Bài 2 Giải tam giác A Câu hỏi Câu hỏi khởi động trang 72 Toán lớp 10 Tập 1 Từ xa xưa, con người đã cần đo đạc các khoảng cách mà không thể trực tiếp đo được Chẳng hạn, để do khoảng cách từ vị trí A tr[.]
Bài Giải tam giác A Câu hỏi Câu hỏi khởi động trang 72 Toán lớp 10 Tập 1: Từ xa xưa, người cần đo đạc khoảng cách mà trực tiếp đo Chẳng hạn, để khoảng cách từ vị trí A bờ biển tới đảo (hay tàu,…) biển, người xưa tìm cách đo khoảng cách sau: Từ vị trí A, đo góc nghiêng α so với bờ biển tới vị trí C quan sát đảo Sau di chuyển dọc bờ biển đến vị trí B cách A khoảng d tiếp tục đo góc nghiêng β so với bờ biển tới vị trí C chọn (Hình 18) Bằng cách giải tam giác BAC, họ tính khoảng cách AC Giải tam giác hiểu nào? Lời giải: Giải tam giác tính cạnh góc tam giác dựa kiện cho trước Hoạt động trang 72 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, A = Viết công thức tính BC theo b, c, α Lời giải: Áp dụng định lí cơsin vào tam giác ABC ta có: BC2 = AB2 + AC2 – 2.AB.AC.cos A = c2 + b2 – 2.b.c.cosα BC = c + b − 2bccos Hoạt động trang 73 Tốn lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC = a Viết cơng thức tính cos A theo a, b, c Lời giải: Áp dụng định lí cơsin vào tam giác ABC ta có: BC2 = AB2 + AC2 − 2.AB.AC.cos A AB2 + AC2 − BC2 cos A = 2.AB.AC AB2 + AC2 − BC2 Vậy cos A = 2.AB.AC Hoạt động trang 73 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có BC = a, B = , C = Viết công thức tính AB AC theo a, α, β Lời giải: Trong tam giác ABC có: A = 180 − B − C = 180 − − Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta có: BC AC AB = = sin A sin B sin C a AC AB = = sin (180 − − ) sin sin Do AC = a.sin a.sin AB = sin (180 − − ) sin (180 − − ) Hoạt động trang 73 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC = a Kẻ đường cao BH a) Tính BH theo c sin A b) Tính diện tích S tam giác ABC theo b, c, sin A Lời giải: a) Xét trường hợp: + Với A 90 Xét tam giác vng AHB, ta có sin A = Do BH = AB sin A = c sin A BH BA + Với A = 90 Khi sin A = sin 90o = 1; BH = BA = c = c sin A + Với A 90 Xét tam giác AHB vng, ta có: BAH = 180 − A Do BH = AB sin(180° – A ) = AB sin A = c sin A Như vậy, trường hợp ta có BH = c sin A b) Diện tích tam giác ABC 1 AC.BH nên S = AC.BH = bcsin A 2 Luyện tập trang 74 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 12; B = 60;C = 45 Tính diện tích tam giác ABC Lời giải: Xét tam giác ABC ta có A = 180 − B − C = 180 − 60 − 45 = 75 Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta có: BC AB = sin A sin C BC 12 = sin 75 sin 45 BC = 12 sin 75 sin 45 BC = + Khi diện tích tam giác ABC bằng: 1 AB BC sin B = 12 (6 + ) sin 60o ≈ 85,2 2 Hoạt động trang 75 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c diện tích S (Hình 24) a) Từ định lí cơsin, chứng tỏ rằng: sin A = a+b+c p ( p − a )( p − b )( p − c ) , p = bc b) Bằng cách sử dụng công thức S = bcsin A , chứng tỏ rằng: S = p ( p − a )( p − b )( p − c ) Lời giải: a) Áp dụng định lí cơsin vào tam giác ABC ta có: BC2 = AB2 + AC2 − 2.AB.AC.cos A AB2 + AC2 − BC2 cos A = 2.AB.AC cos A = cos c2 + b2 − a 2.c.b (b A= + c2 − a ) 4b 2c2 Do A góc tam giác ABC nên 0 A 180 Do sin A > Lại có cos2 A + sin2 A = nên sin2 A = − cos2 A sin (b A =1− sin A = sin 2 + c2 − a ) 4b 2c2 4b 2c2 − ( b + c2 − a ) 4b 2c2 ( 2bc + b A= + c2 − a )( 2bc − b − c + a ) 4b2c2 ( b + c ) − a a − ( b − c ) sin A = 2 4b c sin A = ( b + c + a )( b + c − a )( a + b − c )( a − b + c ) 4b 2c2 Đặt a + b + c = 2p Khi b + c − a = b + c + a − 2a = 2(p − a); a + b − c = a + b + c − 2c = 2p − 2c = 2(p − c); a − b + c = a + b + c − 2b = 2p − 2b = 2(p − b) Do sin A = sin A = 2p.2 ( p − a ) ( p − c ) ( p − b ) 4b 2c2 4p ( p − a )( p − b )( p − c ) b 2c Do sin A > nên sin A = 4p ( p − a )( p − b )( p − c ) b 2c Do sin A = p ( p − a )( p − b )( p − c ) bc b) Ta có diện tích tam giác ABC: S = Mà sin A = bc.sin A 2 p ( p − a )( p − b )( p − c ) nên S = bc p ( p − a )( p − b )( p − c ) bc bc Do S = p ( p − a )( p − b )( p − c ) Luyện tập trang 76 Tốn lớp 10 Tập 1: Từ tòa nhà cao 18,5 m, bạn Nam quan sát cách tòa nhà 30 m dùng giác kế đo góc lệch phương quan sát gốc phương nằm ngang 34°, góc lệch phương quan sát phương nằm ngang 24° Biết chiều cao chân giác kế 1,5 m Chiều cao mét (làm tròn kết đến hàng phần mười)? Lời giải: Gọi BC chiều cao tòa nhà, AB chiều cao chân giác kế, CD khoảng cách tòa nhà cây, DAF góc lệch phương quan sát gốc phương nằm ngang, EAF góc lệch phương nằm ngang Khi chiều cao độ dài DE Tam giác AFD vuông F nên tan DAF = DF AF DF = AF tan DAF = 30 tan 34o ≈ 20,2 m Tam giác AFE vuông F nên tan EAF = EF AF EF = AF tan EAF = 30 tan 24o ≈ 13,4 m Khi DE = DF − EF = 20,2 − 13,4 = 6,8 m Vậy chiều cao khoảng 6,8 m B Bài tập Bài trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có BC = 12, CA = 15, C = 120 Tính: a) Độ dài cạnh AB; b) Số đo góc A, B; c) Diện tích tam giác ABC Lời giải: a) Áp dụng định lí cơsin vào tam giác ABC có: AB2 = BC2 + CA2 − 2.BC.CA.cos C AB2 = 122 + 152 − 2.12.15.cos 120o AB2 = 549 AB = 61 m b) Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC có: AB AC = sin C sin B sin B = AC.sin C 15.sin120 = 0,554 AB 61 B ≈ 34o Trong tam giác ABC có A = 180 − B − C = 180 − 34 − 120 = 26 c) Diện tích tam giác ABC là: S= 1 BC.AC.sin C = 12.15.sin 120o = 45 (đvdt) 2 Bài trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, A = 120 Tính độ dài cạnh AC Lời giải: Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC có: BC AB = sin A sin C sin C = AB.sin A 5.sin120 = = BC 14 C ≈ 38,2o Trong tam giác ABC có B = 180 − A − C = 180 − 120 − 38,2 = 21,8 Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC có: BC AC = sin A sin B AC = BC.sin B 7.sin 21,2 = 2,9 m sin A sin120 Bài trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 100, B = 100 , C = 45 Tính: a) Độ dài cạnh AC, BC; b) Diện tích tam giác ABC Lời giải: a) Trong tam giác ABC có A = 180 − B − C = 180 − 100 − 45 = 35 Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC có: AC AB BC = = sin B sin C sin A Do AC = AB.sin B 100.sin100 AB.sin A 100.sin 35 = 139,3 ; BC = = 81,1 sin C sin 45 sin C sin 45 b) Diện tích tam giác ABC là: S= 1 AB.AC.sin A = 100 139,3 sin 35o ≈ 3995 (đvdt) 2 Bài trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 12, AC = 15, BC = 20 Tính: a) Số đo góc A, B, C; b) Diện tích tam giác ABC Lời giải: a) Áp dụng hệ định lí cơsin vào tam giác ABC ta có: AB2 + AC2 − BC2 122 + 152 − 202 −31 = = cos A = 2.AB.AC 2.12.15 360 A ≈ 95o BC2 + BA − AC2 202 + 122 − 152 319 = = cos B = 2.BC.CA 2.20.12 480 B ≈ 48o Trong tam giác ABC có: C = 180 − A − B = 180 − 95 − 48 = 37 b) Diện tích tam giác ABC là: S= 1 AB AC sin A = 12 15 sin 95o ≈ 90 (đvdt) 2 Bài trang 77 Tốn lớp 10 Tập 1: Tính độ dài cạnh AB trường hợp sau: Lời giải: +) Xét Hình 29: Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta có: BC AC = sin A sin B sin B = AC.sin A 5,2.sin 40 = 0,93 BC 3,6 B 68 Trong tam giác ABC có C = 180 − A − B = 180 − 40 − 68 = 72 Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta có: BC AB = sin A sin C AB = BC.sin C 3,6.sin 72 = 5,3 m sin A sin 40 +) Xét Hình 30: Gọi H chân đường cao kẻ từ C đến AB Tam giác ACH vuông H nên cosCAH = AH AC Do AH = AC cos CAH = 5,2 cos 40o ≈ m sin CAH = CH CH = AC sin CAH = 5,2 sin 40o ≈ 3,3 m AC Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác BCH vuông H: BH2 + CH2 = BC2 BH2 = BC2 − CH2 BH2 = 3,62 − 3,32 BH2 = 2,07 BH ≈ 1,44 m Khi AB ≈ − 1,44 ≈ 2,56 m Bài trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Để tính khoảng cách hai địa điểm A B mà trực tiếp từ A đến B (hai địa điểm nằm hai bên bờ hồ nước, đầm lầy, …), người ta tiến hành sau: Chọn địa điểm C cho ta đo khoảng cách AC, CB góc ACB Sau đo, ta nhận được: AC = km, CB = 800 m ACB = 105 (Hình 31) Tính khoảng cách AB (làm trịn kết đến hàng phần mười theo đơn vị mét) Lời giải: Đổi km = 000 m Ba vị trí A, B, C tạo thành ba đỉnh tam giác Áp dụng định lí cơsin vào tam giác ABC ta có: AB2 = AC2 + BC2 − 2.AC.BC.cos C AB2 = 0002 + 8002 − 2.1000.800.cos 105o AB2 ≈ 054 110,5 m AB ≈ 1433,2 m Bài trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Một người dọc bờ biển từ vị trí A đến vị trí B quan sát hải đăng Góc nghiêng phương quan sát từ vị trí A, B tới hải đăng với đường người quan sát 45° 75° Biết khoảng cách hai bị trí A, B 30 m (Hình 32) Ngọn hải đăng cách bờ biển mét (làm tròn kết đến hàng đơn vị)? Lời giải: Gọi C vị trí hải đăng, CH khoảng cách hải đăng bờ Ta có CBH góc ngồi đỉnh B tam giác ABC nên CBH = BAC + BCA Do BCA = CBH − BAC = 75 − 45 = 30 Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC có: AB BC = sin C sin A BC = AB.sin A 30.sin 45 = = 30 m sin C sin 30 Trong tam giác CBH vuông H: sin CBH = CH BC CH = BC sin CBH = 30 sin 75o = 15 + 15 m ≈ 41 m Vậy khoảng cách từ hải đăng đến bờ khoảng 41 m ... có: AB2 = AC2 + BC2 − 2.AC.BC.cos C AB2 = 0002 + 8002 − 2 .100 0.800.cos 105 o AB2 ≈ 054 110, 5 m AB ≈ 1433,2 m Bài trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Một người dọc bờ biển từ vị trí A đến vị trí B quan... 21,2 = 2,9 m sin A sin120 Bài trang 77 Tốn lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 100 , B = 100 , C = 45 Tính: a) Độ dài cạnh AC, BC; b) Diện tích tam giác ABC Lời giải: a) Trong tam giác ABC... AB.AC.sin A = 100 139,3 sin 35o ≈ 3995 (đvdt) 2 Bài trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 12, AC = 15, BC = 20 Tính: a) Số đo góc A, B, C; b) Diện tích tam giác ABC Lời giải: a) Áp