Phuong phap giai so phuc 2023 ly thuyet va bai tap

CHUYÊN ĐỀ 4 SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC 1 Kiến thức cơ bản Các phép toán trên số phức * Phép cộng và phép trừ, nhân hai số phức Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i Ta định nghĩa '''' ( '''') ( '''') '''' ([.]

CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC Kiến thức Các phép toán số phức * Phép cộng phép trừ, nhân hai số phức Cho hai số phức z = a + bi z’ = a’ + b’i Ta định nghĩa:  z  z '  (a  a ')  (b  b ')i   z  z '  (a  a ')  (b  b ')i zz '  aa ' bb ' (ab ' a ' b)i * Phép chia số phức khác Cho số phức z = a + bi ≠ (tức a2+b2 > ) Ta định nghĩa số nghịch đảo z-1 số phức z ≠ số z-1= 1 z 2z a b z Thương z' phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ xác định sau: z z' z '.z  z.z 1  z z Các dạng tập 2.1 Dạng 1: Các phép tốn số phức Ví dụ 1: Cho số phức z =  i Tính số phức sau: z ; z2; ( z )3; + z + z2 2 Giải: 3  i  z =  i 2 2 *Vì z =   3 i=  i *Ta có z =  =  i   i   2  4 2   2   3 (z) =    i    i  i   i   1   3 ( z )3 =( z )2 z =   i   i    i i i  2 2 4    Ta có: + z + z2 =  1 3  1  i  i  i 2 2 2 Ví dụ 2: Tìm số phức liên hợp của: z  (1  i )(3  2i )  3i Giải: Ta có z   i  3i 3i  5i  (3  i)(3  i) 10 Suy số phức liên hợp z là: z  53  i 10 10 Ví dụ 3: Tìm phần ảo số phức z biết z   i  1  2i  Giải:    z   2i  2i   2i Suy ra, z   2i Phần ảo số phức z   Ví dụ 4: Tìm mơ đun số phức z  Giải: Ta có: z  (1  i )(2  i )  2i 5i  1 i 5 26 1 Vậy mô đun z bằng: z      5 1  3i  Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn z  1 i Tìm mơđun số phức z  iz Giải:  Ta có:  3i   8 Do z  8  4  4i  z  4  4i 1 i  z  iz  4  4i   4  4i  i  8  8i Vậy z  iz  Ví dụ 6: Tìm số thực x, y thỏa mãn đẳng thức: a) 3x + y + 5xi = 2y – +(x – y)i b) (2x + 3y + 1) + ( –x + 2y)i = (3x – 2y + 2) + (4x – y – 3) i c) x   5i   y 1  2i   35  23i Giải: a) Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – +(x – y)i (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i 3x  y  y     5 x  x  y   x    y    x  2 x  y   3x  y   x  y   11     x  y  x  y  5 x  y  3  y   11 b) Theo giả thiết ta có: c) Ta có 1  2i   1  2i  1  2i    3  4i 1  2i   2i  11 Suy x   5i   y 1  2i   35  23i  x   5i   y  2i  11  35  23i 3x  11y  35 x    3x  11y    x  y  i  35  23i    5 x  y  23 y   Bài tập tự luyện Bài Tìm số thực x, y biết: a) (3x –2) + (2y +1)i = (x + 1) – (y – 5)i; b) (2x + y) + (2y – x)i = (x – 2y + 3) + (y + 2x +1)i; Bài Chứng minh z = (1+2i)(2 - 3i)(2+i) (3-2i ) số thực Bài Tìm số thực x, y thỏa mãn đẳng thức: x(3  2i )  y (1  2i )3  11  4i  3i Bài Cho hai số phức: z1   5i ; z   4i Xác định phần thực, phần ảo số phức z1.z2 Bài Tìm phần thực, phần ảo mơ đun số phức: a) z  (2  3i)(1  i)  4i c) z = 2i(3 + i)(2 + 4i) b) z  (2  2i)(3  2i)(5  4i)  (2  3i)3 d) z = 2  5i (1  3i )(2  i)(1  i) e) z = Bài Tìm số phức: 2z  z (1  2i )(4  i ) (1  i )(4  3i) 25i , biết z   4i z Bài Cho số phức z = + 3i.Tìm phần thực phần ảo số phức Bài Cho số phức z  w zi iz  1  7i  (3  2i )(1  3i ) Tính mơ đun z tìm tọa độ điểm biểu diễn  2i hình học z hệ tọa độ Oxy Bài Cho z thỏa mãn (2 + i)z + 2(1  2i )   8i Tìm mơđun số phức w = z + + i 1 i Bài 10 Số phức z thỏa mãn (1+i)2(2i)z=8+i+(1+2i)z Tìm phần thực, phần ảo z Bài 11 Cho số phức z thỏa mãn 1  2i  z  2i    i  z Tìm tọa độ điểm biểu diễn z 1 i mặt phẳng tọa độ Oxy Bài 12 Tìm số phức z biết z3 = 18 + 26i, z = x + yi (x,y  Z) 2.2 Dạng 2: Tính i n áp dụng Chú ý:  i4n = 1; i4n+1 = i; i4n+2 = -1; i4n+3 = -i;  n  N*Vậy in  {-1;1;-i;i},  n  N*  (1  i )  2i ; 1  i   2i   ; 3 Ví dụ 1: Tính: i105 + i23 + i20 – i34 Giải: Ta có i105 + i23 + i20 – i34 = i4.26+1 + i4.5+3 + i4.5 – i4.8+2 = i – i + + = Ví dụ 2: Tính số phức sau: 1 i  1 i  b) z =     1 i  1 i  16 15 a) z = (1+i) Giải: a) Ta có: (1 + i)2 = + 2i – = 2i  (1 + i)14 = (2i)7 = 128.i7 = -128.i nên z = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i b) Ta có:  i (1  i )(1  i ) 2i   i 1 i 2 1 i 1 i    i  16  i Vậy      =i +(-i) = 1 i 1 i  1 i  16 Ví dụ 3: Tìm phần thực, phần ảo số phức sau:  1  i   1  i   1  i    1  i  20 Giải: P   1  i   1  i    1  i  1  i  20 1  i   21 1 i 20 10  1  i   1  i    2i  1  i   210 1  i    10 2 1  i   P  210   210  1 i i 21 Vậy phần thực 210 phần ảo 210   Bài tập tự luyện Bài Tìm phần thực, phần ảo số phức sau: 10 1 i  z=    1  i     3i   3i   i 1 i  Bài Tìm phần thực phần ảo số phức z thỏa mãn: Bài  z   3i 1  i   (1  i)2011 Tìm phần thực, phần ảo số phức z = (1  i )19 2.3 Dạng 3: Tìm số phức dựa vào Dạng đại số số phức Nếu hệ thức tìm số phức z xuất hay nhiều đại lượng sau: z, z, z , ta sẽ sử dụng Dạng đại số z z  x  yi với x, y  R Ví dụ 1: Tìm số phức z biết z    3i  z   9i Giải: Gọi z= a+ bi (a,b  R ) ta có: z    3i  z   9i  a  bi    3i  a  bi    9i a  3b  a   a  3b   3a  3b  i   9i    3a  3b  b  1 Vậy z= 2-i   Ví dụ 2: Tính mơ đun số phức z biết rằng:  z  11  i   z  1  i    2i Giải: Gọi z= a+ bi (a, b  R ) Ta có  z  11  i    z  1 1  i    2i   2a  1  2bi  1  i    a  1  bi  1  i    2i   2a  2b  1   2a  2b  1 i   a  b  1   a  b  1 i   2i  a  3a  3b     3a  3b    a  b   i   2i    a  b   2 b    Suy mô đun: z  a  b  Ví dụ 3: Tìm số phức z thỏa mãn: z  z.z  z  z  z  Giải Gọi z = x + iy (x, yR), ta có z  x  iy; z  z  zz  x  y 2 z  z.z  z   4( x  y )   ( x  y )  (1) z  z   x   x  (2) Từ (1) (2) tìm x = ; y = 1 Vậy số phức cần tìm + i - i Ví dụ 4: Tìm số phức z thỏa mãn hai điều kiện: z   2i  z   4i Giải Đặt z= x+ yi (x,y  R ) z  2i số ảo z i Theo ta có x    y  2 i  x     y  i   x  1   y     x  3   y    y  x  2 2 z  2i x   y   i x   y   y  1  x  y  3 i Số phức w    x  1  y  i z i x   y  1  x   y   y  1  12  x     w số ảo  x   y  1   y  x   y  23   Vậy z   12 23  i 7 Ví dụ 5: Tìm tất số phức z biết z  z  z Giải: Gọi z= a+ bi (a, b  R ) ta có: z  z  z   a  bi   a  b  a  bi 2  a  b  2abi  a  b  a  bi  a  b   2 2 a  2b a  b  a  b  a    a   ; b   2ab  b b  2a  1   a   ; b   Vậy z=0; z   1 1 1  i; z    i 2 2 Ví dụ 6: Tìm số phức z thỏa mãn z  z2 số ảo Giải: Gọi z= a+ bi (a, b  R ) Ta có z  a  b z  a  b2  2abi 2   a  b  a  a  1   Yêu cầu toán thỏa mãn  2 a  b    b  b  1 Vậy số phức cần tìm 1+i; 1-i; -1+i; -1-i Ví dụ 7: Tìm số phức z biết z  5i 1  z Giải: Gọi z= a+ bi (a, b  R ) a2  b2  ta có z 5i 5i    a  bi     a  b   i  a  bi  z a  bi 2 a  b  a     a  b  a  5  b  i    b   2    a  1; b   a  a      b      a  2; b   Vậy z  1  i z   i   Ví dụ 8: Tìm số phức z thỏa mãn z  i   z  1 z  i số thực Giải: Giả sử z= x+ yi (x, y  R ) Khi đó, z  i   x   y  1  1  z  1  z  i    x   yi   x   y  1 i   x  x  1  y  y  1   x  y  1 i  z  1  z  i   R  x  y     Từ (1) (2) ta có x=1; y=0 x=-1; y=2 Vậy z=1; z=-1+ 2i  Bài tập tự luyện Bài Tìm số phức z thỏa mãn: z   i  Biết phần ảo nhỏ phần thực đơn vị Bài Tìm số phức z thỏa mãn: | z | - iz = – 2i Bài Tìm số phức z thỏa mãn: z    i   10 z.z  25 Bài Tìm số phức z thỏa mãn z  1  2i   26 z.z  25 Bài Tìm số phức z thỏa mãn trường hợp: a) z  z số ảo b) z  phần thực z hai lần phần ảo Bài Tìm số phức z thoả mãn z  z2 số ảo Bài Giải phương trình: a) z  z  b) z  z  z Bài Tìm số phức z biết ( z  1)(1  i )  z 1  | z |2 1 i Bài Tìm số phức z biết: z   (1  i )( z  1) có phần ảo _ _ Bài 10 Tìm số phức z thỏa mãn: z   17( z  z )  z z z   Bài 11 Tìm số phức z thỏa mãn  z   i      1  i  2.4 Dạng 4: Biểu diễn hình học số phức Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z Trong dạng này, ta gặp tốn biểu diễn hình học số phức hay cịn gọi tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z số phức z thỏa mãn hệ thức (thường hệ thức liên quan đến môđun số phức) Khi ta giải tốn sau: Giả sử z = x+yi (x, y  R) Khi số phức z biểu diễn mặt phẳng phức điểm M(x;y) Sử dụng kiện đề để tìm mối liên hệ x y từ suy tập hợp điểm M Ví dụ 1: Giả sử M(z) điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Tìm tập hợp điểm M(z) thỏa mãn điều kiện sau đây: a) z   i =2 b)  z   i c) z  4i  z  4i  10 Giải: Đặt z = x +yi (x, y  R) biểu diễn điểm M(x;y) a) Xét hệ thức: z   i =2 (1) Đặt z = x +yi (x, y  R)  z – + i = (x – 1) + (y + 1)i Khi (1)  ( x  1)2  ( y  1)2   (x-1)2 + (y + 1)2 = 4. Tập hợp điểm M(z) mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn (1) đường trịn có tâm I(1;-1) bán kính R = b) Xét hệ thức  z  z  i  |(x+2) +yi| = |-x+(1-y)i| y  (x+2) + y = x + (1-y)  4x + 2y + = 2 2 B A -2 x O -1 -1 -2 Vậy tập hợp điểm M đường thẳng 4x + 2y + = Nhận xét: Đường thẳng 4x + 2y + = đường trung trực đoạn AB c) Xét hệ thức: z  4i  z  4i  10 Xét F1, F2 tương ứng biểu diễn điểm 4i -4i tức F1 (0;4) F2 =(0;-4) Do đó: z  4i  z  4i  10  MF1 + MF2 = 10 Ta có F1F2 =  Tập hợp tất điểm M nằm (E) có hai tiêu điểm F1 F2 có độ dài trục lớn 10 Phương trình (E) là: x2 y2  1 16 Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z  i  1  i  z Giải: Đặt z= x+ yi (x,y  R ) Ta có: z  i  1  i  z  x   y  1 i   x  y    x  y  i  x   y  1   x  y    x  y  2  x  y  xy    x   y  1  2 Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường trịn có phương trình x   y  1  2 Ví dụ 3: Cho số phức z1    3i (1  i ) Giải t   t  4t    t  t   B  0;  1 , C  4;  1  Tìm tập hợp điểm biểu diễn A  z  2iz , biết x  y   t   B  4;  1 , C  0;  1 Giả sử z2  x  yi x, y  R biểu diễn điểm M(x;y) Khi ta có: nP   a, b, c  , a  b2  c  Vậy tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z đường trịn tâm O, bán kính Ví dụ 4: Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z   4i  z  2i Tìm số phức z có mơđun nhỏ nhất Giả sử số phức z cần tìm có dạng z = x + yi (x,y  R) biểu diễn điểm M(x;y) Ta có x   ( y  4)i  x  ( y  2)i (1)  ( x  2)  ( y  4)  x  ( y  2)  y   x  Do tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn (1) đường thẳng x + y = Mặt khác z  x  y  x  x  x  16  x  x  16 Hay z   x     2 Do z  x   y  Vậy z   2i   Ví dụ 5: Biết số phức z thỏa mãn u   z   i  z   3i số thực Tìm giá trị nhỏ nhất z Giải Đặt z= x+ yi (x, y  R ) ta có u   x  3   y  1 i   x  1   y  3 i   x  y  x  y    x   y   i Ta có: u  R  x  y   Tập hợp điểm biểu diễn z đường thẳng d: x-y-4=0, M(x;y) điểm biểu diễn z mô đun z nhỏ nhất độ dài OM nhỏ nhất  OM  d Tìm M(-2;2) suy z=-2+2i Ví dụ 6: Tìm số phức Z có mơ đun lớn nhất thỏa mãn điều kiện Z 1  i    2i  Giải Gọi z  x  yi( x, y  R)  z  x  yi z (1  i )   2i  13 39  x2  y  x  y  0 13 Gọi M (x;y) điểm biểu diễn z mặt phẳng tọa độ Oxy  M  (C ) đường tròn có tâm 26 I ( ; ) bán kính R  2 Gọi d đường thẳng qua O I  d : y  5x 15 ) M ( ; ) 4 4 Gọi M1, M2 hai giao điểm d (C)  M ( ; OM1  OM OM1  OI  R  OM (M  (C )) Ta thấy   số phức cần tìm ứng với điểm biểu diễn M1 hay z  15  i 4 Ví dụ 7: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z cho u  z   3i số ảo z i Giải Đặt z= x+ yi (x, y  R ), đó: u  x     y  3 i   x     y  3 i   x   y  1 i  x   y  1 i x   y  1 x   y  x  y  3   x  y  1 i x   y  1 2 2   x  y  2x  y    x  1   y  1  u số ảo   2 x  y       x; y    0;1   Vậy tập hợp điểm biểu diễn z đường tròn tâm I(-1;-1), bán kính trừ điểm (0;1)  Bài tập tự luyện Bài Giả sử M(z) điểm mặt phẳng tọa biểu diễn số phức z Tìm tập hợp điểm M(z) thỏa mãn điều kiện sau a) z  (1  3i)  z   2i b) z  i  z  z  2i Bài Trong số phức thỏa mãn z   3i  c) z    4i   Tìm số phức z có mơđun nhỏ nhất Bài Trong mặt phẳng tọa độ Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: z  i  z  3i  Trong số phức thỏa mãn điều kiện trên, tìm số phức có mơdun nhỏ nhất Bài Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z   4i  z  2i Tìm số phức z có mơđun nhỏ nhất Bài Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z   5i  z   i Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất Bài Trong số phức z thỏa mãn z   i  52 , tìm số phức z mà z   2i nhỏ nhất Bài Tìm số phức Z có mô đun lớn nhất thỏa mãn điều kiện Trong tất số phức z thỏa mãn z   2i  , tìm số phức có z nhỏ nhất Bài Trong số phức z thỏa mãn điều kiện 1  i  z   Tìm số phức có mơ đun nhỏ nhất, 1 i lớn nhất 2.5 Dạng Phương trình bậc hai tập số phức 2.5.1 Vấn đề Tìm bậc hai số phức (Đọc thêm) Cho số phức w = a + bi Tìm bậc hai số phức Phương pháp: +) Nếu w =  w có bậc hai +) Nếu w = a > (a  R)  w có hai bậc hai a - a +) Nếu w = a < (a  R)  w có hai bậc hai  -  +) Nếu w = a + bi (b  0) Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) bậc hai w  z2 = w  (x+yi)2 = a + bi  x2  y  a    xy  b Để tìm bậc hai w ta cần giải hệ để tìm x, y Mỗi cặp (x, y) nghiệm phương trình cho ta bậc hai w Nhận xét: Mỗi số phức khác có hai bậc hai hai số đối Ví dụ: Tìm bậc hai số phức sau: a) + i b) -1-2 i Giải: 1) Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) bậc hai w = + i  2 y (1)   x  y    x Khi đó: z2 = w  (x+yi)2 = + i   2 xy   x  45  (2)  x2 (2)  x4 – 4x2 – 45 =  x2 =  x = ± x=3y= x = -3  y = - Vậy số phức w = + i có hai bậc hai là: z1 = + i z2 = -3 - i 2) Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) bậc hai w = -1-2 i   (1) y   x  y     x Khi đó: z2 = w  (x+yi)2 = -1-2 i    2 xy  2  x   1 (2)  x2 (2)  x4 + x2 – =  x2 =  x = ± x= 2 y=- x=- y= Vậy số phức w = + i có hai bậc hai là: z1 = - i z2 = - + i 2.5.2 Vấn đề 2: Giải phương trình bậc hai Cho phương trình bậc hai: Az2 +Bz +C = (1) (A, B, C  C, A  0) Phương pháp: Tính  = B2 – 4AC *) Nếu   phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt z1 = B   B   , z2 = 2A 2A (trong  bậc hai ) *) Nếu  = phương trình (1) có nghiệm kép: z1 = z2 =  B 2A Ví dụ 1: Giải phương trình sau tập số phức a) z  z   Giải: b) x  x   c) z  z   a) z  z        3  3i  bậc hai  i  Phương trình có nghiệm: z1  1 i 3   i, z2   i 2 2 b) x  x       20  16  16i  Căn bậc hai  4i  Phương trình có nghiệm: x1  1  2i, x2  1  2i c) z  z    Đặt t = z2  Phương trình trở thành: z2   z  1 t  t  2t       t  3  z  i  z  3  Vậy phương trình có nghiệm: -1, 1, i 3, i Ví dụ 2: Giải phương trình bậc hai sau: a) z2 + 2z + = b) z2 + (1-3i)z – 2(1 + i) = (tham khảo) Giải: a) Xét phương trình: z2 + 2z + = Ta có:  = -4 = 4i2  phương trình có hai nghiệm: z1 = -1 +2i z2 = -1 – 2i b) Ta có:  = (1-3i)2 +8(1+i) = 2i = (1+i)2 nên 1+i bậc hai số phức 2i  Phương trình có hai nghiệm là: z1 = 3i    i 3i    i  2i ; z2 =  1  i 2 Ví dụ 3: Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình z  z  10  Tính giá trị biểu thức A  z1  z2 Giải: Ta có z  z  10    z  1  9   z  1   3i  2  z  1  3i   z  1  3i z1  1  3i  z1   1  32  10 z2  1  3i  z2  10 Vậy A  z1  z2  20 2 Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn z  z  13  Tính z  z i Giải:  z   2i 2 z  z  13    z  3  4   z  3   2i     z   2i Với z   2i ta có z  6   2i    i  17 z i  3i Với z   2i ta có z  6   2i   24  7i  z i 3i Ví dụ 5: Giải phương trình sau tập hợp số phức: z   7i  z  2i (tham khảo) z i Giải Điều kiện: z  1 Phương trình cho tương đương với z    3i  z   7i  Phương trình có biệt thức     3i   1  7i    4i    i  2 Phương trình có hai nghiệm là: z   2i z   i  Bài tập tự luyện Bài Cho z1 , z nghiệm phức phương trình z  z  11  Tính giá trị biểu thức z1  z2 A= ( z1  z2 ) 2 Bài Giải phương trình: z  (1  i)2009 z  2i  tập số phức (Tham khảo) (1  i)2008 Bài Gọi z1; z2 nghiệm phức phương trình: z  4z   Tính: ( z1  1)2011  ( z2  1)2011 2.5.3 Vấn đề 3: Phương trình quy bậc hai - Đối với dạng ta thường gặp phương trình bậc phương trình bậc dạng đặc biệt quy bậc hai - Đối với phương trình bậc (hoặc cao hơn), nguyên tắc ta cố gắng phân tích vế trái thành nhân tử ( để đưa phương trình tích) từ dẫn đến việc giải phương trình bậc nhất bậc hai - Đối với số phương trình khác, ta đặt ẩn phụ để quy phương trình bậc hai mà ta biết cách giải a Phương pháp phân tích thành nhân tử Ví dụ 1: Giải phương trình: z3 – 27 = z  z   Giải: z – 27 =  (z – 1) (z + 3z + 9) =    z  3  3i  z  3z    2,3 Vậy phương trình cho có nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình tập hợp số phức: z  z  z  z  16  Giải: Nhận biết hai nghiệm z=-1 z=2   Phương trình cho tương đương với  z   z  1 z   Giải ta bốn nghiệm: z  1; z  2; z  2 2i Ví dụ 3: Cho phương trình sau: z3 + (2 – 2i)z2 + (5 – 4i)z – 10i = (1)biết phương trình có nghiệm ảo (Tham khảo) Giải: Đặt z = yi với y  R Phương trình (1) có dạng: (iy)3 + (2i-2)(yi)2 + (5-4i)(yi) – 10i =  -iy3 – 2y2 + 2iy2 + 5iy + 4y – 10i = = + 0i đồng nhất hoá hai vế ta được: 2 y  y   giải hệ ta nghiệm nhất y =   y  y  y  10    Suy phương trình (1) có nghiệm ảo z = 2i * Vì phương trình (1) nhận nghiệm 2i  vế trái (1) phân tích dưới dạng: z3 + (2 – 2i)z2 + (5 – 4i)z – 10i = (z – 2i)(z2 +az + b) (a, b  R) đồng nhất hoá hai vế ta giải a = b =  z  2i  z  2i    z  1  2i  (1)  (z – 2i)(z +2z + 5) =   z  2z    z  1  2i  Vậy phương trình (1) có nghiệm Ví dụ 4: Giải phương trình z    i  z    i  z  16  2i  biết phương trình có nghiệm thực (Tham khảo) Giải Gọi nghiệm thực z0 ta có: z03    i  z02    i  z0  16  2i   z03  z02  z0  16    z0  2  zo  z0     Khi ta có phương trình  z   z    i  z   i  Tìm nghiệm phương trình z= -2; z= 2+ i; z= 3- 2i Ví dụ 5: Giải phương trình z    3i  z  1  2i  z  9i  biết phương trình có nghiệm ảo (tham khảo) Giải Giả sử phương trình có nghiệm ảo bi, b  R Thay vào phương trình ta được:  bi     3i  bi   1  2i  bi   9i  2b  6b   2b  6b   b  3b  3b   i     b  3 b  3b  3b    z  3i   Phương trình phân tích thành  z  3i  z  z   Các nghiệm phương trình z= -3i; z   2i b Phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 1: Giải phương trình sau tập số phức (z2 + z)2 + 4(z2 + z) -12 = Giải: Đặt t = z2 + z, phương trình cho có dạng:  1  23i z   z  z    t  6 1  23i t2 + 4t – 12 =     z  t  z  z    z    z  2 Vậy phương trình cho có nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình sau tập số phức (z2 + 3z +6)2 + 2z(z2 + 3z +6) – 3z2 = Giải: Đặt t = z2 + 3z +6 phương trình cho có dang: t  z t2 +2zt – 3z2 =  (t – z)(t+3z) =    t  3 z  z  1  5i + Với t = z  z2 + 3z +6 –z =  z2 + 2z + =    z  1  5i  z  3  + Với t = -3z  z2 + 3z +6 +3z =  z2 + 6z + =    z  3  Vậy phương trình cho có nghiệm Ví dụ 3: Giải phương trình: ( z  z)( z  3)( z  2)  10 , z  C Giải: PT  z( z  2)( z  1)( z  3)  10  ( z  2z)( z  2z  3)  Đặt t  z  z Khi phương trình (8) trở thành: Đặt t  z  z Khi phương trình (8) trở thành t  3t  10  t  2  z  1  i   t   z  1  Vậy phương trình có nghiệm: z  1  ; z  1  i Ví dụ 4: Giải phương trình sau tập số phức z  z  z2  z 1  Giải: Nhận xét z=0 khơng nghiệm phương trình (1) z  Chia hai vế PT (1) cho z2 ta được: ( z  Đặt t=z- 1 )  ( z  )   (2) z z 1 2 2 Khi t  z    z   t  z z z Phương trình (2) có dạng: t2-t+  (3)     9  9i 2 PT (3) có nghiệm t= Với t=  3i  3i ,t= 2  3i 1  3i  z  (1  3i ) z   (4) ta có z   z 2 Có   (1  3i)2  16   6i   6i  i  (3  i)2 PT(4) có nghiệm: z= Với t= (1  3i )  (3  i ) (1  3i )  (3  i) i     i ,z= 4  3i 1  3i  z  (1  3i ) z   (4) ta có z   z 2 (tham khảo)