ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN NGỌC HẢO PHƯƠNG PHÁP DOUGLAS RACHFORD TÌM KHÔNG ĐIỂM CỦA BAO HÀM THỨC ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên 2015 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN NGỌC HẢO PHƯƠNG PHÁP DOUGLAS - RACHFORD TÌM KHƠNG ĐIỂM CỦA BAO HÀM THỨC ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN NGỌC HẢO PHƯƠNG PHÁP DOUGLAS - RACHFORD TÌM KHƠNG ĐIỂM CỦA BAO HÀM THỨC ĐƠN ĐIỆU Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS NGUYỄN BƯỜNG Thái Nguyên - 2015 c i Mục lục Mục lục i Lời cảm ơn ii Mở đầu 1 Một số kiến thức 1.1 Không gian Hilbert cực trị phiếm hàm lồi 1.2 Phương pháp điểm gần kề giải bao hàm thức đơn điệu cực đại Thuật toán Douglas - Rachford 21 2.1 Phương pháp Douglas - Rachford 21 2.2 Phương pháp Douglas - Rachford quán tính 29 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 c ii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc với GS.TS Nguyễn Bường, trực tiếp hướng dẫn tận tình động viên tác giả suốt thời gian nghiên cứu vừa qua Xin chân thành cảm ơn tới thầy, cô giáo Bộ mơn Tốn - Tin, Phịng Đào tạo Khoa học Quan hệ quốc tế, bạn học viên lớp Cao học Toán K7D trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, bạn đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi, động viên tác giả trình học tập nghiên cứu trường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình người thân ln khuyến khích, động viên tác giả suốt trình học tập làm luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót hạn chế Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp q báu thầy bạn đọc để luận văn hoàn thiện Trần Ngọc Hảo Thái Nguyên, 2015 Học viên Cao học Toán K7D, Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên c Mở đầu Toán tử đơn điệu lĩnh vực giải tích đại nhiều nhà toán học hàng đầu giới nghiên cứu, đặc biệt phải kể đến Browder F E, Rockafellar R T, Minty G J Bài toán xác định khơng điểm tốn tử đơn điệu có nhiều ý nghĩa quan trọng nhiều lĩnh vực khác nhau, khoa học vật lí, tối ưu hóa, tốn kinh tế, tốn tài Ở đây, ta quan tâm đến tốn sau: Tìm x ∈ H cho ∈ A(x) + B(x) Trong A, B toán tử đơn điệu cực đại H Đề tài luận văn "Phương pháp Douglas - Rachford tìm khơng điểm bao hàm thức đơn điệu" để giải khó khăn việc áp dụng trực tiếp phương pháp điểm gần kề tìm toán tử giải JA+B = (I + r(A + B))−1 , T = A + B Vì đề tài vừa có ý nghĩa mặt lý thuyết, đồng thời vừa có ý nghĩa thực tiễn cao Nội dung luận văn tổng hợp số kết từ hai báo [5] Bot R I, Csetnek E R, Hendrich C (2015), "Inertial Douglas-Rachford splitting for monotone inclusion problems", Applied Mathematics and Computation, Volume 256, P-P 472–487 [12] Svaiter B J (2011), "Weak convergence on Douglas - Rachford method", SIAM Journal on Control and Optimization 49 (1), 280-287 Với ý thức vậy, luận văn chia thành hai chương với nội dung sau: c Chương trình bày số kiến thức không gian Hilbert, cực trị phiếm hàm lồi phương pháp điểm gần kề giải bao hàm thức đơn điệu cực đại Chương nội dung luận văn Chương trình bày phương pháp Douglas - Rachford tìm khơng điểm bao hàm thức đơn điệu phương pháp Douglas - Rachford quán tính Thái Nguyên, ngày 20 tháng 11 năm 2015 Trần Ngọc Hảo Email: tranhaodk10@gmail.com c Chương Một số kiến thức Chương ta nhắc lại số kiến thức liên quan tới toán tìm khơng điểm bao hàm thức đơn điệu Mục 1.1 trình bày kiến thức khơng gian Hilbert cực trị phiếm hàm lồi Mục 1.2 giới thiệu phương pháp điểm gần kề giải bao hàm thức đơn điệu Các kiến thức chương tổng hợp từ tài liệu [1], [2], [3], [4] 1.1 Không gian Hilbert cực trị phiếm hàm lồi Trước hết ta trình bày số kiến thức không gian Hilbert Định nghĩa 1.1 Cho H không gian véc tơ R, tích vơ hướng xác định H ánh xạ h., i : H × H → R, (x, y) 7−→ hx, yi thỏa mãn điều kiện sau đây: (i) hx, yi = hy, xi với x, y ∈ H ; (ii) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi với x, y, z ∈ H ; (iii) hλx, yi = λhx, zi với x, y ∈ H ; λ ∈ R; (iv) hx, xi ≥ với x ∈ H hx, xi = x = Số hx, yi gọi tích vơ hướng hai véc tơ x y H c Nhận xét 1.1 Từ định nghĩa suy (i) hx, λyi = λhy, xi; (ii) hx, y + zi = hx, yi + hx, zi; (iii) hx, 0i = Với x, y, z ∈ H λ ∈ R Định nghĩa 1.2 Cặp (H , h., i), H khơng gian tuyến tính R, h., i tích vơ hướng H gọi khơng gian tiền Hilbert thực Định lí 1.1 (Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz) Trong không gian tiền Hilbert H , với x, y ∈ H ta ln có bất đẳng thức sau |hx, yi|2 ≤ hx, xihy, yi (1.1) Chú ý 1.1 Bất đẳng thức định lý gọi bất đẳng thức Schwarz, bất đẳng thức Schwarz dấu xảy x, y phụ thuộc tuyến tính Định lí 1.2 Mọi khơng gian tiền Hilbert H khơng gian tuyến tính định chuẩn, với chuẩn xác định công thức kxk = hx, xi , x ∈ H (1.2) Chuẩn gọi chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng Nhận xét 1.2 Với kí hiệu này, với bất đẳng thức Schwarz viết lại thành |hx, yi| ≤ kxk.kyk Như không gian tiền Hilbert xem khơng gian định chuẩn đầy đủ không đầy đủ c Định nghĩa 1.3 Nếu H không gian tiền Hilbert thực đầy đủ chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng xác định (1.2) H gọi khơng gian Hilbert thực Ví dụ 1.1 Rn khơng gian Hilbert thực với tích vơ hướng hx, yi = n X xk yk , k=1 x = (x1 , x2 , , xn ), y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn chuẩn cảm sinh kxk = hx, xi = n X xk xk = k=1 n X |xk |2 k=1 Ví dụ 1.2 Xét không gian ∞ X L = x = (xn )n ⊂ K| |xn |2 < +∞ , n=1 khơng gian Hilbert với tích vơ hướng hx, yi = ∞ X xn yn n=1 chuẩn cảm sinh v u∞ uX kxk = t |xn |2 , n=1 với x = (xn )n∈N , y = (yn )n∈N ∈ L Ví dụ 1.3 Gọi C[a, b] tập tất hàm giá trị thực liên tục khoảng đóng, hữu hạn [a, b] ⊂ R Trong C[a, b] xét tích vơ hướng Zb hx, yi = x(t)y(t)dt, a c x(t), y(t) ∈ C[a, b] Khi • Khơng gian C[a, b] với chuẩn kxk = max |x(t)|, a≤t≤b không gian Banach nên C[a, b] khơng gian Hilbert • Nhưng khơng gian C[a, b] với chuẩn Zb kxk = 21 |x(t)|2 dt , a lại khơng gian Banach nên khơng phải khơng gian Hilbert Tiếp theo trình bày định nghĩa tính chất đặc trưng cực trị phiếm hàm lồi Định nghĩa 1.4 Cho C ⊆ Rn khác rỗng f : Rn ⇒ R Một điểm x∗ ∈ C gọi cực tiểu địa phương C tồn lân cận U x∗ cho f (x∗ ) ≤ f (x), ∀x ∈ U ∩ C Điểm x∗ ∈ C gọi cực đại địa phương f (x∗ ) ≥ f (x), ∀x ∈ U ∩ C Nếu f (x∗ ) ≤ f (x), ∀x ∈ C x∗ gọi cực tiểu toàn cục hay cực tiểu tuyệt đối f C Và f (x∗ ) ≥ f (x), ∀x ∈ C x∗ gọi cực đại toàn cục hay cực đại tuyệt đối f C c ... thức đơn điệu cực đại Chương nội dung luận văn Chương trình bày phương pháp Douglas - Rachford tìm khơng điểm bao hàm thức đơn điệu phương pháp Douglas - Rachford quán tính Thái Nguyên, ngày 20... kiến thức 1.1 Không gian Hilbert cực trị phiếm hàm lồi 1.2 Phương pháp điểm gần kề giải bao hàm thức đơn điệu cực đại Thuật toán Douglas - Rachford 21 2.1 Phương pháp Douglas - Rachford ... quan tâm đến toán sau: Tìm x ∈ H cho ∈ A(x) + B(x) Trong A, B tốn tử đơn điệu cực đại H Đề tài luận văn "Phương pháp Douglas - Rachford tìm khơng điểm bao hàm thức đơn điệu" để giải khó khăn