011_Đề Hsg Toán 9_Sơn La_21-22.Docx

SỞ GD&DDT SƠN LA ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP TỈNH NĂM HỌC 2021 2022 Môn thi TOÁN Ngày thi 26/03/2022 Thời gian làm bài 150 phút Câu 1 (4,0 điểm) 1) Rút gọn biểu thức 04 4 1 1 112[.]

SỞ GD&DDT SƠN LA ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP TỈNH NĂM HỌC 2021-2022 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 26/03/2022 Thời gian làm : 150 phút Câu (4,0 điểm)  x4 x 4 x x   1   x  0 A     :     x   x  1  x   x 1   x x  1) Rút gọn biểu thức x  x  15 x  x  x 1 B  2 3x  10 x  x  với x thỏa mãn x  3x  2) Tính giá tri biểu thức Câu (4,0 điểm) Cho phương trình x   3m   x  2m  m  0  1 (với x ẩn số) a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với m b) Xác định m để phương trình có nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 3x2 Câu (4,0 điểm)   x  y   3x  y  4   5x  y     x  y  1  3x  y   a) Giải hệ phương trình :    2x  x   4 x b) Giải phương trình    Câu (6,0 điểm) Cho đường tròn (O) đường thẳng d cố định , ( (O) d khơng có điểm chung) Điểm P di động đường thẳng d , từ P vẽ hai tiếp tuyến PA, PB (A B thuộc đường tròn (O)), PO giao AB I Gọi H chân đường vuông góc hạ từ điểm A đến đường kính BC , E giao điểm hai đường thẳng CP AH Gọi F giao điểm thứ hai đường thẳng CP đường tròn  O  Chứng minh : a ) PF PC PI PO b) E trung điểm đoạn thẳng AH c) Điểm I thuộc đường cố định P di động d Câu (2,0 điểm) 2 a) Tìm nghiệm nguyên phương trình : x y  3xy  x  y x  xy  3x  b) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x  0,5 x  yz, x  y  z xyz Chứng minh : x 1 5 ĐÁP ÁN Câu (4,0 điểm)  x4 x 4 x x   1   x  0 A     :     x   x  1  x   x 1   x x  3) Rút gọn biểu thức  x4 x 4 x x   1   x  0 A     :     x   x  1  x   x 1   x x        x 2 x 2   x 2    x1  x    x1 x  : x  1   : x     x 1  x1   x    x 1 x1 4) Tính giá tri biểu thức x   x 1 B   x 1 x1   x1  x 1  x1 x x 1 x x  x  15 x  x  x 1  2 3x  10 x  x  với x thỏa mãn x  3x  x 1   x  x  7 x   x  x  0 x  3x  3 2 x  x  15 x  x   x  x  x    x  20 x  x    x  12 x    x B  3x  10 x  x   3x3  12 x  3x    x  x    3x  x  x  x  1  x  x  x  1   x  x  1  x x  x  x  1   x  x  1  x 2  5x  3x 2 Câu (4,0 điểm) Cho phương trình x   3m   x  2m  m  0  1 (với x ẩn số) c) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với m x   3m   x  2m  m  0  1    3m      2m  m  3 17 x  x  16  17 x   2  256   17   x  17  Vậy (1) ln có hai nghiệm phân biệt d) Xác định m để phương trình có nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 3x2  x1  x2 3m   x1 3m   x2  Theo Vi-et đề ta có:  x1 x2  2m  m  Có x1 3x2  x1 3x2 3m   x2  x2 3m   x2  3m  9m   x1  4 Ta có hệ phương trình :  3m  9m    3m   1   3m  9m   m  m   4 (nghiệm với m) Vậy với m phương trình (1) ln có nghiệm x1 3x2 Câu (4,0 điểm)   x  y   3x  y  4   5x  y     x  y  1  3x  y   c) Giải hệ phương trình :    4  x  y   3x  y  4  a  b 4   a 2 x  y    a, b 0    1    5x  y   b 3x  y    a  b 5   x  y  1  3x  y    ab Đặt 3a  4b 4ab  a 0  b 0(ktm)   a ab  a   b  0   4a  4b 5ab  b 1  a 4 2 x  y  4  x     3 x  y  1  y  11 d) Giải phương trình   2x        2x    x   4 x  x   4 x   x   3  x   3 4 x  x   3  x  3  x    4 x  x     x    x       2x   x    0   x 0     x       x   3  0    x  3   x   3 0  x 4  x    12 2x    x 0 5 x  18 0    x  18  6 x      x  108  x  18  36  x   25  Câu (6,0 điểm) Cho đường tròn (O) đường thẳng d cố định , ( (O) d khơng có điểm chung) Điểm P di động đường thẳng d , từ P vẽ hai tiếp tuyến PA, PB (A B thuộc đường tròn (O)), PO giao AB I Gọi H chân đường vng góc hạ từ điểm A đến đường kính BC , E giao điểm hai đường thẳng CP AH Gọi F giao điểm thứ hai đường thẳng CP đường tròn  O  Chứng minh : C A E H F P I O B a ) PF PC PI PO Xét PFI ∽ POC  c.g c   PFI POC  1  PF PI   PF PC PO.PI PO PC c) E trung điểm đoạn thẳng AH Vì AHO  AIO 90  90 180  PIOH tứ giác nội tiếp  IAH  IOH 180 hay IAE  POC 180   Mà PFI  EFI 180  3 Từ (1), (2), (3) suy IAF EFI  IFAE tứ giác nội tiếp  AFE AIE Xét (O): AFE ABC (cùng chắn cung AC )  AIE ABC Mà hai góc vị trí đồng vị nên IE / / BC hay IE / / AM Xét ABH có I trung điểm AB, IE//AH nên IE đường trung bình Vậy E trung điểm AH c) Điểm I thuộc đường cố định P di động d Gọi M chân đường vng góc hạ từ O lên đường thẳng d Gọi K giao điểm hai đường thẳng OM , AB Xét OIK & OMP có POM chung , OIK OMP 90  OIK ∽ OMP  OK OI OP.OI   OK  OP OM OM OB OP.OI OB  OK  OM cố định, K thuộc OM cố định suy điểm K cố định Mặt khác Mà OIK 90 với vị trí M Vậy M di động d I di động đường trịn đường kính OK cố định Câu (2,0 điểm) 2 d) Tìm nghiệm nguyên phương trình : x y  3xy  x  y x  xy  3x  2 x  xy  y  x  0   x  y   x  x  1 2  * Vì  x  y  0 nên để x, y    1 (ktm)   x  y  1   *  x  x  1 1  x     x 2  y  2   x  y  0   *  x  x  1 2    x   y 1   x; y     2;   ;   1;1  Vậy e) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x  0,5 x  yz, x  y  z xyz Chứng minh : x 1 5 x  y  z  xyz  x  y  z  x.5x  y  z 2 yz 2 x 2 x 1  x  x  y  z 2 x  x x   0  x    x  1 5  1 x    Dấu xảy  y z  x  