Hạng phủ gondran minoux của ma trận trên nửa vành

TNU Journal of Science and Technology 227(11) 179 – 186 http //jst tnu edu vn 179 Email jst@tnu edu vn GONDRAN MINOUX ENVELOPING RANK OF MATRICES ON SEMIRINGS Ha Chi Cong * University of Finance and A[.]

TNU Journal of Science and Technology 227(11): 179 – 186 GONDRAN-MINOUX ENVELOPING RANK OF MATRICES ON SEMIRINGS Ha Chi Cong * University of Finance and Accountancy ARTICLE INFO Received: 21/7/2022 Revised: 19/8/2022 Published: 19/8/2022 KEYWORDS Semiring Semi module Matrix Gondran-Minoux linear independence Gondran-Minoux enveloping rank Weak dimension ABSTRACT In semiring theory, rank of matrices and its characteristic properties have played an important role in the semirings structure analysis and have achieved many interesting results on the class of commutative semirings, including Gondran-Minoux rank and Gondran-Minoux enveloping rank of matrices These rank functions have been considered on the class of entire zerosumfree semirings such as maxplus semiring, extensions of the max-plus semiring, quasi-selective semiring without zero divisors, etc However, there are not many research results about Gondran-Minoux enveloping rank of matrices over general semirings now In this paper, we review definitions which relate to Gondran-Minoux enveloping rank of matrices, considering several characteristic inequalities of Gondran-Minoux enveloping column rank of matrices on class of commutative semirings, comparing with factor rank of matrices, indicating the necessary and sufficient conditions for Gondran-Minoux enveloping column rank and factor rank of all matrices to coincide, indicate several cases of GondranMinoux enveloping column rank and Gondran-Minoux enveloping row rank equals HẠNG PHỦ GONDRAN-MINOUX CỦA MA TRẬN TRÊN NỬA VÀNH Hà Chí Cơng Trường Đại học Tài – Kế tốn THƠNG TIN BÀI BÁO Ngày nhận bài: 21/7/2022 Ngày hồn thiện: 19/8/2022 Ngày đăng: 19/8/2022 TỪ KHĨA Nửa vành Nửa mơđun Ma trận Độc lập tuyến tính GondranMinoux Hạng phủ Gondran-Minoux Chiều yếu TÓM TẮT Trong lý thuyết nửa vành, hạng ma trận tính chất đặc trưng đóng vai trị quan trọng phân tích cấu trúc nửa vành đạt nhiều kết thú vị lớp nửa vành giao hốn, đó, có hạng Gondran-Minoux hạng phủ Gondran-Minoux ma trận Các hàm hạng xem xét lớp nửa vành phi khả đối nguyên như: nửa vành max-plus, mở rộng nửa vành maxplus, nửa vành tựa lựa chọn ước khơng,… Tuy nhiên, chưa có nhiều kết nghiên cứu hạng phủ GondranMinoux ma trận nửa vành tổng quát Trong báo này, nhắc lại định nghĩa liên quan đến hạng phủ Gondran-Minoux ma trận, xem xét số bất đẳng thức đặc trưng hạng cột phủ Gondran-Minoux ma trận lớp nửa vành giao hoán, so sánh với hạng nhân tử ma trận, điều kiện cần đủ để hạng cột phủ Gondran-Minoux hạng nhân tử ma trận trùng nhau, vài trường hợp hạng cột phủ Godran-Minoux hạng dòng phủ Gondran-Minoux DOI: https://doi.org/10.34238/tnu-jst.6278 * Email: hachicong@tckt.edu.vn http://jst.tnu.edu.vn 179 Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology 227(11): 179 – 186 Giới thiệu Trong lý thuyết nửa vành [1], hạng ma trận tính tốn ma trận nửa vành nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu thời gian gần đây, đặc biệt lớp nửa vành giao hoán, đạt nhiều kết thú vị, xem [2] - [9] Có nhiều định nghĩa hạng ma trận nửa vành đưa ra, có hạng phủ Gondran-Minoux ma trận [4] Định nghĩa đưa người ta nhận thấy rằng: Chiều Gondran-Minoux nửa môđun hữu hạn sinh nửa vành cho trước, lúc tồn Trong đó, nửa vành R cho trước, chiều phủ Gondran-Minoux nửa môđun hữu hạn sinh M, nửa môđun tự R n , tồn Mặc dù hạng phủ Gondran-Minoux ma trận phát biểu xem xét nửa vành cụ thể nửa vành tổng quát Tuy nhiên, kết thu chưa nhiều Liên quan đến vấn đề này, [4, Corollary 6.13], M Akian, S Gaubert A Guterman rằng: Mọi hệ gồm n  vectơ Rnmax phụ thuộc tuyến tính Gondran-Minoux Trong [6], Y Shitov số bất đẳng thức hạng Gondran-Minoux ma trận nửa vành tựa lựa chọn khơng có ước khơng Trong [7], Y Shitov chứng minh đặc trưng thú vị nửa vành mà hạng nhân tử hạng Gondran-Minoux ma trận trùng Trong báo này, chúng tơi số tính chất đặc trưng hạng phủ Gondran-Minoux ma trận nửa vành giao hoán: Chứng minh số bất đẳng thức hạng, điều kiện cần đủ để hạng phủ Gondran-Minoux hạng nhân tử ma trận trùng nhau, vài trường hợp hạng dòng phủ Gondran-Minoux hạng cột phủ Gondran-Minoux ma trận Trước hết, ta có số định nghĩa kết liên quan Một số định nghĩa kết liên quan Trong viết này, xét cho nửa vành có đơn vị, nửa mơđun nửa môđun phải nửa vành Để thuận tiện cho việc trình bày, chuyển vị ma trận A ký hiệu At , ma trận A cấp m  n viết Amn , tập hợp ma trận cấp m  n (tương ứng n  n ) nửa vành R ký hiệu M mn  R  (tương ứng M n  R  ) Định nghĩa 2.1 [1] Nửa vành cấu trúc đại số (R,+,1,.,0) cho (R,+,0) vị nhóm giao hoán với phần tử đơn vị 0, (R,.,1) vị nhóm với phần tử đơn vị 1, phép nhân phân phối hai phía phép cộng 0.r = r.0 = với r  R Nửa vành R gọi giao hoán a.b  b.a, a, b  R Định nghĩa 2.2 [2] Cho R nửa vành, ma trận vuông A  M n  R  gọi ma trận khả nghịch tồn ma trận B  M n  R  cho A.B  B A  I n Ma trận B gọi ma trận nghịch đảo ma trận A ký hiệu B  A1 Tập hợp tất ma trận vuông cấp n khả nghịch nửa vành R ký hiệu GLn  R  Mệnh đề 2.3 [2] Cho R nửa vành giao hoán ma trận vuông A, B  M n  R  , AB  I n BA  I n Định nghĩa 2.4 [1] Một nửa môđun phải nửa vành R vị nhóm giao hốn  M , ,0M  với phép nhân (m, r)  mr từ M  R đến M thỏa mãn điều kiện: m  rr '   mr  r ' ,  m  m ' r  mr  m ' r , m  r  r '  mr  mr ' , m1  m , 0M r  0M  m0 với m, m '  M r , r '  R Định nghĩa 2.5 [1] Cho M nửa môđun phải nửa vành R, S tập M Ta nói M sinh S phần tử M biểu thị tuyến tính qua phần tử S Ký hiệu S  M Nếu nửa mơđun M có tập sinh hữu hạn ta nói M nửa mơđun hữu hạn sinh http://jst.tnu.edu.vn 180 Email: jst@tnu.edu.vn 227(11): 179 – 186 TNU Journal of Science and Technology Định nghĩa 2.6 [1] Cho M nửa môđun phải nửa vành R, N tập hợp khác rỗng M Ta nói N nửa môđun M với x, y  N , r  R ta có x  y  N xr  N Ký hiệu N  M Định nghĩa 2.7 [4] Tập hợp P nửa môđun phải M nửa vành R gọi phụ thuộc tuyến tính yếu tồn phần tử P biểu thị tuyến tính qua phần tử khác P Tập hợp P gọi độc lập tuyến tính yếu khơng phụ thuộc tuyến tính yếu Định nghĩa 2.8 [4] Một họ m1 , m2 , , mk phần tử nửa môđun phải M nửa vành R gọi phụ thuộc tuyến tính Gondran-Minoux tồn tập hợp I , J  1, 2, , k mà I  J   , I  J  1, 2, , k phần tử không đồng thời không 1 , ,k  R cho m   m  iI i i jJ j j Họ phần tử m1 , m2 , , mk gọi độc lập tuyến tính Gondran-Minoux khơng phụ thuộc tuyến tính Gondran-Minoux Chú ý 2.9 Một họ m1 , m2 , , mk phần tử nửa môđun phải M nửa vành R độc lập tuyến tính Gondran-Minoux độc lập tuyến tính yếu, điều ngược lại không (xem [4, Example 2.14] xem Chú ý 3.2 đây) Định nghĩa 2.10 [4] Cho M nửa môđun phải hữu hạn sinh nửa vành R, chiều yếu M ký hiệu dim W  M  xác định công thức: dim W  M   min{|P|, P hệ sinh độc lập tuyến tính yếu M}, với |P| số phần tử P Nhận xét 2.11 Chiều yếu M ln tồn nửa môđun hữu hạn sinh nửa vành R tồn hệ sinh độc lập tuyến tính yếu hữu hạn Thật vậy, M hữu hạn sinh nên gọi P hệ sinh (hữu hạn) M có số phần tử bé nhất, giả sử P   x1 , x2 , , xk  Nếu P phụ thuộc tuyến tính yếu tồn x j  P cho x j   xi i với i  R, i  j , suy tập i j P '  P \ x j  hệ sinh M Điều mâu thuẫn với P hệ sinh có số phần tử bé Vậy P độc lập tuyến tính yếu Định nghĩa 2.12 [4] Cho U tập khác rỗng nửa môđun R n , chiều phủ yếu U ký hiệu ed W U  xác định công thức: edW U   dimW  M  ,U  M  Rn  Chú ý 2.13 Cho R nửa vành tập hợp khác rỗng U ,V R n cho U  V Khi đó, ed W U   ed W V   n Định nghĩa 2.14 [4] Cho R nửa vành A  M mn  R  , hạng phủ cột (tương ứng dòng) yếu ma trận A chiều phủ yếu vectơ cột (tương ứng dòng) ma trận A nửa môđun R m ( R n ) Ký hiệu ecW  A  ( tương ứng erW  A ) Định nghĩa 2.15 [4] Cho R nửa vành A  M mn  R  , hạng nhân tử ma trận A số nguyên k không âm nhỏ cho tồn ma trận B  M mk  R  , C  M k n  R  thỏa A  BC Ký hiệu f  A   k Mệnh đề 2.16 Cho R nửa vành A  M mn  R  , ta có f  A  ecW  A  erW  A Chứng minh Theo [4, Proposition 7.20] ta có f  A  erW  A  Mặt khác, dễ dàng kiểm tra f  A  f  At  nên ecW  A  erW  At   f  At   f  A □ http://jst.tnu.edu.vn 181 Email: jst@tnu.edu.vn 227(11): 179 – 186 TNU Journal of Science and Technology Kết nghiên cứu Trong mục này, khảo sát số đặc trưng hạng phủ Gondran-Minoux ma trận nửa vành giao hoán Trước hết, nhắc lại số định nghĩa chiều Gondran-Minoux chiều phủ Gondran-Minoux ma trận nửa vành Định nghĩa 3.1 ([4]) Cho R nửa vành giao hốn, M nửa mơđun phải hữu hạn sinh, gọi SGM  M  tập hợp tất hệ sinh hữu hạn độc lập tuyến tính Gondran-Minoux M Nếu SGM  M    Chiều Gondran-Minoux M ký hiệu dimGM  M  xác định công thức: dimGM  M    P , P  SGM  M  , với |P| số phần tử P Chú ý 3.2 Không phải nửa môđun phải hữu hạn sinh có chiều Gondran-Minoux tồn nửa mơđun phải hữu hạn sinh khơng có hệ sinh độc lập tuyến tính Gondran           1                               Minoux Ví dụ nửa môđun M    ,   ,   ,   ,   ,  1 ,   ,   ,   ,               1                     1            nửa môđun B nửa vành Boolean B= 0,1 , có hệ sinh độc lập tuyến tính yếu          1  0 1  0                  0 0   P    ,   ,   ,    ,            nên P phụ thuộc tuyến tính Gondran               1 0 1                            0 1  0  1   Minoux Do đó, M khơng có hệ sinh độc lập tuyến tính Godran-Minoux Định nghĩa 3.3 ([4]) Cho R nửa vành giao hoán, chiều phủ Gondran-Minoux tập hợp khác rỗng U  Rn ký hiệu edGM U  xác định công thức: edGM U   mindimGM (M ) | M  S U  , với S U  tập hợp nửa môđun hữu hạn sinh R n , chứa U có hệ sinh hữu hạn độc lập tuyến tính Gondran-Minoux Chú ý 3.4 i) Tập hợp S U  xác định Định nghĩa 3.3 ln khác rỗng, R n nửa mơđun nó, chứa U có hệ sinh độc lập tuyến tính Gondran-Minoux   E  1,0, ,0  ;  0,1,0, ,0  ; ;  0,0, ,0,1 Do đó, R n  S U  t t t ii) Cho R nửa vành giao hoán tập hợp khác rỗng U ,V R n cho U  V Khi đó, edGM U   edGM V   n Định nghĩa 3.5 ([4]) Cho R nửa vành giao hoán A  M mn  R  , hạng cột (tương ứng dòng) phủ Gondran-Minoux ma trận A chiều phủ Gondran-Minoux vectơ cột (tương ứng dòng) ma trận A, ký hiệu ecGM  A (tương ứng erGM  A ) Nhận xét 3.6 Cho R nửa vành giao hoán, ma trận A  M mn  R  , ta ln có: i) Do hệ vectơ độc lập tuyến tính Gondran-Minoux độc lập tuyến tính yếu nên ecw  A  ecGM  A  m erw  A  erGM  A  n Áp dụng Mệnh đề 2.16 ta bất đẳng thức sau: f  A  ecw  A  ecGM  A  m f  A  erw  A  erGM  A  n ii) Gọi A  R m  , A  R n  nửa môđun R m , R n sinh vectơ cột, dòng     ma trận A ecGM  A  edGM A  R m  , erGM  A  edGM A  R n  http://jst.tnu.edu.vn 182 Email: jst@tnu.edu.vn 227(11): 179 – 186 TNU Journal of Science and Technology Kết sau cho ta điều kiện cần đủ để nhận biết giá trị hạng phủ Gondran-Minoux ma trận tùy ý nửa vành Chú ý rằng, kết phát biểu cho hạng cột phủ Gondran-Minoux ma trận nửa vành giao hốn, trường hợp hạng dịng phủ GondranMinoux phát biểu hoàn toàn tương tự Định lý 3.7 Cho R nửa vành giao hoán A  M mn  R  Khi đó, hạng cột phủ GondranMinoux ma trận A số nguyên không âm k nhỏ thỏa điều kiện: Tồn ma trận X  M mk  R  có vectơ cột độc lập tuyến tính Gondran-Minoux ma trận B  M k n  R  cho A  XB Chứng minh Giả sử ecGM  A  k , theo Định nghĩa 3.3, tồn nửa môđun M  R m hữu hạn sinh chứa vectơ cột ma trận A dimGM  M   k Gọi U   x1 , x2 , , xk   M hệ sinh độc lập tuyến tính Gondran-Minoux bé M Do ma trận A có vectơ cột A1 , A2 , , An thuộc M nên A1 , A2 , , An biểu thị tuyến tính qua phần tử U sau:  x1l    j A  x1b1 j   xk bkj với xl    , l  1, , k bij  R, i  1, , k , j  1, , n x   ml  Đặt X ma trận có cột xl , l  1, , k B   bij   M k n  R  Khi đó, X  M mk  R  có vectơ cột độc lập tuyến tính Gondran-Minoux A  XB Bây giờ, tồn ma trận Y  M ms  R  có vectơ cột độc lập tuyến tính Gondran-Minoux ma trận C  M sn  R  cho A  YC Khi đó, vectơ cột A biểu thị tuyến tính qua vectơ cột Y Gọi Y  R m  nửa môđun R m sinh vectơ cột Y, ta có A1 , A2 , , An Y  Rm  Do vectơ cột Y độc lập tuyến tính Gondran-Minoux nên       dimGM Y  R m  tồn dimGM Y  R m   s Do ecGM  A  k nên k  dimGM Y  R m   s Vậy tính nhỏ k chứng minh Ngược lại, tồn số nguyên không âm k nhỏ thỏa điều kiện: Tồn ma trận X  M mk  R  có vectơ cột độc lập tuyến tính Gondran-Minoux ma trận B  M k n  R  cho A  XB Tương tự trên, ta có ecGM  A  k Nếu ecGM  A  p  k tồn ma trận Z  M m p  R  có vectơ cột độc lập tuyến tính Gondran-Minoux ma trận D  M pn  R  cho A  ZD , điều mâu thuẫn với tính nhỏ k Vậy ecGM  A  k □ Hệ 3.8 Cho R nửa vành giao hoán A  M nn  R  ma trận khả nghịch Khi đó, ecGM  A  n Chứng minh Rõ ràng ecGM  A  n , B  M nk  R  , C  M k n  R  giả sử cho f  A  k  n A  BC suy Khi đó, tồn ma trận I n  A1BC Nếu k  n đặt   A1   A1   Ik ta có suy A1B   k k  , C   Ck1k Ck2(n k)       C C   A(n k)k   I nk   A    A1C1  I k , A1C  0, A2C1  0, A2C  I nk Do R nửa vành giao hoán nên theo Mệnh đề 2.3 ta có C1 A1  I k Khi đó,  A2C1  A1  A1  suy A2  suy I nk  A2C  0C  vô lý http://jst.tnu.edu.vn 183 Email: jst@tnu.edu.vn 227(11): 179 – 186 TNU Journal of Science and Technology Vậy k  n Ta có n  k  f  A  ecGM  A  n suy ecGM  A  n □ Hệ 3.9 Cho R nửa vành giao hoán A  M mn  R  , B  M n p  R  Khi đó, ecGM  AB   ecGM  A Chứng minh Giả sử ecGM  A  k , theo Định lý 3.7, tồn ma trận X  M mk  R  có vectơ cột độc lập tuyến tính Gondran-Minoux ma trận C  M k n  R  cho A  XC Khi đó, AB  XCB Do ma trận X có vectơ cột độc lập tuyến tính Gondran-Minoux nên áp dụng Định lý 3.7 ta ecGM  AB   k  ecGM  A  □ Hệ 3.10 Cho R nửa vành giao hoán, ma trận A  M mn  R  ma trận khả nghịch B  M n  R  Khi đó, ecGM  A  ecGM  AB  Chứng minh Đặt X  AB ta có A  XB 1 suy ecGM  A  ecGM XB1  ecGM  X  (theo Hệ 3.9)   Mặt khác, ecGM  X   ecGM  AB   ecGM  A (theo Hệ 3.9) Vậy ecGM  A   ecGM  AB  □ Định lý sau cho ta điều kiện cần vả đủ để hạng cột phủ Gondran-Minoux hạng nhân tử ma trận trùng Định lý 3.11 Cho R nửa vành giao hoán, mệnh đề sau tương đương: i) ecGM  A  n, A  M mn  R  ii) ecGM  A  m, n , A  M mn  R  iii) ecGM  A  f  A , A  M mn  R  iv) ecGM  AB   ecGM  A , ecGM  B , A  M mn  R  , B  M n p  R  Chứng minh i)  ii) : hiển nhiên ii)  iii) : Với ma trận A  M mn  R  , giả sử f  A   k tồn ma trận B  M mk  R  , C  M k n  R  cho A  BC Áp dụng hệ 3.9 ta có ecGM  A  ecGM  B  Mặt khác, ecGM  B   m, k  k suy ecGM  A  k  f  A Theo Nhận xét 3.6 ta có ecGM  A  f  A  Vậy ecGM  A  f  A  iii)  iv) : Hiển nhiên f  AB    f  A , f  B , A  M mn  R  , B  M n p  R  iv)  i) : Với ma trận A  M m n  R  A  AI n nên theo giả thiết ta có ecGM  A  ecGM  A , ecGM  I n   ecGM  I n  Theo Hệ 3.8, ecGM  I n   n suy ecGM  A  ecGM  I n   n □ Tiếp theo xem xét số bất đẳng thức hạng cột phủ Gondran-Minoux cho tổng hợp ma trận nửa vành giao hoán Mệnh đề 3.12 Cho R nửa vành giao hoán ma trận A  M m p  R  , B  M mq  R  Khi đó, ecGM  A B   max ecGM  A , ecGM  B  , với  A B  ma trận khối tạo từ A, B Chứng minh Giả sử ecGM   A B    k , theo Định lý 3.7, tồn ma trận X  M mk  R  có vectơ cột độc lập tuyến tính Gondran-Minoux ma trận Y  M k pq  R  cho Y  Yk1 p Yk2q  , ta có  A B   X Y Y    XY http://jst.tnu.edu.vn 184 A B   XY Đặt XY  suy A  XY , B  XY Áp dụng Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology 227(11): 179 – 186 Hệ 3.9 ta ecGM  A   ecGM  X  ecGM  B   ecGM  X  Mặt khác, X có vectơ cột độc lập tuyến tính Gondran-Minoux nên ecGM  X   k  ecGM  A B  Vậy Mệnh đề chứng minh xong □ Mệnh đề 3.13 Cho R nửa vành giao hoán thỏa mãn điều kiện: Với ma trận X  M mk  R  ,Y  M ms  R  có vectơ cột độc lập tuyến tính Gondran-Minoux, ecGM  X Y   k  s Khi đó, bất đẳng thức sau xảy ra: i) A  M m p  R  , B  M mq  R  , ecGM  A B   ecGM  A  ecGM  B  ii) A, B  M mn  R  , ecGM  A  B   ecGM  A  ecGM  B    A  iii) A  M mn  R  , B  M sn  R  , ecGM      ecGM  A   ecGM  B   B Chứng minh i) Giả sử ecGM  A  k ecGM  B   s , theo Định lý 3.7, tồn ma trận X  M mk  R  , Y  M ms  R  có vectơ cột độc lập tuyến tính Gondran-Minoux ma trận C  M k  p  R  , D  M sq  R  cho A  XC , B  YD Khi đó,  A B    X Hệ 3.9 ta có ecGM  A B   ecGM  X Y   k  s C Y  0 0  Theo D  In  ii) Ta có A  B   A B    nên áp dụng Hệ 3.9 ta ecGM  A  B   ecGM  A B   In  mà ecGM  A B   ecGM  A  ecGM  B  nên ecGM  A  B   ecGM  A  ecGM  B    A  iii) Ta có ecGM      ecGM  B tồn ma trận X  M mk  R   A       A           ecGM      ecGM     Giả sử ecGM  A  k    B      B có vectơ cột độc lập tuyến tính Gondran-Minoux ma trận  A  X  Y  M k n  R  cho A  XY suy      Y Do X có vectơ cột độc lập tuyến tính 0     A   X  X Gondran-Minoux nên ma trận   vậy, suy ecGM      ecGM      k  ecGM  A  0      B   A Chứng minh tương tự, ecGM      ecGM  B  Vậy ecGM      ecGM  A   ecGM  B  □    B Tiếp theo xem xét trường hợp trùng hạng dòng phủ Gondran-Minoux hạng cột phủ Gondran-Minoux Nhắc lại [4], tác giả lớp nửa vành R mà hệ vectơ nửa mơđun R n có số vectơ lớn n phụ thuộc tuyến tính GondranMinoux Ta có Mệnh đề sau: Mệnh đề 3.14 Cho R nửa vành giao hoán thỏa mãn điều kiện: Với số nguyên dương n cho trước, hệ vectơ có số vectơ lớn n R n phụ thuộc tuyến tính GondranMinoux Khi đó, với ma trận A  M mn  R  ta có: i) Nếu vectơ dịng A độc lập tuyến tính Gondran-Minoux erGM  A  ecGM  A  m  n http://jst.tnu.edu.vn 185 Email: jst@tnu.edu.vn ... biết giá trị hạng phủ Gondran- Minoux ma trận tùy ý nửa vành Chú ý rằng, kết phát biểu cho hạng cột phủ Gondran- Minoux ma trận nửa vành giao hoán, trường hợp hạng dịng phủ GondranMinoux phát biểu... thú vị nửa vành mà hạng nhân tử hạng Gondran- Minoux ma trận trùng Trong báo này, số tính chất đặc trưng hạng phủ Gondran- Minoux ma trận nửa vành giao hoán: Chứng minh số bất đẳng thức hạng, điều... thức hạng, điều kiện cần đủ để hạng phủ Gondran- Minoux hạng nhân tử ma trận trùng nhau, vài trường hợp hạng dòng phủ Gondran- Minoux hạng cột phủ Gondran- Minoux ma trận Trước hết, ta có số định