TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN: TỐN LỚP TỪ INTERNET Họ tên: Lớp: Trường: Người tổng hợp, sưu tầm : Thầy giáo Hồ Khắc Vũ Giáo viên Toán cấp -3 "Hòa Thuận – Tam Kỳ - Quảng Nam" QUẢNG NAM, THÁNG 03-2018 Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go LỜI NĨI ĐẦU Sơ lược thân, tơi Hồ Khắc Vũ, giáo viên sư phạm Toán cấp 2-3 tốt nghiệp khoa Sư phạm Toán, trường đại học Quảng Nam Với mong muốn tìm tịi, sưu tầm tập hợp tất đề Toán lớp kỳ thi Học sinh giỏi cấp để anh chị em đồng nghiệp, bậc phụ huynh em học sinh có tài liệu để tham khảo, ơn tập luyện thi Với lý đó, tơi sưu tầm 500 đề thi HSG toán mạng vào file PDF này, file mang giá trị vô giá, với mục đích tới tận tay người học mà khơng tốn đồng phí Lý tơi chọn file PDF file word đơn giản để khỏi lỗi font chữ anh chị em chỉnh sửa font chữ sẵn sàng chia sẻ file word vô tư Tôi mong rằng, với tập tài liệu đồ sộ này, hy vọng giúp anh chị em đồng nghiệp ôn tập tốt em học sinh lớp luyện nhuần nhuyễn trước bước vào kỳ thi Cuối lời, khơng có xin gửi lời chúc câu thơ tâm đắc mà thầy để lại cho "Thao trường đổ mồ hôi, chiến trường bớt đổ máu Cờ lau trận giả nhận thất bại, Bạch Đằng tranh đấu thắng dội vang" Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go ĐỀ S 01 Bài 1: (3đ) Chứng minh rầng: a) 85 + 211 chia hÕt cho 17 b) 1919 + 6919 chia hÕt cho 44 Bµi 2: a) Rót gän biĨu thøc: b) Cho x2 x x3 x 18 x yz xz xy 1 0( x, y, z 0) TÝnh x y z x y z Bài 3:(3đ) Cho tam giác ABC Lấy điểm D,E theo thứ tự thuộc tia đối tia BA, CA cho BD = CE = BC Gọi O giao điểm BE CD Qua O vẽ đ-ờng thẳng song song với tia phân giác góc A, đ-ờng thẳmg cắt AC K Chứng minh AB = CK Bài (1đ) Tìm giá trị lớn nhá nhÊt cđa biĨu thøc sau (nÕu cã): M = 4x2 + 4x + ĐỀ SỐ 02 C©u Tìm số có chữ số: a1a a thoà mÃn điều kiện a b sau: a) a1a 2a = a 7a b) a 4a 5a 6a 7a a 7a C©u Chøng minh r»ng: ( xm + xn + ) chia hÕt cho x2 + x + vµ chØ ( mn – 2) ¸p dơng phân tích đa thức thành nhân tử: x7 + x2 + Câu Giải ph-ơng trình: 1 2005.2006.2007 1.2.3 2.3.4 x = ( 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 2006.2007) C©u Cho hình thang ABCD (đáy lớn CD) Gọi O giao điểm AC BD; đ-ờng kẻ từ A B lần l-ợt song song với BC AD cắt đ-ờng chéo BD AC t-ơng øng ë F vµ E Chøng minh: EF // AB b) AB2 = EF.CD c) Gäi S1 , S2, S3 S4 theo thứ tự diện tích tam giác OAB; OCD; OAD Và OBC Chứng minh: S1 S2 = S3 S4 C©u Tìm giá trị nhỏ nhất: A = x2 - 2xy + 6y2 – 12x + 2y + 45 Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go ĐỀ SỐ 03 C©u 1: a Rót gän biĨu thøc: A= (2+1)(22+1)(24+1) .( 2256 + 1) + b NÕu x2=y2 + z2 Chøng minh r»ng: (5x – 3y + 4z)( 5x –3y –4z) = (3x –5y)2 x y z (1) vµ C©u 2: a Cho a b c a b c (2) x y z x2 y z Tính giá trị biểu thức A= a b c b Biết a + b + c = TÝnh : B = ab bc ca 2 2 a b c b c a c a b2 Câu 3: Tìm x , biÕt : x·1 x 10 x 19 (1) 2006 1997 1988 C©u 4: Cho hình vuông ABCD, M đ-ơng chéo AC Gọi E,F theo thứ tự hình chiếu M AD, CD Chứng minh rằng: a.BM EF b Các đ-ờng thẳng BM, EF, CE đồng quy Câu 5: Cho a,b, c, số d-ơng Tìm giá trị nhỏ cña a b c P= (a+ b+ c) ( ) ĐỀ SỐ 04 Bµi (3đ): 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tö: a) x2 + 7x + 12 b) a10 + a5 + 2) Giải ph-ơng trình: x x x 6 x 8 98 96 94 92 Bài (2đ): Tìm giá trị nguyên x để biểu thức P x 3x có giá trị nguyên 2x Bài (4đ): Cho tam giác ABC ( AB > AC ) 1) Kẻ đ-ờng cao BM; CN tam giác Chứng minh rằng: a) ABM đồng dạng ACN b) gãc AMN b»ng gãc ABC Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 2) Trên cạnh AB lấy điểm K cho BK = AC Gọi E trung điểm BC; F trung điểm AK Chứng minh rằng: EF song song với tia phân giác Ax góc BAC Bài (1đ): Tìm giá trị nhỏ biÓu thøc: A x x 2007 , ( x kh¸c 0) 2007 x ĐỀ SỐ 05 x2 10 x : x x x x 3x x Câu ( điểm ) Cho biểu thức A = a, Tìm điều kiện x để A xác định b, Rút gọn biểu thức A c, Tìm giá trị x để A > O Câu ( 1,5 điểm ) Giải phơng trình sau : x 4x x 5x 2 x 1 2x Câu ( 3,5 điểm): Cho hình vuông ABCD Qua A kẽ hai đờng thẳng vuông góc với lần lợt cắt BC tai P R, cắt CD Q S 1, Chứng minh AQR APS tam giác cân 2, QR cắt PS H; M, N trung điểm QR PS Chứng minh tứ giác AMHN hình chữ nhật 3, Chứng minh P trực tâm SQR 4, MN lµ trung trùc cđa AC 5, Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng Câu ( điểm): Cho biểu thức A = x 3x 2x Câu ( điểm) a, Chứng minh x y z x y 3xy.x y z 1 x y z b, Cho Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên Tính A yz xz xy x2 y2 z ĐỀ SỐ 06 Bài : (2 điểm) Cho biểu thức : x2 1 x x x 1 M = 1 x4 x 1 x2 a) Rót gän b) T×m giá trị bé M Bài : (2 điểm) Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Ngi su tm, tng hp: H KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go A= x 3x x 83 x Bài : điểm Giải ph-ơng trình : a) x2 - 2005x - 2006 = b) x + x + x = Bài : (3đ) Cho hình vuông ABCD Gọi E điểm cạnh BC Qua E kẻ tia Ax vuông góc với AE Ax cắt CD F Trung tuyến AI tam giác AEF cắt CD K Đ-ờng thẳng qua E song song với AB c¾t AI ë G Chøng minh : a) AE = AF tứ giác EGKF hình thoi b) AEF ~ CAF vµ AF2 = FK.FC c) Khi E thay đổi BC chứng minh : EK = BE + DK chu vi tam giác EKC không đổi Bài : (1đ) Chứng minh : B = n4 - 14n3 + 71n2 -154n + 120 chia hÕt cho 24 ĐỀ SỐ 07 C©u 1: ( ®iĨm ) Cho biĨu thøc: 6x x x 36 2 x x x x 12 x 12 A= ( Víi x ; x ) 1) Rót gän biĨu thøc A 2) TÝnh gi¸ trị biểu thức A với x= 94 Câu 2: ( điểm ) a) Chứng minh đẳng thức: x2+y2+1 x.y + x + y b)Tìm giá trị lín nhÊt cđa biĨu thøc sau: A= ( víi mäi x ;y) x2 x x2 x Câu 3: ( điểm ) Cho hình chữ nhật ABCD TRên đ-ờng chéo BD lấy điểm P , gọi M điểm đối xứng C qua P a) Tứ giác AMDB hình gi? b) Gọi E, F lần l-ợt hình chiếu điểm M trªn AD , AB Chøng minh: EF // AC ba điểm E,F,P thẳng hàng c)Chứng minh tỉ số cạnh hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí điểm P d) Giả sư CP DB vµ CP = 2,4 cm,; PD PB 16 Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go Tính cạnh hình chữ nhật ABCD Câu ( điểm ) Cho hai bất ph-ơng trình: 3mx-2m > x+1 (1) m-2x < (2) Tìm m để hai bất ph-ơng trình có tập nghiệm S 08 Bài1( 2.5 điểm) a, Cho a + b +c = Chøng minh r»ng a3 +a2c – abc + b2c + b3 = b, Ph©n tÝch đa thức thành nhân tử: A = bc(a+d)(b-c) ac ( b+d) ( a-c) + ab ( c+d) ( a-b) Bµi 2: ( 1,5 ®iĨm) Cho biĨu thøc: y = x ; ( x>0) ( x 2004) T×m x để biểu thức đạt giá trị lớn Tìm giá trị Bài 3: (2 ,5 điểm) a, Tìm tất số nguyên x thoả mÃn ph-ơng trình: : ( 12x – ) ( 6x – ) ( 4x – ) ( 3x – ) = 330 B, Giải bất ph-ơng trình: x Bài 4: ( ,5 điểm) Cho góc xoy điểm I nằm góc Kẻ IC vu«ng gãc víi ox ; ID vu«ng gãc víi oy Biết IC = ID = a Đ-ờng thẳng kẻ qua I c¾t â ë A c¾t oy ë b A, Chứng minh tích AC DB không đổi đ-ờng thẳng qua I thay đổi B, Chứng minh r»ng C, BiÕt SAOB = CA OC DB OB 8a TÝnh CA ; DB theo a S 09 Bài 1( điểm) Cho biÓu thøc : P x2 y2 x y2 x y 1 y x y 1 x x 11 y 1.Rút gọn P 2.Tìm cặp số (x;y) Z cho giá trị P = Bài 2(2 điểm) Giải ph-ơng trình: 1 1 x x x x 12 x x 20 x 11x 30 Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go Bài 3( điểm) Tìm giá trị lớn nhÊt cđa biỴu thøc: M 2x x2 Bài (3 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh a Gọi E; F lần l-ợt trung điểm cạnh AB, BC M giao điểm CE DF 1.Chứng minh CE vuông góc với DF 2.Chøng minh MAD c©n 3.TÝnh diƯn tÝch MDC theo a Bài 5(1 điểm) Chứng minh : Cho số a; b; c thoả mÃn : a + b + c = a2 + b2 + c2 ĐỀ SỐ 10 Câu (1,5đ) Rút gọn biểu thức : A = 1 1 + + +……….+ (3n 2)(3n 5) 2.5 5.8 8.11 Câu (1,5đ) Tìm sè a, b, c cho : §a thøc x4 + ax + b chia hÕt cho (x2 - 4) Câu (2đ) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức có giá trị nguyên x x Câu Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh r»ng: a2 + b2 + c2 < (ab + ac + bc) C©u Chøng minh r»ng tam giác , trọng tâm G, trực tâm H, tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác O Thì H,G,O thẳng hàng S 11 3x 14 x 3x 36 C©u 1:Cho biĨu thøc: A= 3x 19 x 33x a, Tìm giá trị biểu thức A xác định b, Tìm giá trị biểu thức A có giá trị c, Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Câu 2: a, Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A= ( x 16)( x 9) víi x>0 x b, Giải ph-ơng trình: x+1+: 2x-1+2x =3 Câu3 : Cho tứ giác ABCD có diện tích S Gọi K,L,M,N lần l-ợt điểm thuộc cạnh AB,BC,CA,AD cho AK/ AB = BL / BC =CM/CD =DN/DA= x .a, Xác định vị trí điểm K,L,M,N cho tứ gi¸c MNKL cã diƯn tÝch mhá nhÊt Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go .b, Tứ giác MNKL câu a hình gì? cần thêm điều kiện tứ giác MNKL hình chữ nhật Câu 4: Tìm d- cđa phÐp chia ®a thøc x99+ x55+x11+x+ cho x2-1 S 12 Bài 1: (3đ) x x x x 3x Cho ph©n thøc : M = x 2x a) Tìm tập xác định M b) Tìm giá trị x ®Ĩ M = c) Rót gän M Bµi 2: (2đ) a) Tìm số tự nhiên liên tiếp biết r»ng nÕu céng ba tÝch cña hai ba sè ta đ-ợc 242 b) Tìm số nguyên n để giá trị biểu thức A chia hết cho giá trÞ cđa biĨu thøc B A = n3 + 2n2 - 3n + ; B = n2 -n Bµi 3: (2®) a) Cho sè x,y,z Tho· m·n x.y.z = TÝnh biÓu thøc M= 1 x xy y yz z zx b) Cho a,b,c lµ độ dài cạnh tam giác Chứng minh r»ng: 1 1 1 a bc bca c a b a b c Bài 4: (3đ) Cho tam giác ABC, ba đ-ờng phân giác AN, BM, CP cắt O Ba c¹nh AB, BC, CA tØ lƯ víi 4,7,5 a) TÝnh NC biÕt BC = 18 cm b) TÝnh AC biÕt MC - MA = 3cm c) Chøng minh AP BN CM 1 PB NC MA ĐỀ SỐ 13 Câu 1: ( 2,5 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: a/ x2 x (1 điểm) b/ x – x – 14x + 24 (1,5 điểm) Câu 2: ( điểm) Tìm GTNN : x2 + x + Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go Câu 3: ( điểm) Chứng minh rằng: (n5 – 5n3 + 4n) 120 víi m, n Z Câu 4: ( 1,5 điểm) Cho a > b > so s¸nh sè x , y víi : x= 1 a a a2 ; y= 1 b b b2 C©u 5: ( 1,5 điểm) Giải ph-ơng trình: x + x + x = 14 C©u 6: ( 2,5 điểm) Trên cạnh AB phía hình vuông ABCD dựng tam giác AFB cân , đỉnh F có góc đáy 150 Chứng minh tam giác CFD tam giác S 14 Câu (2 điểm): Với giá trị a b đa thức f(x) =x4-3x3+3x2 + ax+b chia hết cho đa thức g(x) =x2+4-3x Câu (2 điểm) Phân tích thành nhân tử (x+y+z)3 x3-y3-z3 Câu (2 điểm ) : a-Tìm x để biểu thức sau có giá trị nhỏ : x2 +x+1 b-Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc : A= h(h+1) (h+2) (h+3) C©u 4(2 điểm ) : Chứng minh a2+b2+c2=ab+bc+ac a=b=c Câu (2 điểm ) : Trong tam giác ABC lÊy ®iĨm P cho ̂ ̂ Tõ P dùng PM vu«ng gãc víi BC PK vu«ng gãc víi CA Gọi D trung điểm AB Chứng minh : DK=DM S 15 Câu 1: (2đ) Tìm hai số biết a Hiệu bình ph-ơng số tự nhiên chẵn liên tiếp 36 b Hiệu bình ph-ơng số tự nhiên lẻ liên tiếp 40 Câu 2: (1,5đ) Số lớn hơn: 20062 20055 2006 2005 hay 20062 20052 2006 2005 C©u 3: (1,5 đ) Giải ph-ơng trình x x x x x x 6 1000 999 998 997 996 995 Câu 4: (1đ) Giải bất ph-ơng trình ax b> bx+a Ngi su tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 10 TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go Câu 5: (2,5đ) Cho hình thang ABCD có đáy lớn CD Qua A vẽ đ-ờng thẳng AK song song với BC Qua B vẽ đ-ờng thẳng BI song song víi AD BI c¾t AC ë F, AK c¾t BD ë E Chøng minh r»ng: a EF song song víi AB b AB2 = CD.EF C©u 6: (1,5đ) Cho hình thang ABCD (AD//BC) có hai đ-ờng chéo, cắt O Tính diện tích tam giác ABO biết diện tích tam giác BOC 169 cm diện tích tam giác AOD 196 cm2 S 16 Câu 1(2đ): Tìm giá trị nguyên x để giá trị biểu thức sau số nguyªn A x3 x x 2x Câu 2(2đ): Giải ph-ơng trình x2 - 3|x| - = Câu 3(2đ): Trên cạnh BC, CA, AB tam giác ABC lấy t-ơng ứng điểm P, Q, R Chứn minh điều kiện cần đủ để AP; BQ; CR đồng qui là: PB QC RA 1 PC QA RB C©u 4(2đ): Cho a, b > a+b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = (1+ 1/a )2 + (1+ 1/b)2 Câu 5(2đ): Cho hai sè x, y tho· m·n ®iỊu kiƯn 3x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = 3x2 + y2 ĐỀ SỐ 17 Bµi Cho biÓu thøc: A= ( x x x x x 2006 ) x 1 x 1 x2 x a) Tìm điều kiện x để biểu thức xác định b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên Bài 2: a) Giải ph-ơng trình: 2 x 1 x x 1 2004 2005 2006 b) Tìm a, b để: x3 + ax2 + 2x + b chia hÕt cho x2 + x + Bµi Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 11 TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go Cho hình thang ABCD; M điểm tuỳ ý đáy lớn AB Từ M kẻ đ-ờng thẳng song song với hai đ-ờng chéo AC BD Các đ-ờng thẳng cắt hai cạnh BC AD lần l-ợt E F Đoạn EF cắt AC BD I J a) Chứng minh H trung điểm IJ H trung ®iĨm cđa EF b) Trong tr-êng hỵp AB = 2CD, hÃy vị trí M AB cho EJ = JI = IF Bµi Cho a 4; ab 12 Chøng minh r»ng C = a + b ĐỀ SỐ 18 C©u 1: a Tìm số m, n để: m n x( x 1) x x b Rót gän biĨu thøc: M= 1 1 a 5a a 7a 12 a 9a 20 a 11a 30 Câu 2: a Tìm số nguyên d-ơng n để n5 +1 chia hết cho n3 +1 b Giải toán nến n số nguyên Câu 3: Cho tam giác ABC, đ-ờng cao AK BD cắt G Vẽ đ-ờng trung trùc HE vµ HF cđa AC vµ BC Chøng minh BG = 2HE AG = 2HF Câu 4: Trong hai số sau số lớn hơn: a = 1969 1971 ; b = 1970 ĐỀ S 19 Bài (2,5đ) Cho biểu thức x2 10 x : x x2 x x 3x x A = a tìm tập xác định A: Rút gọn A? b Tìm giá trị x A = c.Với giá trị x A < d timg giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên (2,5đ) a Cho P = x4 x3 x x x 2x x Rót gän P chứng tỏ P không âm với giá trị x b Giải ph-ơng trình Ngi su tm, tng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 12 TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 1 1 x x x x 12 x x 20 x 11x 30 Bµi (1đ) Tìm giá trị lớn nhỏ cđa biĨu thøc A = 27 12 x x2 Bài (3đ) Cho ABC vuông A điểm H di chuyển BC Gọi E, F lần l-ợt điểm đối xứng H qua AB AC a CMR: E, A, H thẳng hàng b CMR: BEFC hình thang, tìm vị trí H để BEFC trở thành hình thang vuông, hình bình hành, hình chữ nhật đ-ợc không c xác định vị trí H để tam giác EHF có diện tích lớn nhất? Bài (1đ) Cho số d-¬ng a, b, c cã tÝch b»ng CMR: (a + 1) (b + 1)(c + 1) ĐỀ S 20 Câu I :(3đ) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = x3 +8x2 + 19x +12 B = x3 +6x2 +11x +6 b) Rót gän ph©n thøc : A x x 19 x 12 B x x 11x Câu II : (3đ) ) Cho ph-ơng tr×nh Èn x xa x2 x2 xa a) Giải ph-ơng trình với a = b) Tìm giá trị a cho ph-ơng trình nhận x = -1 làm nghiệm ) Giải bất ph-ơng trình sau : 2x2 + 10x +19 > Câu III (3đ): Trong hình thoi ABCD ng-ời ta lấy điểm P Q theo thứ tự AB CD cho AP = 1/ AB vµ CQ = 1/ CD Gọi I giao điểm PQ AD , K giao điểm DP BI , O giao điểm AC BD a) Chøng minh AD = AI , cho biÕt nhận xét tam giác BID vị trí K IB b) Cho Bvà D cố định tìm quỹ tích A I Câu IV : (1đ) Tìm nghiệm nguyên d-ơng ph-ơng trình sau : yx2 +yx +y =1 ĐỀ SỐ 21 Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 13 TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go I Đề bài: 1 b c - a c2 a - b a b - c2 Rót gän biĨu thøc A, biÕt a + b + c = Bài 1:(2 điểm) Cho A = Bài 2:(3 điểm) Giải ph-ơng trình: 1) (x+1) + (x+3)4 = 16 2) x 1001 x 1003 x 1005 x 1007 1006 1004 1002 1000 Bài 3:(2 điểm) a= Chứng minh r»ng sè: 1 1 , n Z+ số nguyên 1.2 2.3 3.4 n.(n+1) Bài 4:(3 điểm) Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q lần l-ợt trung điểm AB, BC, CD DA a) Tứ giác MNPQ hình gì? Tại sao? b) Tìm điều kiện để tứ giác MNPQ hình vuông? c) Với điều kiện câu b), hÃy tính tỷ số diện tích hai tứ giác ABCD MNPQ ========================= S 22 Bài (3 điểm) a Phân tích đa thức thành nhân tử A = x4 14x3 + 71x2 – 154x +120 b Chøng tá ®a thøc A chia hết cho 24 Bài ( điểm) a Tìm nghiệm nguyên tử ph-ơng trình: b Tìm giá trị lín nhÊt cđa biĨu thøc: B = Bµi ( ®iĨm) Rót gän biĨu thøc: P = x2 x x2 x x2 x x2 x x2 víi x # x4 x2 5x x 3x 3x Bài ( điểm ) Cho Tam giác ABC vuông cân A Điểm M cạnh BC Từ M kẻ ME vuông góc với AB, kẻ MF vuông góc với AC ( E AB ; F AC ) a Chøng minh: FC BA + CA B E = AB2 vµ chu vi tứ giác MEAF không phụ thuộc vào vị trí M b Tâm vị trí M để diện tÝch tø gi¸c MEAF lín nhÊt Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 14 TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go c Chứng tỏ đ-ờng thẳng qua M vuông góc với EF qua điểm cố ®Þnh ĐỀ SỐ 23 Câu 1: (4đ) a, Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = ( x2 -2x)(x2-2x-1) - b, Cho x Z chứng minh x200 + x100 +1 x4 + x2 + Câu 2: (2đ) 1 + + = x y z 1 Tính giá trị biểu thức P = x y z Cho x,y,z thoả mãn x+ y +z = xyz Câu 3: (3đ) Tìm x biết a, 3x < 5x -4 b, x 43 x 46 x 49 x 52 + = 57 51 48 54 Câu 4: (3đ) a, Chứng minh A = n3 + (n+1)3 +( n+2)3 với n N* b, Cho x,y,z > Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= x y z yz zx x y Bài 5: (6đ) Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đường cao AH (H BC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đường vng góc với BC D cắt AC E Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo m AB Gọi M trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM Tia AM cắt BC G Chứng minh: GB HD BC AH HC Bài 6: (2 đ) Chứng minh số tự nhiên có dạng 2p+1 p số nguyên tố , có số lập phương số tự nhiên khác.Tìm số ĐỀ SỐ 24 Câu 1: (4điểm) Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Tốn cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 15 TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go x x 3y a Cho: 3y-x=6 Tính giá trị biểu thức: A= y2 x6 1 b Cho (a+b+c)2=a2+b2+c2 a,b,c Chứng minh : a b c abc Câu 2: (3điểm) x y2 z2 x y2 z2 a Tìm x,y,x biết : b.Giải phương trình : 2x(8x-1)2(4x-1)=9 Câu 3: (3điểm) a Chứng minh : a5 - a chia hết cho 30 với a Z b Chứng minh : x5 – x + khơng số phương với x Z+ Câu 4: (2điểm) Cho a,b,c>0 Chứng minh bất đẳng thức : Câu 5: (6 điểm) cho tam giác ABC nhọn có đường cao AA’ ;BB’;CC’ Có trực tâm H a)tính tổng : AH ' BH CH AA' BB ' CC ' Gọi AI phân giác tam giác ABC IM; IN thứ tự phân giác góc AIC; AIB(M AC;N AB chứng minh: AN.BI.CM=BN.IC.AM c)Tam Giác ABC thỏa mãn Điều kiện biểu thức : ( AB BC CA) AA'2 B' B C ' C đạt giá trị nhỏ Câu 6(2điểm) Chứng minh a,b,c số hữu tỷ ab+bc+ac=1 (1+a2)(1+b2)(1+c2) bình phương số hữu tỉ …………… Hết…………………… Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 16 TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go ĐỀ SỐ 25 Bài 1: (5 điểm) 1 x Cho biểu thức: A : x x 2x x x x a/ Thu gọn A b/ Tìm giá trị x để A 0? Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 17 TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go c) Tính giá trị A trường hợp : |x - 7| = Câu 3: (5,0 điểm) a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = x2 y z a b c x y z Cho Chứng minh : a b c x y z a b c b) Câu 4: (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD a) Tứ giác BEDF hình ? Hãy chứng minh điều ? b) Chứng minh : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2 ĐỀ SỐ 27 Câu1 a Phân tích đa thức sau thừa số: x4 x x 3 x x 24 b Giải phương trình: x4 30x2 31x 30 a b c a2 b2 c2 Chứng minh rằng: c Cho 0 bc ca ab bc ca ab 10 x x Câu2 Cho biểu thức: A :x x2 x 4 2x x2 a Rút gọn biểu thức A b Tính giá trị A , Biết x = c Tìm giá trị x để A < d Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Câu Cho hình vng ABCD, M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ ME AB, MF AD a Chứng minh: DE CF b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy c Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 18 TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go Câu a Cho số dương a, b, c có tổng Chứng minh rằng: 1 9 a b c b Cho a, b d-ơng a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tinh: a2011 + b2011 ĐỀ SỐ 28 Câu : (2 điểm) Cho P= a 4a a a 7a 14a a) Rót gän P b) Tìm giá trị nguyên a để P nhận giá trị nguyên Câu : (2 điểm) a) Chứng minh r»ng nÕu tỉng cđa hai sè nguyªn chia hÕt cho tổng lập ph-ơng chúng chia hết cho b) Tìm giá trị x để biểu thức : P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Câu : (2 điểm) a) Giải ph-ơng trình : 1 1 x x 20 x 11x 30 x 13x 42 18 b) Cho a , b , c cạnh tam giác Chứng minh r»ng : A= a b c 3 bca a cb a bc Câu : (3 điểm) Cho tam giác ABC , gọi M trung ®iĨm cđa BC Mét gãc xMy b»ng 600 quay quanh điểm M cho cạnh Mx , My cắt cạnh AB AC lần l-ợt D vµ E Chøng minh : a) BD.CE= BC b) DM,EM lần l-ợt tia phân giác góc BDE CED c) Chu vi tam giác ADE không đổi Câu : (1 điểm) Ngi su tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 19 TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go Tìm tất tam giác vuông có số đo cạnh số nguyên d-ơng số đo diện tích số đo chu vi ĐỀ SỐ 29 Câu1( đ): Phân tích đa thức sau thành nhân tử A a 1 a 3 a 5 a 15 Câu 2( đ): Với giá trị a b đa thức: x a x 10 phân tích thành tích đa thức bậc có hệ số nguyên Câu 3( đ): tìm số nguyên a b để đa thức A(x) = x4 3x3 ax b chia hết cho đa thức B( x) x2 3x Câu 4( đ): Cho tam giác ABC, đường cao AH,vẽ phân giác Hx góc AHB phân giác Hy góc AHC Kẻ AD vuông góc với Hx, AE vuông góc Hy Chứng minh rằngtứ giác ADHE hình vuông Câu 5( đ): Chứng minh P 1 1 1 2 1002 ĐỀ SỐ 30 Bài 1: (4 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) (x + y + z) – x3 – y3 – z3 b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình: x 241 x 220 x 195 x 166 10 17 19 21 23 Bài 3: (3 điểm) Tìm x biết: Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 20 ... TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go S 01 Bài 1: (3đ) Chứng minh rÇng: a) 85 + 211 chia hÕt cho 17 b) 1919 + 6919 chia hÕt cho... Để Đi" 18 TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go Câu a Cho số dương a, b, c có tổng Chứng minh rằng: 1 9 a b c b Cho a, b d-ơng... Đường Để Đi" 15 TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go x x 3y a Cho: 3y-x=6 Tính giá trị biểu thức: A= y2 x6 1 b Cho (a+b+c)2=a2+b2+c2