ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LƯƠNG THÚY NGA LÝ THUYẾT VÀNH TRONG MÁY TÍNH LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP THẠC SĨ Thái Nguyên, năm 2015 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LƯƠNG THÚY NGA LÝ[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LƯƠNG THÚY NGA LÝ THUYẾT VÀNH TRONG MÁY TÍNH LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP THẠC SĨ Thái Nguyên, năm 2015 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LƯƠNG THÚY NGA LÝ THUYẾT VÀNH TRONG MÁY TÍNH Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số:62.46.01.04 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP THẠC SĨ Người hướng dẫn khoa học TS HOÀNG LÊ TRƯỜNG Thái Nguyên, năm 2015 c LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, ngày 10 tháng năm 2015 Người viết luận văn Lương Thúy Nga Xác nhận khoa Toán Xác nhận người hướng dẫn khoa học TS Hoàng Lê Trường i c LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc tới TS Hoàng Lê Trường (Viện Toán học Việt Nam), thầy người trực tiếp hướng dẫn, tận tình bảo, giúp đỡ động viên tơi suốt q trình nghiên cứu hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo phòng sau Đại học, quý thầy khoa Tốn, bạn học viên lớp cao học Toán k21b tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình học tập nghiên cứu trường Qua đây, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới người thân gia đình, bạn bè ln động viên khích lệ tơi suốt q trình hồn thành khóa học Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khơng tránh khỏi sai sót hạn chế Tơi mong nhận ý kiến đóng góp quý báu thầy cô bạn bè để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 10 tháng năm 2015 Người viết luận văn Lương Thúy Nga ii c Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu Chương Giới thiệu mật mã 1.1 Tính chia hết ước chung lớn 1.2 Số học mô-đun 1.2.1 Số học mô-đun thay đổi mật mã 12 1.2.2 Thuật toán lũy thừa nhanh 13 1.3 Số nguyên tố, phân tích trường hữu hạn 15 1.4 Lũy thừa nguyên thủy trường hữu hạn 18 1.5 Thuật tốn mã hóa đối xứng khơng đối xứng 21 1.5.1 Thuật tốn mã hóa đối xứng 22 1.5.2 Các chương trình mã hóa 23 1.5.3 Mã hóa đối xứng khối mã hóa 24 1.5.4 Các ví dụ thuật tốn mã hóa đối xứng 25 1.5.5 Dãy bit ngẫu nhiên thuật tốn mã hóa đối xứng 28 1.5.6 Thuật tốn mã hóa bất đối xứng 29 iii c Chương Logarit rời rạc Diffie-Hellman 32 2.1 Các toán logarit rời rạc 32 2.2 Trao đổi khóa Diffie-Hellman 34 2.3 Hệ thống mật mã khóa cơng khai ElGamal 36 2.4 Tổng quan lý thuyết nhóm 39 2.5 Bài tốn logarit rời rạc khó nào? 42 2.6 Thuật toán gặp gỡ cho toán DLP 45 2.7 Định lý thặng dư Trung Hoa 48 2.8 Các thuật toán Pohlig-Hellman 51 2.9 Vành, vành thương, vành đa thức, trường hữu hạn 56 2.9.1 Tổng quan lý thuyết vành 57 2.9.2 Quan hệ chia hết vành thương 58 2.9.3 Vành đa thức thuật toán Euclid 60 2.9.4 Thương vành đa thức trường hữu hạn cấp lũy thừa nguyên tố 64 Trích dẫn 68 Kết luận 70 Tài liệu tham khảo 71 iv c MỞ ĐẦU Mật mã khóa cơng khai cho phép hai người trao đổi thơng tin bí mật, họ chưa gặp giao tiếp thông qua kênh thông tin không an toàn bị theo dõi kẻ thù họ Trong hàng nghìn năm trước đó, tất mã thuật tốn mã hóa dựa giả định Bob Alice cố gắng để trao đổi khóa bí mật mà đối thủ họ Eve Bob sử dụng khóa bí mật để mã hóa thơng điệp Alice sử dụng khóa bí mật tương tự để giải mã thơng điệp Eve khơng biết khóa bí mật nên khơng thực việc giải mã Một bất lợi hệ thống mã hóa bí mật Bob Alice cần trao đổi khóa bí mật trước họ bắt đầu mã hóa giải mã thông điệp Trong năm 1970, ý tưởng đáng kinh ngạc mật mã khóa cơng khai bùng nổ Việc tạo mật mã khóa cơng khai bởi Diffie Hellman vào năm 1976 phát minh hệ thống mật mã khóa cơng khai RSA Rivest, Shamir Adleman năm 1978 kiện bước ngoặt lịch sử thơng tin liên lạc bí mật Trong hệ thống mật mã khóa cơng khai, Alice có hai khóa khóa cơng khai Kpup khóa riêng Kpri Alice cơng khai khóa Kpup Adam, Bob, Carl người sử Kpup để mã hóa thơng điệp, sau gửi thơng điệp mã hóa cho Alice Ý tưởng mật mã khóa cơng khai tất người giới biết Kpup sử dụng Kpup để mã hóa thơng điệp Alice biết khóa riêng Kpri giải mã thơng điệp Bob gửi thơng điệp mã hóa cho Alice họ khơng tiếp xúc trực tiếp Mật mã khóa cơng khai dựa nhiều lĩnh vực tốn học, đặc biệt lý thuyết số đại số trừu tượng (nhóm, vành, trường ) Mục tiêu luận văn bước đầu giới thiệu lý thuyết mật mã khóa cơng khai ý tưởng tốn học lý thuyết Luận văn chia làm hai chương Trong chương một, chúng tơi trình bày số kiến thức sở tính chia hết, ước chung lớn nhất, môđun số học, số nguyên tố, phân tích nhất, lũy thừa nguyên thủy trường hữu hạn, mật mã đối xứng bất đối xứng Đây công cụ dùng cho định nghĩa chứng minh chương hai Chương hai dành để trình bày mật mã khóa cơng khai với tốn logarit rời rạc tốn trao đổi khóa Deffine-Hellman Trong phần chúng tơi cịn giới thiệu hệ thống mật mã khóa cơng khai ElGamal, thuật tốn Pohlig-Hellman thuật tốn gặp gỡ Phần cuối chương chúng tơi trình bày lại số tính chất vành, vành thương, vành đa thức trường hữu hạn với tốn định lí c thặng dư Trung Hoa Vì điều kiện thời gian có hạn nên luận văn cịn nhiều thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý thầy cơ, bạn học viên , độc giả quan tâm để luận văn hoàn thiện Thái Nguyên, ngày 10 tháng năm 2015 Người viết luận văn Lương Thúy Nga c Chương Giới thiệu mật mã Nhiều ngành mật mã học đại xây dựng sở móng đại số lý thuyết số Vì trước tìm hiểu lý thuyết mật mã, cần phát triển số công cụ quan trọng Trong chương một, bắt đầu phát triển việc mô tả chứng minh kết từ đại số lý thuyết số 1.1 Tính chia hết ước chung lớn Ở mức độ sở nhất, Lý thuyết số việc nghiên cứu số tự nhiên 1, 2, 3, 4, 5, 6, · · · , hay tổng quát nghiên cứu số nguyên · · · , −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, · · · Tập hợp số nguyên ký hiệu Z Các số nguyên cộng, trừ nhân theo cách thông thường, thỏa mãn tất tính chất thơng thường số học (tính chất giao hốn, tính chất kết hợp, tính chất phân phối, ) Tập hợp số nguyên với tính chất phép cộng phép nhân ví dụ vành Nếu a b số nguyên, ta cộng a + b, trừ a − b nhân a · b Trong trường hợp, kết số nguyên Tuy nhiên, muốn kết số nguyên, luôn chia số nguyên số nguyên khác Ví dụ, khơng thể chia 2, khơng có số nguyên 32 Từ dẫn đến khái niệm tính chia hết Định nghĩa 1.1.1 Cho a b số nguyên với b 6= Ta nói b chia hết a, hay a chia hết b, có số nguyên c cho a = bc Ta viết b | a thay cho b chia hết a Nếu b khơng chia hết a, ta viết b - a c Ví dụ 1.1.2 Ta có | 20, 20 = · 4, - 20, 20 = · + 2, 20 bội Nhận xét 1.1.3 Mỗi số nguyên chia hết Những số nguyên chia hết gọi số chẵn, số nguyên không chia hết gọi số lẻ Mệnh đề 1.1.4 Cho a, b, c số nguyên Khi đó, mệnh đề sau Nếu a | b b | c, a | c Nếu a | b b | a, a = ±b Nếu a | b, a | c, a | (b + c) a | (b − c) Chứng minh Vì a | b b | c nên tồn a1 ∈ Z b1 ∈ Z cho b = aa1 c = bb1 Ta có c = (aa1 )b1 = a(a1 b1 ), a | c Vì a | b b | a nên tồn a1 , b1 ∈ Z cho b = aa1 a = bb1 Ta có b = (bb1 )a1 = b(b1 a1 ) Do a1 b1 = a1 = b1 = ±1 Vậy a = ±b Vì a | b b | c nên tồn a1 , a2 ∈ Z cho b = aa1 c = aa2 Do b + c = a(a1 + a2 ) b − c = a(a1 − a2 ) Vậy a | (b + c) a | (b − c) Định nghĩa 1.1.5 Ước chung hai số nguyên a b số nguyên dương d chia hết a b Ước chung lớn a b số nguyên dương lớn d cho d | a d | b Ước chung lớn a b kí hiệu gcd(a, b) hay (a, b) (Nếu a b 0, gcd(a, b) khơng xác định.) Ví dụ 1.1.6 Ước chung lớn 12 18 6.Tương tự ta có, ước chung lớn 748 2024 24 Một cách kiểm tra liệt kê tất ước nguyên dương 748 2024 Ước 748 = {1, 2, 4, 11, 17, 22, 34, 44, 68, 187, 374, 748} Ước 2024 = {1, 2, 4, 8, 11, 22, 23, 44, 46, 88, 92, 184, 253, 506, 1012, 2024} Kiểm tra hai dãy trên, ta thấy ước chung lớn 748 2024 44 Từ ví dụ ta thấy, khơng phải phương pháp hiệu Nếu cần tính ước chung lớn số lớn, ta phải tìm phương pháp khác hiệu Chìa khóa để tìm thuật tốn hiệu cho việc tính ước chung lớn phép chia có dư Do a b số nguyên dương chia a b, thương q số dư r, phần dư r nhỏ b Ví dụ 230 chia 17, ta thương 13 với số dư 9, tức 230 = 17 · 13 + 9, với số dư nhỏ thực số chia 17 c ... NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LƯƠNG THÚY NGA LÝ THUYẾT VÀNH TRONG MÁY TÍNH Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số:62.46.01.04 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP THẠC SĨ Người hướng dẫn khoa học TS HOÀNG LÊ TRƯỜNG... đặc biệt lý thuyết số đại số trừu tượng (nhóm, vành, trường ) Mục tiêu luận văn bước đầu giới thiệu lý thuyết mật mã khóa cơng khai ý tưởng tốn học lý thuyết Luận văn chia làm hai chương Trong chương... Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên,