Skkn hướng dẫn học sinh giải và tìm nhiều lời giải cho một bài tập hình học 9

Phòng GD & ĐT TP Cao Lãnh Phòng GD & ĐT TP Cao Lãnh Trường THCS Nguyễn Thị Lựu Tổ Toán – Lý GV Lê Nhật Vương Anh Đề tài SKKN HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI VÀ TÌM NHIỀU LỜI GIẢI CHO MỘT BÀI TẬP HÌNH HỌC 9 [.]

Phòng GD & ĐT TP Cao Lãnh Trường THCS Nguyễn Thị Lựu Tổ : Toán – Lý GV : Lê Nhật Vương Anh Đề tài SKKN : HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI VÀ TÌM NHIỀU LỜI GIẢI CHO MỘT BÀI TẬP HÌNH HỌC  I – LÝ DO THỰC HIỆN ĐỀ TÀI : Ở trường THCS tốn học nói chung, có nhiều tốn chưa khơng có angorit (thuật giải) để giải Đối với tốn đó, hướng dẫn học sinh suy nghĩ , cách tìm tịi lời giải : nên đâu, nên suy nghĩ theo trình tự nào, gặp khó khăn nên làm v.v… Đó lời khuyên người có kinh nghiệm giải tốn, khơng phải dẫn có tính chất angorit Đối với lời khuyên này, người thực khác nhau, đến kết khác Ví dụ : ta khuyên học sinh : “Nếu em chưa giải toán đề ra, xét tốn đơn giản hơn”, học sinh nghĩ đến tốn tương tự khác nhau, có em đến kết tốt đẹp, có em khơng Điều nói lên tính chất khó khăn phức tạp việc truyền thụ học tập kinh nghiệm giải tốn, khơng thể phủ nhận vai trị quan trọng việc Vì lẽ khơng có cách khác : khơng có phương pháp tổng qt nào, khơng có thuật giải để giải toán ; phải thông qua việc dạy học sinh giải số tập cụ thể mà truyền cho học sinh kinh nghiệm nghệ thuật phương pháp suy nghĩ, giúp học sinh tự tìm thấy lời giải tốn khác, tình tìm nhiều lời giải cho tốn Đó lý mà thực đề tài skkn II - MỤC ĐÍCH, U CẦU : 1/ Đó hình thức tốt để củng cố, đào sâu, hệ thống hoá kiến thức rèn luyện kĩ Trong nhiều trường hợp, giải tốn hình thức tốt để dẫn dắt học sinh tự đến kiến thức 2/ Đó hình thức vận dụng kiến thức học vào vấn đề cụ thể, vào thực tế, vào vấn đề 3/ Đó hình thức tốt để giáo viên kiểm tra học sinh học sinh tự kiểm tra lực, mức độ tiếp thu vận dụng kiến thức học 4/ Việc giải tốn có tác dụng lớn gây hứng thú học tập cho học sinh, phát triển trí tuệ giáo dục, rèn luyện người học sinh nhiều mặt III – CÁC BƯỚC GIẢI MỘT BÀI TỐN HÌNH HỌC: Tìm hiểu tốn : Để giải toán, trước hết phải hiểu toán cịn phải có hứng thú giải tốn đó.Đầu tiên giáo viên cần ý hướng dẫn học sinh giải tốn khêu gợi trí tị mị, lịng ham muốn giải toán em, giúp em hiểu tốn phải giải Cần hướng học sinh phải tìm hiểu tốn cách tổng hợp, tránh thói quen khơng tốt số học sinh vào chi tiết trước nhìn tốn cách tổng qt, hiểu tốn cách tồn Sau phân tích tốn : chưa biết, phải tìm ? cho ? Mối liên hệ chưa biết với biết ? Đối với tốn hình học , nói chung phải vẽ hình, thường phải sau vẽ hình học sinh hiểu tốn, nhìn tốn cách tổng hợp phân tích chi tiết cần thiết Có ba điều cần ý :  Hình vẽ phải có tính tổng qt, khơng vẽ hình trường hợp đặc biệt Thí dụ : “Cho tam giác ABC” phải vẽ tam giác ABC ( có góc nhọn, khơng có hai góc nhau)  Hình vẽ phải rõ, dễ nhìn thấy quan hệ tính chất Muốn vậy, nhiều phải thay đổi thứ tự dựng phần tử nêu toán skkn Thí dụ : tốn “ Cho ABC vng A Trên AC lấy điểm M vẽ đường trịn đường kính MC Nối BM kéo dài, gặp đường tròn D Đường nối DA gặp đường tròn S Chứng minlh : a) ABCD tứ giác nội tiếp b) CA phân giác góc SCB Học sinh thường có thói quen vẽ hình theo thứ tự nêu tốn ; trường hợp này, ta khó vẽ hình (vẽ đường trịn c ó đường kính MC cho trước) hình vẽ thường không rõ ( hai điểm S, D gần nhau, H 1) Vì phải hướng dẫn học sinh cách vẽ sau : ban đầu vẽ hình theo thứ tự nêu đề tốn, theo thứ tự mà hình khó vẽ nhìn khơng rõ, nên vẽ lại hình, lần thay đổi thứ tự dựng phần tử Trong thí dụ trên, trước hết ta vẽ đường tròn, kẻ đường kính CM, (kéo dài phía M) ta lấy điểm A ; từ A kẻ cát tuyến ASD ( cho S, D không gần nhau), đường DM cắt đường vng góc với AC B (H.2) rõ ràng H.2 giúp giải toán dễ H.1 A S D S A D M M O B O C C B H.1 H.2 o Vấn đề vẽ hình tay dụng cụ (thước, compa) cần giải cách thoả đáng Khi học sinh bắt đầu học hình học (lớp 6, lớp 7) nên tập cho em vẽ hình thước compa, phải tập cho em quen vẽ hình tay cho nhanh ; vẽ thước compa làm viết cần vẽ tương đối xác để dễ đốn nhận tính chất hình Dù vẽ hình thước compa hay tay phải yêu cầu học sinh vẽ cẩn thận, thể gần quan hệ độ lớn góc đoạn thẳng cho tốn Chọn kí hiệu việc quan trọng, kí hiệu phải có nội dung, dễ nhớ, tránh nhầm lẫn hiểu nước đơi; thứ tự tương quan kí hiệu phải giúp ta liên tưởng đến thứ tự tương quan đối tượng tương ứng Thí dụ hai tam giác nhau, nên viết đỉnh theo thứ tự tương ứng, chẳng hạn ABC skkn DEF có B = D ; AB = ED, BC = DF ta nên viết : ABC = EDF (*) mà không nên viết ABC = DEF Cách viết (*) giúp ta thấy rõ tương ứng cạnh góc Từ (*) khơng cần nhìn hình vẽ, viết AC = EF, A = E, C = F Xây dựng chương trình giải : Trong phần cần phải nhấn mạnh số điểm quan trọng học sinh lớp : phân tích toán cho, chia toán thành nhiều toán đơn giản hơn; biến đổi toán cho, mị mẫm, dự đốn cách xét trường hợp đặc biệt, xét toán tương tự hay khái quát , v.v… o phân tích tốn thành phận thành toán nhỏ, đơn giản Thí dụ : Bài tập 20 SGK HH tập trang 76 : “ Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B Vẽ đường kính AC AD hai đường tròn Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng” Học sinh lớp phần lớn sợ mơn hình học chịu suy nghĩ dạng câu hỏi mà học sinh cho khó như, tập hợp điểm, chứng minh ba điểm thẳng hàng Giáo viên giúp học sinh nhìn tốn cách đơn giản cách chia câu hỏi thành hai phần : a) Chứng minh ABC = ABD = 900 b) Chứng minh C, B, D thẳng hàng Thí dụ : toán “Dựng tam giác ABC cho biết cạnh BC = a, trung tuyến AM = m đường cao AH = h”, ta cho học sinh phân tích thành hai phần :  Dựng tam giác ABC cho biết BC = a trung tuyến AM = m  Dựng tam giác ABC cho biết BC = a đường cao AH = h Mỗi toán dễ giải : trường hợp thứ nhất, đỉnh A nằm đường tròn (M) tâm M, bán kính m ; trường hợp thứ hai, đỉnh A nằm đường thẳng d, song song với BC cách BC khoảng h Từ dễ dàng suy đỉnh A tam giác ABC phải dựng ( toán ban đầu) giao điểm đường tròn (M) đường thẳng d o Biến đổi toán : dùng định nghĩa hay định lí biết để thay điều phải chứng minh hay phải tìm điều (cái) tương đương ; phát biểu toán cách khác, vẽ đường phụ v.v… skkn Thí dụ : tốn “ Cho tam giác ABC (A > B) nội tiếp đường tròn tâm O Qua đỉnh C tam giác, ta vẽ đường cao CD bán kính CO Chứng minh OCD = A – B” Ta biến đổi toán cách vẽ thêm tia AE nằm hai tia AC AB cho CAE = B thay điều cần phải chứng minh điều tương đương : “chứng minh DAE = OCD” A D O B C E - Mị mẫm, dự đốn cách thử trường hợp xảy ra, xét trường hợp đặc biệt toán, xét toán tương tự hay tổng quát hơn, v.v… Thực chương trình giải : (Trình bày lời giải) Hiện nay, nói học sinh THCS việc trình bày viết lời giải tốn Chữ viết cẩu thả, viết sai tả, sai ngữ pháp, số viết khơng rõ ràng, hình vẽ thiếu xác, kí hiệu sử dụng tuỳ tiện… điều dễ nhận thấy làm số đơng học sinh Điều khơng khó khắc phục giáo viên nhận thức rõ tác hại lâu dài học sinh có yêu cầu cao, có thái độ nghiêm khắc học, làm học sinh Kiểm tra nghiên cứu lời giải tìm : Học sinh thường có thói quen tìm lời giải tốn thoả mãn, sâu kiểm tra lại lời giải, xem có sai lầm hay thiếu sót khơng, sâu nghiên cứu cải tiến lời giải, khai thác lời giải, áp dụng kết tìm cho tốn khác có liên quan Có vấn đề cần ý hướng dẫn học sinh :  Kiểm tra lại kết quả, kiểm tra lại suy luận Việc phải trở thành thói quen học sinh giáo viên phải ỵêu cầu học sinh thực thường xuyên skkn  Nhìn lại xem xét đầy đủ trường hợp xảy tốn không Đối với học sinh THCS yêu cầu triệt để được, nhiều trường hợp ta không đòi hỏi học sinh phải biện luận, phải xét đầy đủ trường hợp Tuy nhiên cần bước luyện tập cho học sinh mặt qua số toán đơn giản, giúp em xây dựng thói quen nhìn vấn đề nhiều khía cạnh, cách tồn diện, tránh hời hợt Thí dụ : Bài tập 13 SGK HH tập trang 72 Đối vói tập học sinh thường xét trường hợp tâm O nằm dây song song tâm O nằm dây song song Giáo viên nên gọi học sinh vẽ hình u cầu học sinh tìm trường hợp cịn lại B A C B A D O O C D  Tìm cách giải khác tốn Một tốn thường có nhiều cách giải ; học sinh thường có cách suy nghĩ khác trước toán, nhiều độc đáo sáng tạo Sau tập cụ thể với nhiều cách giải số tập hình học lớp  Bài tập 13 SGK HH tập trang 72 “Chứng minh đường tròn, hai cung bị chắn hai dây song song nhau” Giải : Cách : * Tâm O nằm dây song song : Kẻ đường kính MN // AB, ta có Â = AOM, B = BON ( so le trong) Mà Â = B ( OAB cân) nên AOM = BON  sđAM = sđBN (1) Tương tự ta có sđCM = sđDN (2)  sđAM – sđCM = sđBN – sđDN Hay sđAC = sđ BD skkn A B D C M N O * Tâm O nằm dây song song : chứng minh tương tự Cách : Kẻ HK AB  HK CD OCD cân O có OH đường cao nên đồng thời đường phân giác  COH = DOH  sđCH = sđDH (1) Tương tự ta có : sđAH = sđBH (2) từ (1) (2)  sđCH – sđAH = sđDH – sđBH hay sđAC = sđBD H A B D C O K  Bài tập 20 SGK HH tập trang 76 : “Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B Vẽ đường kính AC AD hai đường tròn Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng” skkn Giải : Cách : Ta có : ABC = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O)) ABD = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O’)) ABC + ABD = 1800 Vậy C, B, D thẳng hàng A O C O' D B Cách : Nối OO’ Ta có : OO’ đường trung bình ACB  OO’ // CB OO’ đường trung bình ADB  OO’ // DB Vậy C, B, D thẳng hàng A O C H B skkn O' D  Bài tập 36 SGK toán tập trang 123 : “Cho đường trịn tâm O bán kính OA đường trịn đường kính OA a) Hãy xác định vị trí tương đối hai đường tròn b) Dây AD đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ C Chứng minh AC = CD” Giải : a) Gọi (O’) đường trịn đường kính OA Ví OO’ = OA – O’A nên hai đường tròn (O) (O’) tiếp xúc b) Cách : Các tam giác cân AO’C AOD có chung góc đỉnh A nên ACO’ = D O’C // OD Tam giác AOD có AO’ = OO’ O’C // OD nên AC = CD Cách : Tam giác ACO có đường trung tuyến CO’ = AO nên ACO = 900 Tam giác AOD cân O có OC đường cao nên đường trung tuyến, AC = CD D C A O' O  Bài tập 58 SGK toán tập trang 90 : “Cho tam giác ABC Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa đỉnh A, lấy điểm D cho DB = DC DCB = ACB a) Chứng minh ABDC tứ giác nội tiếp b) Xác định tâm đường tròn qua bốn điểm A, B, D, C” Giải : Cách : a) Ta có : DCB = ACB = skkn 600 = 300  ACD = 600 + 300 = 900 Do DB = DC nên BDC cân  DBC = DCB = 300  ABD = 900  ACD + ABD = 1800 nên tứ giác ABDC nội tiếp b) Vì ABD = 900 nên AD đường kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác ABDC Do tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác ABDC trung điểm AD Cách : Ta có : DCB = ACB = 600 = 300  ACD = 600 + 300 = 900 Do DB = DC nên BDC cân  DBC = DCB = 300  ABD = 900 Vậy điểm B C nhìn AD góc vng nên bốn điểm A, B, D, C thuộc đường trịn đường kính AD, hay trung điểm AD tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDC A B C D  Bài tập 59 SGK toán tập trang 90 : “Cho hình bình hành ABCD Đường trịn qua ba đỉnh A, B, C cắt đường thẳng CD P khác C Chứng minh AP = AD” Giải : Cách : Do tứ giác ABCD nội tiếp nên ta có : BAP + BCP = 1800 (1) ABC + BCP = 1800 (2) từ (1) (2) suy : BAP = ABC Vậy ABCP hình thang cân, suy AP = BC (3) Mà BC = AD (4) skkn Từ (3) (4) suy AP = AD Cách : Tứ giác ABCD nội tiếp lại hình thang (AB // CD) phải hình thang cân, suy AP = BC mà BC = AD nên AP = AD Cách : Vì AB // CD  BC = AP  BC = AP Mà BC = AD  AP = AD D P C O A B  Bài tập 62 SGK toán tập trang 91 a) Vẽ tam giác ABC cạnh a = 3cm b) Vẽ tiếp đường tròn (O ; R) ngoại tiếp tam giác ABC Tính R c) Vẽ tiếp đường tròn (O ; r) nội tiếp tam giác ABC Tính r d) Vẽ tiếp tam giác IJK ngoại tiếp đường tròn (O ; R) Giải : Cách : a) Vẽ tam giác ABC có cạnh a = 3cm thước compa b) Tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác giao điểm đường trung trực ( đồng thời ba đường cao, ba đường trung tuyến, ba đường phân giác tam giác ABC) cm c) Đường tròn nội tiếp (O ; r) tiếp xúc với ba cạnh tam giác ABC trung điểm A’, B’, C’ cạnh cm skkn d) Vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O ; R) A, B, C Ba tiếp tuyến cắt I, J, K, ta có tam giác IJK tam giác ngoại tiếp (O ; R) Cách : b) Tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác giao điểm đường trung trực ( đồng thời ba đường cao, ba đường trung tuyến, ba đường phân giác tam giác ABC) cm r = OC’ = OA sin300 = cm A I C' B J O A' B' C K IV - MỘT SỐ LƯU Ý KHI HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC VÀ TÌM NHIỀU LỜI GIẢI : Để đảm bảo chất lượng lớp chất lượng tiết giải tập phụ thuộc nhiều vào chuẩn bị giáo viên Đòi hỏi giáo viên suy nghĩ vận dụng tổng hợp kiến thức nghiệp vụ sư phạm Bảng gợi ý Polya có ích cho giáo viên trình hướng dẫn học sinh giải tốn Người giáo viên có kinh nghiệm mặt thường người biết đề cho học sinh lúc, kịp thời câu hỏi gợi ý sâu sắc sát trình độ ; mức độ sử dụng thành thạo linh hoạt bảng Polya 1/ Hiểu rõ toán : Đâu ẩn ? Đâu kiện ? Đâu điều kiện ? Có thể thoả mãn điều kiện hay khơng ? Điều kiện có đủ để xác định ẩn hay không ? Hay chưa đủ ? Hay thừa ? Hay có mâu thuẫn ? o Vẽ hình, sử dụng kí hiệu thích hợp skkn o Phân biệt phần khác điều kiện Có thể diễn tả điều kiện thành cơng thức khơng ? 2/ Xây dựng chương trình : o Em gặp toán lần chưa ? Hay gặp toán dạng khác ? o Em có biết tốn có liên quan khơng ? Một định lí dùng khơng ? o Xét kĩ chưa biết (ẩn), thử nhớ lại tốn quen thuộc có ẩn hay có ẩn tương tự o Đây tốn có liên quan mà em có lần giải Có thể sử dụng khơng ? Có thể sử dụng kết khơng ? Hay sử dụng phương pháp ? Có cần phải đưa thêm số yếu tố phụ sử dụng khơng ? o Có thể phát biểu tốn cách khác không ? Một cách khác ? Quay định nghĩa o Nếu em chưa giải tốn đề ra, thử giải tốn có liên quan Em nghĩ tốn có liên quan mà dễ khơng ? Một toán tổng quát ? Một trường hợp riêng ? Một toán tương tự ? Em giải phần tốn khơng ? o Hãy giữ lại phần điều kiện, bỏ qua phần Khi đó, ẩn xác định đến chừng mực đó, biến đổi ? Em từ kiện rút yếu tố có ích khơng ? Em nghĩ kiện khác giúp em xác định ẩn khơng ? Có thể thay đổi ẩn, hay kiện, hay hay cần thiết, cho ẩn kiện gần không ? o Em sử dụng kiện hay chưa ? Đã sử dụng toàn điều kiện hay chưa ? Đã để ý đến khái niệm chủ yếu toán chưa ? 3/ Thực chương trình : o Khi thực chương trình kiểm tra lại bước Em thấy rõ ràng bước chưa ? Em chứng minh khơng ? 4/ Trở lại cách giải: ( nghiên cứu cách giải tìm ra) o Em kiểm tra lại kết ? Em kiểm tra lại tồn q trình giải tốn khơng ? o Có thể tìm kết cách khác khơng ? Có thể thấy trực tiếp kết khơng ? skkn o Em sử dụng kết hay phương pháp cho tốn khác không ? V - KẾT LUẬN : Cùng với việc tham khảo tài liệu, học tập kinh nghiệm đồng nghiệp, giáo viên cần có thói quen thường xuyên tự đánh giá lên lớp mình, rút kinh nghiệm thành cơng hay thất bại Khi chuẩn bị tiết giải tập hình học cho học sinh, giáo viên nên định rõ : này, rút kinh nghiệm vấn đề ? Những điều sau cần lưu ý : o Nhìn chung, yêu cầu đề tập có đạt khơng ? Đến mức độ ? Học sinh có hứng thú học khơng ? Vì ? Có cần điều chỉnh kế hoạch không ? o Học sinh gặp khó khăn giải tập ? Có thể khắc phục cách ? o Học sinh có sai lầm ( phát biểu định nghĩa, định lí, nhận thức khái niệm, chứng minh, lập luận….) ? o Học sinh có thắc mắc gì, có ý hay, sáng tạo, có lời giải khác ? o Các tập đưa có thích hợp khơng ? Cần thay đổi ? o Có đủ thời gian để trình bày cách giải khác tốn hay khơng ? Nếu việc rút kinh nghiệm tiến hành đặn sau lên lớp ( có ghi chép chu đáo, tỉ mỉ, có điều kiện so sánh, đối chiếu với tài liệu tham khảo ) qua số năm dạy học, giáo viên tích luỹ nhiều điều bổ ích, giúp đón trước nhiều tình huống, chủ động lên lớp việc dạy học mang lại nhiều niềm vui sáng tạo skkn ... B J O A'' B'' C K IV - MỘT SỐ LƯU Ý KHI HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC VÀ TÌM NHIỀU LỜI GIẢI : Để đảm bảo chất lượng lớp chất lượng tiết giải tập phụ thuộc nhiều vào chuẩn bị giáo viên... dụng lớn gây hứng thú học tập cho học sinh, phát triển trí tuệ giáo dục, rèn luyện người học sinh nhiều mặt III – CÁC BƯỚC GIẢI MỘT BÀI TỐN HÌNH HỌC: Tìm hiểu tốn : Để giải tốn, trước hết phải... học sinh vẽ hình yêu cầu học sinh tìm trường hợp cịn lại B A C B A D O O C D  Tìm cách giải khác toán Một toán thường có nhiều cách giải ; học sinh thường có cách suy nghĩ khác trước toán, nhiều