ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN LÊ TUÂN ỨNG DỤNG QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH TRONG PHÂN TÍCH GÓI DỮ LIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC K[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN LÊ TUÂN ỨNG DỤNG QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH TRONG PHÂN TÍCH GĨI DỮ LIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN LÊ TUÂN ỨNG DỤNG QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH TRONG PHÂN TÍCH GĨI DỮ LIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số : 60 46 01 12 NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS Trần Vũ Thiệu THÁI NGUYÊN - 2017 i MỤC LỤC Trang MỤC LỤC i DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ ii MỞ ĐẦU Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 TẬP LỒI ĐA DIỆN 1.2 BÀI TỐN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH 1.2.1 Nội dung toán 1.2.2 Các tính chất 1.3 BÀI TỐN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỐI NGẪU 10 1.4 QUAN HỆ ĐỐI NGẪU TRONG QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH 12 Chƣơng 2: PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH GĨI DỮ LIỆU 15 2.1 PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH BẰNG ĐỒ THỊ 15 2.1.1 Đối tƣợng nghiên cứu 15 2.1.2 Hiệu tƣơng đối 16 2.1.3 Trƣờng hợp đầu vào - đầu 16 2.2 MƠ HÌNH CHARNES - COOPER - RHODES 22 2.3 MƠ HÌNH CHARNES - COOPER - RHODES ĐỐI NGẪU 29 2.4 ĐIỂM MẠNH VÀ YẾU CỦA PHƢƠNG PHÁP DEA 35 KẾT LUẬN 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 ii DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình 1.1 Tập ràng buộc tốn Ví dụ 1.2 10 Hình 1.2 Tập ràng buộc cặp tốn đối ngẫu Ví dụ 1.5 14 Hình 2.1 Biên giới hiệu 19 Hình 2.2 Phƣơng pháp đồ thị 21 MỞ ĐẦU Qui hoạch tuyến tính (LP) có nhiều ứng dụng thực tiễn, đặc biệt phân tích định lƣợng hoạt động kinh tế Luận văn đề cập tới ứng dụng qui hoạch tuyến tính (cịn đƣợc đề cập đến) vấn đề phân tích gói liệu, nhằm giúp đánh giá hiệu tƣơng đối, dựa tập hợp liệu thu thập đƣợc đơn vị khác tham gia lĩnh vực hoạt động đó, chẳng hạn chi nhánh ngân hàng thành phố, đơn vị sản xuất xí nghiệp, lớp trƣờng học, v.v Phân tích gói liệu (Data Envelopment Analysis, gọi tắt DEA) phƣơng pháp toán học ngày phổ biến nghiên cứu kinh tế DEA đƣợc dùng để đánh giá hoạt động sở sản xuất, ngân hàng, bệnh viện, trƣờng học, Cách tiếp cận thống kê truyền thống thƣờng có xu hƣớng đánh giá so với sở sản xuất đại diện (mẫu) trung bình Trái lại, DEA so sánh sở sản xuất với sở sản xuất "tốt nhất" (xu hƣớng tối ƣu hóa) Với sở sản xuất, trình sản xuất sở sử dụng tập hợp vật vào - yếu tố sản xuất (inputs) sản xuất tập hợp vật - sản phẩm (outputs) Với ngân hàng, ngân hàng có số nhân viên, số diện tích giao dịch số ngƣời quản lý định (vật vào) Có số tiêu để đánh giá hoạt động ngân hàng, ví nhƣ lƣợng tiền gửi, số tiền cho vay, v.v (vật ra) DEA cố gắng xác định xem ngân hàng hoạt động hiệu hoạt động không hiệu cụ thể ngân hàng khác Giả thiết ẩn sau phƣơng pháp sở sản xuất đó, chẳng hạn A, có khả sản xuất Y(A) đơn vị sản phẩm (vật ra) cách sử dụng X(A) đơn vị vật vào, sở sản xuất khác làm đƣợc nhƣ vậy, nhƣ họ hoạt động có hiệu Khi đó, sở sản xuất A, B sở sản xuất khác kết hợp lại tạo nên sở sản xuất "hợp" với vật vào hợp vật hợp Do sở sản xuất hợp khơng thiết tồn tại, nên thƣờng đƣợc gọi sở sản xuất ảo 2 Cốt lõi phân tích gói liệu tìm đƣợc sở sản xuất ảo "tốt nhất" cho sở sản xuất thực Nếu sở ảo tốt sở ban đầu, làm đƣợc nhiều vật với lƣợng vật vào, làm đƣợc lƣợng vật nhƣ nhƣng tốn vật vào hơn, sở sản xuất ban đầu hiệu Sự tinh tế DEA chỗ đƣa đƣợc cách khác nhau, theo sở sản xuất A B mở rộng hay thu hẹp quy mơ kết hợp lại Để làm đƣợc điều này, phân tích gói liệu (DEA) phải sử dụng đến cơng cụ toán học mà trƣớc hết qui hoạch toán học, nói riêng qui hoạch tuyến tính Vì chọn đề tài luận văn: "Ứng dụng qui hoạch tuyến tính phân tích gói liệu" nhằm mục đích tìm hiểu trình bày ý tƣởng, nội dung phƣơng pháp phân tích gói liệu, thơng qua phân tích ví dụ cụ thể từ đơn giản (một vật vào hay hai vật ra) đến phức tạp (nhiều vật vào - nhiều vật ra) tổng qt hóa dạng ma trận; đồng thời tìm hiểu mơ hình, phƣơng pháp xây dựng hiệu tƣơng đối tìm sở sản xuất tốt nhất, theo nghĩa đạt hiệu cao Luận văn đƣợc viết dựa tài liệu tham khảo [1] - [5], chủ yếu [3] [5] Nội dung luận văn gồm hai chƣơng • Chƣơng "Kiến thức chuẩn bị" nhắc lại kiến thức cần thiết tập lồi đa diện, tốn qui hoạch tuyến tính, tốn đối ngẫu quan hệ đối ngẫu qui hoạch tuyến tính • Chƣơng “Phân tích gói liệu” trình bày nội dung phân tích gói liệu ví dụ, mơ hình Charnes–Cooper–Rhodes mơ hình Charnes–Cooper–Rhodes đối ngẫu, phân tích điểm mạnh điểm yếu phƣơng pháp DEA Do thời gian có hạn nên luận văn chủ yếu dừng lại việc tìm hiểu, tập hợp tài liệu, xếp trình bày kết nghiên cứu có theo chủ đề đặt Trong q trình viết luận văn nhƣ soạn thảo văn chắn khơng tránh khỏi có sai sót định Tác giả luận văn mong nhận đƣợc góp ý thầy, bạn đồng nghiệp để luận văn đƣợc hoàn thiện Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hƣớng dẫn GS.TS Trần Vũ Thiệu tận tình giúp đỡ suốt trình làm luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn GS, PGS, TS Khoa Toán-Tin, Trƣờng Đại học Khoa học Thái Nguyên Viện Toán học, Viện Công nghệ thông tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu Thái Nguyên, tháng năm 2017 Tác giả luận văn Nguyễn Lê Tuân Chƣơng KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chƣơng nhắc lại số kiến thức cần thiết tập lồi đa diện, tốn qui hoạch tuyến tính, tốn qui hoạch tuyến tính đối ngẫu quan hệ đối ngẫu qui hoạch tuyến tính Nội dung chƣơng tham khảo chủ yếu từ tài liệu [1], [2] [5] 1.1 TẬP LỒI ĐA DIỆN Trƣớc hết nhắc lại khái niệm liên quan tới tập lồi Định nghĩa 1.1 Tập C ℝn đƣợc gọi tập lồi a + (1 - )b C với a, b C ≤ ≤ Nói cách khác, tập C lồi chứa trọn đoạn thẳng nối hai điểm thuộc Nói riêng, tập , tập gồm phần tử tồn khơng gian ℝn tập lồi Ví dụ 1.1 Các tập sau tập lồi: a) Tập afin tập chứa trọn đƣờng thẳng qua hai điểm thuộc b) Siêu phẳng tập có dạng H = {x ℝn : aTx = , a ℝn \ {0}, ℝ} c) Nửa khơng gian đóng H1 = {x ℝn : aTx ≤ }, H2 = {x ℝn : aTx ≥ } d) Nửa không gian mở K1 = {x ℝn : aTx < }, K2 = {x ℝn : aTx > } e) Hình cầu mở B(a, r) = {x ℝn : ||x - a|| < r} (a ℝn, r > cho trƣớc) f) Tập lồi đa diện D = {x ℝn : Ax ≤ b}, A ℝm×n, b ℝm g) Nón lồi đa diện K = {x ℝn : Ax ≤ 0}, A mìn, m ã T nh ngha tập lồi trực tiếp suy số tính chất đơn giản sau đây: a) Giao họ tập lồi tập lồi b) Tổng hai tập lồi hiệu hai tập lồi tập lồi 5 c) Nếu C ℝm, D ℝn lồi tích C × D = {(x, y) : x C, y D} tập lồi ℝm+n (Có thể mở rộng cho tích nhiều tập lồi) d) Tập M tập afin M = a + L với a M L không gian con, gọi không gian song song với M, hay tƣơng đƣơng: M tập afin M tập nghiệm hệ phƣơng trình tuyến tính, tức có biểu diễn M = {x ℝn : Ax = b, A ℝm×n, b ℝm} Giao số tập afin tập afin Định nghĩa 1.2 a) Điểm x ℝn có dạng x = 1a1 + 2a2 + + kak với ℝn, i ≥ 0, 1 + + k = 1, gọi tổ hợp lồi điểm a1, a2, , ak b) Điểm x ℝn có dạng x = 1a1 + 2a2 + + kak với ℝn, 1 + 2 + + k = 1, gọi tổ hợp afin điểm a1, a2, , ak c) Điểm x ℝn có dạng x = 1a1 + 2a2 + + kak với ℝn, i ≥ 0, gọi tổ hợp tuyến tính khơng âm hay tổ hợp nón điểm a1, a2, , ak Định nghĩa 1.3 Cho tập E ℝn a) Giao tất tập afin chứa E gọi bao afin E, ký hiệu aff E Đó tập afin nhỏ chứa E b) Giao tất tập lồi chứa E gọi bao lồi E, ký hiệu conv E Đó tập lồi nhỏ chứa E Định nghĩa 1.4 a) Thứ nguyên (hay số chiều) tập afin M, ký hiệu dim M, số chiều khơng gian song song với Qui ƣớc dim = - b) Thứ nguyên (hay số chiều) tập lồi C, ký hiệu dim C, thứ nguyên hay số chiều bao afin aff C Một tập lồi C ℝn gọi có thứ nguyên đầy đủ (full rank) dim C = n Định nghĩa 1.5 Một tập K ℝn đƣợc gọi nón (cone) hay tập nón (mũi 0) với x K > x K Nón K đƣợc gọi nón lồi (convex cone) K tập lồi 6 Tiếp theo nêu lại khái niệm có liên quan tới tập lồi đa diện Định nghĩa 1.6 Tập lồi đa diện giao số hữu hạn nửa khơng gian đóng Nói cách khác, tập nghiệm hệ hữu hạn bất phƣơng trình tuyến tính: ai1x1 + ai2x2 + + ainxn ≤ bi, i = 1, 2, , m, (1.1) nghĩa tập x nghiệm Ax ≤ b với A = (aij) ∈ Rm×n, b = (b1, , bm)T Nhận xét 1.1 Do phƣơng trình tuyến tính tƣơng đƣơng với hai bất phƣơng trình tuyến tính, nên tập nghiệm hệ (hữu hạn) phƣơng trình bất phƣơng trình tuyến tính tập lồi đa diện: Một tập lồi đa diện bi chặn (giới nội) không bị chặn (không giới nội) Một tập lồi đa diện bị chặn đƣợc gọi đa diện lồi Các đa giác lồi theo nghĩa thông thƣờng mặt phẳng hai chiều (tam giác, hình vng, hình trịn, ) ví dụ cụ thể đa diện lồi ℝ2 Cho D tập lồi đa diện xác định hệ bất phƣơng trình tuyến tính (1.1) Sau để đơn giản, ta giả thiết D không chứa đƣờng thẳng (tức ∄a, b ∈ D cho a + (1 - )b ∈ D với ∈ ℝ) Hai yếu tố cấu tạo nên tập lồi đa diện D đỉnh cạnh vơ hạn D Có thể hiểu khái niệm nhƣ sau Định nghĩa 1.7 Điểm x0 ∈ D đƣợc gọi đỉnh D rank {ai : = bi} = n (với = (ai1, , ain)T, i = 1, , m) Định nghĩa tƣơng đƣơng: x0 ∈ D đỉnh D x0 điểm nằm bên đoạn thẳng nối hai điểm thuộc D Định nghĩa 1.8 Đoạn thẳng [x1, x2], x1 ≠ x2, đƣợc gọi cạnh hữu hạn D x1, x2 đỉnh D rank {ai : = = bi} = n - Định nghĩa 1.9 Tia = {x0 + d : ≥ 0} ⊆ D, x0 ∈ D, d ∈ ℝn, đƣợc gọi cạnh vô hạn D ... này, phân tích gói liệu (DEA) phải sử dụng đến cơng cụ toán học mà trƣớc hết qui hoạch toán học, nói riêng qui hoạch tuyến tính Vì chọn đề tài luận văn: "Ứng dụng qui hoạch tuyến tính phân tích gói. ..ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN LÊ TUÂN ỨNG DỤNG QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH TRONG PHÂN TÍCH GĨI DỮ LIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã... ĐẦU Qui hoạch tuyến tính (LP) có nhiều ứng dụng thực tiễn, đặc biệt phân tích định lƣợng hoạt động kinh tế Luận văn đề cập tới ứng dụng qui hoạch tuyến tính (cịn đƣợc đề cập đến) vấn đề phân tích