DẠNG TOÁN TỔNG HỢP VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU A Phương pháp giải Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng a;b khi đó Nếu f x 0 với mọi x a;b thì hàm số f không đổi trên a;b Nếu f x 0 với mọi[.]
DẠNG TỐN TỔNG HỢP VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU A Phương pháp giải Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng a;b đó: Nếu f x với x a;b hàm số f khơng đổi a;b Nếu f x với x a;b f x số hữu hạn điểm a;b hàm số đồng biến khoảng (a; b) Nếu f x với x a;b f x số hữu hạn điểm a;b hàm số nghịch biến khoảng a;b Nếu hàm số f đồng biến a;b liên tục nửa khoảng a;b ; a;b ; đoạn a;b đồng biến nửa khoảng a;b ; a;b ; đoạn a;b tương ứng Tương tự cho nghịch biến B Ví dụ minh họa Bài tốn Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số: a) f x x 3x b) f x x x Giải a) D x 3x 4, x 4 hay x , y x 3x 4, 4 x 2x 3, x 4 hay x y 2x 3, 4 x BBT x y 4 – y + – + CĐ CT CT Vậy hàm số nghịch biến ;4 , ;1 đồng biến b) Hàm số f liên tục x x Ta có: f x x x x x 3 4; , 1; 2 Với x , f x 2x ; f x x 1 Với x , f x 2x BBT: x y –1 + – + y Vậy hàm số nghịch biến 1;0 đồng biến ;1 , 0; Bài tốn Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số: b) y x x 5 a) y 3cos x Giải a) Tập xác định D Ta có y 3sin x Xét y sin x k2 x k2 , k nên hàm số đồng biến khoảng k2; k2 , k Xét y sin x k2 x 2 k2 , k nên hàm số nghịch biến khoảng k2;2 k2 , k b) D Với x y x x 5 3 x 5 x 2 33 x Ta có y x Bảng biến thiên x y – + + y 3 Vậy hàm số nghịch biến 0;2 đồng biến ;0 , 2; Bài toán Chứng minh: a) sin x cos x , x b) y cos x sin x.tan x , x ; 4 Giải a) Xét f x sin x cos x , D f x 2sin x cos x 2cos x sin x , x Do f x hàm nên f x f x b) Xét f x cos x sin x.tan , D ; 4 f x sin x cos x tan sin x tan sin x x x sin x cos x.tan tan 2cos x 2 x x x 1 cos x sin x tan cos2 2 sin x sin x với x ; 4 Suy f hàm khoảng ; 4 Do f x f với x ; 4 Bài toán Chứng minh hàm số sau hàm không đổi f x cos x cos x cos x cos x 3 3 Giải Ta có f x 2cos x sin x 2cos x sin x sin x cos x cos x.sin x 3 3 3 3 2 sin 2x sin 2x sin 2x 3 sin 2x 2cos 2x sin , với x 2 Do f nên f x f 1 4 Bài tốn Tìm số nghiệm phương trình: x 2x 2x x 3x 6x Giải Phương trình tương đương: x 3 x x 2x 1 x x x 2x x 3 x x 2x Xét phương trình: x x 2x x x 1 Do x x x 1 x x Do nghiệm phương trình x x 2x có x Đặt f x x x 2x , x f x 5x 2x x 1 2x x 1 Do f đồng biến Vì f 1 3 f 23 nên f x có nghiệm x Vậy phương trình cho có nghiệm Bài tốn Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm x 2x x m Giải Đặt t x , phương trình trở thành t4 t m * Nhận xét ứng với nghiệm khơng âm phương trình * có nghiệm phương trình cho, phương trình cho có nghiệm phương trình * có nghiệm khơng âm t3 Xét hàm số f t t t với t , f t 4 t 3 Mà f lim f t nên có bảng biến thiên: x t f t f t – 3 1 0 Từ bảng biến thiên suy giá trị cần tìm m m x 2x 2y Bài tốn Giải hệ phương trình y 2y 2z z 2z 2x Giải Ta có 2y x 2x x 1 y Tương tự z,x Đặt f t t 2t , t f t t 1 nên f đồng biến 1; nghịch biến 0;1 Đặt g t 2t , t g t nên g đồng biến 0; f x g y Ta có hệ f y g z f z g x Giả sử x x;y;z Xét x y z - Nếu x x y z f x f y f z g y g z g x y z x nên x y z Ta có phương trình: t 4t nên chọn nghiệm: x y z - Nếu x f f x f 1 f x nên g y y f f y f 1 f y g z z Do x y z f x f y f z g y g z g x y z x nên x y z Ta có phương trình t 4t nên chọn nghiệm: x y z Xét x y z nhận kết Vậy hệ có nghiệm x y z , x y z Bài toán Chứng minh bất đẳng thức: b.tan a a.tan b với a b Giải Ta có b.tan a a.tan b Xét f x tan a tan b a b tan x , 0x x x tan x x sin x cos x 2x sin 2x cos x f x x x cos x 2x cos x Xét g x 2x sin 2x , x biến: x g x g , g x 2cos2x 1 cos2x nên g đồng Do f x nên f đồng biến 0; Vì a b f a f b : đpcm 2 C Bài tập tự luyện Bài tập Xét chiều biến thiên hàm số sau: a) y x 2x b) y x 2 x x 1 Hướng dẫn giải a) Tập xác định D Ta có y 4x 4x 4x x 1 Cho y 4x x 1 x x 1 BBT x y –1 – 0 + – 0 + y Kết hàm số nghịch biến khoảng ;1 0;1 , đồng biến khoảng 1;0 1; b) Tập xác định D Ta có: y x 4x x y x 4x x x 1 BBT: x y – 2 2 + – y Kết hàm số đồng biến khoảng 7;2 nghịch biến khoảng ;2 , 7; Bài tập Tìm khoảng đơn điệu hàm số a) y x x 3 b) y x 1 1 x Hướng dẫn giải a) D 0; Với x , ta có: y x x 3 x x x 1 , y x 2x BTT: x y – + y Kết hàm số nghịch biến khoảng 0;1 đồng biến khoảng 1; b) D ;1 Ta có y 3 x 1 x , x Kết hàm số đồng biến khoảng ;1 Bài tập Chứng minh hàm số a) f x x 6x 17x đồng biến b) f x 2sin x x 6x nghịch biến Hướng dẫn giải a) f x 3x 12x 17 có 36 51 Nên f x với x, hàm số đồng biến b) f x cos x 3 3x Vì cos x với x Nên f x với x, hàm số nghịch biến Bài tập Tìm m để hàm số 3m 1 x m m y x m đồng biến khoảng xác định Hướng dẫn giải D \ m Ta có: x m 3m 1 3m 1 x m m 4m 2m y 2 x m x m Hàm số đồng biến khoảng xác định 4m 2m m m Kết m m 1 Bài tập Tìm a để hàm số: f x x 1 2cosa x 2x cosa , a 0;2 đồng biến khoảng 1; Hướng dẫn giải y x 1 2cosa x 2cosa Ta có a 2 y x x 2cosa Vì y khoảng nghiệm nên hàm số đồng biến với x 5 2cosa cosa a 3 Kết 5 a 3 Bài tập Giải phương trình, hệ phương trình a) x 2x 1 x 2x 1 x 2 x 6 x y y b) y z z z x x Hướng dẫn giải a) Điều kiện x Phương trình tương đương: x 2x 1 x 2x 1 x 2 x 6 2x 1 3 x x Suy 2x 2x x Nhận xét hai hàm số đồng biến f x 2x Và g x x x nên phương trình có nghiệm Kết x b) Xét hàm số f t t t , t f t t t 1 t2 1 t nên f t đồng biến t 1 t2 t t 1 t x f y Ta có hệ phương trình y f z z f x Giả sử x y f x f y nên y z f y f z tức z x : vơ lý Giả sử x y f x f y nên y z f y f z tức z x : vô lý Giả sử x y f x f y nên y z x y z Thế vào hệ: x x x 1 x 1 x 1 x Thử lại x y z hệ nghiệm Kết x y z Bài tập Giải bất phương trình: a) b) x x 3x x x 7 9 x 5 Hướng dẫn giải a) Điều kiện x Bất phương trình: x x 7 x 5 9 Xét hàm số f x x x x , x f đồng biến f Do bất phương trình f x f x f x Kết x b) Điều kiện x Bất phương trình: x x 3x 4 Xét hàm số f x x x 3x f đồng biến f 1 4 Kết x 1 Bài tập Chứng minh bất đẳng thức: a) sin a sin b với a b a b b) x y với x, y thoả x y Hướng dẫn giải a) Xét f x sin x với x 0; , x 2 Ta chứng minh f nghịch biến 0; 2 b) Đưa theo biến x Ta có y x nên bất đẳng thức x y 1 x 1 x 8 Xét hàm số f x x 1 x Tập xác định D f x 4x 1 x nên f x 4x 1 x x 1 x 3 x x 2x x Lập BBT có f x với x