ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– HOÀNG THỊ THU HIỀN LIÊN PHÂN SỐ VỚI TỬ SỐ BẤT KỲ THÁI NGUYÊN 2018 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– HOÀNG TH[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– HOÀNG THỊ THU HIỀN LIÊN PHÂN SỐ VỚI TỬ SỐ BẤT KỲ THÁI NGUYÊN - 2018 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– HOÀNG THỊ THU HIỀN LIÊN PHÂN SỐ VỚI TỬ SỐ BẤT KỲ CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGÔ VĂN ĐỊNH THÁI NGUYÊN - 2018 c i Mục lục Mở đầu Chương Liên phân số tắc 1.1 Định nghĩa 1.2 Thuật toán biểu diễn số thực liên phân số tắc 1.3 Liên phân số hữu hạn, liên phân số vô hạn 1.4 Dãy giản phân số thực 1.5 Liên phân số nghịch đảo 3 4 Chương Liên phân số với tử 2.1 Một số kết 2.2 Khai triển số vô tỷ bậc hai 2.3 Phương trình Pell số nguyên dương 14 21 Chương Liên phân số với tử số 3.1 Các liên phân số có dạng hàm hữu tỷ 3.2 Biểu diễn, tính hội tụ tính 3.3 Khai triển với số hữu tỷ z 3.4 Khai triển tuần hoàn số vô tỉ bậc hai giảm √ 3.5 Các khai triển tuần hoàn cho n 28 28 30 38 40 43 Kết luận 50 Tài liệu tham khảo 51 c Mở đầu Liên phân số cách viết rõ ràng cho số thập phân Một liên phân số tắc có dạng a0 + a1 + a2 + a3 + · · · Mỗi số thực viết dạng liên phân số tắc Liên phân số có nhiều ứng dụng thực tế (xem [1]) Năm 2011, Anselm Weintraub [2] nghiên cứu công bố số kết liên phân số tổng quát có dạng z a0 + z a1 + a2 + , z a3 + · · · z số nguyên dương tùy ý Năm 2017, Greene Schmieg [3] mở rộng kết Anselm Weintraub cho trường hợp z số thực lớn hay Mục đích đề tài nghiên cứu trình bày lại kết nêu Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn gồm chương: Chương Liên phân số tắc Mục đích chương giới thiệu sơ lược liên phân số tắc Chương Liên phân số với tử số nguyên dương Chương trình bày lại kết Anselm Weintraub liên phân số với tử số nguyên dương Chương Liên phân số với tử số khơng ngun Chương trình bày lại kết Greene Schmieg liên phân số với tử số số thực Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Lời tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo c TS Ngô Văn Định Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn tồn thể thầy Khoa Tốn - Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tận tình hướng dẫn, truyền đạt kiến thức suốt thời gian theo học, thực hoàn thành luận văn Cảm ơn giúp đỡ bạn bè, người thân đồng nghiệp thời gian làm luận văn Thái Nguyên, tháng 05 năm 2018 Người viết luận văn Hoàng Thị Thu Hiền c Chương Liên phân số tắc Trong chương này, nhắc lại sơ lược khái niệm liên phân số tắc số tính chất liên phân số 1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Liên phân số tắc (hay cịn gọi phân số liên tục tắc) biểu thức có dạng x = a0 + (1.1) a1 + a2 + a3 + a0 số nguyên không âm tất số an số nguyên dương Liên phân số biểu diễn xác số thực Dạng tổng quát liên phân số b1 x = a0 + b2 a1 + a2 + b3 a3 + bn số nguyên dương Mọi số thực biểu diễn dạng liên phân số tắc Cách biểu diễn số thực dạng liên phân số cho ta nhiều đặc trưng thú vị Chẳng hạn, với liên phân số dạng tắc nêu định nghĩa trên, ta có x số hữu tỷ dãy {an }n≥1 dãy hữu hạn; dãy {an }n≥1 dãy vơ hạn tuần hồn x nghiệm đa thức bậc hai với hệ số nguyên c Để tránh phải viết công thức cồng kềnh, thường viết liên phân số (1.1) dạng: x = a0 + 1 + + + ··· a1 + a2 + a3 + ta viết x = [a0 ; a1 , a2 , a3 , ] 1.2 Thuật toán biểu diễn số thực liên phân số tắc Cho số thực r, ký hiệu i phần nguyên r, f phần thập phân r Biểu diễn liên phân số r [i; a1 , a2 , ], [a1 ; a2 , ] dạng biểu diễn liên phân số 1/f Nếu f = thuật tốn dừng lại, trường hợp f khác 0, ta lặp lại bước với r thay 1/f Ví dụ 1.2 Xét số 415 , phần nguyên phân số 4, phần lẻ số 93 43 xấp xỉ , ta muốn giữ nguyên tử số thay mẫu số số 93 khác, xác + , viết 43 43 415 1 =4+ =4+ =4+ =4+ =4+ 93 1 93 93 2+ 2+ 2+ 43 43 43 6+ 7 Như vậy, ta có 1.3 415 = [4; 2, 6, 7] 93 Liên phân số hữu hạn, liên phân số vô hạn Liên phân số hữu hạn biểu diễn số hữu tỉ Ngược lại, số hữu tỉ biểu diễn liên phân số hữu hạn theo cách: cách thứ nhất, thuật toán nêu phần thuật toán biểu diễn số thực liên phân số, ta liên phân số [a0 ; a1 , a2 , , an−1 , an ]; cách thứ hai, từ biểu diễn cách thứ nhất, ta bớt đơn vị thành phần cuối, thêm vào sau thành phần 1: [a0 ; a1 , a2 , , an−1 , an − 1, 1] c Ví dụ 1.3 Thực thuật tốn nêu Mục 1.2, ta có: 2.25 = + 1/4 = [2; 4] = [2; 3, 1], −4.2 = −5 + 4/5 = [−5; 1, 4] = [−5; 1, 3, 1] Như vậy, liên phân số vô hạn số vô tỉ hiển nhiên số vô tỉ biểu diễn dạng liên phân số vô hạn Trong đó, đáng ý liên phân số vơ hạn tuần hồn ln nghiệm đa thức bậc hai với hệ số nguyên ngược lại √ nghiệm đa thức bậc hai x2 − −27 1√ [0; 2, 3, 4, 2, 3, 4, 2, 3, 4, ] = + 1093 nghiệm đa thức bậc hai 14 14 7x2 + 27x − 13 Ví dụ 1.4 [1; 2, 2, 2, 2, 2, 2, ] = 1.4 Dãy giản phân số thực Cho số thực r có dạng liên phân số [a0 ; a1 , a2 , , an−1 , an , ] (có thể hữu hạn vơ hạn) Từ cơng thức biểu diễn trên, xây dựng dãy số hữu tỉ (hữu hạn vô hạn) hội tụ đến r, dãy gọi dãy giản phân: a0 h0 = k0 1 a0 a1 + h1 = [a0 ; a1 ] = a0 + = k1 a1 a1 h2 a2 (a1 a0 + 1) + a0 = k2 a2 a1 + h3 a3 (a2 (a1 a0 + 1) + a0 ) + (a1 a0 + 1) = k3 a3 (a2 a1 + 1) + a1 hn = [a0 ; a1 , a2 , , an−1 , an ] kn Đặt rn = hn kn Ví dụ 1.5 Dãy giản phân 0.84375 (dạng liên phân số [0; 1, 5, 2, 2]): [0; 1] [0; 1, 3] [0; 1, 4] [0; 1, 5] [0; 1, 5, 2, 1] [0; 1, 5, 2, 1] [0; 1, 5, 2, 2] 4 5 11 13 16 19 27 32 c 1.5 Liên phân số nghịch đảo Cho số hữu tỷ dương r, biết dạng liên phân số [a0 ; a1 , a2 , a3 , , an−1 , an ] yêu cầu đặt tìm dạng liên phân số nghịch đảo 1/r Xét trường hợp: • r > 1, tức a0 ≥ liên phân số 1/r là: [0; a0 , a1 , a2 , a3 , , an−1 , an ] • < r < 1, tức a0 = liên phân số 1/r là: [a1 ; a2 , a3 , , an−1 , an ] Ví dụ 1.6 2.25 = = [2; 4], 15 = [0; 1, 7, 2] 17 c = = [0; 2, 4] 2.25 17 = [1; 7, 2] 15 Chương Liên phân số với tử số nguyên dương Trong Mục 2.1 chương này, chúng tơi trình bày lại kết khai triển cfN Ta thấy số thực dương x0 có khai triển cfN Hơn nữa, N > số hữu tỷ có khai triển cfN hữu hạn vơ hạn; N > có khai triển khơng tuần hồn Nếu N > 1, số vơ tỷ bậc hai có khai triển tuần hồn khơng tuần hồn Ở sử dụng ngơn ngữ ký hiệu chuẩn: x0 = [a0 , a1 , a2 , ]N tuần hoàn theo chu kỳ k từ i = m ai+k = với i ≥ m, trường hợp viết x0 = [a0 , , am−1 , am , , am+k−1 ]N Chúng tơi trình bày lại khái niệm khai triển cfN tốt số thực x0 , ký hiệu x0 = [[a0 , a1 , a2 , ]]N Trong Mục 2.2, thấy rằng, với N > 1, số vô tỷ bậc hai có khai triển tuần hồn cfN Lý thuyết liên phân số cổ điển liên quan mật thiết đến phương trình Pell, Mục 2.3 trình bày lại kết tương tự trường hợp N > 2.1 Một số kết Trong mục chúng tơi trình bày lại kết Anselm Weintraub [2] liên phân số với tử số nguyên dương, tức tổng quát liên phân số tắc, “tử số” thay số nguyên dương N tùy ý c ... lược liên phân số tắc Chương Liên phân số với tử số nguyên dương Chương trình bày lại kết Anselm Weintraub liên phân số với tử số nguyên dương Chương Liên phân số với tử số không nguyên Chương trình... Anselm Weintraub [2] liên phân số với tử số nguyên dương, tức tổng quát liên phân số tắc, ? ?tử số? ?? thay số nguyên dương N tùy ý c Cho N số nguyên dương tùy ý, xét liên phân số dạng N a0 + N a1... Chương Liên phân số tắc 1.1 Định nghĩa 1.2 Thuật tốn biểu diễn số thực liên phân số tắc 1.3 Liên phân số hữu hạn, liên phân số vô hạn 1.4 Dãy giản phân số thực