PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CẦU NGANG ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 HUYỆN CẦU NGANG NĂM HỌC 2021 2022 ĐỀ THI MÔN TOÁN THỜI GIAN LÀM BÀI 150 PHÚT Bài 1 (4,0 điểm) Cho biểu thức 1 3 2 1 2 x x A[.]
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CẦU NGANG KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP HUYỆN CẦU NGANG NĂM HỌC 2021-2022 ĐỀ THI MƠN TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC THỜI GIAN LÀM BÀI : 150 PHÚT x x x A B x 2 x x x x 1 Bài (4,0 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A B , tính giá trị A b) Khi c) Tìm giá trị nguyên x để A.B nhận giá trị nguyên Bài (6,0 điểm) 1) Giải phương trình x x 20 2 3x 10 x y y 1 5 y 1 2) Giải hệ phương trình sau : x y y m 1 x y x 2m m 3) Tìm để cắt điểm có tung độ Bài (3 điểm) Cho ABC cân A BAC 90 biết đường cao AD, trực tâm H Tính độ dài AD biết AH 14cm, BH CH 30cm Bài (2,0 điểm) Quãng đường AB gồm đoạn lên dốc dài 4km đoạn xuống dốc dài 5km Một người xe đạp từ A đến B hết 40 phút từ B A hết 41 phút (vận tốc lên dốc, xuống dốc lúc nhau) Tính vận tốc lúc lên dốc lúc xuống dốc Bài (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O Trên cung BC không chứa điểm A ta lấy điểm P P khác B P khác C) Các đoạn PA BC cắt Q a) Giả sử D điểm đoạn PA cho PD PB Chứng minh PDB b) Chứng minh PA PB PC 1 c) Chứng minh hệ thức PQ PB PC Bài (2 điểm) Cho số không âm a, b, c, x, y Chứng minh a b c x y a b c x y ĐÁP ÁN Bài (4,0 điểm) Cho biểu thức x x x B x 2 x x x x 1 A d) Rút gọn biểu thức A x x x 0 x 2 x x x x 1 A x 1 x x 2 x 2 x x1 x x 2 x1 x 1 x x x x 2 x1 x 1 x 2 B , tính giá trị A e) Khi x 3 B x 12 3 x x 15 x 9(tm) x 1 A x 1 1 x 2 2 f) Tìm giá trị nguyên x để A.B nhận giá trị nguyên AB x 1 x x 2 x 2 x 1 x 2 AB x 2 x U (7) 7 x 2 x 25(tm) Bài (6,0 điểm) 4) Giải phương trình x x 20 2 3x 10 (1) Điều kiện 10 3 x 10 x x 0 1 3x 10 x 2 3x 10 x 3 0 3 x 10 1 x 3(tmdk ) x 0 x y y 1 5 y 1 5) Giải hệ phương trình sau : x y 1 x y y 1 5 2 x x y y 0 y 1 y 1 x y 6) Tìm m để y x 2m y m 1 x cắt điểm có tung độ Hai đường thẳng cắt A x;3 y 3 m 1 x 2m 1 x 2m 3 m 0 m 1 x 3 x 0 Vậy m m 1(ktm) m (tm) 2 Bài (3 điểm) Cho ABC cân A BAC 90 biết đường cao AD, trực tâm H Tính độ dài AD biết AH 14cm, BH CH 30cm A H B D C E Kẻ Cx / / BH cắt đường thẳng AD E Sẽ có DH DE , BH CE BDH CDE ACE vuông C có : BH CE DE AE DH DH AH 302 DH DH AH AD DH AH 32cm Bài (2,0 điểm) Quãng đường AB gồm đoạn lên dốc dài 4km đoạn xuống dốc dài 5km Một người xe đạp từ A đến B hết 40 phút từ B A hết 41 phút (vận tốc lên dốc, xuống dốc lúc nhau) Tính vận tốc lúc lên dốc lúc xuống dốc Gọi vận tốc lúc lên dốc vận tốc lúc xuống dốc thứ tự x, y x 0, y 40 x y 60 x 12 y 15 41 Ta có hệ x y 60 Bài (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O Trên cung BC không chứa điểm A ta lấy điểm P P khác B P khác C) Các đoạn PA BC cắt Q A D B Q P O C d) Giả sử D điểm đoạn PA cho PD PB Chứng minh PDB Trước tiên ta nhận thấy PBD cân P Mặt khác, BPD BPA BCA 60 (hai góc nội tiếp chắn cung AB đường tròn (O)) Vậy nên PDB e) Chứng minh PA PB PC Ta có PB PD ,vậy để chứng minh PA PB PC ta chứng minh DA PC Thật vậy, xét hai tam giác BPC BDA có : BA BC ( gt ), BD BP BPD đều) Lại có ABD DBC 60 , PBC DBC 60 nên ABD PBC Từ BPC BDA(c.g.c) DA PC (dfcm) 1 f) Chứng minh hệ thức PQ PB PC Xét hai tam giác PBQ PAC ta thấy BPQ 60 , APC ABC 60 (hai góc nội tiếp chắn cung AC ) Suy BPQ APC , PBQ PBC PAC (hai góc nội tiếp chắn cung PC) Từ PBQ ∽ PAC ( g g ) PQ PC PQ.PA PB.PC PB PA Theo kết câu b, ta có : PA PB PC nên PQ PB PC PB.PC 1 (dfcm) Hệ thức tương đương với PQ PB PC Bài (2 điểm) Cho số không âm a, b, c, x, y Chứng minh a b c x y a b c x y Giải a b c x y a b c x y 4a 4b 4c x y 4ab 4ac 4ax 4ay a 4ab 4b a 4ac 4c a 4ax x a 4ay y 0 2 2 a 2b a 2c a x a y 0 (luon dung dfcm)