Xây dựng chương trình bình sai lưới độ cao

1 Mục lục 2 MỞ ĐẦU Công tác xử lý tính toán bình sai các mạng lưới trắc địa là một công việc phức tạp và đòi hỏi phải có tính khoa học cao. Đây là một công việc có khối lượng tính toán rất lớn. Ngày nay, với sự phổ biến của máy tính và sự phát triển vượt bậc của các phần mềm tin học, công việc này đã và đang được tự động hóa hoàn toàn. Nhưng để xây dựng một chương trình mạnh mà vẫn bảo đảm được tính chặt chẽ vẫn còn là một vấn đề đang được nhiều người quan tâm. Các bài toán về bình sai lưới trong trắc địa là tổng hợp của rất nhiều các phép toán nhỏ lẻ và khá phức tạp. Để làm nó mà ta chỉ sử dụng các biện pháp thủ công thì sẽ rất mất thời gian và đôi khi khó có thể tránh khỏi sai sót. Có rất nhiều các bài toán bình sai và một trong số đó là “Bình sai lưới độ cao”. Xuất phát từ thực tế đó, trong đồ án tốt nghiệp em đã chọn và nghiên cứu đề tài: “Xây dựng chương trình bình sai lưới độ cao”. Để có thể xây dựng được một chương trình hoàn thiện, cần rất nhiều thời gian và công sức cũng như phương tiện tính toán. Trong thời gian làm đồ án, em đã tìm hiểu cơ sở lý thuyết của các phương pháp bình sai lưới độ cao, đồng thời xây dựng chương trình ứng dụng để thuận tiện trong quá trình bình sai. Nội dung chính của đồ án được chia thành 4 chương: Chương 1: Khái quát về lý thuyết bình sai lưới trắc địa. Chương 2: Các phương pháp bình sai lưới độ cao . Chương 3: Xây dựng chương trình Bình sai lưới độ cao. Chương 4: Tính toán thực nghiệm. Do thời gian làm đồ án và năng lực bản thân có hạn nên trong nội dung của đồ án cũng như trong chương trình không tránh khỏi còn thiếu sót, em mong nhận được sự chỉ dẫn của các thầy cô giáo cũng như những ý kiến đóng góp của các bạn sinh viên để đồ án được hoàn thiện hơn. 3 Em xin chân thành cảm ơn sự chỉ bảo, hướng dẫn tận tình của cô giáo trong thời gian qua để em có thể hoàn thành đồ án của mình. 4 CHƯƠNG 1. KHÁI QUÁT VỀ LÝ THUYẾT BÌNH SAI LƯỚI TRẮC ĐỊA 1.1. Nguyên lý số bình phương nhỏ nhất Dựa trên cơ sở lý thuyết xác suất, người ta đã chứng minh được rằng trong trường hợp đo cùng độ chính xác, để nhận được các trị sau bình sai ( ) ii vL + có độ tin cậy lớn nhất nghĩa là xấp xỉ với trị thật nhất thì tổng bình phương của số hiệu chỉnh i v phải nhỏ nhất. [ ] min=vv (1.1) Trong đó i v = - là số hiệu chỉnh của trị đo. và lần lượt là trị đo và trị bình sai của của trị đo. Trong trường hợp đo không cùng độ chính xác: [ ] minpvv = (1.2) Trong đó: 2 i 2 m p µ = . Với là sai số trung phương trọng số đơn vị; là sai số trung phương của trị đo thứ i. Các điều kiện (1.1) và (1.2) gọi là nguyên lý bình phương nhỏ nhất. Để giải bài toán này có hai phương pháp: - Tìm cực trị [ ] minpvv ==Φ không điều kiện được sử dụng trong bài toán bình sai gián tiếp và một số bài toán suy ra từ bài toán này. - Tìm cực trị có điều kiện: [ ] minpvv ==Φ kèm theo điều kiện: BV+ = 0. Để giải bài toán dạng này người ta sử dụng hàm phụ Lagrăng dạng: Trong đó: k hệ số phụ Lagrăng (còn gọi là hệ số liên hệ). 5 Phương pháp này được gọi là phương pháp bình sai điều kiện và một số bài toán suy ra từ dạng này. Ví dụ: Từ phương trình (1.2) để tìm i v ta giải theo phương pháp tìm cực trị có điều kiện. [ ] ( ) ( ) ( ) minwvvvk2vvvBVk2vv 321 2 3 2 2 2 1 =+++−++=∆+−=Φ Hàm điều kiện trên đạt min khi đạo hàm bậc nhất của Φ theo i v bằng 0. Tức là: kv0v2v2 v 0 v 1k1 1 =⇒=−= ∂ Φ∂ ⇒= ∂ Φ∂ Tương tự: kv0v2v2 v kv0v2v2 v 3k3 3 2k2 2 =⇒=−= ∂ Φ∂ =⇒=−= ∂ Φ∂ Thay 321 ,, vvv vào phương trình (1.2) ta có: 3 w vvv 3 w k0wk3 321 −===⇒ −=⇒=+ Kết luận: a. Bài toán bình sai chỉ tiến hành khi có trị đo thừa r . b. Bài toán bình sai dựa trên nguyên lý số bình phương nhỏ nhất [ ] min ==Φ Pvv với các nội dung cơ bản: - Tìm trị đáng tin cậy nhất của trị đo và các đại lượng cần tìm. - Xác định sai số trung phương của các trị đo và các đại lượng cần tìm. 6 1.2. Phương pháp bình sai điều kiện 1.2.1. Khái niệm về bình sai điều kiện Như chúng ta đã biết, để có điều kiện kiểm tra kết quả đo và nâng cao độ chính xác của các yếu tố cần xác định, người ta tiến hành đo thừa. Ví dụ: Muốn xây dựng hình dạng của một tam giác ABC như hình vẽ 1 ngoài một yếu tố về chiều dài cạnh đã biết, chỉ cần đo 2 góc. Nhưng trong thực tế người ta thường đo cả 3 góc. Như vậy là có một trị đo thừa. Do một đại lượng đo thừa ấy nên có một điều kiện hình học cần phải thoả mãn là tổng 3 góc trong một tam giác phẳng bằng 180 0 . L 1 2 L L 3 A B C Hình 1.1 Gọi A, B, C là trị thực của 3 góc trong một tam giác thì phương trình điều kiện là: A + B + C = 180°. Như vậy những điều kiện hình học được biểu diễn dưới dạng các phương trình toán học gọi là phương trình điều kiện. Nếu có một trị đo thừa thì có một phương trình điều kiện, có r trị đo thừa thì có r phương trình điều kiện. Thực tế chúng ta không biết được trị thực của mỗi đại lượng đo mà người ta dùng phương pháp bình sai, chỉnh lý kết quả đo để tìm trị xác suất nhất. Phương pháp bình sai để tìm trị xác suất nhất thoả mãn tất cả các phương trình điều kiện gọi là phương pháp bình sai điều kiện. 1.2.2. Hệ phương trình điều kiện số hiệu chỉnh dạng tổng quát Giả sử trong một mạng lưới chúng ta có dãy trị đo L 1 , L 2 , L n , nhằm xác định t đại lượng cần thiết. Lúc đó ta có trị đo thừa: 7 tnr −= Ứng với 1 trị đo thừa có một phương trình điều kiện. Khi có r trị đo thừa có r phương trình điều kiện ràng buộc trị bình sai của các trị đo với nhau: ( ) ( ) r1jCL, ,L,Lf jn21j ÷== ′′′ Trong đó: n LLL ′′′ , ,, 21 : là trị bình sai của các đại lượng đo. j C : trị thực của điều kiện. j f : quan hệ hàm số. Thay iii vLL += ′ ta có: ( ) j 1 1 2 2 n n j f L v ,L v , ,L v C + + + = (1.3) Khai triển hàm số (1.3) theo chuỗi Taylor và chỉ giữ lại số hạng bậc nhất ta được: ( ) ( ) 0 0 0 j 1 1 2 2 n n j 1 2 n j j j 1 2 n j 1 2 n 0 0 0 f L v ,L v , ,L v f L ,L , ,L f f f v v v C L L L + + + = + ∂ ∂ ∂       + + + + =  ÷  ÷  ÷ ∂ ∂ ∂       Lấy trị gần đúng là trị đo ta có: ( ) { } j j j 1 2 n j 1 2 n j 1 2 n f f f v v v f L ,L , ,L C 0 L L L ∂ ∂ ∂ + + + + − = ∂ ∂ ∂ Đặt: ( ) 1 2 r i i i i i i f f f a , b , , r , i 1 n L L L ∂ ∂ ∂ = = = = ÷ ∂ ∂ ∂ : gọi là các hệ số và ( ) jnjj CLLLfw −= , ,, 21 : gọi là sai số khép của điều kiện. Như vậy ta có hệ sau: 8 [ ] [ ] [ ] 1 1 2 2 n n 1 1 1 1 2 2 n n 2 2 1 1 2 2 n n n n a v a v a v w av w 0 b v b v b v w bv w 0 r v r v r v w r v w 0  + + + + = + =  + + + + = + =      + + + + = + =   (1.4) Hệ phương trình (1.4) được gọi là hệ phương trình điều kiện số hiệu chỉnh dạng tuyến tính. Để viết dưới dạng ma trận chúng ta ký hiệu: Với: B là ma trận hệ số hệ phương trình số hiệu chỉnh W là ma trận sai số khép V là ma trận sai số khép dạng tổng quát Với ký hiệu này ta có phương trình điều kiện số hiệu chỉnh viết dưới dạng ma trận: 0WBV =+ (1.5) 1.2.3. Tìm trị đáng tin cậy nhất Chúng ta đã biết hệ phương trình điều kiện số hiệu chỉnh là: r n n 1 r 1 B V W 0 × × × + = Hệ phương trình này có r phương trình chứa n ẩn số là các số hiệu chỉnh i v . Vì r < n cho nên hệ có vô số nghiệm. Để có hệ nghiệm đáng tin cậy nhất thì chúng ta phải sử dụng nguyên lý số bình phương nhỏ nhất: 9 min ==Φ PVV T Trong đó: P là ma trận trọng số và: P= Pi à trọng số của trị đo thứ i. Tuy nhiên mỗi số hiệu chỉnh đều kèm theo phương trình điều kiện nên còn gọi là biểu thức cực trị có điều kiện. Để giải bài toán này có nhiều cách giải nhưng trong trắc địa thông thường người ta sử dụng hàm phụ Lagrăng. ( ) T T 1 V PV 2K BV W minΦ = − + = Trong đó: K là ma trận số liên hệ có dạng: KT = (k1,k2, …, kr) Hàm 1 Φ đạt min khi đạo hàm hoặc vi phân bằng 0 tức: 0BK2PV2 V TT 1 =−= ∂ Φ∂ Hay 0BKPV TT =− Lấy chuyển vị hai vế ta có: KBPV T = (*) Nhân hai vế của (*) với 1− P về phía trái: 1 T V P B K − = (1.6) Hệ phương trình (1.6) được gọi là hệ phương trình số liên hệ. Dựa vào hệ này nếu biết ma trận K sẽ tìm được ma trận số hiệu chỉnh V Ta có: 10 1 1 2 2 1 n n 1 1 1 1 2 2 2 2 T n n n r v 1/ p 0 0 v 0 1/ p 0 V ; P ; v 0 0 1/ p a b r k a b r k B ; K a b r k −      ÷  ÷  ÷  ÷ = =  ÷  ÷  ÷  ÷          ÷  ÷  ÷  ÷ = =  ÷  ÷  ÷  ÷     M 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n n n n r n n n n n n a b r p p p v a b r k a b r v a b r k p p p v a b r k a b r p p p    ÷  ÷       ÷  ÷  ÷ ÷  ÷  ÷  ÷ ÷ ⇒ = =  ÷  ÷  ÷ ÷  ÷  ÷  ÷ ÷  ÷       ÷  ÷   1 1 1 1 2 r 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 r 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n n n n n n r n 1 n a b r k k k p p p a / p b / p r / p k a b r k k k a / p b /p r / p k p p p a /p b / p r / p k a a k p + + +     ÷ ÷ + + +  ÷ ÷ = =  ÷ ÷  ÷ ÷    + L n n 2 r n n r k k p p    ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷ + +  ÷   Hay: r i i 2 i i 1 i i i k p r k p b k p a v +++= (1.7) Trong trường hợp đo cùng độ chính xác: ri2i1ii kr kbkav +++= Muốn xác định ma trận K ta thay biểu thức (1.6) vào hệ phương trình số hiệu chỉnh 0 =+ WBV , ta có: [...]... số Trong phương pháp bình sai gián tiếp, các ẩn số phải được chọn theo nguyên tắc: - Ẩn số phải đủ, độc lập - Số lượng ẩn số bằng số trị đo cần thiết t - Ẩn số được chọn phụ thuộc vào mục tiêu xây dựng lưới Chúng ta sẽ tìm hiểu cách chọn ẩn số đối với lưới độ cao và lưới mặt bằng 1 Lưới độ cao Có 2 dạng lưới độ cao a Trong lưới chưa có điểm nào biết độ cao (lưới tụ do): Ví dụ: Cho lưới như hình vẽ :... Dựa vào trị đo sau bình sai và các đại lượng cho trước để tim ra được các đại lượng khác trong lưới như tọa độ điểm (lưới mặt bằng) hoặc độ cao điểm (lưới độ cao) 1.2.4 Đánh giá độ chính xác Việc đánh giá độ chính xác trong bình sai điều kiện nhằm giải quyết 2 nội dung: - Đánh giá độ chính xác của dãy trị đo mà đại lượng đặc trưng là sai số trung phương trọng số đơn vị - Đánh giá độ chính xác của các... cho mạng lưới 13 Ví dụ: với lưới độ cao có thể là độ cao điểm yếu nhất, chênh cao yếu nhất, với lưới mặt bằng có thể là toạ độ điểm yếu nhất, cạnh yếu nhất hoặc phương vị yếu nhất Các đại lượng này trong bình sai điều kiện thường viết dưới dạng hàm trị bình sai của các trị đo còn gọi là hàm trọng số 1 Đánh giá độ chính xác của dãy trị đo: Để đánh giá độ chính xác của dãy trị đo người ta dùng sai số... Tính trị đo sau bình sai theo hai cách độc lập nhau: Theo số hiệu chỉnh: - Li′ = Li + Vi Theo hàm của ẩn số bình sai: - ′ Li′ = Fi ( X 1′, X 2 , , X t′ ) Kết quả tính trị đo theo số hiệu chỉnh và theo hàm của ẩn số bình sai phải như nhau 1.3.5 Đánh giá độ chính xác Trong phương pháp bình sai gián tiếp thì phần đánh giá độ chính xác bao gồm: - Đánh giá độ chính xác của kết quả đo - Đánh giá độ chính xác... phương trình với 2 ẩn số Nếu kết hợp giải từng cặp phương trình thì sẽ nhận được 3 giá trị toạ độ điểm P Chúng ta biết rằng các trị đo l AP , lBP , lCP luôn tồn tại sai số nên các cặp toạ độ tìm được cũng sẽ khác nhau Để giải quyết mâu thuẫn ấy thì cần thiết phải tiến hành bình sai để tìm ra toạ độ xác suất nhất của điểm P Phương pháp bình sai để tìm ra một số các ẩn số như thế người ta gọi là bình sai. .. định độ cao của điểm P và Q t = p −1 = 2 - Trị đo cần thiết: - Chọn ẩn số: có 2 cách + Cách 1: chọn chênh cao sau bình sai vừa đủ làm ẩn số (theo phần a) + Cách 2: chọn độ cao điểm cần xác định là ẩn x1 = H P x2 = H Q Đây là phương án tối ưu 2 Tính trị gần đúng của ẩn Trị gần đúng của ẩn số trong bình sai gián tiếp được xác định dựa vào hình dạng của lưới, số liệu gốc và số liệu đo 1.3.3 Hệ phương trình. .. tiêu: xác định chênh cao giữa 2 cặp điểm (A và P, P và Q, A và Q) - Trị đo cần thiết: t = p − 1 = 2 - Chọn ẩn số: Chỉ có duy nhất một cánh chọn ẩn số là một cặp chênh cao sau bình sai  x1 = h1′  ′ x = h2 Phương án 1:  2  x1 = h1′  ′ x = h3 Phương án 2:  2 Phương án 3: ′  x1 = h2  ′  x2 = h3 24 b Trong lưới có điểm đã biết độ cao (lưới độc lập hoặc phụ thuộc) Ví dụ: Cho lưới như hình vẽ (1.4)... phương trình tuyến tính đối xứng trong đó N 0 = [ w ] ; N 1 = S 1 ; N 2 = S 2 ; ; N r = S r ta có công thức cần chứng minh 2 Đánh giá độ chính xác của các đại lượng đặc trưng cho lưới (hàm trọng số) Mục đích của việc đánh giá các đại lượng đặc trưng cho lưới chính là để đánh giá chất lượng của việc xây dựng lưới so với các chuẩn mực đã được quy định trong quy phạm Giả sử hàm các trị đo sau bình sai: ... đo: L1 , L2 , , Ln Gọi L1′, L2 , , Ln là trị bình sai của đại lượng đo nhằm xác định t ẩn số là x1 , x 2 , , xt Gọi: v1 , v2 , vt là số hiệu chỉnh của trị đo Ta có phương trình trị đo: Li′ = Li + vi i = 1÷ n (1.17) 25 Với n : là tổng số trị đo Dựa vào quan hệ hình học trong lưới bao giờ cũng biểu diễn được trị bình sai của đại lượng đo là hàm của trị bình sai của ẩn số Ta có hàm tổng quát: L ′ = f i... phương trình (1.30a) gọi là hệ phương trình chuẩn dạng tuyến tính Từ hai hệ phương trình trên ta rút ra một số nhận xét: - Hệ (1.30) là hệ phương trình tuyến tính đối xứng có số phương trình bằng số ẩn số và các phần tử trên đường chéo chính luôn dương nên có hệ nghiệm duy nhất: X = − N −1 M Với N -1 là ma trận nghịch đảo của ma trận hệ số hệ phương trình chuẩn N - Trường hợp các trị đo cùng độ chính . chương: Chương 1: Khái quát về lý thuyết bình sai lưới trắc địa. Chương 2: Các phương pháp bình sai lưới độ cao . Chương 3: Xây dựng chương trình Bình sai lưới độ cao. Chương 4: Tính toán thực nghiệm. Do. pháp bình sai lưới độ cao, đồng thời xây dựng chương trình ứng dụng để thuận tiện trong quá trình bình sai. Nội dung chính của đồ án được chia thành 4 chương: Chương 1: Khái quát về lý thuyết bình. lưới như tọa độ điểm (lưới mặt bằng) hoặc độ cao điểm (lưới độ cao) . 1.2.4. Đánh giá độ chính xác Việc đánh giá độ chính xác trong bình sai điều kiện nhằm giải quyết 2 nội dung: - Đánh giá độ