Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 53 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
LŨY THỪA CỦA SỐ NGUYÊN (POWERS OF INTEGERS) CHUYÊN ĐỀ 2.1: SỐ CHÍNH PHƯƠNG (SQUARE NUMBER) I CƠ SỞ LÝ THUYẾT Định nghĩa Số nguyên a gọi số phương bình phương số nguyên, tức a b với b số nguyên Tính chất a) Nếu a chẵn a b) Nếu a lẻ a 18 c) Nếu a a d) Nếu a a 1 e) Nếu a 1 a 1 ; Nếu a 1 a 1 f) Nếu a số phương, a chia hết cho số nguyên tố p a chia hết cho p g) Nếu a chia hết cho số nguyên tố p a chia hết cho p h) Nếu tích hai số a b số phương số a b có dạng a mp ; b mq i) Giữa hai số phương liên tiếp khơng có số phương Một số kết “đẹp” a) Số phương có chữ số tân thuộc tập hợp: 1; 2; 4;5;6;9 b) Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn c) Số phương có dạng 4k 4k Khơng có số phương có dạng 4k 4k với k d) Số phương dạng 3k 3k Khơng có số phương có dạng 3k với k Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 II PHÂN DẠNG BÀI TẬP DẠNG 1: CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG HOẶC LÀ TỔNG CỦA NHIỀU SỐ CHÍNH PHƯƠNG Ví dụ Cho n số tự nhiên Chứng minh rằng: A n n 1n 2n 3 số phương Lời giải: Ta có: A n 3nn 3n 2 n 3n n 3n n 3n 1 2 Vì n nên n 3n Vậy A số phương Ví dụ Chứng minh số sau số phương: a) A 224 99 9100 09 n2 b) B 11 155 6 n n n1 Lời giải: a) Ta có: A 224 99 9100 09 n n 224.10 99 9.10n2 10n1 2n 224.102 n 10n2 1.10n2 10n1 224.102 n 102 n 10n2 10n1 225.102 n 90.10n 15.10n 3 Vậy A số phương b) Ta có : B 11 155 6 n n1 11 155 1 n n n 11 1.10 5.11 1 n n 10 1 n 10n 1 10 1 9 102 n 10n 5.10n 2n n 10 4.10 10n n Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 Do B số phương Ví dụ Chứng minh rằng: A 11 1122 225 số phương 1997 1998 Lời giải: Ta có: 1999 22 22.10 A 11 11.10 1997 1998 1997 10 1.101999 101998 1.10 9 1998 1996 1998 10 2.5.10 25 10 5 1997 100 005 33 3352 1997 Vậy A số phương Ví dụ Cho x, y Chứng minh rằng: A x y x y x y x y y số phương Lời giải: Ta có: A x y x y x y x y y x xy y x xy y y Đặt u x xy y Khi A u y u y y u y y u 2 Vậy A số phương Ví dụ Chứng minh tổng bình phương số liên tiếp khơng thể số phương Lời giải: Giả sử: n 2; n 1; n; n 1; n với n số tự nhiên liên tiếp Ta có: n 2 n 1 n n 1 n 2 n 2 2 2 Vì n khơng thể có chữ số tận nên n 2 n 2 không số phương Vậy tổng bình phương số tự nhiên liên tiếp khơng phải số phương Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 Ví dụ Cho n , Chứng minh A n n 2n3 2n khơng thể số phương Lời giải Ta có A n n 2n3 2n n n n 2n 2 n n n 1 n 1 n n n 1n 1 n 1 n n 1 n 2n 2 Với n , ta có n 2n n 2n n 1 Và n 2n n n 1 n Do n 1 n 2n n 2 Như n 2n khơng phải số phương nên A khơng phải số phương Ví dụ Chứng minh tổng bình phương hai số lẻ khơng phải số phương Lời giải Giả sử: a 2m , b 2n , với m, n Ta có: a b 2m 1 2n 1 m m n n 4k với k 2 Khơng có số phương có dạng 4k a b khơng phải số phương Ví dụ (Romanian MO 2003) Cho k số nguyên dương a 3k 3k a) Chứng minh 2a a tổng ba số phương b) Chứng minh a ước số nguyên duong b b tổng gồm ba số phương b n tổng bà số phương Lời giải a) Ta có x 6k 6k 2k 1 k 1 k 2 a 9k 18k 15k 6k k k 2k 3k 1 2k k a12 a22 a32 2 b) Vì a b nên đặt b ca Vì b tổng ba số phương nên đặt b b12 b22 b32 Khi b c a c a12 a22 a32 Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 Để kết thúc việc chứng minh, ta tiến hành sau: cho n p ta được: b p1 b p b12 b22 b32 cho n p ta b n b p b a12 a22 a32 Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 Dạng Tìm giá trị biến để biểu thức số phương Ví dụ (Đề thi vào lớp 10 chuyên, trường ĐHKHTN – ĐHQG Hà Nội năm 1992) Tìm tất số nguyên n cho n 2n3 2n n số phương Lời giải Vì n 2n3 2n n số phương nên: n + 2n + 2n + n + = m , m ∈ Ta có: m2 = ( n2 + n ) + n2 + n + > ( n2 + n ) ⇒ m > n2 + n ⇒ m ≥ n2 + n + 2 ⇒ m ≥ n + n + ⇒ m ≥ ( n + n + 1) Khi n + 2n3 + 2n + n + ≥ ( n + n + 1) ⇔ n + n − ≤ ⇔ −3 ≤ n ≤ 2 Vì n ∈ nên n ∈ {−3; − 2; − 1;0;1; 2} Thử giá trị ta thu n = thỏa mãn yêu cầu toán Ví dụ (Romanian MO 2004) Tìm tất số ngun khơng âm n cho có số nguyên a, b thỏa mãn n 2= a + b n= a + b2 Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc ( a + b ) ≥ ( a + b ) ta có 2n3 ≥ n hay n ≤ 2 • Với n = 0, ta chọn a= b= • Với n = 1, ta chọn a = 1, b = • Với n = 2, ta chọn a= b= Vậy giá trị n cần tìm 0; 1; Ví dụ Tìm số nguyên n cho n + 1955 n + 2014 số phương Lời giải: a ; n + 2014 = b với a, b ∈ a < b Giả sử n + 1955 = b−a = = a 29 ⇔ Khi b − a = 59 ⇔ ( b − a )( b + a ) = 59 ⇔ b + a 59 = = b 30 Dễ dàng suy n = −1114 Ví dụ Tìm số tự nhiên n cho 2n + số phương Lời giải: Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 m , m ∈ ⇔ ( m − 3)( m + 3) = 2n Giả sử 2n + = m − = 2a Vì m − < m + nên , với a, b ∈ a < b 2b m + = Ta có 2b − 2a = ⇔ 2a ( 2b − a − 1) = Vì 2a ( 2b − a − 1) mà 2a ( 2b − a − 1) nên a = Điều dẫn đến m = n = Ví dụ Tìm n ∈ * cho A = 1!+ 2!+ 3!+ + n ! số phương Lời giải: Xét n = ta có A= 1!= 1= 12 số phương Xét n = ta có A =1!+ 2! =1 + =3 khơng phải số phương Xét n = ta có A =1!+ 2!+ 3! =1 + + = = 32 số phương Xét n ≥ ta có 1!+ 2!+ 3!+ 4! = 33 5!; 6!; …; n ! có chữ số tận chữ số nên A có chữ số tận chữ số nên A khơng phải số phương Vậy n = 1, n = thỏa mãn yêu cầu tốn Ví dụ Tìm ≤ a ∈ cho a ( a − 1).a ( a − 1) = ( a − ) aa ( a − 1) Lời giải: Ta có a ( a − 1).a ( a − 1) = ( a − ) aa ( a − 1) ⇔ a ( a − 1) = ( a − ) aa ( a − 1) (*) Vì VT(*) số phương nên VP(*) số phương Vì số phương có chữ số tận thuộc tập hợp {0;1; 4;5;6;9} nên a có chữ số tận thuộc tập hợp {1; 2;5;6;7;0} Do a chữ số nên a ≤ Kết hợp với ≤ a ∈ nên a ∈ {5;6;7} Thử giá trị ta thu a = thỏa mãn 762 = 5776 Ví dụ Tìm tất ba nguyên dương ( x; y; z ) cho A = x + y + z + xy + x ( z − 1) + y ( z + 1) số phương Lời giải: Ta có ( x + y + z ± 1) = x + y + z + xy + x ( z ± 1) + y ( z ± 1) ± z + Mà A = x + y + z + xy + x ( z − 1) + y ( z + 1) nên ta có đánh giá sau ( x + y + z − 1) < A < ( x + y + z + 1) Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 Suy A = ( x + y + z) Khi x + y + z + xy + x ( z − 1) + y ( z + 1) = (x + y + z) ⇔ y − x = ⇔ x = y Vậy ( x; y; z ) = ( a; a; b ) với a, b số ngun dương tùy ý DẠNG 3: TÌM SỐ CHÍNH PHƯƠNG THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN NÀO ĐĨ Ví dụ Hãy tìm tất số phương gồm bốn chữ số biết hai chữ số đầu lớn hai chữ số sau đơn vị Lời giải: Đặt abcd = x , với 32 ≤ x < 100 Theo đề ta có ab − cd = ( ) Điều dẫn đến 100ab + cd = x ⇔ 100 cd + + cd = x ⇔ 101cd = x − 100 ⇔ 101cd = ( x − 10 )( x + 10 ) Suy 101| x + 10 101| x − 10 nên 101| x + 10 Lại gcd ( x − 10;101) = Ta thấy 32 ≤ x < 100 ⇒ 42 ≤ x + 10 < 110 ⇒ x + 10= 101 ⇒ x= 91 Như abcd = 91 = 8281 thỏa mãn u cầu tốn Ví dụ Hãy tìm tất số phương có bốn chữ số biết chữ số đầu giống chữ số cuối giống Lời giải: Gọi số phương cần tìm aabb = x Với a ∈ {1; 2; ;9} , b ∈ {1; 2; ;9} n ∈ x 11.a= 0b 11(100a += b ) 11( 99a + a + b ) Khi đó= (*) Theo dấu hiệu chia hết cho 11 ta dễ dàng suy x 11 Điều dẫn đến ( a + b )11 Vì ≤ a ≤ 9, ≤ b ≤ với a, b ∈ nên ≤ a + b ≤ 18 ⇒ a + b = 11 ⇒ b = 11 − a Thay vào (*) ta = x 112 ( 9a + 1) Lại x 112 số phương nên 9a + phải số phương Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 Thử giá trị tập {1; 2; ;9} có a = ( ⇒ b = ) Vậy số phương cần tìm thỏa mãn u cầu tốn 7744 Ví dụ Hãy tìm số phương lớn có chữ số cuối khác cho xóa bỏ hai chữ số cuối nhận số phương Lời giải: Gọi số phương cần tìm abc = x với a, b, c ∈ b ≤ 0, c ≤ 9, c ≠ Theo đề a = y Ta có x > 100 y ⇒ x > 10 y ⇒ x ≥ 10 y + Suy 100 > bc = x − 100 y ≥ (10 y + 1) − 100 y = 20 y + ⇒ y ≤ Đến ta dễ dàng tìm số phương thỏa mãn u cầu tốn 1681 Ví dụ Tìm số phương có chữ số cho chữ số cuối số nguyên tố, bậc hai số có tổng chữ số số phương Lời giải: Gọi số phương cần tìm abcd với a, b, c, d ∈ ≤ a ≤ 9, ≤ b, c, d ≤ Vì abcd số phương nên d ∈ {0;1; 4;5;6;9} Lại d nguyên tố nên d = Đặt abc5 = x < 10000 ⇒ 32 ≤ x < 100 Do x số có hai chữ số x có chữ số tận nên x có chữ số tận Tổng chữ số x số phương nên x = 45 Suy abcd = 45 = 2025 Vậy số cần tìm 2025 Ví dụ Hãy tìm hai số phương phần biệt a1a2 a3 a4 b1b2b3b4 biết a1 − b1 = a2 − b2 = a3 − b3 = a4 − b4 Lời giải: Đặt a1a2 a3 a4 = a b1b2b3b4 = b với a, b ∈ Giả sử a1a2 a3 a4 > b1b2b3b4 Khi 32 ≤ b < a < 100 a1a2 a3 a4 > b1b2b3b4 = a − b = ( a + b )( a − b ) = 1111c = 11.101c (do việc đặt c = a1 − b1 = a2 − b2 = a3 − b3 = a4 − b4 ) Do 11 ; 101 số nguyên tố a + b < 200, a − b < 100 nên ta có hệ phương trình a 101 = a + b = ⇒ 11c = a − b = b (101 + 11c ) (101 − 11c ) Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 Vì b ≥ 32 nên c ≤ Kết hợp với a + b = 101 (số lẻ) nên c lẻ, nghĩa c = c = a = 56 a = 67 ; Điều dẫn đến b = 45 b = 34 Do cặp số phương phải tìm là: 3136 2025; 4489 1156 Trong trường hợp a + b = 11c c = (bị loại) III BÀI TẬP RÈN LUYỆN (Kurschák 1953) Cho n, d ∈ + cho d |2n Chứng minh n + d khơng thể số phương Lời giải: Ta có d |2n ⇒ 2n = kd Giả sử có số nguyên m cho: mk n + d = m ⇒ n k + dk = m k ⇒ = k + 2k ∈ n 2 2 2 Suy k + 2k số phương Vơ lý k < k + 2k < ( k + 1) 2 Có tồn hay khơng 2013 số nguyên dương a1 , a2 , , a2013 cho số số phương? a12 + a22 , a12 + a22 + a32 , a12 + a22 + + a2013 Lời giải: Xuất phát từ đồng thức ( 2a + 1) + ( 2a + 2a ) = ( 2a 2 + 2a + 1) ; Ta chọn a = a1= 3= 2a + , a2= 4= 2a + 2a, ta được: a12 + a22= ( 2a + 2a + 1) = 52 Chọn a3= ( a + a ) + ( a + a )= 12 ta có: (2(a a12 + a22 + a= = ( ) ( + a ) + + ( a2 + a ) + ( a2 + a ) ) ) 2 ( a + a ) + ( a + a ) + 1= 132 2 Cứ ta chọn 2013 số thỏa mãn (Komal – Hungary C.640, 2001) Tìm tất số tự nhiên thỏa mãn tính chất sau: Nếu thay đổi hai chữ số cuối bình phương số tự nhiên đó, ta nhận bình phương số tự nhiên liền sau Lời giải: Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 2 x= y= 1( mod ) ⇒ x − y ⇒ ( 3n + 1) − ( 2n + 1) n Vì gcd ( 8,5 ) = nên n 40 48 Chứng minh abc số nguyên tố b − 4ac khơng phải số phương Lời giải Giả sử b − 4ac số phương b − 4ac = k với k ∈ * Ta có 4a.abc = 400a + 40ab + 4ac = 400a + 40ab + b − k = ( 20a + b ) 2 − k= ( 20a + b + k )( 20a + b − k ) Vì abc số nguyên tố nên c ≠ ⇒ ac > Do b > k ⇒ 20a + b + k > 20a + b − k > 20a 20a + b − k )( 20a + b + k ) (= = Từ suy abc 4a m.n Mà 20a + b + k 20a + b − k lớn 4a nên m n lớn Như abc hợp số, mâu thuẫn với giả thiết 49 Chứng minh 2n với n ∈ * tổng hai số phương n tổng số phương Lời giải Gọi n số tự nhiên thỏa mãn 2n = a + b với a, b ∈ Từ suy a, b tính chẵn lẻ Do a + b a − b số chẵn 2u , a − b = 2v Suy a = Đặt a + b = u + v, b = u −v Khi 2n = ( u + v ) + ( u − v ) ⇔ n = u + v 2 Vậy ta hoàn tất chứng minh 50 Tìm n nguyên dương cho X = 28 + 211 + 2n số phương Lời giải Nếu X số phương thì: 28 + 211 + 2n = x ⇔ 2n = ( x − 48 )( x + 48 ) với x số nguyên dương x − 48 = 2n Khi với n > s n−s + = x 48 Từ suy 2n − s − s = 96 ⇔ s ( 2n − s − 1) = 3.25 Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 s=5 s=5 ⇔ Như n − s − =3 2 n = 12 51 Chứng minh X =1k + 9k + 19k + 2013k số phương với k nguyên dương lẻ Lời giải Với k nguyên dương lẻ ta có: 1k ≡ 1( mod ) ;9k ≡ 1( mod ) ,19k ≡ −1( mod ) , 2013k ≡ 1( mod ) Suy X ≡ ( mod ) Vậy X số phương 52 Cho p tích n số nguyên tố ( n > 1) Chứng minh p − số phương Lời giải Giả sử p − số phương Do p tích n số nguyên tố ( n > 1) nên p Do p − ≡ −1( mod 3) Đặt p − 1= 3k − Một số phương khơng có dạng 3k − Vậy ta hoàn tất chứng minh 53 Cho k1 < k2 < k3 < số nguyên dương, khơng có hai số liên tiếp đặt S n = k1 + k2 + k3 + + kn , ∀n = 1, 2, Chứng minh với số nguyên dương, nửa khoảng [ Sn , Sn+1 ) chứa số phương Lời giải Nhận xét: Nửa khoảng [ S n , S n +1 ) chứa số phương nửa khoảng ) S n , S n +1 có số nguyên dương, tức Ta có S n +1 − S n ≥ S n +1 − S n ≥ ⇔ S n +1 ≥ S n + ⇔ S n +1 ≥ S n + S n + ⇔ S n + kn +1 ≥ S n + S n + ⇔ kn +1 ≥ S n + Theo đề rõ ràng kn +1 ≥ kn + , ∀n ∈ * ⇒ S n ≤ n.kn +1 − n ( n + 1) Ta cần chứng minh kn +1 ≥ nkn +1 − n ( n + 1) + (*) Thật vậy, (*) ⇔ k n +1 − 2kn +1 + ≥ 4nkn +1 − 4n ( n + 1) ⇔ k n +1 − ( 2n + 1) kn +1 + ( 2n + 1) ≥ ⇔ ( kn +1 − 2n − 1) ≥ Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 Bất đẳng thức cuối ) Vậy số nguyên dương n nửa khoảng S n , S n +1 chứa số phương 54 (Polish 2001) Cho a, b số nguyên cho với n 2n a + b số phương Chứng minh a = Lời giải Giả sử a ≠ Nếu a ≠ , b = 21 a + b 22 a + b khơng thể đồng thời số phương Do a b phải khác Từ dễ dàng suy a b dương Xét hai dãy số { xn } { yn } sau: yn 2n + a + b = xn 2n a + b= Dễ thấy { xn } , { yn } hai dãy số nguyên dương, đơn điệu tăng vô hạn 3b Ta có ( xn + y n )( xn − y n ) = Suy 3b xn + yn với n ⇒ 3b ≥ xn + yn với n (vơ lí) Thế điều giả sử sai Vậy ta có điều phải chứng minh (17 + 12 ) − (17 + 12 ) 55 Chứng minh với số nguyên dương n , số n n số ngun khơng phải số phương Lời giải ( ) ( ) Ta có 17 + 12 = + 17 − 12 = − (17 + 12 ) − (17 + 12 ) Khi n n ( = +1 ) +( ( Đặt A = +1 2n ) ( −1 ) +( 2n ) −1 2n 2n ) −( +1 ( , B= Sử dụng nhị thức Newton ta suy ra: ) 2n −1 2 ) −( +1 2n ) 2n −1 2n 2 ( ) +1 2n =+ x y ( số nguyên dương Từ suy A = x , B = y Do A, B số nguyên dương Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 ) −1 2n =− x y , với x, y ( Mặt khác, A2 − B = A − B ) ( )( A + B ) =( +1 ) 2n −1 2n =1 Do đó, A, B số nguyên tố Để chứng minh AB số phương ta cần chứng minh hai số khơng phải số phương Ta có A B +1 + −1 = ( ) ( ) 2n +1 − −1 = ( ) ( 2n ) 2n 2n ( ( ) +( +1 2n ) −1 2n ) ( +1 2n − ) −1 2n −1 +1 Dễ dàng suy A khơng phải số phương 56.(Romanian Team Selection Test for JBMO 2002) Bốn chữ số cuối chữ số phương Chứng minh chúng Lời giải Kí hiệu k số phương a chữ số xuất bốn vị trí cuối Dễ dàng suy a ∈ {0,1, 4,5, 6,9} Do k ≡ a.1111( mod16 ) * Nếu a = tốn chứng minh * Giả sử a ∈ {1,5,9} Từ k ≡ ( mod ) , k ≡ 1( mod ) k ≡ ( mod ) 1111 ≡ ( mod ) ta thu được: 1111 ≡ ( mod ) , 5.1111 ≡ ( mod ) 9.1111 ≡ ( mod ) Như đồng thức dư k ≡ a.1111( mod16 ) xảy * Giả sử a ∈ {4;6} Từ 1111 ≡ ( mod16 ) , 4.1111 ≡ 12 ( mod16 ) 6.1111 ≡ 10 ( mod16 ) ta suy đồng thức dư k ≡ a.1111( mod16 ) xảy Vậy a = 57 Tìm tất số nguyên x, y cho x + y + z số phương Lời giải Rõ ràng tốn khơng có nghiệm x < Khơng tính tổng quát, giả sử x ≤ y ≤ z đặt x + y + z = u2 Thế 22 x (1 + y − x + z − x ) = u Ta có hai trường hợp: Trường hợp 1: Nếu + y − x + z − x lẻ + y − x + z − x = ( 2a + 1) Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 Suy y − x −1 + z − x −1 =a ( a + 1) hay y − x −1 (1 + z − y ) =a ( a + 1) Đến lại xét hai trường hợp nhỏ: Nếu a chẵn a + lẻ Vì y − x −1 = a + z − y =+ a Suy y − x −1 = z − y ⇔ y − x − = z − y ⇔ z = y − x − x y z x y y − x −1 = ( x + 22 y − x −1 ) Và + + = + + Nếu a lẻ a + chẵn, vậy= Suy a z − y + , a + =4 y − x −1 y − x −1 − z − y = y − x −3 x − y −1 2= + xảy x − y − ≠ Trường hợp 2: Nếu + y − x + z − x chẵn, y = x z = x Dù phải có y = x dẫn đến + z − x số phương Điều khơng thể + z − x ≡ ( mod ) 58 (Romanian MO 2000) Cho k số nguyên Chứng minh ( 2k + 1) − ( 2k − 1) tổng ba số 3 phương Cho n số nguyên dương Chứng minh ( 2n + 1) − biểu diễn dạng tổng 3n − số phương lớn Lời giải a) Ta có ( 2k + 1) − ( 2k − 1) 3 2 = ( 2k + 1) − ( 2k − 1) ( 2k + 1) + ( 2k + 1)( 2k − 1) + ( 2k − 1) 2 = ( 2k + 1) + ( 2k + 1)( 2k − 1) + ( 2k − 1) 2 2 = ( 2k + 1) + ( 2k − 1) + ( 2k + 1) + ( 2k + 1)( 2k − 1) + ( 2k − 1) = ( 2k + 1) + ( 2k − 1) + ( 2k + + 2k − 1) 2 = ( 2k + 1) + ( 2k − 1) + ( 4k ) (điều phải chứng minh) 2 b) Để ý ( 2n + 1) − = ( 2n + 1) − ( 2n − 1) − ( 2n − 1) − ( 2n − 3) + + 33 − 13 3 3 Ta có: n − ∑ ( 2k + 1) + ( 2k − 1) + ( 4k ) ( 2n + 1)= k =1 2 − (theo kết câu a) Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 n 2 = 32 + 12 + 42 + ∑ ( 2k + 1) + ( 2k − 1) + ( 4k ) − k =1 n 2 = 32 + 42 + ∑ ( 2k + 1) + ( 2k − 1) + ( 4k ) k =1 Vậy ( 2n + 1) − biểu diễn dạng tổng 3n − số phương 59 (Romanian MO 2003) Cho n ≥ số nguyên Chứng minh loại bỏ tối đa hai phần tử phần tử tập {1, 2,3, , n} cho tổng số cịn lại số phương Lời giải n ( n + 1) n ( n + 1) < ( m + 1) Đặt m = Từ m ≤ Ta có n ( n + 1) − m < ( m + 1) − m = 2m + Do ta có n ( n + 1) − m ≤ 2m ≤ 2n + 2n ≤ 2n − Với k cho k ≤ 2n − thu cách thêm vào nhiều hai số từ {1, 2,3, , n} Vậy ta hoàn tất chứng minh 60 Tìm số tự nhiên n cho n − 50 n + 50 số phương Lời giải n − 50 = a2 Giả sử với a, b nguyên dương a > b n + 50 = b Do b − a < b + a chúng có tính chẵn lẻ nên a + b b − a phải số chẵn b−a = = a 24 ⇔ Do b + a 50 = = b 26 Vậy ta tìm n = 626 thỏa mãn u cầu tốn 61 Tìm tất số tự nhiên m, n cho 2m + 3n số phương Lời giải k với k ∈ * Giả sử 2m + 3n = Vì k ≡ 1( mod 3) nên m phải số chẵn m ≥ Do k số lẻ k ≡ 1( mod ) Điều dẫn đến 3n ≡ 1( mod ) , n số chẵn Đặt n = x với x ∈ * Ta có 2m =k − 32 x =( k + 3x )( k − 3x ) Vì ( k + 3x ) + ( k − 3x ) = 2k k lẻ nên lũy Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 thừa cao mà ước hai nhân tử Điều đồng nghĩa với k + 3x = x 2m −1 k + = Trừ vế theo vế phương trình thứ hai cho phương trình thứ ta 3x + =2m− (*) Lại m chẵn m ≠ nên 3x + ≡ ( mod ) Do x lẻ Xét x > ta có 3x + = 3x + 1x = Nhận thấy x −1 ∑ ( −1) i x −1−i x −1 ( + 1) ∑ ( −1) 3x −1−i i i =0 tổng x số lẻ Kết hợp với (*) ta suy ra, x −1 ∑ ( −1) i x −1−i = i =0 i =0 2m − =4 ⇔ m =4 Dẫn đến= 52 n 2,= k Thử lại ta thấy 24 + 32 = Vậy m = 4, n = thỏa mãn yêu cầu tốn 62 a) Tìm 11 số tự nhiên liên tiếp mà tổng bình phương chúng số phương b) Chứng minh ≤ n ≤ 10 , không tồn n số tự nhiên liên tiếp có tính chất Lời giải a) Một kết thật thú vị: 182 + 192 + 202 + 212 + 222 + 232 + 242 + 252 + 262 + 27 + 282 = 77 b) Giả sử n ∈ cho tồn n số tự nhiên liên tiếp có tổng bình phương số phương Khi tồn x, y ∈ thỏa mãn đẳng thức ( x + 1) + ( x + ) 2 + + ( x + n ) = y2 Khai triển đẳng thức thu gọn ta được: nx + n ( n + 1) x + n ( n + 1)( 2n + 1) = y2 ( *) Giả sử (*) xảy dẫn đến y ≡ m ( mod n ) với m = n ( n + 1)( 2n + 1) Khi n ∈ {3; 4;9} y m có số dư tương ứng 2; 2; ( m = 14;30;15.19 ) Lúc không tồn y thỏa mãn Khi n ∈ {5;7} n | m n | y ( n nguyên tố) Đặt y = nz t= x + Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 n +1 Suy phương trình t + 63 n2 − n2 − (phương trình vơ nghiệm) = z2 ⇔ z2 − t2 = 12 12 (diendantoanhoc.net 2014) Tìm số nguyên a lớn cho 427 + 42016 + 4a số phương Lời giải Đặt A = 427 + 42016 + 4n = 254 (1 + 2.21977 + 22 a −54 ) Để A số phương ta chọn a = 2004 Xét a > 2004 ⇒ 2.21977 < 2.2a − 27 −54 ⇒ ( 2a − 27 ) < + 2.21997 + 22 a −54 < + 2.2a − 27 + 22 a= (2 a − 27 + 1) Suy + 2.21977 + 22 a−54 số phương Do A số phương Vậy amax = 2004 64 (diendantoanhoc.net 2014) Chứng minh với m > biểu thức A = ( m − 1) − 4m viết dạng số phương Lời giải ( Ta có: m > ⇒ m ≥ ⇒ 2m ( m − ) + > ⇒ m − 2m (m Lại có A < ( m − 1) = ( Cho nên m − 2m ) 2 ) < A − 2m + 1) < A < ( m − 1) = (m − 2m + 1) Vậy A = ( m − 1) − 4m khơng thể viết dạng số phương 65 (diendantoanhoc.net 2014) Chứng minh với tồn vô số bội số ( x, y, u , v ) cho xy + 1, xu + 1, xv + 1, yu + 1, yv + 1, uv + số phương Lời giải Chọn x == t , y t + 2, u = 4t + 4, v =+ ( t 1)( 2t + 1)( 2t + 3) với t ∈ Dễ dàng kiểm tra xy + 1, xu + 1, xv + 1, yu + 1, yv + 1, uv + số phương với t ∈ Có vơ số giá trị t nên có vơ số giá trị x, y, u , v Vậy tồn vô số số ( x, y, u , v ) cho xy + 1, xu + 1, xv + 1, yu + 1, yv + 1, uv + số phương Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 66 (diendantoanhoc.net 2014) Cho hai số tự nhiên a b Chứng minh rằng: Nếu ab số chẵn ln ln tìm số ngun c cho a + b + c số phương Lời giải 4k với k ∈ • Nếu a b số chẵn a + b = • Chọn c= k − Ta có a + b + c = 4k + ( k − 1) = k + 2k + = ( k + 1) • Nếu a b khác tính chẵn lẻ a + b = 4k + Vậy ta hoàn tất việc chứng minh 67 1 (United Kingdom MO 1998) Cho x, y, z số nguyên dương cho = = Kí x y z hiệu h ước chung lớn x, y, z Chứng minh hxyz h ( y − x ) số phương Lời giải = x = , y hb = , z hc Thế a, b, c số nguyên dương cho gcd ( a, b, c ) = Đặt Đặt gcd ( a, b ) = g ′, b gb′ a′, b′ số nguyên dương cho a ga = = Vì ′ ) gcd ( a′ − b′, b= ′ ) gcd ( a′, a′ − b= ′ ) gcd ( a′, b= Ta có 1 = = ⇔ c ( b − a ) =ab ⇔ c ( b′ − a′ ) =a′b′g a b c Vì vậy, g | c gcd ( a, b, c )= g= 1 Do gcd ( a, b ) = gcd ( b − a, ab ) = Như vậy, b − a = c = ab hxyz h= abc Bây = h ( h ab ) h ( y − x ) = 2 Vậy hxyz h ( y − x ) số phương 68 (Czech-Polish_Slovak Mathematical Compettion 2002) Cho n, p số nguyên cho n > p số nguyên tố Chứng minh n | p − p | n3 − p − số phương Lời giải Từ n | p − , suy p − ≥ n p > n Bởi p | n3 − = ( n − 1) ( n + n + 1) Khi p | n + n + hay pk = n + n + với số nguyên dương k Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 Mặt khác, n | p − ⇒ p ≡ 1( mod n ) pk ≡ k ( mod n ) Ta có n + n + ≡ k ( mod n ) , k ≡ 1( mod n ) Suy p =an + 1, k =bn + với số nguyên a > 0, b ≥ Ta viết: ( an + 1)( bn + 1) = n2 + n + ⇔ abn2 + ( a + b ) n + = ⇔ abn + ( a + b ) =n + n2 + n + Nếu b ≥ abn + ( a + b ) ≥ n + > n + Vì b = 0, k = 1, p = n + n + Vậy p − 3= 4n + 4n + − 3= 4n + 4n + 1= ( 2n + 1) số phương CHUYÊN ĐỀ 22: BÀI TẬP VỀ SỐ LẬP PHƯƠNG ĐÚNG (PERFECT CUBES) Số nguyên a gọi lập phương lập phương số nguyên, tức a = b3 với b số nguyên a) Chứng minh n số lập phương n + 3n + số lập phương b) Cho m số nguyên dương Tìm số nguyên dương n cho m + n + số phương mn + số lập phương Lời giải a) Giả sử ngược lại n + 3n + số lập phương Do n ( n + 3n + 3) lập phương Để ý rằng: n ( n + 3n + 3) = n3 + 3n + 3n = ( n + 1) − lập phương Điều mâu thuẫn Vậy ta hoàn tất chứng minh b) Chọn n = m + 3m + Ta có m + n + 1= m + 4m + 4= ( m + 2) Và mn + 1= m3 + 3m + 3m + 1= ( m + 1) x2 + y + Cho x, y số nguyên cho A = số nguyên Chứng minh A xy số lập phương Lời giải Giả sử x, y > Cố định A , chọn cặp x, y cho x + y nhỏ x ≥ y Coi x + y + − Axy = phương trình bậc hai x gọi x′ nghiệm lại Ta có Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 x + x′ = Ay, x′= x y + nên x′ ∈ x′ > Do cách chọn cặp x, y nên x′ ≥ x x ≤ y + Suy x − y ∈ {0;1; 2;3; 4;5;6} Nếu x = y A số nguyên nên x | hay x = Khi A = lập phương Nếu x > y cách giải trực tiếp phương trình nghiệm ngun ta suy khơng tồn x, y Cho dãy số vô hạn {un } xác định sau: un= ( n + n ) + 7, n ∈ * Chứng minh khơng có phần tử dãy lập phương số nguyên Lời giải Giả sử tồn n để= un a , a ∈ * Ta có: ( n + n ) + = a3 (1) Vì ( n + n )= 3n ( n + 1) số chẵn nên a số lẻ, suy a số lẻ, nghĩa = a 2k + với k ∈ * Thay = a 2k + vào (*) ta thu được: ( n + n + )= 8k + 12k + 6k ( 2) Vì ( n + n + ) nên ( 8k + 12k + 6k ) Mà (12k + 6k ) ⇒ 8k ⇒ k ⇒ k suy ra= k 3l , l ∈ Thay vào (2) ta được: ( n + n += ) 8.27l + 129l + 6.3l Hay n + n = + (12l + 6l + l ) Rõ ràng vế phải (3) chia hết cho Ta kiểm tra thấy vế phải không hết cho Điều vơ lí Vậy khơng có phần tử dãy số lập phương số nguyên (Iran National Olympiad Second Round 2008) Cho a số tự nhiên Biết với số tự nhiên n ( a n + 1) lập phương Chứng minh a = Lời giải Ta có ( a + 1) , ( a + 1) lập phương Để ý ( a + 1= ) ( a3 + 1)( a − a3 + 1) Suy a − a + lập phương Đặt a − a + = t với t ∈ Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 ( ) ( ) 3 Chú ý mà a > a − < a − a + < a , mâu thuẫn với a − a + lập phương Như a = Chứng minh không tồn số tự nhiên n cho 2n+1 − 2n −1 ( 2n − 1) đồng thời lập phương số nguyên Lời giải Giả sử ngược lại, tồn n cho 2n+1 − 2n −1 ( 2n − 1) lập phương số nguyên Khi 2n −1 ( 2n − 1) = k Mà 2n − không chia hết 2n−1 phải lập phương số nguyên hay n − = 3m 2n +1 − = 23 n + − = 4.8m − ≡ ( mod ) , vơ lí a ≡ 0; ± 1( mod ) Từ suy a= Vậy ta hoàn tất việc chứng minh Chứng minh với số nguyên âm n A = 2n + 3n + 5n + 6n lập phương số nguyên Lời giải Ta có 26 ≡ 36 ≡ 56 ≡ 66 ( mod ) • Nếu n = 6k A ≡ ( mod ) , A ≠ m3 ( ) • Nếu = n 6k + A = 26 A ≠ m3 k + ( 36 ) + ( 56 ) + ( 66 ) = + + + ≡ ( mod ) , k k k • Nếu = n 6k + A = 22 + 32 + 52 + 62 ≡ ( mod ) , A ≠ m3 • Nếu = n 6k + A = 23 + 33 + 53 + 63 ≡ ( mod ) , A ≠ m3 • Nếu = n 6k + A = 24 + 34 + 54 + 64 ≡ ( mod ) , A ≠ m3 • Nếu = n 6k + A = 25 + 35 + 55 + 65 ≡ ( mod ) , A ≠ m3 Vậy ta hoàn tất chứng minh (Iran MO 1998) Chứng minh khơng có số tự nhiên có dạng abab hệ số 10 lập phương số nguyên Hãy tìm số b nhỏ cho hệ số b có số có dạng abab lập phương số nguyên Lời giải Ta có abab = 101ab lập phương số ngun 101| ab (vơ lí) Do abab khơng thể lập phương số nguyên Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 Xét hệ số b ta có abab( n ) = ( n2 + 1) ab( n) =( n2 + 1) ( an + b ) với a, b < n n + > an + b Nếu n + khơng chia hết cho số phương thì: n + =p1 p2 pk Khi an + b phải chia hết cho ( p1 p2 pk ) vơ lí Do n + phải chia hết cho số phương 50 Thử trực tiếp thấy n = số nhỏ nhất, n + = Mặt khác 2626 = = 103 Do n = số cần tìm ( ) 1000 (Balkan MO 2005) Tìm tất số nguyên tố p cho p − p + lập phương số tự nhiên Lời giải Đặt p − p + =a với a ∈ * Khi p ( p − 1) = ( a − 1) ( a + a + 1) (1) a pk + với k ∈ Nếu p | a − = p k + p k + pk + Với k ≥ VT (1) < VP (1) , Khi (1) ⇔ p − p += ≤ k ≤1 *Với k = p − p + = ⇔ p ( p − 1) = , mâu thuẫn *Với k = p − p + p = ⇔ p − p + = ⇔ ( p − 1) + = , mâu thuẫn Do p | a − , p | a + a + (2) Lại có a − 1| p ( p − 1) mà gcd ( p, a − 1) = nên a − 1| p − Đặt p =( a − 1) b + với b ∈ Khi từ (2) suy Điều tương đương với a2 + a + số nguyên dương ( a − 1) b + a 2b + ab + b 3b − − a = a+2+ ab − b + ab − b + nguyên dương (3) Do ta phải có 3b − − a ≥ ab − b + Trường hợp 1: Nếu 2b − − a ≥ ab − b + ⇔ b ( − a ) ≥ a + Nếu a ≥ b ( − a ) < a + , mâu thuẫn Do ≤ a ≤ Nếu a = phương trình tương đương với p ( p − 1) = 26 , mâu thuẫn Nếu a = phương trình đầu tương đương với p ( p − 1) = 7, mâu thuẫn Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 Trường hợp 2: Nếu + a − 3b ≥ ab − b + ⇔ b ( + a ) ≤ a + 1, mâu thuẫn a + > a + Trường hợp 3: Nếu 2b − − a = ⇔ a = 3b − Khi p= 3b ( b − 1) + a − a + 1= ( 3b − ) + ( 3b − ) + 1= 9b − 9b + Do a2 + a + = p b = Ta có (1) ⇔ p − = ( a − 1) ⇔ ( b − 1)( b − 3) = ⇔ b = *Nếu b = p = a, mâu thuẫn p + p + 1= p ⇔ p ( p − p − 1)= a = *Nếu b = = p 3a − Khi (1) ⇔ 9a − 15a + = a ⇔ a = Thử lại thấy a = thỏa mãn Khi p = 19 Vậy p = 19 thỏa mãn yêu cầu toán Chứng minh số nguyên tổng số lập phương Lời giải Với số nguyên n , ta có 6n = ( n + 1) + ( n − 1) + ( −n ) + ( −n ) 3 3 Với m số nguyên tùy ý, ta chọn số nguyên v cho v ≡ m ( mod ) với số nguyên n Khi m − v3 = 6n với số nguyên n Khi m − v3 = ( n + 1) + ( n − 1) + ( −n ) + ( −n ) 3 3 ⇔ = m v + ( n + 1) + ( n − 1) + ( −n ) + ( −n ) 3 3 Vậy số nguyên tổng số lập phương 10 Chứng minh số hữu tỉ viết dạng tổng số lập phương Lời giải Giả sử n số hữ tỉ Chúng ta tìm mối quan hệ dạng: Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038