Движение твердого тела с одной неподвижной точкой может быть сведено к трем вращательным движениям [62-64] Все оси вращения пересекаются в неподвижной точке О, связанной с телом На основании теоремы о сложении вращений относительно пересекающихся осей абсолютная угловая скорость тела ω равна геометрической сумме угловых скоростей переносного и относительных вращений [63] Откуда легко получить кинематические уравнения Эйлера для компонент вектора ω [63] Динамические уравнения Эйлера следуют из теоремы об изменении момента количества движения [62-64]: dK ωK  M, dt где K и M – момент количества движения тела и главный момент внешних сил, они вычисляются относительно неподвижной точки тела В этой формуле учтено, что система координат связана с вращающимся телом При этом обычно выбирают главные оси инерции в качестве осей подвижной системы координат В этом случае: K x  I xx , K y  I y y , K z  I z z Допполнив полученную таким образом систему динамических уравнений Эйлера системой кинематических уравнений Эйлера, связывающих углы Эйлера с соотвествующими компонентами  x ,  y , z , получим систему уравнений полностью определяющую движение тела с одной неподвижной точкой Но к ним необходимо еще присоединить шесть начальных условий для угловых скоростей и их первых производных Заметим, что найти решение такой системы уравнений в общем виде, т.е при любых начальных условиях и моментах инерции, не представляется возможным [63] Уравнения движения твердого тела в рассматриваемом случае могут быть получены другим способом Для составления уравнений Лагранжа вводятся обобщенные координаты qm , находится выражение для кинетической энергии T и обобщенных сил Qm , затем получают уравнения: d  T  T    Qm dt  q m  qm В случае твердого тела с одной неподвижной точкой за обобщенные координаты могут быть приняты, например, углы Эйлера  , , или углы  ,  , В принципе, соотвествующие уравнения Лагранжа могут быть получены из уравнений Эйлера (см., например, [63]) Запишем итоговые уравнения движения твердого тела в форме Лагранжа [63]: d I x x sin  sin   I y y sin  cos   I z z cos    Q , dt d I x x cos   I y y sin    I x x sin  cos   I z z sin  dt  I y y cos  cos   Q , d I z z   I y  I x  x y  Q dt           Обобщенные силы могут быть выражены через проекции главного момента внешних сил M [63]: Q  M x sin   M y cos  sin   M z cos  , Q  M x cos   M y sin  , Q  M z Поскольку точка О неподвижна и поэтому работа главного вектора внешних сил всегда равна нулю Заметим, что использование уравнений Эйлера особенно полезно при исследовании движения изолированного твердого тела Однако, в ряде случаев можно пренебречь массой кардановых колец и тогда гироскоп можно рассматривать как одно тело – ротор Уравнения движения при этом проще выводятся в форме уравнений Эйлера Теперь запишем, наконец, дифференциальные уравнения движения гироскопа в кардановом подвесе (гироскоп установлен на неподвижном основании) (см подробнее в [62-64]) в форме Лагранжа [63]: d  P   C    sin  sin    M z  ,  dt  Q  B1  A  C1 sin  cos    C  sin     cos   G cos   M x  ,  d  C  sin      M y  ,   dt  В этом уравнении:  – угловая скорость вращения наружного кольца карданового подвеса вокруг оси Oz;  – угловая скорость внутреннего кольца (гирокамера участвует в переносном движении вместе с наружным кольцом и относительном движении с угловой скоростью  относительно наружного кольца); A, В, С – главные моменты инерции ротора относительно точки О; А1, В1, С1 – главные моменты инерции гирокамеры для точки О; А2, В2, С2 – главные моменты инерции гирокамеры для наружного кольца При выводе полагается, что ротор симметричен относительно своей оси вращения и его экваториальные моменты инерции равны А = В; С – момент инерции относительно оси Оу; P   C2  B1 sin    A  C1 cos  ; Q  A  A1 ; G – сила тяжести; M x , M z – моменты сил сопротивления в осях подвесах; M y – суммарный момент, действующий на ротор, зависящий от угла поворота  и угловой скорости  Кроме того полагается, что главные оси инерции гирокамеры направлены по осям x, y, z Сделаем некоторые предварительные полезные замечания о полученных в настоящей работе новых и актуальных результатах Настоящая диссертация посвящена исследованию различных (в том числе и отличных от ранее известных) теоретико-механических моделей современных гироскопических и некоторых электромеханических систем, реализуемых в виде линейных и квазилинейных неавтономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с периодической матрицей 10 и её спектр 0 j  t 1 удовлетворяет неравенствам: p  jk  t   0 j  t   0 k  t   0;  j  k; j , k  1, p;  t  t0 , может быть с помощью невырожденной при t  t0  полиномиально периодической замены вида: N ( H  N   t   E   Hˆˆ k  t  t  k ; S01  t  A0  t  S0  t   F0  t  ; N  ) x  S  t  H  N   t  z; k 1 приведена к более простой системе вида: z  t mQ  t  z  g  z, t  ; z  t0   z0 ; ( g  z , t   H N1   t  S01 f  S0 H  N   t  z , t  ; Q  t   F N   t   t  N 1G N 1  t  ; N F N   t   F0  t    Fˆk  t  t  k ; k 1 (3.50) G N 1  t   C ), где Т-периодические матрицы Fˆk  t  и Hˆˆ k  t  определяются с помощью простого итерационного алгоритма, а оценка G N 1  t   C проверяется прямым вычислением Доказательство (при m  ) Замена x  S0  t  y приводит к системе: y  t m B  t  y  h  y , t  ;   k   B  t   F0  t    Bk  t  t  , k 1   y  H  N   t  z даёт нужный результат (3.50), y  t0   y0 ; которая после преобразования если матрицы B  t  , H  N   t  и Q  t  удовлетворяют дифференциальному матричному уравнению: (3.51) H  N   t m  B  t  H  N   t   H  N   t  Q  t   Приравнивая (3.51) коэффициенты при одинаковых степенях t , получим набор однотипных алгебраических матричных уравнений вида (при m  ): ˆ ˆ Hˆ Hˆ   t t t0 : ˆ ˆ  B t   Hˆ 2 Hˆ    t [    t     t t t   ˆˆ    E  H1  t       t   ˆ    Hˆ  t  Fˆ  t    E       t     ]     t t    ˆ ˆ   t  Hˆ  t   Hˆ  t    t   Fˆ1  t   B1  t  ; ˆ ˆ   t  Hˆ  t   Hˆ  t    t   Fˆ2  t   P2  t  ; ˆ   ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ  P2  t   B2  t   B1  t  H1  t   H1  t  F1  t   H 1 t     ˆˆ ˆˆ 2   t  H  t   H  t    t   Fˆ  t   P  t  ; t : t 1 : 3 3 ˆ   ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ  P3  t   B3  t   B2  t  H1  t   H1  t  F2  t   B1  t  H  t   H  t  F1  t   H1  t   H  t     ˆ ˆ   t  Hˆ k 1  t   Hˆ k 1  t    t   Fˆk 1  t   Pk 1  t  ; (3.52) t k : 129   k ˆ   ˆ ˆ ˆ  Pk 1  t   Bk 1  t    B j  t  Hˆ k  j 1  t   Hˆ k  j 1  t  Fˆ j  t    k  1 Hˆ k 1  t   Hˆ k  t   j 1   Для краткости (и простоты) изложения дальнейшее доказательство (построение матриц Hˆˆ k  t  и Fˆk  t  ) проведем для частного случае (аргументы опущены) для матриц вида:  01 E N12  F0   02 E  0  где Fˆk  t  , Hˆˆ k  t  N13   N 23  ; 03 E   ˆˆ  H k   H 21 H  31 H13   H 23  ;  H12 H 32  F11  Fˆk     F22 0   , F33  - искомые матричные функции В этом случае матричное уравнение (3.52) принимает вид: N13   01 E N12  02 E N 23    0 03 E   H13   H12 H13   01 E N12 N13     H 23    H 21 H 23   02 E N 23   H 32   H 31 H 32   0 03 E    N12 H 21  N13 H 31   01 H12  N13 H 32   01 H13  N12 H 23        02 H 21  N 23 H 31  N 23 H 32 02 H 23    03 H 31 03 H 32      H 21 H  31 H12  02 H12  H12 N 23  03 H13       01 H 21 H12 N12  H 21 N13  03 H13     H   01 31  H 31 N12  02 H 32   H 31 N13  H 32 N 23     N12 H 21  N13 H 31   12 H12  N13 H 32   13 H13  N12 H 23        21 H 21  N 23 H 31   N 23 H 32  H12 N12   23 H 23  H 21 N13      31H 31   32 H 32  H 31 N12    H 31 N13  H 32 N 23      P11 P12 P13   F11       F22    P21 P22 P23   0 F33   P31 P32 P33   Это позволяет записать набор более простых алгебраических матричных уравнений, откуда единственным образом на каждом шаге определяются искомые матричные функции Fˆk  t  и Hˆˆ k  t  :  H t   P t  /  t  ;  t   H  t  N  t   P  t   Q  t  ;  H  t   Q  t  /   t   ; t   P t    H t  N t   H t  N t  ;  t    N  t  H  t   P  t   Q  t  ;  H  t   Q  t  /   t   ;  31  t  H 31  t    P31  t  ;  32  t  H 32 F33  21  t  H 21 31 33 12 32 31 23 31 31 31 31 32 13 21 32 32 32 32 23 21 21 21 21 F22  t   N 23  t  H 32  t   H 21  t  N12  t   P22  t  ;  23  t  H 23  t   H 21  t  N13  t   P23  t   Q23  t  ;  H  t   Q  t  /   t   ; F11  t   N12  t  H 21  t   N13  t  H 31  t   P11  t  ; 130 23 23 23  H  t   Q  t  /   t   ;  t   Q  t  ;  H  t   Q  t  /   t   ,  12  t  H12  t    N13  t  H 32  t   P12  t   Q12  t  ;  13  t  H13  t   N12  t  H 23  t   H12  t  N 23  t   P13 12 12 13 12 13 13 13 что и доказывает теорему 3.13 Замечания: Аналоги теоремы 3.10, 3.11 и 3.13 имеют место и при m  , если матрица A0 является постоянной Следует отметить, что система (3.50) с почти «блочно треугольной» матрицей Q  t  , полученная в теореме 3.13, более удобна для последующего анализа по сравнению с исходной эквивалентной системой вида (3.1) Далее отметим, что неавтономные системы с полиномиально периодической матрицей вида (3.1) при m  1 и при наличии у матрицы A0  t  произвольной жордановой структуры могут быть исследованы методами теоремы 3.6, а в случае m  2 методами теоремы 3.9 Теорема 3.15 Рассмотрим неавтономную квазилинейную систему: x  A  t  x  f  x, t  ; x  t0   x0 ; (3.53)  x, f  R n ; t0  1; f  0, t    ,  (где матричный ряд A  t   A0   Ak  t  t  k из достаточно гладких из Т- k 1 периодических матричных функции Ak  t  сходится по некоторой норме абсолютно и равномерно при t  t0  ) и пусть матрица A0 эквивалентно «блочной треугольной матрицей» с кратным спектром 0 j 1 вида: p   01  A0 ~ F0      N12 N1 p    02 N p  ;   0 j E;  oj   p   j  1, p  , и её спектр 0 j 1 удовлетворяет неравенствам: p  jk  0 j  0 k  i 2 q ; T  j  k; j , k  1, p;  (3.54) q  0; 1; 2; , и функция f  x, t  является достаточно гладкой в области  :  x  R; t  1 Тогда система (3.53) может быть с помощью полиномиально периодической замены: x  S H  N   t  z;  1  S0 A0 S0  F0 ;  N  H N  t   E   H k t  t k  , k 1  приведена к системе: z  Q  t  z  g  z, t  ;   z  t0   z0 ; ( g  z , t   H N1   t  S01 f S H  N   t  z , t ; 131 (3.55) N Fˆ N   t   F0   Fˆk t  k ; Q  t   Fˆ N   t   t  N 1G N 1  t  ; G N 1  t   C ), k 1 где постояные «блочно диагональные» матрицы F
k и Т – периодические H k  t   k  1, N  однозначно определяются с помощью матрицы итерационного алгоритма, а оценка G N 1  t   C проверяется прямым вычислением Доказательство Невырожденная замена x  S0 y приводит систему (3.53) к виду: y  B  t  y  h  y, t  ;    B t  F  Bk  t  t  k  ,     k 1   y  t0   y0 ; и с помощью ещё одного полиномиально периодического при достаточно больших t  t0  преобразования y  H  N   t  z получим нужный результат (3.55), если B t  , H N  t  матрицы и Q t  удовлетворяют дифференциальному матричному уравнению: H  N   B  t  H  N   t   H  N   t  Q  t  (3.56) Приравнивая в (3.56) коэффициенты при одинаковых степенях t , получим набор однотипных дифференциальных матричных уравнений вида: H  t   F0 H1  t   H1  t  F0  B1  t   Fˆ1; H  t   F H  t   H  t  F  P  t   Fˆ ; t 1 : t 2 : 2 2 1 1  P  t   B  t   B  t  H  t   H  t  Fˆ  H  t   ; t k 2 H k  t   F0 H k  t   H k  t  F0  Pk  t   Fˆk ; : (3.57) k 1    Pk  t   Bk  t    B j  t  H k  j  t   H k  j  t  Fˆ j   k  1 H k 1  t  ; k  1, N  j 1     Для простоты изложения доказательство проведем для случая: N13   01 E N12  F0   02 E N 23  ;  0 03 E    F11  ˆ Fk     F22 0   ; F33   P11  t  P12  t   Pk  t    P21  t  P22  t   P t  P t  32  31  H11  t  H12  t   H k  t    H 21  t  H 22  t   H t  H t  32  31 P13  t    P23  t   ; P33  t   H13  t    H 23  t   H 33  t   При этом имеем [4, с 361]: H 31   31 H 31  t   P31  t  ;  H 31  t   e 31  t T   e 31T t T  e 1 t 132  31s P31  s  ds ;  H 21  t   e 21  t T   e 21T H 21   21 H 21  t   N 23 H 31  t   P21  t  ;  P21  t   P21  t   N 23 H 31  t  t T  e 1  21s P21  s  ds ; t  t   H11   P11  s   F11 ds ; H 11  P11  t   N12 H 21  t   N13 H 31  t   F11 ; T F11   P11  t  dt ; T 0  P  t   P  t   N 11 11 12  H 32  t   e 32  t T   e 32T H 32   32 H 32  t   H 31  t  N12  P32  t  ;  P32  t   P32  t   H 31  t  N12  H 21  t   N13 H 31  t  ; t T  e 1  32 s P32  s  ds t  t   H 22   P22  s   F22 ds ; H 22  P22  t   N 23 H 32  t   H 21  t  N12  F22 ; T F22   P22  t  dt ; T 0  P  t   P  t   N 22 22 23  H 32  t   H 21  t  N12 ; H 12   12 H12  t   N12 H 22  t   N13 H 32  t   H11  t  N12  P12  t  ; H12  t   e  12  t T   t T 1  e   e  12T 1 12 s P12  s  ds ; t  P12  t   P12  t   N12 H 22  t   N13 H 32  t   H11  t  N12 ; H 33  P33  t   H 31  t  N13  H 32  t  N 23  F33 ; t   H 33   P33  s   F33 ds ; T F33   P33  t  dt ; ( P33  t   P33  t   H 31  t  N13  H 32  t  N 23 ); T H 23   23 H 23  t   N 23 H 33  t   H 21  t  N13  H 22  t  N 23  P23  t  ;  H 23  t   e 23  t T   e 23T t T  e 1  23 s P23  s  ds ; t ( P23  t   P23  t   N 23 H 33  t   H 21  t  N13  H 22  t  N 23 ); H 13   13 H13  t   N12 H 23  t   N13 H 33  t   H11  t  N13  H12  t  N 23  P13  t  ; H13  t   e  13  t T  t T 1  e   e  13T 1  13 s P13  s  ds ; t ( P13  t   P13  t   N12 H 23  t   N13 H 33  t   H11  t  N13  H12  t  N 23 ) Теорема 3.15 доказана Замечание: Изучение систем вида (3.1) (при m  1 и m  2 ) при наличии матрицы A0  t  эквивалентной «блочно треугольной» матрице после их приведения к более простым системам с « почти блочно треугольной» матрицей (теоремы 3.14 и 3.15) проводится по аналогичному алгоритму и 133 дает больше возможностей для их дальнейшего изучения, включая вопросы устойчивости Лемма Квадрат евклидовой нормы решения неавтономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений x  A  x, t  x , x    x0 t  0 (3.58) удовлетворяет дифференциальному уравнению: d x  Re x* A  x, t  x dt   Доказательство С учетом равенств n x  x* x   x 2j ; x * x* A*  x, t  для j 1 квадрата евклидовой нормы решения исходной системы можно записать дифференциальное уравнение: d x  x * x  x* x  x* A*  x, t  x  x* A  x, t  x  Re x* A  x, t  x Лемма доказана dt   Теорема 3.16 Для квазилинейной автономной системы вида: x  A  x, t  x , x    x0 (3.59) с непрерывной нелинейой нормальной в области  :  x  R; t  0 Если спектр A  x, t  матрицы A  x, t  в системе (3.59) удовлетворяет n j неравенствам: t Re  Aj      A  t  ( a  t     A  s  ds ; x  R ; j  1, n ; t  ), (3.60) то решения системы (3.59) устойчиво при a  t   C  t   и асимптотически   устойчиво при a  t   t  Доказательство Для нелинейной унитарной подстановки x  U A  x, t  y (см [30]) x*  y*U A*  x, t  ; U A*  x, t  A  x, t  U A  x, t    A  x, t   diag  A  x, t  , , A  x, t  , x  y n С учетом леммы, произведем оценку квадрата евклидовой нормы решении системы (3.59): d x  x * x  x* x  Re x* A  x, t  x  Re  y*U *A  x, t  A  x, t  U A  x, t  y   dt   n  Re  y * A  x, t  y   Re  Aj  x, t  y j j 1 134  2 A  t  x приводящие к оценкам x  t   x0 exp  a  t   , что гарантирует решения системы (3.59) устойчиво при a  t   C  t   и асимптотически устойчиво при a  t     Теорема 3.16 доказана t  Замечания: Для систем вида (3.59) с кососимметрической матрицей имеет место оценка x  t   x0 , так как Re A     j  j  1, n  В условии (3.60), равенство Re A     A  t  , ( j  1, n ) переходит в равенство j к оценкам x  t   x0 exp  a  t   Рассмотрим еще два примера из теории гироскопов, описываемых системами с нормальной матрицей Пример 3.1 Проанализируем модельную систему ОДУ, описывающую малые колебания тонкого кольцевого резонатора волнового твердотельного гироскопа [53] с системой поддерживающих торсионов без учета демпфирования, имеющую нормальную нелинейную кососимметрическую матрицу B  x, t  :  p  p  x  B  x, t  x , B  x, t     q   q здесь x   x1 , x2 , x3 , x4  , T p  3 x , q  q  ; x  0,    x0 , p  p  q  4   b , b   x1 x4  x2 x3  , коэффициент отражает наличие нелинейной упругости материала,  - безразмерная угловая скорость основания гироскопа В работе устойчивости [53] используются гироскопической классические системы методы Однако исследования основываясь на предложенном в данной алгоритме, можно сразу сделать вывод об устойчивости системы, избегая громоздких выкладок, т.к нелинейная нормальная матрица B  x, t  , являясь в данном случае кососимметрической, имеет чисто мнимый спектр [30] при этом x  t ,    x0 135 Пример 3.2 В пространственного работе [50] показано, гирогоризонткомпаса что малые описывается колебания модельной линеаризованной неавтономной системой: x  A  t  x; x  x , x , x ,x   x    x0 ; T с нормальной кососимметрической периодической матрицей:  0  t     0  t    , At      t  0    0     t  где имеют место обозначения: x1  1 v t  gR ; x2   ; x3   ; x4  B sin  m gR v  t  - абсолютная скорость точки подвеса; проекция абсолютной угловой скорости R - радиус Земли; чувствительного  t  - элемента гирогоризонткомпаса на направление геоцентрической вертикали; 0  g / R ; B, m, ,  - постоянные гирогоризонткомпаса; величины, j  j  1, 2,3,  - определяемые углы конструкцией ориентации осей чувствительного элемента в неподвижной системе координат Один из важнейших выводов, который следует из нашей работы: линеарилизация подобных задач теории калебаний приводит к отсутствию устойчивых состояний движения в зонах (областях) резонанса, что означает, по сути, потерю таких решений Более того: идеи линеаризации абсолютно неприменимы для решения многих проблем, с которыми физика постоянно сталкивалась и продолжает сталкиваться [62-69] Вместе с тем данная проблема периодически возникает при решении различных прикладных задач в различных областях техники, механики, физики, электроники, биологии и медицины (см., например, [5, 33, 40, 41, 50-53, 62-69]) Некоторые из таких задач были отмечены во введении к настоящей диссертации (бесконтактное ориентирование, удержание и управление микродеталями при сборке различных устройств и приборов; селективное разделение 136 различных порошков (магнитных, ферромагнитных); сверхчувствительные датчики полей; взвешивание, удержание и перемещение различных объектов (одиночных молекул, гироскопов, транспорта на магнитном подвесе); и др.) Решение таких задач даже в первом приближении наталкивается на серьезные математические и физические проблемы Основная проблема связана с тем, что до настоящего времени нет общей теории колебаний сильно нелинейных систем (при отсутствии малого параметра) и в появлении различных особенностей, таких как аттрактор, хаос [65, 68, 69] Итак, можно констатировать, что в настоящей диссертации представлен новый метод исследования задач теории линейных и квази-нелинейных колебаний, позволяющий найти устойчивые состояния движения некоторых динамических систем в окрестности резонанса Этим определяется его актуальность, новизна и практическая значимость Заключение В диссертации получены и обоснованы следующие результаты Предложен новый метод исследования теоретико-механических моделей гироскопических устройств и соответствующих систем дифференциальных уравнений с Т-периодической матрицей (при наличии малых возмущений) и другой класс систем с полиномиальной и полиномиально периодической матрицей, описывающих различные режимы работы гироскопических систем Полученные в работе результаты является следствием анализа теорем о почти приводимости исследуемых систем уравнения их движения Это позволило получить достаточные условия устойчивости или асимптотической устойчивости решения указанного класса систем Для каждого класса исследуемых теоретико-механических моделей гироскопических линейных систем представления их движения 137 построены асимптотические Литература [1] Беллман Р Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений, М.: ИЛ 1954 216 с [2] Бободжанов А.А., Ломов С.А Асимптотическое интегрирование задачи Коши со счетно кратным спектром // «Математические заметки» 1984 Т 35 вып С 63-82 [3] Беллман Р Введение в теорию матриц М.: Наука 1972 232 с [4] Вазов В Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений М.: МИР 1968 464 с [5] Волосов В.М., Моргунов Б.К Метод усреднения в теории нелинейных колебательных систем М МГУ 1971 440 с [6] Воеводин В.В Линейная алгебра М.: Наука 1974 336 с [7] Воеводин В.В Вычислительные основы линейной алгебры М.: Наука 1977 304 с [8] Гребеников Е.А Метод усреднения в прикладных задачах М.: Наука 1986 256 с [9] Гантмахер Ф.Р Теория матриц М.: Наука 1988 548 с [10] Демидович Б.П Лекции по математической теории устойчивости М.: Наука Изд-во МГУ 1998 480 с [11] Елисеев А.Г., Ломов С.А Теория сингулярных возмущенный в случае спектральных особенностей предельного оператора // «Математический сборних» 1986 Т 131 № С 544-557 [12] Камке Э Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям М.: Наука 1976 576 с [13] Карташев А.П., Рождественский Б.Л Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчислени М.: Наука 1986 272 с [14] Като Т Теория возмущений линейных операторов М.: Мир 1972 740 с [15] Коддингтон Э.А., Левинсон Н дифференциальных уравнений М.: ИЛ 1958 476 с 138 Теория обыкновенных [16] Коул Дж Методы возмущёний в прикладной математике М.: Мир 1972 276 с [17] Коняев Ю.А., Мартыненко Ю.Г Об устойчивости стационарных вращений симметричного твердого тела в переменном магниттом поле // Прикладная математика и механика 1987 Т.51 №3 С 375-381 [18] Коняев Ю.А., Мартыненко Ю.Г Исследование устойчивости неавтономных систем дифференциальных уравнений квазиполиномиального типа // «Диффенциальные уравнения» 1999 Т 34 № 10 С 1427-1429 [19] Коняев Ю.А Асимптотические и аналитические методы решения некоторых классов прикладных модельных задач М.: Изд-во РУДН 2005 160 с [20] Коняев Ю.А О некоторых методах исследования устойчивости // «Математический сборник» 2001 Т 192 № С 65-82 [21] Коняев Ю.А Асимптотика решений дифференциальных уравнений с полиномиально периодическими коэффициентами // «Вестник МЭИ» 1996 № С 79-88 [22] Коняев Ю.А., Федоров Ю.С Асимптотический анализ некоторых классов сингулярно возмущенных задач на полуоси // «Математические заметки» 1997 Т 62 вып С 494-501 [23] Коняев Ю.А Об одном методе исследования некоторых задач теории возмущений // «Математический сборник» 1993 Т 184 № 12 С 133-144 [24] Коняев Ю.А., Безяев В.И., Романова Е.Ю Об особенностях анализа начальных и краевых задач для полиномиальных систем // «Дифференциальные уравнения» 2010 № 10 Т 46 С 1508-1512 [25] Коняев Ю.А Достаточные условия устойчивости решений некоторых классов обыкновенных дифференциальных уравнений в критических случаях // «Дифференциальные уравнения» 1990 Т 26 № С 709-712 [26] Коняев Ю.А Метод унитарных преобразований в теории устойчивости // «Изв ВУЗ Математика» 2002 № С 41-45 139 [27] Коняев Ю.А О начальных и многоточенных краевых задачах для неавтономных систем с полиномиальной матрицей и их приложениях // «Современная математика Фундаментальные направления» 2010 Т 35 С 78-85 [28] Коняев Ю.А., Безяев В.И., Филиппова О.Н Асимптотический анализ регулярно и сингулярно возмущенных задач и их приложения в биологии // «Современная математика Фундаментальные направления» 2010 Т 37 С 16-28 [29] Корн Г., Корн Т Справочник по математике М.: Наука 1984 832 с [30] Ланкастер П Теория матриц М.: Наука 1978 280 с [31] Ляпунов А.М Общая задача об устойчивости движения М.: Л ОНТИ 1935 386 с [32] Маслов В.П Теория возмущений и асимптотические методы М.: Изд-во МГУ 1965 554 с [33] Меркин Д.Р Введение в теорию устойчивости движения М.: Наука 1987 304 с [34] Моисеев Н.Н Асимптотические методы нелинейной механики М.: Наука 1981 400 с [35] Найфе А Введение в методы возмущений М.: Мир 1984 536 с [36] Никифоров А.Ф., Уваров В.Б Основы теории специальных функций М.: Наука 1974 304 с [37] Олвер Ф Введение в асимптотические методы и специальные функции М.: Наука 1978 376 с [38] Пугагев В.С Об асимптотических представлениях интегралов систем линейных дифференциальных уравнений, содержащих параметр // «Изв АН СССР» Серия математически 1941 Т № С 75-84 [39] Раппопорт И.М О некоторых асимптотических методах в теории дифференциальных уравнений Изд-во АН УССР 1954 258 с [40] Розо М Нелинейные колебания и теория устойчивости М.: Наука 1971 288 с 140 [41] Рид М., Саймон Б Методы современной математической физики М.: Мир Т 1982 300 с [42] Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В Теория показателей Ляпунова и её приложенния к вопросам устойчивости М.: Наука 1966 756 с [43] Сафонов В.Ф Регуляризованные асимптотические решения сингулярно возмущенных задач в критическом случае // «Изв ВУЗ Математика» 1994 № С 41-48 [44] Территин обыкновенных Х.Л Асимптотическое линейных разложение дифференциальных решений уравнений, систем содержащих параметр // Сборних «Математика» 1957 Т № С 29-59 [45] Треногин В.А Функциональный анализ М.: Наука 1980 496 с [46] Федорюк М.В Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений М.: Наука 1983 352 с [47] Хартман Ф Обыкновенные дифференциальные уравнения М.: Мир 1970 720 с [48] Чезари Л Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений М.: Мир 1964 477 с [49] Якубович В.А., Старжинский В.М Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения М.: Наука 1972 720 с [50] Ишлинский А.Ю Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация М.: Наука 1976 670 с [51] Воробьев В.А., Меркурьев И.В., Подалков В.В Погрешности волнового твердотельного гироскопа при учете нелинейных колебаний резонатора // Гироскопия и навигация 2005 № (48) С 15-21 [52] Донник А.С., Меркурьев И.В., Подалков В.В Влияние поступательной вибриции основания на динамику волнового твердотельного гироскопа // Гироскопия и навигация 2007 № С 63-68 141 [53] Меркурьев И.В., Подалков В.В Динамика микромеханического и волнового твердотельного гироскопов М.: Физматлит 2009 228 с [54] Нгуен Вьет Хоа Об асимптотической приводимости некоторых классов модельных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с квазиполиномиальной матрицей // Вестник РУДН Серия: Математика Информатика Физика 2012 №2 с12-17 [55] Коняев Ю.А., Мергия В.Б., Нгуен Вьет Хоа О регулярных и сингулярных возмущенных модельных системах ОДУ полиномиального типа с особенностями // Вестник РУДН, серия: Математика Информатика Физика 2012 №3 с 20-24 [56] Нгуен Вьет Хоа Спектральной вариант метода усреднения для линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с периодической матрицей Тезисы докладов Всероссийской конференции с международным участием // «Информационно – телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем» РУДН 2012 с 356-358 [57] Нгуен Вьет Хоа Алгебраические методы приводимости регулярно возмущенных модельных линейных периодических систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестник РУДН, серия: Математика Информатика Физика 2013 №2 с 22-27 [58] Нгуен Вьет Хоа Аналитические методы исследования устойчивости линейных и квазилинейных систем с полиномиально периодической матрицей // Вестник РУДН, серия: Математика Информатика Физика 2013 №4 с 18-23 [59] Нгуен Вьет Хоа Об устойчивости квазилинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с полиномиально периодической матрицей Сборник научных трудов участников международной конференции // «Интеграционные процессы в естественнонаучном и математическом образовании» Москва РУДН 2013 с 407-412 142 [60] Konyaev Yu.A., Salimova A.F., Nguyen Viet Khoa The Algorithm of Reducibility of Inhomogeneous Systems with Polynomially Periodic Matrix on the Basis of Spectral Method // Bulletin of PFUR Series Mathematics Information Sciences Physics 2013 №4 с 11-17 [61] Коняев Ю.А., Нгуен Вьет Хоа Спектральный анализ некоторых классов неавтономных систем с периодической и полиномиально периодической матрицами // Вестник национального исследовательского ядерного университета «МИФИ» 2014 Том №3, с 1-7 [62] Николаи Е.Л Теория гироскопов Л., М.: ОГИЗ Гос Издат Техникотеоретической литературы 1948 171 с [63] Лунц Я.Л Введение в теорию гироскопов М.: Наука, 1972, 296 с [64] Метелицын И.И Избранные труды Теория гироскопа Теория устойчивости М.: Наука 1977 130 с [65] Широносов В.Г Резонанс в физике, химии и биологии – Ижевск Издательский дом “Удмуртский университет”, 2000/01 92 с [66] Егоров А.А Датчики: принципы работы и области применения // Chip News: Инженерная микроэлектроника 2009 № С 23-36 [67] Егоров А.А Теория абсорбционного интегрально-оптического датчика газообразных веществ // Оптика и спектроскопия 2010 Т 109 № С 672682 [68] Егоров А.А Исследование бифуркационных процессов в многомодовом оптическом волноводе со статистическими нерегулярностями // Квантовая Электроника 2011 Т 41 № 10 С 911-916 [69] Егоров А.А Основы теоретического анализа нерегулярных интегральнооптических волноводов как нелинейных динамических диссипативных систем // Научная Сессия НИЯУ МИФИ-2013, г Москва, – февраля 2013 г., Конференция «Методы математической физики и математическое моделирование физических процессов» – М.: НИЯУ МИФИ, 2013 Т С 129 143 ... анализ теоретико- механических моделей гироскопических рассмотрены различные гироскопических систем систем классы с с полиномиальной матрицей» теоретико- механических полиномиальной матрицей моделей. .. «Исследование теоретико- механических моделей гироскопических систем с полиномиально периодической матрицей» разработаны аналитические и асимптотические методы анализа теоретико? ?еханических моделей гироскопических. .. анализ теоретико- механических моделей гироскопических систем с полиномиальной матрицей 76 2.1 Введение 76 2.2 О приводимости некоторых классов теоретико- механических моделей гироскопических