Đang tải... (xem toàn văn)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— ĐÀO THỊ HOÀI THƯƠNG CƠ SỞ GRÖBNER TRONG HÌNH HỌC NHIỆT ĐỚI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên – 2016 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI H[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— O TH HOI THNG ă C S GROBNER TRONG HèNH HỌC NHIỆT ĐỚI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên – 2016 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HC S PHM O TH HOI THNG ă C SỞ GROBNER TRONG HÌNH HỌC NHIỆT ĐỚI Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS HOÀNG LÊ TRƯỜNG Thái Nguyên – 2016 c Lời cam đoan Tơi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực, không trùng lặp với đề tài khác thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2016 Người viết luận văn Đào Thị Hoài Thương i c Lời cảm ơn Luận văn hồn thành khóa 22 đào tạo Thạc sĩ trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên, hướng dẫn TS Hoàng Lê Trường, Viện Tốn học Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới thầy hướng dẫn, người tạo cho phương pháp nghiên cứu khoa học, tinh thần làm việc nghiêm túc dành nhiều thời gian, cơng sức hướng dẫn tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc tới thầy cô giáo trường Đại học Thái Ngun, Viện Tốn học, người tận tình giảng dạy, khích lệ, động viên tơi vượt qua khó khăn học tập Tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ suốt thời gian học tập Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, người thân bạn bè động viên, ủng hộ tơi để tơi hồn thành tốt khóa học luận văn Thái Ngun, tháng năm 2016 Người viết luận văn Đào Thị Hoài Thương ii c Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Vành phân bậc 1.2 Tập lồi Cơ s Gră obner Hỡnh hc Nhit i 13 2.1 Định giá 13 2.2 C s Grăobner 16 2.3 Phc Grăobner 30 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 iii c Mở đầu Một lí cho thành cơng gần hình học nhiệt đới dễ hình dung Điều phần lớn chúng rời rạc, đối tượng có cấu trúc tổ hợp phức đa diện Mục đích luận văn để giải thích nguồn gốc cấu trúc phức đa diện hình học nhiệt đới quan điểm Grăobner i s giao hoỏn Trong lun ny, làm việc trường K cố định với định giá không âm val : K ∗ → R, K ∗ = K − {0} Kí hiệu R = {a ∈ K : val(a) ≥ 0} vành định giá K Vành R vành địa phương với iđêan cực đại mval = {a ∈ K | val(a) > 0} trường thặng dư k = R/m Với a ∈ R ta kí hiệu a ¯ ảnh a k Đặt Γval ⊆ R ảnh định giá val Nếu Γval 6= {0} giả sử ∈ Γval ; điều đảm bảo cách thay val bội dương Giả sử K đầy đủ nhiều trường hợp K đóng đại số Khi có định nghĩa sau Định nghĩa 0.0.1 Cho f = X ±1 cu xu ∈ K[x±1 , , xn ], tập Trop(V (f )) u∈Zn quỹ tích phi tuyến hàm tuyến tính phần Trop(f ) cho Trop(f )(w) = minn (val(cu ) + w · u), tức hàm Trop(f )(w) đạt cực tiểu u∈Z hai điểm u khác Cho đa tạp xuyến X ⊆ T n ∼ = (K ∗ )n Đa tạp nhiệt c đới X \ Trop(X) = Trop(V (f )), f ∈I(X) ±1 K[x±1 , , xn ] ⊇ I(X) = {f | f (x) = với x ∈ X} Định lý hình học nhiệt đới sau Định lý 0.0.2 Cho X ⊆ T n ∼ = (K ∗ )n , K = K , tập Trop(X) bao đóng tôpô Euclid Rn tập val(X) = {(val(x1 ), , val(xn )) ∈ Rn | x = (x1 , , xn ) ∈ X} Giả sử tồn chẻ định giá Đó đồng cấu nhóm Γval → K ∗ từ w ∈ Γval đến tw ∈ K ∗ với val(tw ) = w Nếu K trường chuỗi Puiseux C{{t}} với hệ số C chẻ để w ∈ Q đến tw ∈ C{{t}} Nếu K = Qp chẻ để w ∈ Z đến pw Nếu K đóng đại số chẻ ln tồn tại; xem [9, Bổ đề 2.1.13] Với trường K với định giá chẻ val, quỹ tích phi tuyến hàm ±1 Trop(f ), với f ∈ K[x±1 , , xn ] quỹ tích w đạt nhỏ nhất hai lần, bao đóng tập w mà inw (f ) không đơn thức Trong trường hợp đa tạp X , định giá K không tầm thường Trop(X) mơ tả bao đóng w ∈ Γnval mà inw (I(X)) 6= h1i Hơn nữa, đa tạp nhiệt đới cịn có cấu trúc phức đa diện Để mơ tả cấu trúc quỹ tích phi tuyến Trop(X), cần sử dụng lí thuyết s Grăobner i vi cỏc iờan thun nht vnh đa thức Mục đích luận văn mơ t ng dng ca lớ thuyt c s Grăobner định nghĩa đa tạp nhiệt đới Luận văn chia làm hai chương: Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị vành phân bậc, định c lý đa diện lồi, phức đa diện Chương trình bày cụ thể khái niệm định giá, nhit i húa t ú xõy dng c s Grăobner v phc Grăobner c Chng Kin thc chun bị Trong chương này, chúng tơi trình bày lại số kiến thức vành phân bậc; định nghĩa định lý đa diện lồi cần thiết cho việc trình bày nội dung chương 1.1 Vành phân bậc Định nghĩa 1.1.1 i) Một vành phân bậc R vành giao hoán, có đơn vị thỏa mãn tính chất ∞ M 1) R = Rn tổng trực tiếp nhóm Abel Rn phép cộng; n=0 2) Rn Rm ⊆ Rm+n , với m, n ≥ M ii) Cho R = Rn vành phân bậc Một R−môđun M gọi môđun n≥0 phân bậc thỏa mãn điều kiện sau M 1) M = Mn tổng trực tiếp nhóm Abel Mn phép n≥0 cộng; 2) Rn Mm ⊆ Mn+m , với m, n ≥ c Ví dụ 1.1.2 i) Cho R vành Khi R vành phân bậc với phân bậc tầm thường R= ∞ M Rn , R0 = R, Ri = với n ≥ n=0 Tương tự, cho M R−mơđun Khi M R−mơđun phân bậc với cấu trúc phân bậc tầm thường M= ∞ M Mn , M0 = M, M1 = với n ≥ n=0 ii) Cho A = R[x1 , , xk ] vành đa thức k biến, có hệ số vành R ∞ M Khi A vành phân bậc với phân bậc chuẩn tắc sau A = An , n=0 A0 = R, với n ≥ 1, An = {f (x1 , , xk ) ∈ A | f (x) đa thức bậc n} Lưu ý đa thức bậc d đa thức có đạng f (x) = P aα xα kαk=d Định nghĩa 1.1.3 Nếu M môđun phân bậc vành phân bậc R gọi phần tử x Ri (hoặc Mi ) phần tử bậc i Kí hiệu deg(x) = i Định nghĩa 1.1.4 Iđêan I ⊂ K[x0 , , xn ] có tập sinh đa thức Ví dụ 1.1.5 Cho trường K vành đa thức R = K[x, y, z] với phân bậc chuẩn tắc Khi i) I1 = hxn + y n − z n i iđêan R ii) I2 = hx + y i không iđêan R c ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— O TH HOI THNG ă C S GROBNER TRONG HèNH HỌC NHIỆT ĐỚI Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC... Người viết luận văn Đào Thị Hoài Thương i c Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành khóa 22 đào tạo Thạc sĩ trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên, hướng dẫn TS Hồng Lê Trường, Viện Tốn học Tơi xin... cho thành cơng gần hình học nhiệt đới dễ hình dung Điều phần lớn chúng rời rạc, đối tượng có cấu trúc tổ hợp phức đa diện Mục đích luận văn để giải thích nguồn gốc cấu trúc phức đa diện hình hc