SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT NGUYỄN THỊ LỢI *** SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ GIẢI PHÁP NÂNG CAO KỸ NĂNG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CHO HỌC SINH LỚP 11 Người thực hiện Phạm Lê Trung[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT NGUYỄN THỊ LỢI *** SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ GIẢI PHÁP NÂNG CAO KỸ NĂNG GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN CHO HỌC SINH LỚP 11 Người thực hiện: Phạm Lê Trung Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn SKKN thuộc lĩnh vực: Môn Tốn skkn THANH HĨA NĂM 2021 skkn MỤC LỤC Nội dung Trang I MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu 4 Phương pháp nghiên cứu .5 II NỘI DUNG .5 Cơ sở lí luận sáng kiến: Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm .6 Quá trình hình thành nội dung giải pháp Bài toán 1: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (α) () Bài tốn 2 : Tìm giao điểm đường thẳng d mp(α) 10 Bài toán 3: Chứng minh đường thẳng d song song với mp(α) 15 Bài toán 4 : Chứng minh hai mp(α) mp() song song 18 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm: .22 III KẾT LUẬN 23 Kết luận: 23 Kiến nghị: 23 Tài liệu tham khảo: 25 skkn I MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Luật GD sửa đổi nước cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam ghi: “ Phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập học sinh”.1 Như vậy, cốt lõi việc đổi phương pháp dạy học mơn học nói chung mơn Tốn trường THPT nói riêng làm cho học sinh học tập tích cực, chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động Phải tiết học, học sinh suy nghĩ nhiều hơn, hoạt động nhiều Trong dạy học mơn Tốn, tư sáng tạo học sinh phần lớn hình thành rèn luyện q trình giải tốn Thông qua hoạt động này, học sinh phải hoạt động tích cực để tìm tịi, khám phá chiếm lĩnh tri thức cho thân Cơ sở để học sinh hoạt động vốn kiến thức kinh nghiệm thân em có, tích lũy Một môn học cung cấp cho học sinh nhiều kĩ năng, đức tính, phẩm chất người lao động mơn học hình học khơng gian Trong mơn Tốn trường phổ thơng, phần hình học khơng gian giữ vai trị, vị trí quan trọng Ngoài việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ giải tốn hình học khơng gian, cịn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất người lao động mới: cẩn thận, xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư sáng tạo cho học sinh Tuy nhiên trình giảng dạy nhận thấy học sinh lớp 11 ngại học mơn hình học khơng gian em nghĩ trừu tượng Chính mà có nhiều học sinh học yếu môn học Về phần giáo viên gặp Ở mục I.1: Đoạn “Luật GD … hứng thú học tập học sinh” tác giả tham khảo nguyên văn từ TLTK số 1; skkn khơng khó khăn truyền đạt nội dung kiến thức phương pháp giải dạng tập hình học không gian Qua nhiều năm giảng dạy môn học này, đúc kết số kinh nghiệm nhằm giúp em tiếp thu kiến thức phần hình học khơng gian tốt hơn, từ mà chất lượng giảng dạy học tập học sinh ngày nâng lên Do phần nội dung kiến thức nên nhiều học sinh chưa quen với tính tư trừu tượng nó, nên tơi nghiên cứu nội dung phạm vi là: “Chương 2: Đường thẳng mặt phẳng không gian Quan hệ song song” - Sách giáo khoa hình học 11 ban bản, nhằm tìm phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh đồng thời nhằm tháo gỡ vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường gặp phải với mong muốn nâng dần chất lượng giảng dạy nói chung mơn hình học khơng gian nói riêng Từ lý tơi khai thác, hệ thống hóa kiến thức, tổng hợp phương pháp thành chuyên đề: “Một số giải pháp nâng cao kỹ giải Tốn hình học khơng gian cho học sinh lớp 11 ” Mục đích nghiên cứu - Tìm phương pháp dạy học phù hợp với học sinh, tạo hứng thú học tập cho học sinh học mơn hình học lớp 11 đặc biệt phần hình học khơng gian - Nâng cao kết học tập mơn Tốn cho học sinh - Rèn luyện, nâng cao, phát triển trí tưởng tượng hình học, phát triển tư logic - khoa học cho học sinh Đối tượng nghiên cứu - Một số tập hình học khơng gian chương trình Hình học lớp 11.Cụ thể là:“Chương 2: Đường thẳng mặt phẳng không gian Quan hệ song song” sách giáo khoa hình học 11 ban Phương pháp nghiên cứu Để thực mục đích nhiệm vụ đề tài, q trình nghiên cứu, tơi sử dụng nhóm phương pháp sau: skkn - Nghiên cứu loại tài liệu sư phạm SGK, sách GV, tài liệu quản lí có liên quan đến đề tài - Phương pháp quan sát (công việc dạy – học giáo viên học sinh) - Phương pháp đàm thoại, vấn (lấy ý kiến giáo viên học sinh thông qua trao đổi trực tiếp) II NỘI DUNG Cơ sở lí luận sáng kiến: Phương pháp dạy học phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư sáng tạo người học đồng thời bồi dưỡng lực tự học, lịng say mê học tập ý chí vươn lên Trong hoạt động dạy toán trường THPT, rèn luyện tư cho học sinh giúp cho học sinh có khả phân tích tình vấn đề mà toán nêu cao tư sáng tạo toán tảng kiến thức tích lũy Về cách dạy, phương pháp quan tâm nhiều đến việc tạo niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh Xem động lực để phát huy tính tự giác, tích cực, chủ động q trình học tập học sinh đặc biệt niềm vui, hứng thú người tự tìm chân lí Nếu học sinh độc lập quan sát, so sánh, phân tích, khái qt hóa kiện, tượng em hiểu sâu sắc hứng thú bộc lộ rõ rệt Do đó, phương pháp giảng dạy, giáo viên cần phải biết dẫn dắt học sinh ln tìm thấy mới, tự tìm lấy kiến thức, phải làm cho học sinh thấy ngày trưởng thành.2 Qua q trình giảng dạy, tơi nhận thấy nhiều học sinh gặp toán chứng minh quan hệ song song hình học khơng gian em học sinh khơng biết vẽ hình, cịn lúng túng, khơng phân loại dạng tốn, chưa định hướng cách giải Trong tốn liên quan đến chứng minh quan hệ song song hình học khơng gian có nhiều dạng tập khác nhau, chương trình hình học khơng gian 11 không nêu cách giải tổng quát Ở mục II.1 đoạn văn “ Phương pháp dạy học … làm cho học sinh thấy ngày trưởng thành” tác giả tham khảo TL số 2 skkn cho dạng, bên cạnh thời lượng dành cho tiết luyện tập Qua việc khảo sát định kỳ, tơi nhận thấy nhiều học sinh trình bày lời giải chưa lôgic không làm tập liên quan đến chứng minh quan hệ song song hình học khơng gian Khi giải tốn hình học khơng gian, giáo viên học sinh thường gặp số khó khăn với nguyên nhân sau: Học sinh cần phải có trí tưởng tượng khơng gian tốt; Học sinh quen với hình học phẳng nên học khái niệm hình khơng gian hay nhầm lẫn, chưa biết vận dụng tính chất hình học phẳng cho hình khơng gian; Một số tốn khơng gian mối liên hệ giả thiết kết luận chưa rõ ràng làm cho học sinh lúng túng việc định hướng cách giải; Bên cạnh cịn có nguyên nhân em chưa xác định động học tập Từ nguyên nhân mạnh dạn đưa số giải pháp nhằm nâng cao kỹ giải tốn hình học khơng gian cho học sinh lớp 11 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Để giải hình học tốt theo tơi nghĩ có số giải pháp tăng cường kỹ kiến thức cho học sinh là: - Vẽ hình – trực quan gợi mở tạo điều kiện thuận lợi cho việc giải tốn phát huy trí tưởng tượng khơng gian, phát huy tính tích cực niềm say mê học tập học sinh Vẽ – trực quan hình vẽ giúp học sinh tránh sai lầm đáng tiếc - Tăng cường vấn đáp nhằm giúp học sinh hiểu rõ khái niệm hình học khơng gian : hình chóp; tứ diện; hình chóp đều; hình lăng trụ; hình hộp; hình hộp chữ nhật; ….; quan hệ song song hai đường thẳng; hai mặt phẳng; đường thẳng mặt phẳng,… - Sử dụng đồ dùng dạy học cách hợp lý mơ hình khơng gian, phần mềm giảng dạy như: Cabir, GSP, … skkn - Dạy học theo chủ đề, dạng toán, mạch kiến thức mà giáo viên phân chia từ khối lượng kiến thức chương trình nhằm giúp học sinh hiểu sâu kiến thức mà có, vận dụng chúng cách tốt Quá trình hình thành nội dung giải pháp Bài tốn 1: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (α) ()3 Phương pháp: Cách 1: Xác định hai điểm chung hai mặt phẳng Nếu Hình Cách 2: Xác định điểm chung song song với đường thẳng Dựa vào định lý sau: * Định lý 2: (SGK trang 57) Nếu * Hệ quả: Nếu Hình thì Hình Hình Trong mục II.3: Bài toán tham khảo từ TLTK số 3,4,5 skkn * Định lý 2: (SGK trang 61) Nếu * Hệ : Nếu a // b a // d (hình 6) * Định lý 3: (SGK trang 67) Nếu Hình (hình 5) Hình (hình 7) Hình * Nhận xét: Để tìm giao tuyến hai mặt phẳng ta ưu tiên cho cách tìm hai điểm chung nằm hai mặt phẳng cách dựa vào hình vẽ Nếu hình vẽ có điểm chung ta chuyển sang cách hai (dựa vào định lý hệ trên) * Ví dụ: Bài 1: Trong mp(α) cho tứ giác ABCD có AB CD cắt E, AC BD cắt F Gọi S điểm nằm ngồi mp(α) Tìm giao tuyến mp sau: a) mp(SAC) mp(SBD) b) mp(SAB) mp(SCD) c) mp(SEF) mp(SAD) skkn Nhận xét: Với câu a, b học sinh dễ dàng tìm giao tuyến Với câu c GV cần gợi ý cho HS phát điểm chung thứ hai Lời giải: a) Ta có S (SAC) (SBD) (1) ; F = AC BD F (SAC) (SBD) (2) Từ (1) (2) suy ra : SF = (SAC) (SBD) b) Ta có S (SAB) (SCD) (1) ; E = AB CD E (SAB) (SCD) (2) Từ (1) (2) suy ra : SE = (SAB) (SCD) c) Trong mp(ADE) kéo dài EF cắt AD N Xét hai mp(SAD) (SEF) có: S (SAD) (SEF) ; N (SAD) (SEF) Vậy : SN = (SAD) (SEF) Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình thang (AB // CD) a) Tìm giao tuyến hai mp(SAD) (SBC) b) Tìm giao tuyến hai mp(SAB) (SDC) Lời giải: a) Ta có S điểm chung thứ Trong mp(ABCD) có AD cắt BC E 10 skkn Bài tốn 2 : Tìm giao điểm đường thẳng d mp(α)4 Hình Hình Phương pháp : * Muốn tìm giao điểm đường thẳng d với mp(α) ta tìm giao điểm đường thẳng d với đường thẳng a nằm mp(α) Tóm tắt : Nếu (hình 8) A = d (α) * Chú ý: Nếu đường thẳng a chưa có hình vẽ ta tìm a sau: - Tìm mp() chứa d cho mp() cắt mp(α) - Tìm giao tuyến a hai mp(α) mp() (hình 9) * Nhận xét : Vấn đề toán xác định cho đường thẳng a Nhiệm vụ giáo viên hướng dẫn, gợi mở cho học sinh biết cách tìm đường thẳng a chọn mp() cho phù hợp với yêu cầu toán trường hợp đường thẳng a chưa có hình vẽ Ví dụ : Bài 1 : Cho tứ diện ABCD Gọi I trung điểm AB J điểm thuộc AD cho Tìm giao điểm đường thẳng IJ với mp(BCD) Nhận xét : - HS dễ dàng phát đường thẳng a đường thẳng BD - GV cần lưu ý cho học sinh điều kiện để hai đường thẳng cắt hai đường thẳng phải nằm mặt phẳng không song song Lời giải : 44 Trong mục II.3: Bài toán tham khảo từ TLTK số 3,4,5 12 skkn Trong ABD có : , suy IJ khơng song song BD Gọi Vậy K = IJ (BCD) Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang (AB // CD) Gọi I, J trung điểm SA SB, M điểm tùy ý thuộc đoạn SD a) Tìm giao điểm đường thẳng BM với mp(SAC) b) Tìm giao điểm đường thẳng IM với mp(SBC) c) Tìm giao điểm đường thẳng SC với mp(IJM) Nhận xét: Câu a) - HS dễ nhầm lẫn đường BM cắt SC Khơng nhìn đường thẳng nằm mp(SAC) để cắt BM - GV gợi ý cho HS biết chọn mp phụ chứa BM mp(SBD) xác định giao tuyến 2mp(SBD) (SAC) Câu b) - HS gặp khó khăn khơng nhìn đường nằm mp(SBC) để cắt IM - GV cần hướng dẫn HS chọn mp phụ thích hợp chứa IM 13 skkn Câu c) - Tương tự câu a) ta cần chọn mp phụ chứa SC tìm giao tuyến mp với mp(IJM) Có mp chứa SC? - GV hướng dẫn HS chọn mp cho việc tìm giao tuyến với (IJM) thuận lợi Lời giải: a) Ta có BM (SBD) Xét mp(SAC) (SBD) có S điểm chung thứ Gọi O = AC BD O điểm chung thứ hai (1) (2) Từ (1) (2) SO = (SAC) (SBD) Trong mp(SBD) có BM cắt SO P Vậy P = BM (SAC) b) Ta có IM (SAD) Xét hai mp(SAD) (SBC) có: S điểm chung thứ Gọi E = AD BC E điểm chung thứ hai SE = (SAD) (SBC) Trong mp(SAE) có IM cắt SE F Vậy F = IM (SBC) c) Ta có SC (SBC) Xét mp(IJM) (SBC) ta có : JF = (IJM) (SBC) 14 skkn Trong mp(SBE) có JF cắt SC H Vậy H = SC (IJM) Bài 3 : Cho hình chóp S.ABCD có AB CD khơng song song Gọi M điểm thuộc miền SCD a) Tìm giao điểm N đường thẳng CD mp(SBM) b) Tìm giao tuyến hai mp(SBM) (SAC) c) Tìm giao điểm I đường thẳng BM mp(SAC) d) Tìm giao điểm P đường thẳng SC mp(ABM), từ suy giao tuyến hai mp(SCD) (ABM) e) Xác định thiết diện hình chóp cắt mp(ABM) Lời giải : a) Trong mp(SCD) có SM cắt CD N b) Trong mp(ABCD), ta có: AC BD = O c) Trong mp(SBN), ta có BM cắt SO I Mà SO (SAC) I = BM (SAC) d) Trong mp(SAC), ta có SC cắt AI P Mà AI (ABM) P = SC (ABM) Trong mp(SCD), ta có PM cắt SD K e) Ta có : (ABM) (ABCD) = AB (ABM) (SBC) = BP (ABM) (SCD) = PK (ABM) (SAD) = KA Vậy tứ giác ABPK thiết diện cần tìm Bài tập rèn luyện : 15 skkn Bài 1 : Cho hình bình hành ABCD nằm mp(P) điểm S nằm mp(P) Gọi M điểm nằm S A; N điểm nằm S B; giao điểm hai đường thẳng AC BD O a) Tìm giao điểm đường thẳng SO với mp(CMN) b) Tìm giao tuyến hai mp(SAD) (CMN) c) Tìm thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mp(CMN) Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD.Trong SBC lấy điểm M, SCD lấy điểm N a) Tìm giao điểm đường thẳng MN với mp(SAC) b) Tìm giao điểm SC với mp(AMN) c) Tìm thiết diện hình chóp cắt mp(AMN) Bài 3: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm AB, CD Gọi E điểm thuộc đoạn AN ( không trung điểm AN) Q điểm thuộc đoạn BC a) Tìm giao điểm EM với mp(BCD) b) Tìm giao tuyến hai mp(EMQ) (BCD) ; (EMQ) (ABD) c) Tìm thiết diện cắt tứ diện mp(EMQ) Bài tốn 3: Chứng minh đường thẳng d song song với mp(α)5 * Phương pháp: (Định lí SGK trang 61) Tóm tắt: Nếu d // (α) Nhận xét: Vấn đề nêu lên đường thẳng a có hình vẽ hay chưa, xác định nào, làm để xác định GV cần làm cho HS biết hướng giải toán dựa vào giả thiết toán mà xác định đường thẳng a cho phù hợp 55 Trong mục II.3: Bài toán tham khảo từ TLTK số 3,4,5 16 skkn Ví dụ: Bài 1: Cho hình lăng trụ tam giác ACB.A’B’C’ Gọi H trung điểm A’B’ a) Tìm giao tuyến hai mp(AB’C’) (ABC) b) Chứng minh CB’ // (AHC’) C' H A' B' I C A x B Lời giải: a) Ta có : A điểm chung (AB’C’) (ABC) Mà nên (AB’C’) (ABC) = Ax Ax // BC // B’C’ b) Ta có tứ giác AA’CC’ hình bình hành Suy A’C cắt AC’ trung điểm I đường Do IH // CB’ (IH đường trung bình CB’A’) Mặt khác IH (AHC’) nên CB’ // (AHC’) Bài 2 : Cho tứ diện ABCD, gọi M, N trọng tâm ABD ACD Chứng minh rằng : a) MN // (BCD) b) MN // (ABC) 17 skkn A M N B E D F C Lời giải : a) Gọi E trung điểm BD ; F trung điểm CD Trong ABD ta có: (M trọng tâm ABD) Trong ACD ta có: (N trọng tâm ACD) Vậy Mà EF (BCD) MN // (BCD) b) Trong BCD có : EF đường trung bình EF // BC MN // EF // BC MN // (ABC) Bài 3: (Bài trang 63 sgk) Cho hai hình bình hành ABCD ABEF không nằm mặt phẳng a) Gọi O O’ tâm ABCD ABEF Chứng minh OO’ song song với (ADF) (BCE) b) Gọi M N trọng tâm ABD ABE Chứng minh : MM // (CEF) 18 skkn C D O A B O' F E Lời giải: a) Ta có : OO’ // DF (OO’ đường trung bình BDF ) Mà DF (ADF) OO’ // (ADF) Ta có : OO’ // CE (OO’ đường trung bình ACE) Mà CE (BCE) OO’ // (BCE) C b) Gọi H trung điểm AB D O M Ta có : H A B N MN // DE mà DE (CEFD) (CEF) O' Vậy MN // (CEF) F E Bài toán 4 : Chứng minh hai mp(α) mp() song song * Phương pháp : (Định lí SGK trang 64) Tóm tắt : Nếu (P) // (Q) * Nhận xét : Tương tự toán chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng, vấn đề đặt chọn hai đường thẳng a, b nào ? Nằm mặt phẳng (P) hay mp(Q) ? GV cần hướng dẫn, gợi mở cho HS phát vấn đề tốn Ví dụ : 66 Trong mục II.3: Bài toán tham khảo từ TLTK số 3,4,5 19 skkn Bài 1 :Cho hình chóp SABCD đáy hình bình hành ABCD, AC cắt BD O Gọi M, N trung điểm SC, CD Chứng minh (MNO) // (SAD) Lời giải : Trong SCD có MN đường trung bình MN // SD mà SD (SAD) MN // (SAD) (1) Trong SAC có MO đường trung bình MO // SA mà SA (SAD) MO // (SAD) (2) Từ (1) (2) suy (MNO) // (SAD) Bài 2: Cho hai hình vng ABCD ABEF hai mặt phẳng phân biệt Trên đường chéo AC BF lấy điểm M N cho AM = BN Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M N cắt AD AF M’ N’ Chứng minh rằng: a) mp(ADF) // mp(BCE) b) mp(DEF) // mp(MM’N’N) Nhận xét: HS dễ dàng chứng minh câu a, câu b GV nên hướng dẫn cho HS biết cách vẽ hình, nhận xét hai đường thẳng AC BF nhau, từ gợi mở cho HS biết chứng minh hai đường thẳng MM’ M’N’ song song với mp(DEF) dựa vào định lí Talét đảo Lời giải: a) Ta có: AF // BE (BCE) AD // BC (BCE) AF AD song song với mp(BCE) mà AF, AD (ADF) Vậy : (ADF) // (BCE) b) Ta có: MM’ // AB mà AB // EF 20 skkn ... Tốn hình học khơng gian cho học sinh lớp 11 ” Mục đích nghiên cứu - Tìm phương pháp dạy học phù hợp với học sinh, tạo hứng thú học tập cho học sinh học mơn hình học lớp 11 đặc biệt phần hình học. .. dạn đưa số giải pháp nhằm nâng cao kỹ giải tốn hình học khơng gian cho học sinh lớp 11 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Để giải hình học tốt theo tơi nghĩ có số giải pháp tăng... học không gian - Nâng cao kết học tập mơn Tốn cho học sinh - Rèn luyện, nâng cao, phát triển trí tưởng tượng hình học, phát triển tư logic - khoa học cho học sinh Đối tượng nghiên cứu - Một số