��I HÅC TH�I NGUY�N TR×ÍNG ��I HÅC KHOA HÅC D×ÌNG CÆNG CØ B�T ��NG THÙC V� CÜC TRÀ SINH BÐI C�C �A THÙC ��I SÈ BA BI�N LU�N V�N TH�C S� TO�N HÅC TH�I NGUY�N 2019 ��I HÅC TH�I NGUY�N TR×ÍNG ��I HÅC KHO[.]
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC D×ÌNG CỈNG CØ BT NG THÙC V CÜC TRÀ SINH BÐI CC A THÙC I SÈ BA BIN LUN VN THC S TON HÅC THI NGUYN - 2019 I HÅC THI NGUYN TRìNG I HC KHOA HC DìèNG CặNG Cỉ BT NG THÙC V CÜC TRÀ SINH BÐI CC A THÙC I Sẩ BA BIN Chuyản ngnh: PHìèNG PHP TON Sè CP M¢ sè: 60 46 01 13 LUN VN THC S TON HC Ngữới hữợng dăn khoa hồc: GS.TSKH Nguyạn Vôn Mêu THI NGUYN - 2019 i Mửc lửc Mé U Chữỡng a thực v cĂc hằ thực liản quan 1.1 Mët sè b§t ¯ng thùc cê in liản quan án a thực 1.2 a thực bêc ba v mët sè h» thùc cì b£n 1.3 1.2.1 Cæng thùc Vi±te v phữỡng trẳnh bêc 1.2.2 Hằ phữỡng trẳnh ối xựng ba ân 13 1.2.3 PhƠn tẵch a thực thnh nhƠn tỷ 16 1.2.4 Tẵnh chia hát cừa cĂc a thực èi xùng 18 a thùc bªc ba v c¡c h» thùc tam gi¡c 19 Chữỡng CĂc bĐt ng thực sinh bi cĂc a thực Ôi số ba bián 22 2.1 2.2 2.3 BĐt ¯ng thùc sinh bði a thùc bªc ba 22 2.1.1 C¡c kh¡i ni»m cì b£n 22 2.1.2 CĂc nh lỵ cỡ bÊn cừa a thực Ôi số ba bián 24 C¡c b§t ¯ng thùc sinh bði c¡c a thực Ôi số ba bián 28 2.2.1 Mët sè m»nh · b§t ¯ng thùc 28 2.2.2 p dưng chùng minh b§t ¯ng thùc 33 Mët số dÔng bĐt ng thực ba bián phƠn thực 35 Chữỡng CĂc dÔng toĂn cỹc tr sinh bi cĂc a thực Ôi số ba bi¸n 38 3.1 Cüc trà theo r ng buëc têng v tẵch ba số 3.2 CĂc dÔng toĂn cỹc tr sinh bi cĂc a thực Ôi số ba bián 41 3.3 Mởt số dÔng toĂn liản quan 45 KT LUN TI LIU THAM KHO 38 47 48 M Ưu Chuyản à b§t ¯ng thùc câ vai trá r§t quan trång ð bêc trung hồc phờ thổng BĐt ng thực khổng ch l ối tữủng nghiản cựu trồng tƠm cừa Ôi số v Gi£i t½ch m cán l cỉng cư c lüc nhiÃu lắnh vỹc khĂc cừa toĂn hồc Ta  biát rơng cĂc bĐt ng thực a thực  ÷đc nhi·u nh to¡n håc kh£o s¡t nh÷ Newton, Lagrange, Berstein, Markov, Kolmogorov, Landau, C¡c b§t ¯ng thực dÔng ny cụng cõ th chựng minh ữủc bơng nhiÃu phữỡng phĂp khĂc cừa hẳnh hồc nhữ phữỡng ph¡p v²ctì v ph÷ìng ph¡p tåa ë, ph÷ìng ph¡p sè phực, Tuy nhiản, cĂc dÔng bĐt ng thực ựng vợi lợp a thực tờng quĂt thẳ ngữới ta cƯn án cĂc cổng cử cừa giÊi tẵch (tẵnh lỗi, lãm) º kh£o s¡t chóng º ¡p ùng nhu c¦u bỗi dữùng giĂo viản v bỗi dữùng hồc sinh giọi v nƠng cao nghiằp vử cừa bÊn thƠn và chuyản · b§t ¯ng thùc v cüc trà sinh bði c¡c a thực Ôi số ba bián, tổi chồn à ti luên vôn "BĐt ng thực v cỹc tr sinh bi cĂc a thực Ôi số ba bián" Luên vôn ny nhơm cung cĐp mởt số dÔng bĐt ng thực v cỹc tr sinh bi cĂc a thực Ôi số mởt số dÔng liản quan Luên vôn gỗm phƯn m Ưu, kát luên v chữỡng Chữỡng a thực v cĂc hằ thực liản quan Chữỡng CĂc bĐt ng thực sinh bi cĂc a thực Ôi số ba bián Chữỡng CĂc dÔng toĂn cỹc tr sinh bi cĂc a thực Ôi số ba bián Mửc ẵch cừa à ti luên vôn l khÊo sĂt mởt số lợp b§t ¯ng thùc v cüc trà sinh bði c¡c a thực Ôi số ba bián v xt cĂc m rởng cõa chóng º ¡p dưng kh£o s¡t c¡c b i to¡n cüc trà li¶n quan T¡c gi£ xin b y tä lỏng biát ỡn sƠu sưc tợi GS.TSKH Nguyạn Vôn Mêu  tên tẳnh hữợng dăn v giúp ù tĂc giÊ suốt quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu luên vôn TĂc giÊ cụng xin by tọ lỏng biát ỡn chƠn thnh tợi cĂc ThƯy Cổ khoa ToĂn-Tin trữớng Ôi hồc Khoa hồc, Ôi hồc ThĂi Nguyản  giÊng dÔy v giúp ù cho tĂc giÊ suốt thới gian hồc têp tÔi Trữớng 2 ỗng thới, tĂc giÊ cụng xin gỷi lới cÊm ỡn tợi gia ẳnh v cĂc bÔn ỗng mổn  luổn giúp ù v ởng viản tổi thới gian hồc têp v quĂ trẳnh hon thnh luên vôn ThĂi Nguyản, 12 thĂng 05 nôm 2019 TĂc giÊ Dữỡng Cổng Cứ Chữỡng a thực v cĂc hằ thực liản quan Mửc ẵch cừa chữỡng ny l trẳnh by mởt số bĐt ng thực cờ in liản quan án a thực nõi chung, a thực bêc ba nõi riảng v xt mởt số hằ thực cỡ bÊn Mởt phƯn cừa chữỡng ny ữủc dnh nảu và a thực bêc ba v cĂc hằ thực tam giĂc CĂc kát quÊ chẵnh cừa ch÷ìng ÷đc tham kh£o tø c¡c t i li»u [2], [3] 1.1 Mởt số bĐt ng thực cờ in liản quan án a thực nh nghắa 1.1 A Cho bêc n bi¸n x l mët v nh giao ho¡n câ ìn Ta gồi a thực l mởt biu thực cõ dÔng fn (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 (an 6= 0), â c¡c ∈ A ÷đc gåi l h» sè, an l h» sè cao nh§t v a0 (1.1) l h» sè tü cõa a thùc fn (x) l sè mơ cao nh§t cõa lơy thøa câ m°t (1.1) v ữủc kỵ hiằu l deg(f ) Khi õ náu (1.1) an 6= thẳ deg(f ) = n N¸u = 0, i = 1, , n v a0 6= th¼ ta cõ bêc cừa a thực l Náu = 0, i = 0, , n th¼ ta coi bªc cõa a thùc l −∞ v gåi a Bêc cừa a thực thực khổng (nõi chung thẳ ngữới ta khổng nh nghắa bêc cừa a thực khổng) Têp hủp tĐt cÊ cĂc a thực vợi hằ số lĐy vnh hiằu l A[x] A=K A ữủc kỵ K[x] l mët v nh giao ho¡n câ ìn Ta th÷íng x²t A = Z, ho°c A = Q ho°c A = R ho°c A = C Khi â, ta câ c¡c v nh a thùc t÷ìng ùng l Z[x], Q[x], R[x], C[x] Khi l mởt trữớng thẳ vnh CĂc php tẵnh trản a thực Cho hai a thực f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , g(x) = bn xn + bn−1 xn−1 + · · · + b1 x + b0 Ta nh nghắa cĂc php tẵnh sè håc f (x) + g(x) = (an + bn )xn + · · · + (a1 + b1 )x + a0 + b0 , f (x) − g(x) = (an − bn )xn + · · · + (a1 − b1 )x + a0 − b0 , f (x)g(x) = c2n x2n + c2n−1 x2n−1 + · · · + c1 x + c0 , â ck = a0 bk + a1 bk−1 + · · · + ak b0 , k = 0, , n CĂc tẵnh chĐt cỡ bÊn nh lỵ 1.1 GiÊ sû A l mët tr÷íng, f (x) v g(x) 6= l hai a thùc A[x], th¸ A[x] cho cõa v nh thc th¼ bao gií cơng câ c°p a thực nhĐt f (x) = g(x)q(x) + r(x) Náu r(x) = GiÊ sỷ a ỵ cừa vnh ta nõi f (x) vợi chia hát cho l phƯn tỷ tũy ỵ cừa vnh A[x], phƯn tỷ f (a) = n P q(x) v r(x) deg r(x) < deg g(x) g(x) A, f (x) = n P x i l a thực tũy i=0 ai cõ ữủc bơng cĂch thay x bi a i=0 f (x) tÔi a Náu f (a) = thẳ ta gồi a l nghi»m cõa f (x) B i to¡n t¼m c¡c nghi»m cõa f (x) A gồi l giÊi phữỡng trẳnh Ôi số bêc n A ữủc gồi l giĂ tr cõa an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = (an 6= 0) nh lỵ 1.2 GiÊ sỷ A l mởt trữớng, a ∈ A v f (x) ∈ A[x] D÷ sè cõa ph²p chia f (x) cho x−a ch½nh l f (a) nh lỵ 1.3 a l nghiằm cừa f (x) v ch¿ f (x) chia h¸t cho (x−a) a ∈ A, f (x) ∈ A[x] v m l mët số tỹ nhiản hỡn hoc bơng Khi õ a l nghi»m bëi c§p m cõa f (x) v ch¿ f (x) chia h¸t cho (x − a)m v f (x) khỉng chia h¸t cho (x − a)m+1 GiÊ sỷ A l mởt trữớng, lợn Trong trữớng hủp m = thẳ ta gồi a l nghiằm ỡn cỏn m = thẳ a ữủc gåi l nghi»m k²p Sè nghi»m cõa mët a thùc l têng sè c¡c nghi»m cõa a thùc â kº cÊ cừa cĂc nghiằm (náu cõ) Vẳ vêy, ngữới ta coi mët a thùc câ mët nghi»m bëi c§p m nh÷ mët a thùc câ m nghi»m trịng Lữủc ỗ Horner GiÊ sỷ f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 A[x] (vợi A l mởt trữớng) Khi õ thữỡng gƯn úng cừa mởt a thực cõ bêc b¬ng n − 1, f (x) cho (x − a) l cõ dÔng q(x) = bn1 xn1 + à à · + b1 x + b0 , â bn−1 = an , bk = abk+1 + ak+1 , k = 0, , n − 2, v số r = ab0 + a0 nh lỵ 1.4 ( nh lẵ Vite) a GiÊ sỷ phữỡng trẳnh an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = (an 6= 0) câ n nghi»m (thüc ho°c phùc) x1 , x2 , , xn th¼ E1 (x) := x1 + x2 + · · · + xn E2 (x) := x1 x2 + x1 x3 + · · · + xn−1 xn En (x) := x1 x2 xn b Ngữủc lÔi náu cĂc số x1 , x2 , , xn (1.2) an−1 =− an an−2 = an a0 = (−1)n an (1.3) thäa mÂn hằ trản thẳ chúng l nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.2) H» (1.3) câ k th nh ph¦n thù k câ Cn số hÔng n thnh phƯn v vá trĂi cõa E1 (x), E2 (x), , En (x) ữủc gồi l hm ( a thực) ối xựng bêc 1, 2, , n, t÷ìng ùng c CĂc hm sỡ cĐp Vite nh lỵ 1.5 Mội a thùc thüc bªc n ·u câ khỉng qu¡ n nghi»m thüc 6 H» qu£ 1.1 a thùc câ væ sè nghi»m l a thùc khỉng H» qu£ 1.2 N¸u a thùc câ bªc ≤ n m nhªn cịng mët gi¡ tr nhữ tÔi n+1 im phƠn biằt cừa ối số thẳ õ l a thực hơng Hằ quÊ 1.3 Hai a thùc bªc ≤ n m nhªn n + trũng tÔi n + im phƠn biằt cừa ối số thẳ chúng ỗng nhĐt bơng nh lỵ 1.6 Mồi a thực f (x) R[x] cõ bêc n v cõ hằ số chẵnh (hằ số an 6= cao nhĐt) Ãu cõ th phƠn tẵch (duy nhĐt) thnh nhƠn tỷ dÔng m s Y Y f (x) = an (x − di ) (x2 + bk x + ck ) i=1 vỵi k=1 di , bk , ck ∈ R, 2s + m = n, b2k − 4ck < 0, s, m, n ∈ N∗ ành ngh¾a 1.2 1) Måi nghi»m x0 cõa a thùc (1.1) Ãu thọa mÂn bĐt ng thực |x0 | + A , |a0 | A = max |ak | 1kn r 2) Náu am l hằ số Ơm Ưu tiản cừa a thực (1.1) thẳ số n 1+ cên trản cừa cĂc nghiằm dữỡng cừa a thực  cho, â B B am l l gi¡ trà lợn nhĐt cừa mổ un cĂc hằ số Ơm fn (x) dÔng (1.1) viát dữợi dÔng fn (x) = g(x)q(x) vợi deg(g) > v deg(q) > th¼ ta nâi g l ữợc cừa fn (x) v ta viát g(x)|fn (x) hay fn (x) g(x) N¸u g(x)|f (x) v g(x)|h(x) thẳ ta nõi g(x) l ữợc chung cừa f (x) v h(x) N¸u hai a thùc f (x) v h(x) ch cõ ữợc chung l cĂc a thực bêc thẳ ta nõi rơng chúng nguyản tố v vi¸t (f (x), h(x)) = 3) Khi a thực nh lỵ 1.7 iÃu kiằn cƯn v ừ hai a thùc f (x) v h(x) nguy¶n tè cịng l tỗn tÔi cp a thực u(x) v v(x) cho f (x)u(x) + h(x)v(x) Tẵnh chĐt 1.1 c¡c a thùc g(x)h(x) N¸u c¡c a thùc f (x) h(x) v g(x) nguy¶n tè cịng v nguy¶n tè cịng th¼ c¡c a thùc f (x) v cụng nguyản tố Tẵnh chĐt 1.2 f (x)h(x) v f (x) chia h¸t cho chia h¸t cho g(x) f (x), g(x), h(x) thäa m¢n i·u ki»n g(x), g(x) v h(x) nguyản tố thẳ f (x) Náu cĂc a thực Tẵnh chĐt 1.3 Náu a thực vợi nguyản tố thẳ g(x) h(x) v Tẵnh chĐt 1.4 m [f (x)] v f (x) Náu cĂc a thùc n [g(x)] chia h¸t cho c¡c a thùc f (x) f (x) v g(x) chia h¸t cho g(x) v h(x) g(x)h(x) nguyản tố thẳ s nguyản tố vợi mồi m, n nguyản dữỡng Mởt số bĐt ng thực Ôi số cỡ bÊn Trong phƯn ny trẳnh by cĂc bĐt ng thực liản quan án cĂc a thực Ôi số cỡ bÊn nh lỵ 1.8 GiÊ sỷ (BĐt ng thực giỳa trung bẳnh cởng v trung bẳnh nhƠn) x1 , x2 , , xn l c¡c sè khỉng ¥m Khi â √ x1 + x2 + · · · + xn ≥ n x1 x2 xn n D§u ¯ng thùc x£y v ch¿ (1.4) x1 = x2 = = xn BĐt ng thực (1.4) cõ nhiÃu ti liằu bơng tiáng Viằt v ữủc gồi l bĐt ng thực Cổsi (Cauchy) Tuy nhiản, cĂc ti liằu nữợc ngoi bĐt ng thực trản cõ tản tiáng Anh l AM-GM Inequality, cho nản và sau, ta gồi bĐt ng thực (1.4) l BĐt ng thực giỳa trug bẳnh cởng v trung bẳnh nhƠn BĐt ng thực (1.4) khĂ quen thuởc vợi a số bÔn ồc v  ữủc chựng minh nhiÃu ti liằu bơng tiáng Viằt, nản chúng tổi s khổng trẳnh by chựng minh m ch xt vẵ dử Ăp dửng Vẵ dử 1.1 Cho cĂc số khổng Ơm x, y, z Chùng minh b§t ¯ng thùc x y z + + ≥ x1/2 y 1/3 z 1/6 Lới giÊi BĐt ng thực  cho tữỡng ữỡng vợi 3x + 2y + z p ≥ x3 y z Ta vi¸t v¸ trĂi cừa bĐt ng thực trản dÔng 3x + 2y + z x+x+x+y+y+z = 6 Theo b§t ng thực giỳa trung bẳnh cởng v trung bẳnh nhƠn ta câ 3x + 2y + z x+x+x+y+y+z p = ≥ x3 y z 6 B§t ¯ng thực ữủc chựng minh 8 nh lỵ 1.9 (BĐt ng thực Cauchy - Schwarz) Vợi hai dÂy số thỹc tũy ỵ x1 , x2 , , xn v y1 , y2 , , yn ta ln câ b§t ¯ng thùc (x21 + x22 + · · · + x2n )(y12 + y22 + · · · + yn2 ) ≥ (x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn )2 (1.5) (x1 , x2 , , xn ) ∀i = 1, n D§u ¯ng thùc x£y v ch¿ hai bë t l», tùc l nh lỵ 1.10 xi = kyi (BĐt ng thực Schwarz) (y1 , y2 , , yn ) x1 , x2 , , xn v y1 , y2 , , yn l hai ∀i = 1, 2, , n Ta ln câ b§t ¯ng thùc Cho D§u ¯ng v d¢y sè thüc, â l yi > 0, (x1 + x2 + · · · + xn )2 x2 x2 x2 ≤ + + · · · + n y1 + y2 + · · · + yn y y2 yn x2 xn x1 = = = thùc x£y v ch y1 y2 yn nh lỵ 1.11 (BĐt ng thực Chebyshev) Cho dÂy số thỹc tũy ỵ x1 , x2 , , xn cho x1 ≤ x2 ≤ ≤ xn Khi â ta câ c¡c kh¯ng ành sau: a) N¸u y1 ≤ y ≤ ≤ y n th¼ (x1 + x2 + + xn )(y1 + y2 + + yn ) n x y1 + x y + · · · + x n yn ≥ b) N¸u y ≥ y2 ≥ ≥ yn th¼ x y1 + x y + · · · + x n yn ≤ D§u ¯ng thùc x£y v (x1 + x2 + + xn )(y1 + y2 + + yn ) n ch¿ x1 = x2 = = xn ho°c y1 = y2 = = yn nh lỵ 1.12 (BĐt ng thực Jensen) GiÊ sỷ hm sè li¶n tưc tr¶n f (x) I(a, b), õ I(a, b) ữủc ngƯm hiu l mởt số c¡c tªp [a, b], [a, b), (a, b], (a, b) Khi â i·u ki»n c¦n v õ º h m sè f (x) lỗi trản I(a, b) l f (x1 ) + f (x2 ) x1 + x2 f ≤ , ∀x1 , x2 ∈ I(a, b) 2 1.2 a thùc bªc ba v mët sè h» thùc cì b£n Mưc n y tr¼nh b y mët sè h» thùc cì b£n cõa a thùc bªc ba 9 1.2.1 Cỉng thực Vite v phữỡng trẳnh bêc Mc dũ cĂch giÊi phữỡng trẳnh bêc ba tờng quĂt khổng ữủc giợi thiằu bêc phờ thổng cĂc bi toĂn liản quan án phữỡng trẳnh bêc ba lÔi thữớng gp cĂc kẳ thi vo Ôi hồc v thi hồc sinh giäi Trong mưc n y tr¼nh b y mët sè b i to¡n liản quan án cổng thực Vite cừa a thực bêc ba nh lỵ 1.13 Náu x1 , x2 , x3 (Cổng thực Vite) l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh ax3 + bx2 + cx + d = (a 6= 0), th¼ σ1 := x1 + x2 + x3 σ2 := x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 σ3 := x1 x2 x3 Chùng minh b =− , a c = , a d =− a Ta cõ ỗng nhĐt thực a(x x1 )(x x2 )(x − x3 ) ≡ ax3 + bx2 + cx + d ⇔ ax3 − (x1 + x2 + x3 )ax2 + a(x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 )x − ax1 x2 x3 ≡ ax3 + bx2 + cx + d So s¡nh h» sè c¡c lôy thøa bêc cừa x hai vá cừa ng thực trản, suy iÃu phÊi chựng minh nh lỵ 1.14 Xt phữỡng trẳnh bêc ba x3 + ax2 + bx + c = (1.6) vỵi c¡c h» sè l c¡c sè thüc v = −4a3 c + a2 b2 + 18abc − 4b3 − 27c2 (1.7) ÷đc gåi l biằt thực cừa phữỡng trẳnh Khi õ: a) Náu > 0, thẳ tĐt cÊ cĂc nghiằm x1 , x2 , x3 l c¡c sè thüc v kh¡c b) Náu < 0, thẳ mởt nghiằm cừa phữỡng trẳnh l thỹc, cỏn hai nghiằm l phực liản hđp cịng c) N¸u = v a 3b 6= 0, thẳ phữỡng trẳnh (1.6) cõ ba nghi»m thüc, â câ hai nghi»m tròng (nghiằm kp), nghiằm cỏn lÔi khĂc hai 10 nghiằm trản Náu 4=0 a2 3b = v thẳ phữỡng tr¼nh câ ba nghi»m thüc cịng (nghi»m bëi) Chùng minh Gi£ sû x1 , x2 , x3 l c¡c nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.6) (cõ th l cĂc số phực, ẵt nhĐt cõ mởt nghiằm l thỹc) Khi õ theo cổng thực Vite cho phữỡng trẳnh bêc ba, ta câ σ1 = x1 + x2 + x3 = −a, σ2 = x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 = b, σ3 = x1 x2 x3 = −c Xt bẳnh phữỡng cừa a thực phÊn ối xựng ỡn gi£n nh§t cõa x1 , x2 , x3 = T = (x1 − x2 )2 (x1 − x3 )2 (x2 − x3 )2 Tø c¡c h» thực Vite trản Ơy, ta cõ = 4a3 c + a2 b2 + 18abc − 4b3 − 27c2 Ró rng l náu tĐt cÊ cĂc nghiằm Ãu l thüc v kh¡c th¼ thüc v kh¡c khỉng, â = T > T l sè iÃu ngữủc lÔi ữủc suy tứ dữợi Ơy b) Gi£ sû x1 l nghi»m thüc, cán x2 = α + iβ v x3 = α − iβ x2 , x3 l phực liản hủp cõ dÔng: Khi õ, ta câ T = (x1 − α − iβ)(x1 − α + iβ)2iβ = 2iβ[(x1 − α)2 + β ] Do â = T = −4β [(x1 − α)2 + β ] < c) Tứ kát quÊ trẳnh by phƯn b) ta thĐy náu phữỡng trẳnh (1.6) cõ hai nghiằm bơng thẳ cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh Ãu l thỹc v = º l m s¡ng tä n o ch¿ câ hai nghi»m b¬ng (nghi»m k²p), ho°c c£ ba nghi»m b¬ng (nghi»m bëi), ta x²t biºu thùc 41 = (x1 − x2 )2 + (x2 − x3 )2 + (x3 − x1 )2 = 2(σ12 − 3σ2 ) = 2(a2 − 3b) Rã r ng n¸u x1 , x2 , x3 l c¡c sè thüc th¼ 41 = 0, tùc l a2 = 3b v ch phữỡng trẳnh (1.6) câ ba nghi»m thüc b¬ng (nghi»m bëi) = v a2 = 3b thẳ phữỡng trẳnh (1.6) câ nghi»m bëi, cán n¸u = v a2 6= 3b thẳ phữỡng trẳnh cõ nghiằm số kp nh lỵ ữủc chựng Vêy náu minh Vẵ dử 1.2 Thnh lêp mởt phữỡng trẳnh bêc ba cõ cĂc nghiằm l bẳnh phữỡng cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh u3 2u2 + u − 12 = 11 Líi gi£i r1 , r2 , r3 K½ hi»u u1 , u2 , u3 l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh  cho v l c¡c a thùc èi xùng c§p cõa c¡c bián u1 , u2 , u3 Theo nh lỵ Vi±te ta câ r1 = u1 + u2 + u3 = 2, r2 = u1 u2 + u2 u3 + u3 u1 = 1, r3 = u1 u2 u3 = 12 GiÊ sỷ phữỡng trẳnh cƯn lêp cõ dÔng x − σ1 x + σ2 x − σ3 = v x1 , x2 , x3 l c¡c nghi»m cõa nâ Theo i·u ki»n cõa · b i ta câ σ1 = x1 + x2 + x3 = u21 + u22 + u23 = r12 − 2r2 = 22 − = 2, σ2 = x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = u21 u22 + u22 u23 + u23 u21 = r22 − 2r1 r3 = − 2.2.12 = −47 σ3 = x1 x2 x3 = u21 u22 u23 = r32 = 122 = 144 Vªy phữỡng trẳnh bêc ba cƯn lêp s l x3 2x2 − 47x − 144 = V½ dư 1.3 Cho x1 , x2 , x3 l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh ax3 − ax2 + bx + b = 0, (a.b 6= 0) Chùng minh r¬ng 1 (x1 + x2 + x3 ) + + x1 x2 x3 Lới giÊi = Theo nh lỵ Vite, ta câ b b σ1 = x1 + x2 + x3 = 1, σ2 = x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = , σ3 = x1 x2 x3 = − a a Khi â 1 x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 σ2 + + = = = −1 x1 x2 x3 x1 x2 x3 σ3 Do â ta câ V½ dư 1.4 1 (x1 + x2 + x3 ) + + x1 x2 x3 T¼m a º c¡c nghi»m x1 , x2 , x3 = −1 cõa a thùc f (x) = x3 − 6x2 + ax + a 12 thäa m¢n ¯ng thùc (x1 − 3)2 + (x2 − 3)2 + (x3 − 3)2 = Líi gi£i y1 , y2 , y3 °t y = x − B i to¡n trð th nh: T¼m a º c¡c nghi»m cõa a thùc g(y) = f (y + 3) = (y + 3)3 − 6(y + 3)2 + a(y + 3) + a = y + 3y + (a − 9)y + 4a − 27 thäa m¢n h» thùc y13 + y23 + y33 = Theo ành lỵ Vite, ta cõ = y1 + y2 + y3 = −3, σ2 = y1 y2 + y2 y3 + y3 y1 = a − 9, σ3 = y1 y2 y3 = 27 − 4a Khi â y13 + y23 + y33 = σ13 − 3σ1 σ2 + 3σ3 = (−3)3 − 3(−3)(a − 9) + 3(27 − 4a) = −27 − 3a Do â, ta câ y13 + y23 + y33 = ⇔ −27 − 3a = a = Vêy giĂ tr cƯn tẳm cừa Vẵ dử 1.5 Biát rơng a l t, u, v a = −9 l ba nghi»m thüc cõa ph÷ìng tr¼nh x3 + ax2 + bx + c = 0, â (1.8) a, b, c l c¡c sè thüc T¼m i·u ki»n cõa a, b, c º t3 , u3 , v nghiằm úng phữỡng trẳnh x3 + a3 x2 + b3 x + c3 = Líi giÊi (1.9) p dửng cổng thực Vite cho phữỡng trẳnh (1.8), ta câ σ1 = t + u + v = −a, σ2 = tu + uv + vt = b, σ3 = tuv = −c (1.10) 13 t3 , u3 , v Gi£ sû l c¡c nghi»m cõa phữỡng trẳnh (1.9) Theo cổng thực Vite, ta cõ t3 + u3 + v = −a3 , t3 u3 + u3 v + v t3 = b3 , t3 u3 v = −c3 Thay c¡c gi¡ trà cõa h» thùc c = ab Vỵi ⇔ σ13 − 3σ1 σ2 + 3σ3 = −a3 , σ23 − 3σ1 σ2 σ3 + 3σ32 = b3 , σ = −c3 σ1 , σ2 , σ3 tø (1.10) v o h» tr¶n v rót gån, ta thu ÷đc c = ab, ph÷ìng tr¼nh (1.8) trð th nh x3 + ax2 + bx + ab = ⇔ (x + a)(x2 + b) = Vẳ tĐt cÊ cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh  cho l thüc, n¶n ta ph£i câ b ≤ Vêy, iÃu kiằn cƯn v ừ cừa a, b, c l c = ab v b ≤ 1.2.2 H» phữỡng trẳnh ối xựng ba ân GiÊ sỷ P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) l c¡c a thực ối xựng Xt hằ phữỡng trẳnh P (x, y, z) = 0, Q(x, y, z) = 0, R(x, y, z) = (1.11) B¬ng c¡ch °t x + y + z = σ1 , σ2 = xy + yz + zx, = xyz, ta ữa hằ (1.11) và dÔng p(σ , σ , σ ) = 0, q(σ1 , σ2 , σ3 ) = 0, r(σ , σ , σ ) = (1.12) H» phữỡng trẳnh (1.12) thữớng ỡn giÊn hỡn hằ (1.11) v ta câ thº d¹ σ1 , σ2 , σ3 Sau tẳm ữủc cĂc giĂ tr cừa , σ2 , σ3 , trà cõa c¡c ©n sè x, y, z i·u n y d¹ d ng thüc hi»n d ng tẳm ữủc nghiằm cƯn phÊi tẳm cĂc giĂ ữủc nhớ nh lẵ sau Ơy 14 nh lỵ 1.15 (xem [3]) Gi£ sû σ1, σ2, σ3 l c¡c sè thüc no õ Khi õ phữỡng trẳnh bêc ba u3 σ1 u2 + σ2 u − σ3 = (1.13) x+y+z = σ1 , xy + yz + zx = σ2 , xyz = (1.14) v hằ phữỡng trẳnh liản hằ vợi nhữ sau: náu u1 , u2 , u3 l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.13), thẳ hằ (1.14) câ c¡c nghi»m x = u1 , y1 = u2 , z = u ; x = u2 , y4 = u3 , z = u ; x = u1 , y2 = u3 , z = u ; 2 x = u3 , y5 = u1 , z = u ; x = u2 , y3 = u1 , z = u ; 3 x = u3 , y6 = u2 , z = u ; v ngo i khæng cán c¡c nghi»m n o khĂc Ngữủc lÔi, náu z = c l nghiằm cừa h» (1.14), th¼ c¡c sè a, b, c x = a, y = b, l nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.13) Chùng minh Gi£ sû u1 , u2 , u3 l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.13) Khi õ ta cõ ỗng nhĐt thực u3 u2 + u − σ3 = (u − u1 )(u − u2 )(u − u3 ) Tø â ta câ c¡c h» thùc Vi±te: u + u2 + u3 u1 u2 + u1 u3 + u2 u3 u u u Suy u1 , u2 , u3 = σ1 , = σ2 , = σ3 l c¡c nghi»m cõa h» (1.14) Ngoi cỏn nôm nghiằm nỳa nhên ữủc bơng c¡ch ho¡n c¡c gi¡ trà cõa c¡c ©n sè V§n · h» 15 (1.14) khỉng cán nghi»m n o kh¡c s ữủc lm sĂng tọ dữợi Ơy GiÊ sỷ x = a, y = b, z = c l c¡c nghi»m cõa h» (1.14), a+b+c = σ1 , ngh¾a l ab + bc + ac = σ2 , abc = σ3 Khi â ta câ u3 − σ2 u2 + σ2 u − σ3 = u3 − (a + b + c)u2 + (ab + bc + ca)u − abc = (u − a)(u − b)(u − c) i·u â chùng tä r¬ng c¡c sè a, b, c l nghi»m cõa phữỡng trẳnh bêc ba (1.13) nh lỵ ữủc chựng minh nh lỵ 1.16 GiÊ sỷ 1, 2, l cĂc sè thüc ¢ cho º c¡c sè x, y, z xĂc nh bi hằ phữỡng trẳnh (1.14) l cĂc số thüc, i·u ki»n c¦n v õ l = −4σ13 σ3 + σ12 σ22 + 18σ1 σ2 σ3 − 4σ23 − 27σ3 ≥ Ngo i ra, º c¡c sè x, y, z l khổng Ơm, thẳ 0, Chựng minh lỵ 1.15, x, y, z GiÊ sỷ (1.15) x, y, z σ2 ≥ 0, σ3 ≥ l nghi»m cõa h» (1.14) Khi â theo ành l c¡c nghi»m cừa phữỡng trẳnh (1.13) Theo nh lỵ 1.14, phữỡng trẳnh (1.13) câ nghi»m thüc v ch¿ bi»t thùc cừa nõ khổng x, y, z l khổng Ơm, thẳ hiºn nhi¶n σi ≥ (i = 1, 2, 3) Ngữủc lÔi, náu i (i = 1, 2, 3) v Ơm, nghắa l (1.15) ữủc thọa mÂn Ngoi ra, náu cĂc số (1.15) ữủc thọa mÂn, thẳ phữỡng trẳnh (1.13) khổng th cõ nghiằm Ơm Thêt vêy, (1.13) thay u = v ta cõ phữỡng trẳnh v + σ1 v + σ2 v + σ2 = V¼ σi ≥ (i = 1, 2, 3), (1.16) nản phữỡng trẳnh (1.16) khổng th cõ nghiằm dữỡng, õ phữỡng trẳnh (1.13) khổng th cõ nghiằm ¥m Tø â suy x, y, z l c¡c số khổng Ơm nh lỵ ữủc chựng minh Vẵ dử 1.6 GiÊi hằ phữỡng trẳnh x + y + z = 2, x2 + y + z = 6, x3 + y + z = 16 Líi gi£i °t x + y + z = σ1 , σ2 = xy + yz + zx, σ3 = xyz Sû dưng cỉng thùc Waring ta câ x2 + y + z = σ12 − 2σ2 , x3 + y + z = σ13 − 3σ1 + 33 Do õ hằ phữỡng trẳnh ban ¦u trð th nh σ = 2, σ12 − 2σ2 = 6, σ − 3σ σ + 3σ = GiÊi hằ ny ta tẳm ữủc ta câ x, y, z σ1 = 2, σ2 = −1, = Theo nh lỵ 1.15, l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh u3 2u2 u + = ⇔ (u2 − 1)(u − 2) = u1 = −1, u2 = 1, u3 = bë (x, y, z) sau Ơy: Nghiằm cừa phữỡng trẳnh ny l nghi»m cõa h» ¢ cho l nhúng Tø â suy (−1, 1, 2), (−1, 2, 1), (1, −1, 2), (1, 2, 1), (2, −1, 1), (2, 1, −1) 1.2.3 PhƠn tẵch a thực thnh nhƠn tỷ Trong mửc n y tr¼nh b y c¡c ùng dưng cõa a thùc èi xùng v ph£n èi xùng ba bi¸n v o c¡c b i toĂn và phƠn tẵch thnh nhƠn tỷ GiÊ sỷ f (x, y, z) l a thùc èi xùng ba bi¸n phƠn tẵch f (x, y, z) thnh nhƠn tỷ, trữợc hát cƯn phÊi biu diạn nõ qua cĂc a thùc èi xùng ϕ(σ1 , σ2 , σ3 ), sau õ cố gưng phƠn tẵch a thực cuối thnh nhƠn tỷ Náu cĂc nhƠn tỷ cừa f (x, y, z) câ a thùc khæng èi xùng h(x, y, z), th¼ f (x, y, z) l èi xùng s phÊi cõ cĂc nhƠn tỷ nhên ữủc tứ h(x, y, z) bơng cĂch hoĂn v cĂc bián x, y, z ngh¾a cì sð σ1 , σ2 , σ3 º ữủc a thực l cõ cĂc nhƠn tỷ dÔng: h(x, y, z), h(x, z, x), h(y, x, z), h(y, z, x), h(z, x, y), h(z, y, x) N¸u c¡c nhƠn tỷ cõ nhƠn tỷ hai bián, thẵ dử ối vỵi x, y g(x, y, z) l a thùc èi xựng ch vợi nghắa l g(x, y, z) = g(y, x, z), thẳ cĂc nhƠn tỷ dÔng s l g(x, y, z), g(y, z, x), g(z, x, y) 17 Náu nhữ cĂc nhƠn tỷ cõ nhƠn tỷ k(x, y, z) ối xựng chđn, nghắa l k(x, y, z) = k(y, z, x) = k(z, x, y), th¼ c¡c nhƠn tỷ dÔng s l k(x, y, z), k(y, z, x) Nhữ vêy, phƠn tẵch thnh nhƠn tỷ cõa a thùc èi xùng f (x, y, z) câ th gp cĂc nhƠn tỷ dÔng sau Ơy: p(x, y, z) k(x, y, z), k(y, z, x), 1) Nh¥n tû l a thùc èi xùng 2) Nh¥n tû câ dÔng õ k(x, y, z) l ối xựng chđn g(x, y, z), g(y, z, x), g(z, x, y), â g(x, y, z) ối xựng theo hai bián, thẵ dử x, y 4) NhƠn tỷ dÔng h(x, y, z), h(x, z, x), h(y, x, z), h(y, z, x), h(z, x, y), h(z, y, x), â h(x, y, z) khổng cõ tẵnh ối xựng ối vợi a thực phÊn ối xựng f (x, y, z), ta cõ phƠn tẵch 3) NhƠn tỷ cõ dÔng f (x, y, z) = T (x, y, z)g(x, y, z), â T (x, y, z) l a thùc ph£n èi xùng ìn gi£n nh§t, cán g(x, y, z) l a thùc èi xùng Ngoi ra, ối vợi a thực phÊn ối xựng thuƯn nhĐt cõ kát quÊ sau Ơy Mằnh à 1.1 Kẵ hi»u θm(x, y, z) l a thùc ph£n èi xùng bªc m Khi â θ3 (x, y, z) = aT (x, y, z), θ4 (x, y, z) = aT (x, y, z)σ1 , θ5 (x, y, z) = T (x, y, z)(aσ12 + bσ2 ), θ6 (x, y, z) = T (x, y, z)(aσ13 + bσ1 σ2 + cσ3 ), â a, b, c l c¡c h¬ng sè Ta xt cĂc vẵ dử sau Ơy Vẵ dử 1.7 PhƠn tẵch a thực sau thnh nhƠn tỷ f (x, y, z) = x3 + y + z − 3xyz Líi gi£i Ta câ f (x, y, z) = (σ13 − 3σ1 σ2 + 3σ3 ) − 3σ3 = σ13 − 3σ1 σ2 = σ1 (σ12 − 3σ2 ) = (x + y + z)[(x + y + z)2 − 3(xy + yz + zx)] = (x + y + z)(x2 + y + z − xy − yz − zx) ... thực ba bián phƠn thực 35 Chữỡng CĂc dÔng toĂn cỹc tr sinh bi cĂc a thực Ôi số ba bián 38 3.1 Cỹc tr theo rng buởc tờng v tẵch ba số 3.2 CĂc dÔng toĂn cỹc tr sinh bi cĂc a thực Ôi số ba. .. thùc Ôi số ba bián Chữỡng CĂc dÔng toĂn cỹc tr sinh bi cĂc a thực Ôi số ba bián Mửc ẵch cừa à ti luên vôn l khÊo sĂt mởt số lợp bĐt ng thực v cỹc tr sinh bi cĂc a thực Ôi số ba bián v... sinh giäi v n¥ng cao nghi»p vư cõa b£n thƠn và chuyản à bĐt ng thực v cỹc tr sinh bi cĂc a thực Ôi số ba bián, tổi chồn à ti luên vôn "BĐt ng thực v cỹc tr sinh bi cĂc a thực Ôi số ba