ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ ÁNH TÍNH CHẤT MINIMAX CHO MÔĐUN MỞ RỘNG CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2019 ĐẠI HỌC TH[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ ÁNH TÍNH CHẤT MINIMAX CHO MƠĐUN MỞ RỘNG CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ ÁNH TÍNH CHẤT MINIMAX CHO MƠĐUN MỞ RỘNG CỦA MƠĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG Ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Văn Hoàng THÁI NGUYÊN - 2019 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, ngày 16 tháng 04 năm 2019 Tác giả Nguyễn Thị Ánh Xác nhận trưởng khoa chuyên môn Xác nhận cán hướng dẫn khoa học i ii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành vào tháng 04/2018 hướng dẫn PGS TS Nguyễn Văn Hồng Tơi xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy, học quý giá từ trang giấy học sống thầy dạy giúp tự tin trưởng thành nhiều Tôi xin cảm ơn Phòng Đào Tạo - Đại học Sư Phạm Thái nguyên tạo điều kiện để tơi hồn thành sớm khóa học Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới tất thầy cô Đại học Thái Nguyên thầy Viện toán với giảng đầy nhiệt thành tâm huyết, xin cảm ơn thầy cô quan tâm giúp đỡ suốt q trình học tập, tạo điều kiện cho tơi tham gia buổi seminar lớp học chương trình Tơi xin cảm ơn tất anh, em bạn bè động viên giúp đỡ nhiệt tình trình học làm luận văn Tôi xin gửi cảm ơn tới tất thành viên gia đình tạo điều kiện cho tơi học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn iiiii Mục lục Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Môđun Noether môđun Artin 1.2 Iđêan nguyên tố liên kết 1.3 Môđun Ext môđun Tor 1.4 Môđun đối đồng điều địa phương 1.5 Phức Koszul, đồng điều đối đồng điều Koszul 10 Chương Tính chất minimax cho mơđun mở rộng môđun đối đồng điều địa phương 12 2.1 Điều kiện cho tính chất minimax mơđun 13 2.2 Tính chất a-minimax mơđun Ext Tor 18 2.3 Nguyên lý đổi vành sở cho tính chất a-minimax 22 28 Tài liệu tham khảo 29 Kết luận iiiiv Mở đầu Năm 1986, H Zoschinger (trong [6], [7]) giới thiệu lớp môđun minimax thú vị: Một R-môđun M gọi minimax tồn môđun hữu hạn sinh N M cho M/N R-môđun Artin; [6], ông đưa số điều kiện tương đương với tính chất minimax Các khái niệm môđun a-minimax môđun a-cominimax đưa R Naghipour đồng nghiệp báo [1] khái qt hóa mơđun minimax môđun a-cofinite Một R-môđun M a-minimax chiều Goldie a-tương quan môđun thương M hữu hạn Nhắc lại R-môđun M gọi có chiều Goldie hữu hạn (Gdim M ≤ ∞) M không chứa tổng trực tiếp vô hạn môđun khác không M , hay nói cách khác, bao nội xạ E(M ) M phân tích thành tổng trực tiếp hữu hạn mơđun khơng phân tích Ngồi ra, R-mơđun M coi có chiều Goldie a-tương quan hữu hạn chiều Goldie môđun a-xoắn Γa (M ) hữu hạn Ta biết M mơđun a-xoắn, M a-minimax M minimax Ngoài ra, ta nói Rmơđun M a-cominimax giá M chứa V (a) ExtiR (R/a, M ) môđun a-minimax với i ≥ Năm 2015, M Sedghi-L Abdi (trong báo [10]) chứng minh ExtiR (R/a, M ) a-minimax với i ≥ M/an M a-minimax với n ≥ Và nhiều áp dụng kết nghiên cứu đưa Một số chứng minh tương đương tính a-minimax R-mơđun ExtiR (R/a, M ), TorR i (R/a, M ) H i (x1 , , xt ; M ) với i ≥ với x1 , , xt hệ sinh iđêan a Sử dụng kết đó, họ b ⊇ a cho M b-minimax cd(b, M ) = 1, R-mơđun ExtjR (L, Hai (M )) b-minimax với i ≥ j ≥ (trong L R-mơđun hữu hạn sinh có giá nằm V (b)) Do Hai (M )/bn Hai (M ) b-minimax với i ≥ n ≥ Mục đích luận văn tìm hiểu trình bày chứng minh chi tiết lại kết báo [10] M Sedghi and L Abdi (2015), Minimaxness properties of extension functors of local cohomology modules, Inter Electronic J of Albegra, Vol 17, 94-104; phần báo [1] Azami J., Naghipour R and Vakili B (2009), Finiteness properties of local cohomology modules for a - minimax modules, Proc Amer Math Soc 137, 439-448 Các nói mơđun minimax iđêan cho trước Luận văn có bố cục gồm hai chương Chương trình bày kiến thức chuẩn bị cần thiết tập Ass, tập Supp, môđun Ext, Tor, môđun đối đồng điều địa phương, phức Koszul Chương dành để trình bày kết luận văn tính chất minimax cho mơđun mở rộng môđun đối đồng điều địa phương Cụ thể, Mục 2.1 trình bày số khái niệm minimax, cominimax, chiều Goldie, chiều Goldie tương quan, sau trình bày số bổ đề phụ trợ dẫn đến kết mục điều kiện cho tính chất minimax mơđun (xem Định lý 2.1.9) Mục 2.2 dành để trình bày áp dụng hiệu định lý mục trước, cụ thể ta chứng minh chi tiết Định lý 2.2.1 tương đương khảo sát tính chất a-minimax môđun ExtiR (R/a, M ), Tor(R/a, M ) môđun đối đồng điều Koszul H i (x1 , , xt ; M ) với i ≥ Tiếp đến ta trình bày kết mở rộng cho kết vừa nêu, cụ thể ta thu Định lý 2.2.2 Mục cuối trình bày kết nghiên cứu thay đổi tính chất a-cominimax mơđun ta chuyển vành sở, cụ thể ta chứng minh chi tiết nguyên lý chuyển vành sở tính chất minimax (xem Định lý 2.3.2) Sau ta trình bày nhiều hệ áp dụng tính chất Chương Kiến thức chuẩn bị Ở chương ta giả thiết R vành giao hốn Noether có đơn vị Các kiến thức chương trình bày dựa vào sách [9], [2], [12] 1.1 Môđun Noether môđun Artin Môđun Noether lớp mơđun Đại số giao hốn Sau ta nhắc lại định nghĩa số tính chất Bổ đề 1.1.1 Cho R vành giao hốn M R-mơđun Khi mệnh đề sau tương đương i) (Điều kiện hữu hạn sinh) Mọi môđun M hữu hạn sinh ii) (Điều kiện dãy tăng) Nếu N1 ⊆ N2 ⊆ N3 ⊆ ⊆ Ni ⊆ dãy môđun M , tồn n ≥ cho Ni = Nn với i ≥ n; iii) (Điều kiện tối đại) Mọi tập khác rỗng môđun M có phần tử tối đại Định nghĩa 1.1.2 Một R-môđun M thỏa mãn điều kiện tương đương Bổ đề 1.1.1 gọi môđun Noether Một vành giao hoán R gọi vành Noether R-mơđun Noether Mệnh đề 1.1.3 i) Cho dãy khớp ngắn R-môđun → M → M → M ” → Khi M R-môđun Noether M M ” R-môđun Noether ii) Mỗi R-môđun hữu hạn sinh vành Noether R R-môđun Noether iii) Nếu M R-môđun Noether S tập đóng nhân R S −1 M S −1 R-môđun Noether Tiếp theo ta xét khái niệm mơđun Artin khái niệm đối ngẫu môđun Noether Bổ đề 1.1.4 Cho M R-mơđun Khi mệnh đề sau tương đương: i) (Điều kiện dãy giảm) Nếu N1 ⊇ N2 ⊇ N3 ⊇ ⊇ Ni ⊇ dãy mơđun M , tồn n ≥ cho Ni = Nn với i ≥ n; ii) (Điều kiện cực tiểu) Mọi tập khác rỗng môđun M ln có phần tử cực tiểu Định nghĩa 1.1.5 Một R-môđun M thỏa mãn điều kiện tương đương Bổ đề 1.1.4 gọi môđun Artin Một vành giao hoán R gọi vành Artin R-mơđun Artin Ta xét số tính chất môđun Artin Mệnh đề 1.1.6 i) Cho dãy khớp ngắn R-môđun → M → M → M ” → Khi M R-mơđun Artin M M ” R-môđun Artin ii) Mỗi R-môđun hữu hạn sinh vành Artin R R-môđun Artin iii) Mỗi iđêan nguyên tố vành Artin R iđêan cực đại 1.2 Iđêan nguyên tố liên kết Định nghĩa 1.2.1 Cho M R-môđun p ∈ Spec R Khi p gọi iđêan nguyên tố liên kết M tồn 6= x ∈ M cho (0 :R x) = p Tập tất iđêan nguyên tố liên kết M kí hiệu Ass M AssR M Cho a iđêan R, ta kí hiệu V (a) tập xác định V (a) = {p ∈ Spec R | a ⊆ p} Sau vài tính chất tập Ass Mệnh đề 1.2.2 Cho M R-môđun, N môđun M , p ∈ Spec R, a iđêan R Khi ta có i) Ass(0 :M a) = Ass M ∩ V (a) ii) Ass N ⊆ Ass M ⊆ Ass N ∪ Ass M/N iii) p ∈ Ass M R/ p đẳng cấu với môđun M Định nghĩa 1.2.3 Cho M R-mơđun Tập giá M , kí hiệu SuppR M Supp M , xác định SuppR M = {p ∈ Spec R | Mp 6= 0} Mệnh đề 1.2.4 i) Cho dãy khớp môđun → M → M → M ” → Khi Supp M = Supp M ∪ Supp M ” ... 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Văn Hoàng THÁI NGUYÊN - 2019 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài... thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, ngày 16 tháng 04 năm 2019 Tác giả Nguyễn Thị Ánh Xác nhận trưởng khoa chuyên môn Xác nhận cán hướng dẫn khoa học i ii