069_Đề Hsg Toán 9_Kim Thành_21-22.Docx

UBND HUYỆN KIM THÀNH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2021 2022 Môn thi Toán Ngày thi 05/10/2021 Thời gian làm bài 120 phút Câu 1 (2,0 điểm) a) C[.]

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2021-2022 Mơn thi: Tốn Ngày thi : 05/10/2021 Thời gian làm : 120 phút UBND HUYỆN KIM THÀNH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) a) Cho biểu thức x  A x2  x x2  x  x  x  x  x  Rút gọn B 1  A  x  (với 4) b) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c 5 a  b  c 3 Chứng minh Câu (2,0 điểm) a) Giải phương trình a b c    a2 b2 c2 3x  x    a  2  b  2  c  2 x    x  x  1  x  3x   x  x3  3x  y  0   x  y2 x  xy  y  x  y   b) Giải hệ phương trình Câu (2,0 điểm) 2 a) Tìm nghiệm nguyên phương trình x  y  xy  20 x  20 y  24 0 b) Tìm x, y, z   thỏa mãn x   y  z Câu (3,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AA ', BB ', CC ' Trên BB ' lấy M, CC ' lấy N cho AMC ANB 90 a) Chứng minh AC ' C ∽ AB ' B AM  AN b) Gọi S , S ' diện tích tam giác ABC tam giác A ' B ' C ' cos A  cos B  cos C 1  S' S Chứng minh 2) Cho tam giác nhọn ABC Gọi , hb , hc đường cao ma , mb , mc trung tuyến cạnh BC , CA, AB; R, r bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp tam giác ABC Chứng minh : ma mb mc R  r    hb hc r Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c  thỏa mãn 2ab  5bc  6ca 6abc Tìm giá trị nhỏ P ab 4ab 9ca   b  2a 4c  b a  4c ĐÁP ÁN Câu (2,0 điểm) c) Cho biểu thức x  A x2  x x2  x  x  x  x  x  Rút gọn B 1  4) x x2  x x2  x A   x  x 1 x  x 1 x  A  x  (với     x x  x  x 1 x  x 1  x 1 x  x  x 1 x 1 x  x  x 2 x B 1  2.2 x  x  1  2 x  x  1  2  x1 1  1   x   x   2 x 4  d) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c 5   Chứng minh Vì a  b  c 5    a  b  c 3 a b c    a2 b2 c2 a  b  c 3  a  2  b  2  c  2 a 5  b  c  b 5  c  a c 5  a  b  a b c a b c     a2 b2 c2 a b c 6  a  2  b  2  c  2 VP(dfcm) Câu (2,0 điểm) 3x  x   c) Giải phương trình x    x  x  1    Ta nhận thấy  Ta trục thức vế : x  3x  x  x   x  x  3   x     x     x  x   3  x    2x  x  x    x  x  1  3x  x   x2  3x  Dễ dàng nhận thấy x 2 nghiệm đuy phương trình  x  x3  3x  y  0   x2  y x  xy  y  x  y  d) Giải hệ phương trình  Từ (2) suy x  y 0  1  2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có : 2  x  y   12  12   x   y    x  y   x2  y2   x  2y   x 2 y Dấu xảy x  2y  3 x  xy  y x  y   4 Mặt khác, dễ dàng chứng minh x  xy  y x  y x  xy  y  x  y     3 Thật vậy, (do vế 0)   x  xy  y  3  x  xy  y    x  y  0 x, y ) (luôn với Dấu xảy x 2 y Từ (3) (4) suy x2  y x  xy  y  x  y Dấu xảy  x 2 y Do    x 2 y 0 (vì x  y 0) Khi đó, (1) trở thành : x  x  x  x  0   x  1  x3  x  1 0  x 1( x  x   0)  y  x 1; y  Vậy nghiệm hệ cho Câu (2,0 điểm) 2 c) Tìm nghiệm nguyên phương trình x  y  xy  20 x  20 y  24 0 (*) Ta có  *   x  y   xy  20  x  y   24 0 Đặt x  y a, xy b thu 5a  4b  20a  24 0  b   x  y 5a  20a  24  1 0   x  y  Mặt khác Từ (1) (2) : a2  xy 0  a 4b  b    5a  20a  24 a   a  5a  0   a    a  3 0  a 3 4 Vì a nguyên nên a 2 a 3  x  y 2  x 1 )a 2  b 1     xy 1  y 1 )a 3  b  (ktm) x  1, y  thỏa mãn yêu cầu Vậy d) Tìm x, y, z   thỏa mãn x   y  z x   y  z  x   y  z  yz  Đặt x   y  z  a      yz   yz   x   y  z   a  *   yz   yz a  yz 4  yz    a   2 Do 3yz   Điều kéo theo y 3k , k   Thay vào (*)  3k  Ta thấy  a   k  1 a    k  1  , số vô tỷ tích chúng số nguyên  y 1, z 3 k  0  yz 3    x 4  y 3, z 1 Điều xảy  x; y; z    4;1;3 ;  4;3;1  Vậy Câu (3,0 điểm) 3) Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AA ', BB ', CC ' Trên BB ' lấy M, CC ' lấy N cho AMC ANB 90 A B' C' N M B C A' c) Chứng minh AC ' C ∽ AB ' B AM  AN Xét ABB ' ACC ' có Achung , B ' C ' 90  ABB ' ∽ ACC '  g  g  Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông: AM  AB ' AC , AN  AC ' AB  1 AB ' AC '   ABB ' ∽ ACC '(cmt )   AB ' AC  AB AC '   Mà AB AC Từ (1) (2) suy AM  AN d) Gọi S , S ' diện tích tam giác ABC tam giác A ' B ' C ' S' cos A  cos B  cos C 1  S Chứng minh Theo câu a, ta có AC ' C ∽ AB ' B  S AC ' AC  AB '   ; CAB chung  AB 'C '   cos A AB ' AB S ABC  AB  S BA 'C '  BA '  SCA ' B ' CA '   cos C  cos B; S ABC AC Tương tự : S ABC  AB  Do : S  S BA 'C '  SCA ' B ' S ABC  S A ' B 'C ' S' cos A  cos B  cos C  AB ' C '  1  S ABC S ABC S 4) Cho tam giác nhọn ABC Gọi , hb , hc đường cao ma , mb , mc trung tuyến cạnh BC , CA, AB; R, r bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp tam giác ABC Chứng minh : ma mb mc R  r    hb hc r Gọi O I tâm đường tròn ngoại tiếp nội tiếp ABC A1 , B1 , C1 trung điểm BC , CA, AB Ta có : AA1 ma R  OA1 ; BB1 mb R  OB1 ; CC1 mc R  OC1  1   OA OB OC1  ma mb mc   R           1 hb hc hb hc   hb hc   2S S S 2S  S  a  b  c  r  a  b  c   hb hc r m m m Rr  a b c  hb hc r Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c  thỏa mãn 2ab  5bc  6ca 6abc Tìm giá trị nhỏ  ab 4ab 9ca   b  2a 4c  b a  4c 2ab  5bc  6ca 6abc    6 c a b P P ab 4bc 9ca a 2b 2c   4 2 b  2a 4c  b a  9c 2ab.bc.ca Vậy Min P 2  a b c 1