Lời cảm ơn Trước hết, tôi xin gởi lời cám ơn đến Ts Trịnh Công Diệu, người đã dành nhiều thời gian và công sức giúp tôi hoàn thành luận văn này Cám ơn ban giám hiệu trường đại học sư phạm Tp HCM, phòn[.]
Lời cảm ơn Trước hết, xin gởi lời cám ơn đến Ts Trịnh Công Diệu, người dành nhiều thời gian cơng sức giúp tơi hồn thành luận văn Cám ơn ban giám hiệu trường đại học sư phạm Tp.HCM, phòng sau đại học thầy khoa tốn – tin tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho suốt thời gian học tập thực luận văn Cám ơn ba mẹ thành viên gia đình người động viên tơi vượt qua lúc khó khăn Họ nguồn động lực giúp tơi hồn thành luận văn Cuối cùng, xin gởi lời cám ơn đến bạn tôi, giúp đỡ vật chất tinh thần bạn cho tơi n tâm để tơi hồn thành khóa học Tp Hồ Chí Minh, ngày 23 tháng năm 2012 Bùi Phúc Kiển Lời nói đầu Quy hoạch tốn học ngành tốn học có nhiều ứng dụng thực tế Quy hoạch tuyến tính, phận quy hoạch toán học, toán với hàm mục tiêu hàm mục tiêu ràng buộc hàm tuyến tính, đưa vào giảng dạy chương trình đại học Tuy nhiên, nhu cầu thực tế, phát sinh nhiều toán đòi hỏi phải tối ưu lúc nhiều hàm mục tiêu với hàm mục tiêu ràng buộc thường hàm phi tuyến Quy hoạch đa mục tiêu (QHĐMT) đời đáp ứng đòi hỏi nêu Từ tảng đặt Pareto (1848 – 1923 ), đến QHĐMT thu hút nhiều nhà nghiên cứu có nhiều ứng dụng rộng rãi lĩnh vực khác từ kinh tế, tài chính, tin học, nơng nghiệp,… Luận văn trình bày kiến thức QHĐMT chia làm ba chương: Chương nhắc lại kiến thức giải tích lồi như: tập lồi, tập affine, hàm lồi, định lý tách tập lồi,… Chương trình bày kiến thức QHĐMT quan niệm tối ưu, khái niệm tối ưu, khó khăn toán tối ưu đa mục tiêu,… Chương nêu số phương pháp giải tốn QHĐMT Các phương pháp trình bày chủ yếu phương pháp vô hướng, nghĩa chuyển toán QHĐMT toán quy hoạch đơn mục tiêu họ toán đơn mục tiêu để giải MỤC LỤC Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập lồi 1.2 Hàm lồi định lý tách tập lồi Chương Quy hoạch đa mục tiêu: kiến thức 10 2.1 Tối ưu với nhiều mục tiêu 10 2.2 Mơ hình tối ưu đa mục tiêu 12 2.3 Những khó khăn toán tối ưu đa mục tiêu 13 2.4 Các khái niệm tối ưu 15 2.5 Tối ưu đơn mục tiêu đa mục tiêu: khác biệt 19 Chương Quy hoạch đa mục tiêu: phương pháp giải 21 3.1 Phương pháp tổng trọng số ( the weighted sum method ) 21 3.2 Phương pháp ε - ràng buộc ( the ε - constraint method ) 26 3.3 Phương pháp lai ( The hybrid method ) 30 3.4 Phương pháp co giãn ràng buộc ( The elastic constraint method ) 31 3.5 Phương pháp Benson ( Benson’s method ) 34 3.6 Tối ưu hóa kiểu từ điển ( lexicographic optimality ) 37 3.7 Tối ưu theo thứ tự Max ( Max-Ordering optimality ) 39 Tài liệu tham khảo 43 Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập lồi Định nghĩa 1.1.1 Cho X không gian tuyến tính Tập A ⊂ X gọi lồi ∀x1 , x ∈ A, ∀λ ∈ [ 0,1] ⇒ λ x1 + (1 − λ ) x ∈ A Theo định nghĩa, ∅ X xem tập lồi Mệnh đề 1.1.2 Giao tất tập lồi tập lồi Chứng minh: lấy Ai ⊂ X với i ∈ I họ tập lồi Đặt A = Ai Khi i∈I ∀x, y ∈ A , ta có x, y ∈ Ai với i ∈ I Do ∀i ∈ I , Ai lồi nên λ x + (1 − λ ) y ∈ Ai với λ ∈ [ 0,1] Suy λ x + (1 − λ ) y ∈ A với λ ∈ [ 0,1] Vậy A tập lồi Mệnh đề 1.1.3 ( Định lý Helly ) Cho p > n C1 , C2 , , C p ⊂ n tập lồi Khi p C i ≠∅ i =1 { } với tập gồm n + phần tử Ci1 , Ci2 , , Cin +1 ⊂ {C1 , C2 , , C p } ta có n +1 C k =1 ik ≠∅ Hoặc có phát biểu tương đương sau, p C i = ∅ có tập i =1 { } gồm n + phần tử Ci1 , Ci2 , , Cin +1 ⊂ {C1 , C2 , , C p } thỏa n +1 C k =1 ik = ∅ Chứng minh mệnh đề 1.1.3 tham khảo Đỗ Văn Lưu Phan Huy Khải (2000, trang 180-183) Định nghĩa 1.1.4 Vectơ x ∈ X gọi tổ hợp lồi vectơ n n i =1 i =1 1, 2, , n , ∑ λi = cho x = ∑ λi x i x1 , x , , x n ∈ X tồn λi ≥ 0, i = Định lý 1.1.5 Giả sử A ⊂ X tập lồi; x1 , x , , x n ∈ A Khi đó, A chứa tất tổ hợp lồi x1 , x , , x n Chứng minh: tham khảo Đỗ Văn Lưu Phan Huy Khải (2000, trang 5-6) Định nghĩa 1.1.6 Giả sử A ⊂ X Giao tất tập lồi trong X chứa A gọi bao lồi ( convex hull ) A ký hiệu coA Định nghĩa 1.1.7 Tập A ⊂ n gọi tập affine ∀x, y ∈ A, ∀λ ∈ ta có (1 − λ ) x + λ y ∈ A Định nghĩa 1.1.8 Giao tất tập affine chứa A ⊂ n gọi bao affine ( affine hull ) A ký hiệu affA Định nghĩa 1.1.9 Phần tương đối tập A ⊂ n phần A affA ký hiệu riA Các điểm thuộc riA gọi điểm tương đối A 1.2 Hàm lồi định lý tách tập lồi Giả sử X không gian lồi địa phương, D ⊂ X , f : D → ∪ {±∞} Định nghĩa 1.2.1 Trên đồ thị ( epigraph ) hàm f , ký hiệu epif , định nghĩa sau {( x, r ) ∈ D × : f ( x ) ≤ r} =: epif Định nghĩa 1.2.2 Hàm f gọi hàm lồi D epif tập lồi X × Hàm f gọi hàm lõm D − f hàm lồi D Định lý 1.2.3 Lấy X , Y ⊂ n tập lồi khác rỗng Khi đó, tồn y* ∈ n thỏa inf y∈Y Và y, y * ≥ sup x, y * sup y∈Y x∈X y, y * > inf x, y * x∈X riX ∩ riY = ∅ Định lý 1.2.4 Lấy Y ⊂ n tập lồi, đóng, khác rỗng y ∈ n \ Y Thì tồn y* ∈ n \ {0} α ∈ thỏa y*, y < α < y*, y với y ∈ Y Chứng minh định lý 1.2.3 định lý 1.2.4 tham khảo Đỗ Văn Lưu Phan Huy Khải (2000, trang 71-73) Định lý 1.2.5 Cho X ⊂ n tập lồi f k : n → , k = 1, 2, , p hàm lồi p Nếu hệ f k ( x ) < 0, k = 1, 2, , p lời giải tồn số λk ≥ 0, ∑ λk = k =1 thỏa p ∑ λ f ( x ) ≥ với x ∈ X k =1 k k Chứng minh định lý 1.2.5 tìm Mangasarian ( 1994, trang 63-65 ) Chương Quy hoạch đa mục tiêu: kiến thức 2.1 Tối ưu với nhiều mục tiêu Ta xét toán định sau: Một chủ trang trại có 10 hecta đất định đầu tư trồng ba loại công nghiệp gồm cao su, cà phê điều Các thông số giá giống, mật độ trồng, phân bón, giá bán sản phẩm, suất trung bình nhân cơng chăm sóc cho bảng sau: Loại Cao su Cà phê Điều Giá giống ( 1000đ/cây) 3,5 2,5 Mật độ (cây/ha ) 450 2000 200 Phân bón (tấn/ha) 0,215 0,5 0,3 Năng suất trung bình (tấn/ha) 2,3 2,526 Giá bán sản phẩm (triệu đ/ tấn) 8,8 43,1 18 Nhân công ( người/ha) 10 Người chủ trang trại đặt mục tiêu sau: • Vốn đầu tư, số lượng nhân cơng, khối lượng phân bón tối thiểu • Giá bán sản phẩm cao Nếu ta gọi số phải trồng cao su, cà phê, điều x1 , x2 , x3 vấn đề người chủ trang trại xem xét dạng mơ hình tốn tối ưu sau: • Vốn đầu tư: f1 ( x ) = x1 + 3x2 + 2,5 x3 → 10 • Số lượng nhân công: f ( x ) = 10 x x x1 + + → 450 2000 200 • Lượng phân bón sử dụng: f3 (= x ) 0, 215 x x1 x + + 3 → 450 2000 200 • Giá bán sản phẩm: f ( x )= 8,8 ì 2,3 ì ã x x1 x + 43,1× 2,526 + 18 × × → m ax 450 2000 200 Với ràng buộc: x x1 x + + ≤ 10 450 2000 200 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ Bài toán toán tối ưu với nhiều mục tiêu, mục tiêu có ràng buộc chặt chẽ với nhau, mâu thuẫn Do tốn tối ưu với nhiều mục tiêu, đạt giá trị tốt tất mục tiêu lúc Điều có nghĩa tốn khơng có lời giải tốn u cầu tìm phương án để tất mục tiêu tốt Tuy nhiên, ta tìm lời giải hiểu ý nghĩa chữ tối ưu theo cách khác Trong ví dụ nêu trên, số tiền thu bán sản phẩm mục tiêu quan trọng chủ trang trại, tiếp đến vốn đầu tư, quan trọng nhân cơng cuối mục tiêu phân bón Như vậy, tốn trên, có thứ tự ưu tiên mục tiêu Khi đó, việc giải toán, mục tiêu ưu tiên xem xét mức tốt mục tiêu ưu tiên trước đạt Tối ưu đa mục tiêu có ưu tiên mục tiêu gọi tối ưu theo kiểu từ điển Cũng ví dụ trên, trường hợp mục tiêu có tầm quan trọng chủ trang trại Anh ta xem phương án tối ưu cải thiện 11 mục tiêu mà không làm ảnh hưởng đến mục tiêu khác Điều dẫn ta đến khái niệm điểm hữu hiệu hay gọi phương án tối ưu Pareto Đôi xảy trường hợp mục tiêu đạt giá trị cao mục tiêu khác lại nhận giá trị thấp Trường hợp người chủ trang trại điều không mong muốn Và tối ưu theo thứ tự max sử dụng nhằm tránh trường hợp Các khái niệm tối ưu ( tối ưu theo kiểu từ điển, tối ưu Pareto, tối ưu theo thứ tự max ) trình bày rõ mặt tốn học mục sau 2.2 Mơ hình tối ưu đa mục tiêu Về mặt toán học, toán quy hoạch đa mục tiêu (QHĐMT) có dạng: f ( x ) = ( f1 ( x), f ( x), , f p ( x) ) x∈X x∈X X ⊂ n thường cho dạng: X= { x ∈ n : g j ( x ) ≤ 0, g j : n → , j =1, 2, , m} X gọi tập khả thi ( feasible set ), không gian chứa X gọi không gian định ( decision space ), g j : n → , j = 1, 2, , m gọi hàm ràng buộc f i : X → , i = 1, 2, , p gọi hàm mục tiêu ( objective function ), f ( x ) = ( f1 ( x ) , f ( x ) , , f p ( x ) ) gọi vectơ hàm mục tiêu ( vector objective function ) Ký hiệu Y = f ( X ) ảnh tập khả thi qua ánh xạ f được, không gian chứa Y gọi không gian mục tiêu ( objective space ) 12 ... tiêu 12 2.3 Những khó khăn tốn tối ưu đa mục tiêu 13 2.4 Các khái niệm tối ưu 15 2.5 Tối ưu đơn mục tiêu đa mục tiêu: khác biệt 19 Chương Quy hoạch đa mục tiêu: phương pháp giải 21 3.1 Phương... cuối mục tiêu phân bón Như vậy, tốn trên, có thứ tự ưu tiên mục tiêu Khi đó, việc giải tốn, mục tiêu ưu tiên xem xét mức tốt mục tiêu ưu tiên trước đạt Tối ưu đa mục tiêu có ưu tiên mục tiêu. .. đơn mục tiêu đa mục tiêu: khác biệt Trong tốn tối ưu đơn mục tiêu, cơng việc tìm phương án tốt cho mục tiêu Do đó, thuật tốn toán tối ưu đơn mục tiêu, phương án chấp nhận có giá trị mục tiêu