Đang tải... (xem toàn văn)
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA 2 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ������������ MỘT SỐ LƯU Ý KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍCH PHÂN Người thực hiện Đình Thị Mai Chức vụ Giáo viên SK[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ LƯU Ý KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍCH PHÂN Người thực : Đình Thị Mai Chức vụ : Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực: Toán THANH HÓA NĂM 2021 skkn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ TRƯỜNG THPT HOẰNG HĨA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ LƯU Ý KHI GIẢI CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN TÍCH PHÂN Người thực hiện: ĐÌNH THỊ MAI Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực: TỐN THANH HĨA NĂM 2021 skkn MỤC LỤC I Mở đầu Lí chọn đề tài…………………………………… …… ………………… Mục đích nghiên cứu………………………………… ……………………… Đối tượng nghiên cứu………………………………………………………… Phương pháp nghiên cứu………………………………………….………… Những điểm SKKN………………………………………………… II.Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 1.Cơ sở lí luận SKKN……………………….………………………… 2.Thực trạng…………………………….…………… …………………… .4 Các sáng kiến kinh nghiệm…… ….……… ………………………….…… 4.Bài tập đề nghị…………………………………………………………………14 5.Hiệu sáng kiến kinh nghiệm… …………………………….………15 III.Kết luận,kiến nghị Kết luận……….…………………………………………………………… 17 Đề xuất……………………………………………………… ………….……18 Tài liệu tham khảo skkn skkn skkn skkn I.MỞ ĐẦU 1.Lý chọn đề tài Theo A.A.Stoliar: Dạy toán dạy hoạt động toán học(A.A.Stoliar 1969 tr.5) Ở trường phổ thơng, học sinh giải tốn hình thức chủ yếu hoạt động tốn học Các tốn trường phổ thơng phương tiện có hiệu khơng thể thay việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hoàn thành kĩ năng, kĩ xảo Hoạt động giải toán điều kiện để thực tốt mục đích dạy học tốn trường phổ thơng Tốn học mơn học nghiên cứu “hình số” Mơn tốn chia thành nhiều phân mơn nhỏ: đại số, hình học, giải tích… Trong giải tích ngành tốn học nghiên cứu khái niệm, tính chất giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm, tích phân Các yếu tố nghiên cứu giải tích thường mang tính chất “động” “tĩnh” Vì tổ chức có hiệu việc dạy giải tốn giải tích trường THPT khó khăn Qua thực tiễn sư phạm, qua trình quan sát nhận thấy rằng: học sinh lúng túng, gặp nhiều khó khăn sai lầm đứng trước tốn giải tích nói chung tốn ngun hàm, tích phân ứng dụng nói riêng Trên thực tế dạy tốn giải tích lớp 12, chương: Nguyên hàm, tích phân ứng dụng, phát lúng túng, sai lầm học sinh giải toán liên quan đến tích phân Những khó khăn, sai lầm học sinh thể trình làm tập, làm kiểm tra, thi Tôi nhận thấy để em tự tin gặp toán liên quan đến tích phân, để em có hứng thú giải tốn tích phân, tơi phải giúp em tháo gỡ khó khăn, sai lầm Bên cạnh đó, đề thi tốt nghiệp THPT hàng năm tốn liên quan đến tích phân thiếu Với lý đây, chọn đề tài nghiên cứu là: “Một số lưu ý giải toán liên quan đến tích phân” Mục đích nghiên cứu skkn Những vấn đề tơi trình bày sáng kiến với mục đích sau: Một là: Giúp học sinh nhận dạng tốn sử dụng tích phân:tính tích phân,ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng tính thể tích khối trịn xoay.Trang bị cho học sinh phương pháp mang lại hiệu rõ nét Hai là: Từ lưu ý toán,từng dạng toán học sinh tự tin gặp toán liên quan đến tích phân mà khơng vướng phải sai lầm thường gặp Ba là: Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp kĩ giải tốn, qua học sinh nâng cao khả tư sáng tạo Các vấn đề tơi trình bày viết hỗ trợ cho em học sinh lớp 12 có cách nhìn tồn diện tốn có liên quan đến tích phân Đối tượng nghiên cứu Để hồn thành viết với đề tài nói tơi phải nghiên cứu dạng tốn tích phân:tích phân hàm số đa thức,phân thức,hàm trị tuyệt đối,hàm số lượng giác đặc biệt tốn ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng thể tích khối trịn xoay Phạm vi nghiên cứu đề tài toàn chương trình đại số giải tích thuộc mơn tốn Trung học phổ thơng đặc biệt phần:ngun hàm -tích phân ứng dụng giải tích lớp 12 Phương pháp nghiên cứu Để thực mục đích nhiệm vụ đề tài q trình nghiên cứu tơi sử dụng phương pháp sau: -Nghiên cứu tài liệu sư phạm có liên quan đến đề tài - Phương pháp quan sát (công việc dạy – học giáo viên học sinh) - Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chun mơn) - Phương pháp đàm thoại vấn.(lấy ý kiến giáo viên học sinh thông qua trao đổi trực tiếp) - Phương pháp thực nghiệm 5.Những điểm SKKN skkn Năm 2012 nghiên cứu đề tài: "Một số sai lầm thường gặp giải tốn liên quan đến tích phân" Đến nay, tơi hồn thiện phát triển đề tài nghiên cứu: "Một số lưu ý giải toán liên quan đến tích phân" với điểm sau: Một là: Sáng kiến kinh nghiệm trước dừng lại phát nêu sai lầm học sinh thường mắc phải làm toán liên quan đến tích phân nghiên cứu này, sau phân tích sai lầm thường gặp học sinh khái quát thành lưu ý, ý (ghi nhớ) toán, dạng toán liên quan đến tích phân Hai là: Với hình thức thi trắc nghiệm kỳ thi THPT Quốc gia BGD (thời điểm nghiên cứu đề tài cũ hình thức thi tự luận) dạng tập, hình thức câu hỏi kéo theo học sinh cần thêm nhiều kỹ Do hệ thống ví dụ minh họa tập đề nghị đề tài nghiên cứu thay đổi cho phù hợp (các ví dụ, tập trích từ đề thi minh họa, đề thi thức BGD năm 2019,2020,2021) II NỘI DUNG 1.Cơ sở lý luận -Định nghĩa: Cho hàm số liên tục đoạn [a; b] Giả sử F nguyên hàm f [a; b] Hiệu số F (b) F (a) gọi tích phân từ a đến b (hay tích b phân xác định đoạn [a; b] hàm số -Diện tích hình phẳng f ( x ), kí hiệu f ( x)dx a Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x) liên tục đoạn [ a; b] , trục hoành hai đường thẳng x =a , x =b xác b định: S =ò f ( x) dx a Chú ý: Nếu đoạn [a; b] , hàm số f ( x) khơng đổi dấu thì: b ò a b f ( x) dx =ò f ( x)dx a -Thể tích vật thể thể tích khối trịn xoay skkn a) Thể tích vật thể: Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm a b; S ( x) diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm x , x O a b S(x) ( V ) x (a £ x £ b) Giả sử S ( x) hàm số liên tục đoạn [a; b] V (SO V(x)) a x b b V S ( x) dx a b S ( x )dx a b Khi đó, thể tích vật thể B xác định: V =òS ( x) dx a b) Thể tích khối trịn xoay: Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y = f ( x) , trục hoành hai đường thẳng x =a , x =b quanh trục Ox: y yO f(x) x a b (C ): y f (x) b (Ox): y 02 x x a a x b V f (x) dx y yO f (x) a x b (C ) : b y f ( x) (Ox) : y x x a a x b V f ( x) dx Thực trạng skkn Học sinh khơng nắm vững định nghĩa ngun hàm Vì F x nguyên hàm hàm số f x R nên f x F x ' *Lời giải đúng: f x F x ' x ' x Do F x x nguyên hàm hàm số f x R nên 3 f x dx 1 1 x dx x x 10 Suy Chọn đáp án A Lưu ý vận dụng bảng nguyên hàm để tính tích phân Ví dụ 3: Tính tích phân I = 3x 1 dx *Học sinh trình bày sau: I= 3x 1 dx 3x 1 0 15 *Nguyên nhân sai lầm là: Học sinh vận dụng công thức bảng x nguyên hàm: n dx x n 1 C n 1 u Mà lẽ phải vận dụng công thức: n u ' dx n 1 u C n 1 *Lời giải đúng: Ta có: I = 3x 1 dx x 1 d x 1 1 x 1 3 Lưu ý biến đổi hàm số Ví dụ : Tính tích phân I = x x 4dx *Học sinh trình bày sau: skkn 15 12 I= x2 x 2 dx x 2dx x x x 4dx 2 0 3 *Nguyên nhân sai lầm: Phép biến đổi: x 2 x , x 0;3 không tương đương *Lời giải đúng: x 2 I 2 dx x2 x dx x dx x dx x 2 x2 x 2 *Học sinh cần ghi nhớ: b Do đó: 2n b 2n f 2n a x dx f 2n x f x , n * f x dx , ta xét dấu f(x) [a;b] a Ví dụ 5: Tính tích phân I = sin x dx *Học sinh trình bày sau: 0 I sin x dx sin x cos x dx sin x cos x cos x sin x dx cos x sin x dx 11 *Nguyên nhân sai lầm: Phép biến đổi: cos x sin x cos x sin x , x 0; không tương đương *Lời giải đúng skkn cos x sin x I 3 dx cos x sin x dx cos x sin x dx 3 sin x cos x 0 sin x cos x 3 cos x sin x dx 3 2 1 Lưu ý dùng cơng thức khơng có SGK hành Ví dụ 6: Tính tích phân I = x 1 dx 4x *Học sinh trình bày sau: dx arctan x 2 x 1 I 4 *Nguyên nhân sai lầm: Học x sinh dùng cơng thức khơng có SGK dx arctan x C 1 *Lời giải đúng: Đặt x tan t dx 1 tan t dt x 1 t Đổi cận: x t 0 I Khi đó: 1 tan t dt tan 2 t 1 dt t y *Học sinh cần ý tích phân hàm số: x x0 a tan t Lưu ý vận dụng phương pháp đổi biến số skkn x x0 a ta đặt: hành: 2x Ví dụ : Tính tích phân I = 4x dx *Học sinh trình bày sau: Đặt udu u x u x dx 5u u u2 I du 12 6 67 *Nguyên nhân sai lầm: Học sinh đổi biến không đổi cận *Lời giải đúng: Đặt udu u x u x dx x 2u 3 Đổi cận: x u 5u u u2 I du 12 Khi đó: Ví dụ 8: Tính tích phân I = x3 1 x2 128 12 dx *Học sinh trình bày sau: Đặt x sin t dx cos tdt x0t 0 1 x t arcsin 4 Đổi cận: arcsin I Khi đó: sin arcsin tdt cos t cos t d cos t cos t Học sinh lúng túng khơng tính kết số lẻ 10 skkn ar sin *Nguyên nhân sai lầm: Khi hàm số cần tính tích phân có chứa a x học sinh thường sử dụng cách đặt x = asint x = acost Tuy nhiên giáo viên cần ý em đổi biến số 2 2 theo cách đặt thông thường u a x *Lời giải đúng: 2 Đặt u x u x xdx udu x u 1 Đổi cận: x I Khi đó: 15 u 4 15 u3 u du u 15 33 15 192 Lưu ý vận dụng phương pháp tích phân phần Ví dụ 9: Tính tích phân I = x sin xdx *Học sinh trình bày sau: u x u ' ' v sin x v cos x Đặt I x cos x cos xdx *Nguyên nhân sai lầm: Học sinh hiểu sai chất phép đặt công thức lấy tích phân phần *Lời giải đúng: u x du dx Đặt dv sin xdx v cos x 11 skkn I x cos x Khi đó: cos xdx sin x 1 Lưu ý sử dụng sai công thức tính diện tích hình phẳng Ví dụ 10: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y x ; x = 2; trục tung trục hồnh *Học sinh trình bày sau x3 S x dx x (đvdt) *Ngun nhân sai lầm: Cơng thức tính diện tích giới hạn y = f(x), trục hoành hai đường thẳng x = a; x = b b là: S f x dx a Do đó, tính S phải xét dấu f(x) [a;b] *Lời giải đúng: Ta 4 1 1 1 S f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx có: x3 S x dx x dx x dx x 0 2 x3 x 2 (đvdt) Ví dụ 11: Cho hàm số f x liên tục R Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y f x , y 0, x 1 x (như hình vẽ bên) Mệnh đề đúng? 12 skkn S f x dx f x dx A 1 1 S B S 1 f x dx f x dx 1 f x dx f x dx S f x dx f x dx 1 1 C D (Trích đề thi THPTQG thức BGD năm 2019) *Học sinh trình bày sau S 1 f x dx f x dx *Nguyên nhân sai lầm: Học sinh nhìn thấy diện tich miền tơ đậm tổng diện tích phần Phần 1:diện tích giới hạn y = f(x), trục hồnh hai đường thẳng x=-1,x=1 Phần 2:diện tích giới hạn y = f(x), trục hoành hai đường thẳng x=1,x=4 b Theo cơng thức tính diện tích S f x dx a Thì phần đồ thị hàm số phía ox nên f(x) xét dấu âm *Lời giải đúng : S 1 f x dx f x dx Lưu ý xác định sai miền hình phẳng cần tính diện tích 13 skkn Ví dụ 12: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y x ; y = x – trục hồnh *Học sinh trình bày sau: Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị: x x x x x x 13x 36 x 9 S x x dx x2 x x dx x x 3 91 (đvdt) *Nguyên nhân sai lầm : - Phép biến đổi x x x x khơng tương đương - Hình phẳng mà học sinh xác định giới hạn hai đồ thị y x ; y = x – (miền AOB) miền cần tính miền AOC 14 skkn ... điểm SKKN skkn Năm 2012 nghiên cứu đề tài: "Một số sai lầm thường gặp giải tốn liên quan đến tích phân" Đến nay, tơi hồn thiện phát triển đề tài nghiên cứu: "Một số lưu ý giải tốn liên quan đến tích. .. nghiệp THPT hàng năm tốn liên quan đến tích phân khơng thể thiếu Với lý đây, chọn đề tài nghiên cứu là: ? ?Một số lưu ý giải tốn liên quan đến tích phân? ?? Mục đích nghiên cứu skkn Những vấn đề tơi... SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ LƯU Ý KHI GIẢI CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN TÍCH PHÂN Người thực hiện: ĐÌNH THỊ MAI Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực: TỐN THANH HĨA NĂM 2021 skkn MỤC LỤC I Mở đầu