ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM LỆ QUYÊN VỀ PHƢƠNG PHÁP LỒI LÔGARIT VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC [.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - PHẠM LỆ QUYÊN VỀ PHƢƠNG PHÁP LỒI LÔGARIT VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - PHẠM LỆ QUYÊN VỀ PHƢƠNG PHÁP LỒI LÔGARIT VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán Ứng Dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Bùi Việt Hƣơng THÁI NGUYÊN - 2019 Mưc lưc Mð ¦u 1 KIN THÙC CHUN B 1.1 Têp lỗi Hm lỗi 1.1.1 Têp lỗi 1.1.2 Hm lỗi 1.2 Mởt số kián thực cỡ s và phữỡng trẳnh Ôo hm riảng 1.2.1 PhƠn loÔi phữỡng trẳnh tuyán tẵnh cĐp hai 1.2.2 M°t °c tr÷ng Bi toĂn Cauchy vợi dỳ kiằn cho trản mt c tr÷ng 11 1.2.3 Sü phư thc li¶n töc 13 1.3 Phữỡng phĂp lỗi lægarit 14 MËT VI NG DệNG CếA PHìèNG PHP LầI LặGARIT 2.1 ng dửng bi toĂn Cauchy cho phữỡng trẳnh parabolic ngữủc thíi gian 2.1.1 Phữỡng trẳnh parabolic ngữủc thới gian 2.1.2 ¡nh gi¡ ên ành 2.2 Ùng dưng b i to¡n Cauchy cho ph÷ìng tr¼nh Laplace 2.2.1 Phữỡng trẳnh Laplace 2.2.2 ¡nh gi¡ ên ành T i li»u tham kh£o 20 20 20 24 28 28 29 40 MÐ U B i to¡n °t khỉng ch¿nh xu§t hi»n nhiÃu lắnh vỹc ựng dửng Bi toĂn ny cõ liản quan án a vêt lỵ, vêt lỵ plasma, cĂc bi to¡n v· l¾nh vüc i»n sinh håc Trong mët bi bĂo nời tiáng cừa Hadamard, bi toĂn ny lƯn Ưu tiản ữủc giợi thiằu nhữ l mởt vẵ dử kinh iºn v· b i to¡n °t khæng ch¿nh °c iºm nêi bªt cõa b i to¡n n y l mët thay êi nhọ dỳ kiằn cụng cõ th dăn án mởt sai l»ch lỵn v· nghi»m cõa b i to¡n Hadamard cho rơng cĂc bi toĂn t khổng chnh khổng cõ ỵ nghắa vêt lẵ Chẵnh vẳ vêy, viằc nghiản cựu cĂc b i to¡n °t khỉng ch¿nh º t¼m c¡c ¡nh gi¡ ên ành v c¡c ph÷ìng ph¡p ch¿nh hâa l mởt viằc quan trồng Phữỡng phĂp lỗi lổgarit l mởt nhúng ph÷ìng ph¡p dịng º ên ành hâa c¡c bi toĂn t khổng chnh phữỡng trẳnh Ôo hm riảng Phữỡng phĂp ny ữủc nghiản cựu bi Pucci (1955), John (1955, 1960), Lavrentiev (1956) and Payne (1960), inh Nho Ho v Nguyạn Vôn ực (2009, 2010, 2011) Ơy l kắ thuêt Ănh giĂ dỹa trản cĂc bĐt ng thực bêc hai và Ôo hm ữa giợi hÔn trản v giợi hÔn dữợi cho mởt hm lỗi lổgarit, ¥y l mët h m cõa nghi»m C¡c ¡nh gi¡ â ữủc dũng thiát lêp tẵnh nhĐt nghiằm cừa b i to¡n v ta câ thº chùng minh ÷đc sü phử thuởc liản tửc cừa nghiằm vo dỳ kiằn  cho theo mởt nghắa no õ Luên vôn trẳnh by và phữỡng phĂp lỗi lổgarit v mởt số ựng dửng cõa ph÷ìng ph¡p º ên ành hâa b i to¡n °t khổng chnh phữỡng trẳnh Ôo hm riảng Cử th, luên vôn gỗm hai chữỡng: Chữỡng 1, tĂc giÊ trẳnh by và hm lỗi, mởt vi kián thực cỡ bÊn cừa phữỡng trẳnh Ôo hm riảng v phữỡng phĂp lỗi lổgarit; Chữỡng 2, tĂc giÊ trẳnh by hai bi toĂn minh håa cho ph÷ìng ph¡p n y, â l b i toĂn Cauchy cho phữỡng trẳnh parabolic ngữủc thới gian v bi toĂn Cauchy cho phữỡng trẳnh Laplace Ơy l cĂc b i to¡n °t khỉng ch¿nh v t¡c gi£ ¢ sû dửng phữỡng phĂp lỗi lổgarit ữa Ănh giĂ ên ành cho nghi»m cõa c¡c b i to¡n n y vỵi iÃu kiằn ữủc bờ sung PhƯn cuối Chữỡng 2, tĂc giÊ cõ trẳnh by thảm mởt bi toĂn cõ th xem nh÷ mð rëng cõa b i to¡n Cauchy cho ph÷ìng trẳnh Laplace Luên vôn ữủc hon thnh dữợi sỹ hữợng dăn cừa TS Bũi Viằt Hữỡng Cổ  tên tẳnh hữợng dăn, ch bÊo em suốt quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu Em xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc tợi Cổ Em cụng xin by tọ lỏng biát ỡn trƠn thnh tợi ThƯy Cổ giĂo khoa ToĂn Tin, trữớng Ôi hồc Khoa hồc, Ôi hồc ThĂi Nguyản  tên tẳnh giÊng dÔy v tÔo mồi iÃu kiằn thuên lủi quĂ trẳnh em hồc têp v nghiản cựu tÔi trữớng Em xin trƠn thnh cÊm ỡn TS Mai Viát Thuên v TS Trữỡng Minh Tuyản  dnh sỹ quan tƠm v cõ nhỳng lới ởng viản kp thới em cố gưng hon thnh luên vôn ny Cuối em xin cÊm ỡn gia ẳnh, bÔn b v chỗng em  luổn ởng viản, tÔo iÃu kiằn cho em suốt quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên vôn Chữỡng KIN THC CHUN B 1.1 Têp lỗi Hm lỗi Mửc ny trẳnh by mởt số khĂi niằm, nh nghắa v kát quÊ cƯn thiát liản quan án hm lỗi v têp lỗi Nởi dung cừa mửc ữủc tham khÊo tứ [2] 1.1.1 Têp lỗi nh nghắa 1.1 Cho hai im a, b ∈ Rn i) ÷íng th¯ng i qua hai iºm a v b l têp hủp cõ dÔng {x Rn |x = λa + (1 − λ)b, λ ∈ R} ii) oÔn thng i qua hai im a v b l têp hủp cõ dÔng {x Rn |x = λa + (1 − λ)b, λ ∈ [0, 1]} nh nghắa 1.2 Têp C Rn ữủc gồi l têp lỗi náu C chựa mồi oÔn thng nối hai iºm b§t ký cõa nâ, tùc l ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1], ta câ λx + (1 − λ)y ∈ C ành ngh¾a 1.3 i) Ta nâi x l tờ hủp lỗi cừa cĂc im (vectỡ) x1, x2, · · · , xk n¸u x= k X λj x vỵi λj > 0, ∀j = 1, 2, · · · , k v j j=1 k X j=1 λj = ii) Ta nâi x l tê hđp affine cõa c¡c iºm (vectì) x1 , x2 , · · · , xk n¸u x= k X λj x vỵi j j=1 k X λj = j=1 Mằnh à 1.1 Têp hủp C l lỗi v ch nõ chựa mồi tờ hủp lỗi cừa c¡c iºm cõa nâ, tùc l vỵi måi k ∈ N, vỵi måi λ1 , λ2 , · · · , λk > cho k P λj = j=1 v vỵi måi x1 , x2 , · · · , xk ∈ C ta câ k X j xj C j=1 nh nghắa 1.4 Mởt têp C ữủc gồi l nõn náu vợi mồi > 0, vỵi måi x ∈ C ta câ λx ∈ C i) Mởt nõn ữủc gồi l nõn lỗi náu nõ l têp lỗi ii) Mởt nõn lỗi ữủc gồi l nõn nhồn náu nõ khổng chựa ữớng thng, â ta nâi l ¿nh cõa nân N¸u nõn ny l mởt têp lỗi a diằn thẳ ta nõi nõ l nõn lỗi a diằn nh nghắa 1.5 Cho C Rn l mởt têp lỗi v x ∈ C i) Tªp NC (x) = {w : hw, y − xi ≤ 0, ∀y ∈ C}, ÷đc gồi l nõn phĂp tuyán (ngoi) cừa C tÔi x ii) Tªp −NC (x) = {w : hw, y − xi ≥ 0, ∀y ∈ C}, ÷đc gåi l nân phĂp tuyán (trong) cừa C tÔi x nh lỵ 1.1 ( nh lỵ xĐp x tuyán tẵnh têp lỗi) Mồi têp lỗi, õng, khĂc rộng v khổng trũng vợi ton bở khỉng gian ·u l giao cõa t§t c£ c¡c nûa khỉng gian tüa cõa nâ ành ngh¾a 1.6 Cho hai têp C v D khĂc rộng, ta nõi siảu ph¯ng aT x = α t¡ch C v D n¸u aT x ≤ α ≤ aT y, ∀a ∈ C, y ∈ D Ta nâi si¶u ph¯ng aT x = α t¡ch ch°t C v D n¸u aT x < α < aT y, ∀a ∈ C, y ∈ D Ta nõi siảu phng aT x = tĂch mÔnh C v D n¸u sup aT x < α < inf aT y, ∀a ∈ C, y ∈ D x∈C yD nh lỵ 1.2 ( nh lỵ tĂch 1) Cho C v D l hai têp lỗi, khĂc rộng Rn cho C ∩ D = ∅ Khi â câ mởt siảu phng tĂch C v D nh lỵ 1.3 ( nh lỵ tĂch 2) Cho C v D l hai têp lỗi, õng, khĂc rộng Rn cho C D = GiÊ sỷ ẵt nhĐt mởt hai tªp l tªp compact Khi â, hai tªp n y cõ th tĂch mÔnh ữủc bi mởt siảu phng 1.1.2 Hm lỗi Cho C Rn l têp lỗi v f : C → R Ta k½ hi»u domf = {x ∈ C : f (x) < +∞}, epif = {(x, α) ∈ C × R : f (x) ≤ } nh nghắa 1.7 Têp domf ữủc gồi l miÃn hỳu hiằu cừa f Têp epif ữủc gồi l trản ỗ th cừa f Bơng cĂch t f (x) = +∞ n¸u x ∈ / C , ta câ thº coi f x¡c ành tr¶n to n khỉng gian Khi â, ta câ domf = {x ∈ Rn : f (x) ≤ +∞}, epif = {(x, α) ∈ Rn × R : f (x) ≤ α} ành ngh¾a 1.8 Cho C ⊂ Rn, C 6= ∅ l tªp lỗi v f : C [, +] Ta nõi f l hm lỗi trản C náu epif l têp lỗi Rn+1 nh nghắa trản tữỡng ữỡng vợi: ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1) ta câ f [λx + (1 − λ)y] ≤ λf (x) + (1 )f (y) Nhên xt 1.1 Và mt hẳnh hồc, ữớng cong biu diạn mởt hm lỗi phÊi thọa mÂn hai tẵnh chĐt sau i) khổng nơm trản oÔn thng nối bĐt ký hai im no thuởc ữớng cong ii) khổng nơm dữợi tiáp tuyán tÔi bĐt ký im no thuởc ữớng cong Và mt giÊi tẵch, nhên xt trản cõ th biu diạn dữợi dÔng bĐt ng thực sau f (a) + f (a)(x − a) ≤ f (x) ≤ f (a) + f (b) − f (a) (x − a) b−a (1.1) ành ngh¾a 1.9 Cho C Rn, C 6= l têp lỗi i) H m f : Rn → [−∞, +∞] ÷đc gåi l lỗi cht trản C náu f [x + (1 λ)y] < λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1) ii) H m f : Rn [, +] ữủc gồi l lỗi mÔnh trản C vợi hằ số > náu vợi måi x, y ∈ C, vỵi måi λ ∈ (0, 1) f [λx + (1 − λ)y] ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − ηλ(1 − λ)kx − yk2 iii) H m f : Rn [, +] ữủc gồi l hm lóm trản C náu f l hm lỗi trản C Mằnh à 1.2 Mët h m f : C → R l h m lỗi trản C v ch vợi mồi x, y C , vợi mồi , thọa mÂn f (x) < α, f (y) < β , vỵi måi sè λ ∈ [0, 1] ta câ f [λx + (1 − λ)y] ≤ λα + (1 − λ)β Vẵ dử 1.1 Mởt số vẵ dử và hm lỗi i) Chuân Euclide ||x|| l mởt hm lỗi trản Rn , â x ∈ Rn ii) Cho C Rn l têp lỗi khĂc rộng, hm ch cừa C , ữủc nh nghắa náu x ∈ C δC (x) := +∞ n¸u x ∈ /C l mởt hm lỗi iii) Cho C Rn l têp lỗi khĂc rộng, hm tỹa cừa C , ữủc nh nghắa SC (x) := suphy, xi yC l mởt hm lỗi iv) Cho C Rn l têp lỗi khĂc rộng, hm khoÊng cĂch án têp C , ữủc nh nghắa dC (x) := kx yk yC l mởt hm lỗi nh nghắa 1.10 Hm f ữủc gồi l hm chẵnh thữớng náu domf 6= v f (x) > vợi mồi x nh nghắa 1.11 Hm f ữủc gồi l hm õng náu epif l tªp âng khỉng gian Rn+1 ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - PHẠM LỆ QUYÊN VỀ PHƢƠNG PHÁP LỒI LƠGARIT VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG Chun ngành: Tốn Ứng Dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI... ỨNG DỤNG Chun ngành: Tốn Ứng Dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Bùi Việt Hƣơng THÁI NGUN - 2019 Mưc lưc Mð ¦u 1 KIN THC CHUN B 1.1 Têp lỗi Hm lỗi