Một Số Ứng Dụng Hay Về Tỷ Số Thể Tích Trong Việc Giải Toán Trắc Nghiệm.docx

Trang 1/105Chuyên đề Tỉ số thể tích MỘT SỐ ỨNG DỤNG HAY VỀ TỶ SỐ THỂ TÍCH TRONG VIỆC GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM Từ khi Bộ Giáo Dục và Đào Tạo chuyển hướng sang thi trắc nghiệm, việc dạy và học môn toán cũn[.]

Trang 1/105 Chuyên đề: Tỉ số thể tích MỘT SỐ ỨNG DỤNG HAY VỀ TỶ SỐ THỂ TÍCH TRONG VIỆC GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM Từ Bộ Giáo Dục Đào Tạo chuyển hướng sang thi trắc nghiệm, việc dạy học mơn tốn có thay đổi để đáp ứng kì thi Giáo viên phải dạy học sinh hiểu rõ chất cách làm nhanh để đến kết Còn học sinh mong muốn giải tốn với đường đơn giản đáp số xác Sau xin biên soạn lại vấn đề hay gặp kì thi thử thi THPTQG, giúp em học sinh giải nhanh tốn liên quan đến thể tích khối đa diện I KIẾN THỨC CƠ SỞ +) Hai hình chóp có diện tích đáy tỷ số thể tích chúng tỷ số đường cao ngược lại +) Với khối chóp tam giác ta có tính chất quen thuộc sau Cho khối chóp tam giác S.ABC Mặt phẳng  P cắt đường thẳng SA, SB, SC A', B',C Khi ta có ' VS A' B 'C '  VS ABC SA' SB ' SC ' * SA SB SC Chứng minh Gọi H, H ' hình chiếu A, A' mp SBC  V  V  AH.SB.SC.sin BSC S ABC V H’ C’ A.SBC  A'.SB 'C ' S A' H '.SB '.SC '.sin B 'SC ' V AH ' SB ' SC '  S A' B 'C '  VS ABC AH SB SC A’ A H B’ A' H ' SA' Rõ ràng AH  SA B V SA' SB ' SC '  S A' B 'C '  VS ABC SA SB SC Đây kết quen thuộc toán mở đầu cho nhiều ứng dụng hay sau \ II MỘT SỐ TÍNH CHẤT Tính chất Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD hình bình hành Mặt phẳng  P lượt A', B',C ', Khi ta có D' SA SC SB SD   SA'  SB ' SD ' SC ' Chứng minh C SA, SB,SC,SD lần Chuyên đề: Tỉ số thể tích Đặt V S ABCD  V V S.ABC  V S ADC  V S BAD  V S BCD  V Trang 2/105 Trang 3/105 Chun đề: Tỉ số thể tích Ta có VS A ' B 'C '  SA' SB ' SC ' VS A VS A' D SA' SD ' SC '   ' B 'C ' VSABC 'C ' V SA SB SC SA' SB ' SC ' SA' SC ' SD ' VS A' B 'C '  VS A'C ' D '   SA SB SC V  VS A' B 'C ' D' V SA SC SD SA SD SC Tượng tự ta có SB ' SA' SD ' SB ' SC ' SD ' VS B ' A' D '    VS B 'C ' D '  1 V VS A ' B 'C 2 'D' SB SA SD V SB SC SD Từ (1), (2) SA' SB ' SC ' SA' SC ' SD '  SA SB SC SA SC SD SB ' SA' SD ' SB ' SC ' SD '  SB SA SD SB SC SD Nhân vào hai vế (3) với SA SB SC SD ta SA' SB ' SC ' SD ' SA SC SB SD   SA'  SB ' SD ' SC ' V S 3 D’ A’ C’ I B’ D C O Suy điều phải chứng minh B A Tính chất ta áp dụng cho chóp có đáy hình bình hành Việc chứng minh Tính chất ta áp dụng tính chất (*) Tuy nhiên ta chứng minh Tính chất nhanh gọn sau : Gọi O tâm hình bình hành, I giao điểm SO Ta có SSA' I  SSC ' I  2SSA'C ' SA'.SI  SC '.SI  A' B 'C ' D ' Chuyên đề: Tỉ số thể tích S A'.SC '  SSAO SSCO Trang 4/105 Nhân hai vế đẳng thức sau SSAC SA.SO SC.SO SA.SC SO ch SA.SC.SO SA SC  Chứng minh tương tự ta ta  o SA'.SC SA' SC có '.SI ' SI Vậy ta có điều phải chứng minh *) Cách chứng minh cho ta kết mạnh SO SB SD   SB ' SD SI ' Trang 5/105 Chuyên đề: Tỉ số thể tích Kết : Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD hình bình hành Mặt phẳng SA, SB,SC,SD A', B',C ', Khi ta có D' SA SC SB SD  SO   SA'  SB ' SD SI SC ' '  P Kết cịn chứng minh nhiều cách khác Nó kết hay ứng dụng nhiều hình học khơng gian Tính chất ứng dụng nhiều tốn tìm thiết diện thể tích khối đa diện Đặt x  SA ; y SB z  SC t  SD  x, y, z,t  0** SB '; SD '  ; SA' SC ' Vận dụng Tính chất (*) Tính chất ta có VS A ' B 'C ' D ' VS A ' B 'C ' VS SA' SB ' SC ' SA' SD ' SC '       A ' D 'C ' V 2V  SA SB SC SA SD SC    S ABCD S ABC S ADC  1  y x  y  z  x  z  y  t Ta có  t t   xyz xtz  2xyz 4xyz  Kết : VS A' B 'C ' D' VS ABCD x, y, z,t xác định ** x y z t  với 4xyzt Chú ý : Nếu A', B',C ', D' x, y, z,t  thuộc SA, SB,SC,SD cạnh Kết áp dụng vào giải tốn thể tích khối chóp có đáy hình bình hành cách nhanh gọn đơn giản thay cho việc phải chia khối chóp tứ giác loại thành khối chóp tam giác để sử dụng Tính chất (*) Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M trung điểm SB , điểm P thuộc cạnh SD cho SP  2PD Mặt phẳng số Giải Ta có SA SC   SB SD  1 SC   2  AMP cắt S SC N Tỷ VS AMNP VS ABCD Chuyên đề: Tỉ số thể tích SA SN SM SC   SN Vậ y VS AMNP VS ABCD  SP 12 SN  Trang 6/105 N M 2 30 4.1.2 2 P D A B C Trang 7/105 Chuyên đề: Tỉ số thể tích Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD tích V , đáy ABCD hình vuông Cạnh SA   ABCD SC hợp với đáy góc 30 Mặt phẳng  P  qua A vng góc với SC , cắt S.AEFK SB, SC, SD E, F, K Thể tích khối cạnh chóp Giải Ta có SA  SE.SB  SD Tương tự Mà SK SC2 SC  SD2 SA2 SA2 SB2 nên  SB SE SE SB   SD SB SE  SB2 SA2 SK  4 SF SA2 ( SCA vuông A, SCA  300 ) SC SB SD SB SD nên 1   5   SF SE SK SE SK VS AEFK  10  V  VS ABCD  V S.AEFK 5 10 V 10 10 Ví dụ Cho 4.1.4 khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Mặt phẳng  chứa cạnh P AB qua điểm M SC chia khối chóp S.ABCD thành hai phần tích Tính tỷ số k  SM Giải SC Gọi N   P   SC  AB   P  ta có  AB CD  Ta có nên MN CD SM SC SD k  SC  SM SN k 1 11  Khi VSABMN k k 1  VSABCD   1    k2  k 1 k2 k k 2 Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành I nằm SC cho IS  2IC Chuyên đề: Tỉ số thể tích Trang 8/105 Mặt phẳng  P khối chóp S.AMIN S.ABCD Tính giá trị nhỏ tỉ số thể tích Giải chứa cạnh AI cắt cạnh SB, SD M , N Gọi V ',V thể tích V' V Chuyên đề: Tỉ số thể tích Đặt SB  x, Trang 9/105 SD  y  x, y  SM SN 5 Ta có  x  y  1   x  y  2 Ta có x  y 1  V' 5  6xy  x V  4x.y.1 6  Dấu xảy x  y  y  15   Ví dụ Cho hình S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Mặt phẳng   chóp thay đổi qua B , trung điểm I SO cắt cạnh SA, SC SD M,N P Tính GTNN GTLN cùa tỷ số VS BMPN VS ABCD Giải SA SC Đặt  x,  y  x, y  SM SN SA SC SB SD SO Ta có     4 SM SN SB SP SI Nên SD SP  3; x  y  Từ VS BMPN 2    VS.ABCD 4.x.y.3.1 3xy 3x   x  Từ x  y   x   y  y  Xét f  x  2  x x  f ' x       x  3x , 14   x 3x    x  Ta có f 1  f 3  ; f    VS BMPN Vậy đạt GTNN, GTLN , V ABCD 69 Nhận xét.S Qua năm ví dụ ta thấy lợi hại Kết đem lại Vừa nhanh, dễ sử dụng mà hiệu cực tốt Rất hợp cho học sinh việc làm trắc nghiệm Trang 10/105 Chuyên đề: Tỉ số thể tích Tính chất Cho lăng trụ AA , BB ,CC cho 1 ABC.A1B1C1 có điểm M , N, P thuộc cạnh AM BN  x, AA1  y, CP BB1 VABCMNP  z Khi ta có tỷ số CC1 xyz  VABC A1B1C1 Chứng minh Ta có VABCMNP  VM ABC  VM , đặt BCPN V  VABC A B C 1 dễ thấy VA.BCC B  1 + Ta có VM ABC 2V d (M ;( ABC ABC)).S 3 V d ( A1;( ABC).SABC Suy VM  ABC  x d (M ;( ABC))   AM d ( A1;( ABC) AA1 x 1 V Do AM / /  BCC1 A1   VM BCPN  VA.BCPN Nên VM BCPN V  A BCC1B1    VA.BCPN V SBCPN  V VA.BCC1 B1 Vậy từ 1,2 yz  BB d  P, BB S A BCC1B1 VM BCPN CP  BN .d (P; BB ) BCC1B1  2V M BCPN yz  V ta có V ABCMNP  V 1 yz 3   M BCPN x V Đặc biệt: VA.MNP yz M BCPN   V , VABC A B ABC.A B C C 1 yBB1  zCC1  2BB  V M ABC  BB yz  CC 1 2 xyz V VABCMNP VABC A1B1 C1  xyz  ... Chuyên đề: Tỉ số thể tích III MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG Giáo viên: Nguyễn Hoàng Việt Website: http://luyenthitracnghiem.vn  0905193688 Trang 19/105 Chuyên đề: Tỉ số thể tích TỶ SỐ THỂ TÍCH KHỐI ĐA... đề: Tỉ số thể tích Trang 8/105 Mặt phẳng  P khối chóp S.AMIN S.ABCD Tính giá trị nhỏ tỉ số thể tích Giải chứa cạnh AI cắt cạnh SB, SD M , N Gọi V '',V thể tích V'' V Chuyên đề: Tỉ số thể tích. .. V1 V2 V1 Kết luận Việc áp dụng tính chất vào lớp tốn thể tích tương ứng hữu ích Nó làm cho việc giải toán trắc nghiệm em học sinh nhanh gọn nhẹ nhàng nhiều so với việc giải truyền thống Hy vọng