ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HOÀNG THỊ KIM HUẾ BÀI TOÁN CÂN BẰNG ĐA TRỊ LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Chuyên ngành TOÁN GIẢI TÍCH Mã số 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học PGS[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỒNG THỊ KIM HUẾ BÀI TỐN CÂN BẰNG ĐA TRỊ LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Chuyên ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 Người hướng dẫn khoa học PGS TSKH NGUYỄN BÁ MINH HÀ NỘI- 2013 z Mục lục Mở đầu 2 Một số tính chất ánh xạ đa trị theo nón 1.1 Khái niệm nón 1.2 Khái niệm điểm hữu hiệu 1.3 Tính liên tục theo nón ánh xạ đa trị 1.4 Tính lồi theo nón ánh xạ đa trị 1.5 Tính Lipschitz theo nón ánh xạ đa trị Bài toán cân vectơ đa trị 2.1 Bài tốn cân vơ hướng tốn liên quan 2.1.1 Bài toán cân vô hướng 2.1.2 Một số toán liên quan 2.1.3 Sự tồn nghiệm tốn cân vơ hướng 2.2 Bài tốn điểm cân véctơ đa trị 2.2.1 Bài toán điểm cân véctơ đa trị 2.2.2 Sự tồn nghiệm toán điểm cân véctơ đa 2.3 Ứng dụng toán cân đa trị vào số toán 2.3.1 Sự tồn điểm hữu hiệu tập hợp 2.3.2 Sự tồn nghiệm toán tối ưu véctơ 2.3.3 Sự tồn nghiệm toán điểm yên ngựa 2.3.4 Sự tồn điểm cân Nash Kết luận Tài liệu tham khảo z trị 4 18 25 37 37 37 38 40 47 47 50 59 59 60 62 65 68 69 Mở đầu Ánh xạ đa trị xuất sở toán thực tế kinh tế, kỹ thuật yêu cầu phát triển nội nhiều lĩnh vực Toán học Lý thuyết toán cân đa trị, phát triển mạnh mẽ nhiều thập kỷ gần Nhiều nhà tốn học ngồi nước có đóng góp quan trọng lĩnh vực Đối với toán học, toán điểm cân biết đến từ lâu cơng trình Arrow - Debreu([8]), Nash([7]), Sau toán phát biểu ngắn gọn sau: Tìm x ∈ K để f (x, y) > với y ∈ K K tập cho trước không gian, f : K × K −→ R hàm số với f (x, x) = với x ∈ K Bài toán bao gồm toán : tối ưu, cân Nash, toán điểm yên ngựa, toán bù, Blum Oettli ([6]) nghiên cứu f có dạng f = g + h g thỏa mãn điều kiện định lý Browder - Minty ([9]) h thỏa mãn điều kiện Định lý Ky Fan ([10]) Năm 1991, Blum Oettli([6]) phát biểu toán cân tổng quát tìm cách liên kết tốn Ky Fan Browder - Minty với thành dạng chung cho hai Sau N.X.Tấn P.N.Tĩnh mở rộng kết Blum Oettli cho trường hợp f hàm véctơ Luận văn trình bày"Bài tốn cân đa trị" dựa hai báo : "On the continuity of vector convex multivalued functions Acta Math Vietnam 27 (2002), no, 1, 13-25" "Some sufficient conditions for the existence of equilibrium points concering multivalued mappings, Vietnam J Math.28:4(2000), 295 - 310" tác giả Nguyễn Bá Minh Nguyễn Xuân Tấn Luận văn gồm phần mở đầu , phần kết luận, danh mục tài liệu tham khảo hai chương với nội dung sau Chương 1:" Một số tính chất ánh xạ đa trị theo nón " trình bày khái niệm, tính chất nón, điểm hữu hiệu khơng gian tơpơ tuyến tính, khái niệm tính liên tục, tính lồi, tính Lipschitz theo nón ánh xạ đa trị Đồng z thời tập hợp kết nghiên cứu điều kiện cần đủ để ánh xạ đa trị C- liên tục trên, C- liên tục dưới, mối liên hệ tính liên tục, tính lồi ánh xạ đa trị với tính liên tục, tính lồi hàm vơ hướng mối liên hệ tính liên tục, tính lồi với tính Lipschitz địa phương Chương 2:" Bài toán cân véctơ đa trị " trình bày tốn cân đa trị số ứng dụng Phần đầu chương trình bày tốn cân vơ hướng Blum-Oettli, toán đưa toán cân vơ hướng điều kiện đủ để tốn cân vô hướng tồn điểm cân Nội dung luận văn trình bày tốn cân đa trị dạng F = G + H G ánh xạ đa trị, H ánh xạ đơn trị với tính chất khác điều kiện đủ để toán cân đa trị có điểm cân (cân yếu) Cuối chương ứng dụng toán cân đa trị với toán liên quan toán điểm hữu hiệu tập hợp, toán tối ưu véctơ, toán điểm yên ngựa véctơ toán cân Nash véctơ Luận văn hoàn thành trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên - Đại Học Quốc Gia Hà Nội , hướng dẫn PGS.TSKH Nguyễn Bá Minh Tác giả chân thành cảm ơn thầy Minh tận tình hướng dẫn, bảo giúp đỡ tác giả thực nghiên cứu theo đề tài luận văn Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn thầy giáo, giáo Ban Giám Hiệu, Ban Chủ Nhiệm Khoa Toán - Tin trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên bạn bè đồng nghiệp quan tâm, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho tác giả học tập nghiên cứu Do trình độ thời gian cịn nhiều hạn chế nên luận văn không tránh thiếu xót Vì tác giả mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo, giáo bạn bè để tác giả hoàn thiện tốt luận văn Tác giả chân thành cảm ơn! z Chương Một số tính chất ánh xạ đa trị theo nón Chương trình bày số khái niệm, tính chất nón, điểm hữu hiệu khơng gian tơpơ tuyến tính, tính liên tục, tính lồi, tính Lipschitz theo nón ánh xạ đa trị Phần đầu chương, nghiên cứu khái niệm, tính chất nón khái niệm điểm hữu hiệu Tiếp theo mở rộng định lý Banach- Steihaus cho họ hàm lồi, lõm không gian thùng dựa vào để xây dựng điều kiện cần đủ tính C- liên tục ánh xạ đa trị Tính Cliên tục yếu ánh xạ đa trị xét tới ta thấy điều kiện để ánh xạ đa trị C- liên tục (dưới) yếu, mở rộng trường hợp vô hướng: hàm lồi nửa liên tục từ khơng gian tơpơ tuyến tính lồi địa phương Hausdorff vào khơng gian số thực nửa liên tục theo tôpô yếu Một số điều kiện liên hệ tính C- liên tục C- liên tục ánh xạ đa trị lồi (lõm) theo nón C trình bày chương Phần cuối chương, ta trình bày số điều kiện để ánh xạ đa trị Lipschitz địa phương theo nón, mối liên hệ tính Lipschitz địa phương với tính lồi, tính liên tục Chương viết dựa sách ([1]) báo ([4]) 1.1 Khái niệm nón Trong tối ưu hóa khái niệm nón có vai trị quan trọng Từ khái niệm, nón ta tập hợp nghiên cứu điểm hữu hiệu tập hợp, tính lồi, tính liên tục tính Lipchitz ánh xạ đa trị theo nón Định nghĩa 1.1.1 Cho Y khơng gian tuyến tính C ⊆ Y C nón có đỉnh gốc Y tc ∈ C, với c ∈ C, t > Nón có đỉnh gốc gọi ngắn gọn nón Nón C gọi nón lồi C tập lồi Nón C gọi nón đóng C tập đóng Giả sử C nón khơng gian tơpơ tuyến tính Y Ta có kí hiệu sau: clC : bao đóng nón C , z intC : phần nón C , convC : bao lồi C , l(C) = C ∩ (−C) Nón C gọi nón nhọn l(C) = {0} Nón C gọi nón sắc cl(C) nón nhọn Nón C gọi nón cl(C) + C\cl(C) ⊆ C Ta xây dựng quan hệ thứ tự phần Y với nón C sau: Với x, y ∈ Y x ≥ y x − y ∈ C x > y x − y ∈ C\l(C) x y x − y ∈ intC Quan hệ thứ tự có tính chất phản xạ, phản đối xứng bắc cầu Nếu C nón lồi quan hệ thứ tự tuyến tính nên quan hệ thứ tự phần Y Nếu C nón nhọn quan hệ có tính chất phản đối xứng tức x ≥ y, y ≥ x x = y Tiếp theo ta minh họa số ví dụ số khơng gian Ví dụ 1.1.1 1, [0], Y nón Y gọi nón tầm thường 2, Tập nghiệm hệ bất phương trình tuyến tính có dạng: C := {x|Ax ≥ 0}(Với A ma trận thực cấp hữu hạn (số dòng số cột hữu hạn)) nón lồi đa diện P 3, Cho Y = Lp = (x1 , x2 , )| pi=1 |xi |p < ∞ với ≤ p < ∞ Lấy C = {x ∈ Lp |xi ≥ 0, i = 1, } C nón lồi, nhọn Thật vậy: C nón ∀c ∈ C ⇒ c = (c1 , c2 , ) , ci ≥ 0, i = 1, 2, Do đó: với ∀t ≥ ta có: tc = (tc1 , tc2 , ) , tci ≥ ⇒ tc ∈ C, ∀c ∈ C, t ≥ 0; C lồi với x = (x1 , x2 , ) ∈ Lp , xi ≥ 0, y = (y1 , y2 , ) ∈ Lp , yi ≥ 0, i = 1, 2, ⇒ ∀α ∈ (0, 1) αxi + (1 − α)yi ≥ ⇒ αx + (1 − α)y ≥ 0; C nón nhọn (−C) = {x ∈ Lp |xi ≤ 0, i = 1, } ⇒ l(C) = C ∩ (−C) = {0} 4, Cho Y = Rn = {x = (x1 , x2 , , xn )|xj ∈ R, j = 1, , n} n = {y = (y , y , , y )|y ≥ 0, j = 1, , n} C nón lồi, đóng, Lấy C = R+ n j nhọn gọi nón Othor dương Quan hệ thứ tự C xác định sau: Cho x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn , y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn x ≥ y xj ≥ yj với ∀j = 1, , n; Nếu nón C = {x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn |x1 ≥ 0} C nón lồi, đóng khơng nhọn Vì (l(C) = {x = (0, x2 , , xn ) ∈ Rn } = {0}) z 5, Cho Y = Rn = {x = (x1 , x2 , , xn )|xj ∈ R, j = 1, , n} Giả sử tập lồi C cho C := x ∈ Rn |< aj , x >≤ bj , j = 1, , m Với x ∈ C , đặt J(x) = j |< aj , x >= b gọi tập số tích cực x Khi TC (x) = y ∈ Rn |< aj , y >≤ 0, j ∈ J(x) nón gọi nón tiếp xúc; P NC (x) = cone(aj , j ∈ J(x)) = y = hj aj : hj ≥ nón lồi, đóng; j∈J(x) NC (x) gọi nón pháp tuyến Tiếp theo ta nhắc lại khái niệm tập sinh, sở nón Cho Y khơng gian tuyến tính, B ⊆ Y , C nón Y Tập B gọi tập sinh nón C C = {tb | b ∈ B, t ≥ 0} Kí hiệu: C = cone(B) Nếu B khơng chứa gốc O với c ∈ C, c 6= 0, tồn b ∈ B, t > cho: c = tb Khi B gọi sở nón C Tính chất nón có sở lồi, đóng, giới nội khơng gian tơpơ tuyến tính Hausdorff nêu mệnh đề sau: Mệnh đề 1.1.1.([2, Ch.1.Mệnh đề 1.8]).Nếu C nón có lồi, đóng, giới nội với lân cận W điểm gốc Y tồn lân cận V cho (V + C) ∩ (V − C) ⊆ W Khái niệm nón cực nhắc lại sau: Cho nón C khơng gian tuyến tính Y Gọi Y ∗ khơng gian tơpơ đối ngẫu Y Nón cực C C định nghĩa sau: C := {ξ ∈ Y ∗ |< ξ, c >≥ 0, với c ∈ C} Nhận thấy C nón lồi, đóng Y ∗ với tơpơ yếu* σ(Y, Y ∗ ) Cho nón nhọn C , kí hiệu (C )+ := {ξ ∈ Y ∗ |< ξ, c >> 0, c ∈ C\{0}} Mệnh đề sau cho ta điều kiện cần đủ để tập lồi B sở nón C Mệnh đề 1.1.2.([2, Ch1.Mệnh đề 1.10]) Trong khơng gian tơpơ tuyến tính Haus0 dorff Y tập lồi B sở nón C tồn ξ ∈ (C )+ cho B = {ξ ∈ C |< ξ, c >= 1} 1.2 Khái niệm điểm hữu hiệu Khái niệm hữu hiệu khái niệm quan trọng lí thuyết tối ưu Trong mục nhắc lại khái niệm điểm hữu hiệu z Định nghĩa 1.2.1 Cho Y khơng gian tơpơ tuyến tính với thứ tự sinh nón lồi C A tập khác rỗng Y Ta nói i, Điểm x ∈ A điểm hữu hiệu lý tưởng tập A nón C (y − x) ∈ C, ∀y ∈ A Tập điểm hữu hiệu lý tưởng A nón C kí hiệu là: IM in(A\C) IM inA ii, Điểm x ∈ A điểm hữu hiệu Pareto(cực tiểu Pareto) A nón C khơng tồn y ∈ A để (x − y) ∈ C\l(C).Tập điểm hữu hiệu Pareto A nón C kí hiệu là: P M in(A\C) M in(A\C) M inA iii, Điểm x ∈ A điểm hữu hiệu yếu ( intC 6= ∅ C 6= Y ) A nón C x ∈ Min( A\ {0} ∪intC ) tức x điểm hữu hiệu theo thứ tự sinh nón C0 = {0} ∪intC Kí hiệu: W M in(A\C) W M inA tập điểm hữu hiệu yếu A iv, Điểm x ∈ A gọi điểm hữu hiệu thực A nón C tồn e nón lồi Ce khác Y chứa C\l(C) phần để x ∈ P M in(A\C) Kí hiệu: P rM in(A\C) P rM inA tập điểm hữu hiệu thực A Ví dụ 1.2.1 Trong R2 lấy hai tập A B sau: A = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y ≤ 1, y ≥ 0} ∪ {(x, y) ∈ R2 | x ≤ 0, y ∈ [0, 1]} , B = A ∪ {(2, 2)} lấy thứ tự sinh nón C = R− = {(x1 , x2 ) ∈ R2 | x1 , x2 ≤ 0} Khi M inB = W M inB = {(2, 2)} , M inA = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y = 1, x > 0, y > 0} ∪ {(0, 1), (1, 0)} , W M inA = M inA ∪ {(x, y) ∈ R2 | y = 1, x ≤ 0} Ta nhận thấy khẳng định sau a) x ∈ M inA A ∩ (x − C) ⊂ x + l(C) b) x ∈ W M inA A ∩ (x − intC) = ∅ c) IM inA ⊂ P rM inA ⊆ M inA ⊆ W M inA z 1.3 Tính liên tục theo nón ánh xạ đa trị Cho X, Y hai không gian tôpô Hausdorff Một ánh xạ đa trị F từ X vào Y mà ứng với phần tử x ∈ X cho tập Y kí hiệu: F : X −→ 2Y Miền định nghĩa (miền hữu dụng ) đồ thị F xác định sau domF = {x ∈ X | F (x) 6= ∅} , graphF = {(x, y) ∈ X × Y | y ∈ F (x), x ∈ domF } Khi Y không gian tôpô tuyến tính Hausdorff với nón C , đồ thị F định nghĩa epiF := {(x, y) ∈ X × Y | y ∈ F (x) + C, x ∈ domF } F gọi compắc F (D) tập compắc Y F gọi đóng theo nón C (C- đóng) epiF tập đóng X × Y Cho nón C Y Khi miền định nghĩa domF ánh xạ đa trị F xác định sau: x ∈ domF với lân cận giới nội V Y tồn số ρ > cho F (x) ∩ (ρV − C) 6= ∅ Thật giả sử x ∈ domF Khi F (x) 6= ∅ Do tồn y ∈ F (x) Vì V lân cận giới nội Y nên tồn ρ > cho y ∈ ρV Như F (x) ∩ ρV 6= ∅ Do F (x) ∩ (ρV − C) 6= ∅ Ngược lại giả sử F (x) ∩ (ρV − C) 6= ∅ với ρ > Khi F (x) 6= ∅ Tức x ∈ domF Khi f : X −→ Y ánh xạ đơn trị domf tập tất x ∈ X cho với lân cận giới nội V Y tồn ρ > để f (x) ∈ ρV − C Trường hợp f : X −→ R hàm vơ hướng, C = R+ nón khơng gian tơpơ tuyến tính Hausdorff Y ta có: domf = {x ∈ X | f (x) 6= +∞} Xét ánh xạ đơn trị f : X −→ Y , f gọi liên tục xo ∈ X với tập mở V chứa f (xo ) tồn tập mở U chứa xo cho f (U ) ⊂ V Tiếp theo ta trình bày khái niệm liên tục theo nón ánh xạ đa trị F , Cho X, Y hai khơng gian tơpơ tuyến tính lồi địa phương, D ⊂ X , D 6= ∅ C nón Y F : D −→ 2Y ánh xạ đa trị Định nghĩa 1.3.1 a) F C- liên tục ( C- liên tục dưới) xo ∈ D với lân cận V Y tồn lân cận U xo X cho: z F (x) ⊂ F (xo ) + V + C ( F (xo ) ⊂ F (x) + V − C) với x ∈ U ∩ domF b) F C - liên tục xo F vừa C - liên tục vừa C -liên tục xo F C -liên tục trên, C -liên tục C - liên tục D C - liên tục trên, C - liên tục C - liên tục x ∈ D c) F C - liên tục yếu ( C - liên tục yếu ) xo lân cận U xo định nghĩa lân cận tôpô yếu X Mệnh đề sau cho ta điều kện cần đủ tính liên tục theo nón ánh xạ đa trị ; Mệnh đề 1.3.1.([4, tr.15]) a) Cho F (xo ) tập compắc Y Khi đó: F C - liên tục xo với tập mở G thỏa mãn F (xo ) ⊂ G + C tồn lân cận U xo cho F (x) ⊂ G + C với ∀x ∈ U ∩ domF b) Cho F (xo ) tập compắc Y Khi điều kiện cần đủ để F C - liên tục xo với lân cận V tồn lân cận U xo cho: F (x) ∩ (y + V + C) 6= ∅ với x ∈ U ∩ domF Điều kiện tương đương với điều kiện: Với tập G mở, F (xo ) ∩ (G + C) 6= ∅ tồn lân cận U xo cho: F (x) ∩ (G + C) 6= ∅, với x ∈ U ∩ domF Chứng minh a) Điều kiện cần: Giả sử F C - liên tục xo Ta chứng minh tồn lân cận U xo cho F (x) ⊂ G + C với ∀x ∈ U ∩ domF với G tập mở cho F (xo ) ⊂ G + C Do F (xo ) compắc Y nên tồn lân cận Vo O Y cho F (xo ) + Vo ⊂ G + C Giả sử V lân cận O Y Suy V ∩ Vo lân cận O Y Vì F C - liên tục xo nên tồn lân cận U xo X cho F (x) ⊂ F (xo ) + V ∩ Vo + C , với x ∈ U ∩ domF Do F (xo ) + V ∩ Vo + C ⊂ F (xo ) + Vo + C ⊂ G + C + C = G + C nên F (x) ⊂ G + C với ∀x ∈ U ∩ domF Điều kiện đủ : Giả sử với tập G mở thỏa mãn F (xo ) ⊂ G + C , nên tồn lân cận U xo cho F (x) ⊂ G + C với ∀x ∈ U ∩ domF Lấy V lân cận tùy ý O Y Giả sử V mở Đặt G = F (xo ) + V G mở F (xo ) ⊂ G + C z ... nghiệm toán cân vơ hướng 2.2 Bài tốn điểm cân véctơ đa trị 2.2.1 Bài toán điểm cân véctơ đa trị 2.2.2 Sự tồn nghiệm toán điểm cân véctơ đa 2.3 Ứng dụng toán cân đa trị. .. dung luận văn trình bày tốn cân đa trị dạng F = G + H G ánh xạ đa trị, H ánh xạ đơn trị với tính chất khác điều kiện đủ để tốn cân đa trị có điểm cân (cân yếu) Cuối chương ứng dụng toán cân đa trị. .. ánh xạ đa trị Bài toán cân vectơ đa trị 2.1 Bài toán cân vơ hướng tốn liên quan 2.1.1 Bài toán cân vô hướng 2.1.2 Một số toán