Skkn xây dựng một số bài toán về tính đơn điệu của hàm số từ các bài toán về dấu và đồ thị của hàm số đạo hàm

XÂY DỰNG MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ TỪ CÁC BÀI TOÁN VỀ DẤU VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ ĐẠO HÀM Dương Ngọc Anh Trường THPT Bến Tre, TP.Phúc Yên, tỉnh Vĩnh Phúc I LỜI NÓI ĐẦU: Hàm số đồ thị chủ đề xun suốt chương trình tốn phổ thơng Bài tốn xét tính đơn điệu, tìm cực trị hàm số dạng toán quen thuộc hiển nhiên xuất kỳ thi THPT QG kỳ thi khác Khi giải tốt dạng tập giúp HS rèn luyện kỹ tư giải tốn, kỹ phân tích, tổng hợp, kỹ ‘‘đọc đồ thị’’ Đồng thời hạn chế việc sử dụng MTCT giải tốn để ‘‘ mị ’’ đáp án Thêm vào nữa, học sinh giải nhiều câu tương tự mức độ khác nhiều mã đề kỳ thi Bởi vậy, làm thiết kế để xây dựng nên toán cho dạng ‘‘ Xét tính đơn điệu hàm số hợp hàm số f(x) biết bảng xét dấu đồ thị hàm số đạo hàm f’(x)’’ (Đây dạng toán mà xuất nhiều tương đối lạ HS) Đồng thời giúp học sinh biết cách giải số lớp tốn tính đơn điệu hàm số, nhìn nhận góc độ bảng dấu đồ thị hàm số đạo hàm biết, sở việc khai thác ứng dụng đạo hàm, kỹ ‘‘đọc đồ thị ’’ hàm số Học sinh nắm kiến thức, hệ thống hóa, tổng quát hóa dạng toán phát triển tư giải toán Mặt khác, trình kiểm tra đánh giá học sinh, phải xây dựng ngân hàng câu hỏi chủ đề tốn với câu hỏi trắc nghiệm tương đương mức độ kiến thức mức độ cao thấp khác nhau, việc thiết kế ma trận đề thi THPT QG bám sát vào chuẩn kiến thức kỹ năng; sử dụng cho nhiều mã đề gồm mã đề gốc mã đề sinh từ mã đề gốc thời điểm thi Từ suy nghĩ trên, trao đổi bạn đồng nghiệp em học sinh viết “ Xây dựng số tốn tính đơn điệu từ toán dấu đồ thị hàm số đạo hàm ” nhằm giúp em định hướng tự tin làm góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn trường THPT Qua viết này, tơi hy vọng bạn đồng nghiệp thiết kế nhiều lớp toán hàm số đồ thị sát thực với đề thi THPT QG thi chọn học sinh giỏi toán truyền say mê đến học sinh skkn II PHƯƠNG PHÁP THỰC HIỆN THIẾT KẾ Xây dựng tốn xét tính đơn điệu hàm số biết trước bảng xét dấu đạo hàm đồ thị hàm số đạo hàm: Cho hàm số đạo hàm (thường hàm số đạo hàm đơn giản, quen thuộc) hàm số dạng bảng xét dấu hàm số đạo hàm đại diện đồ thị hàm số đạo hàm Sử dụng kiến thức xét tính đơn điệu hàm số, hàm hợp, thay x hàm số g(x) thỏa mãn tính chất đó, ta có tốn tương ứng, mức độ khó hơn, tùy thuộc việc chọn hàm số g(x) để hình thành lên tốn xét tính đơn điệu hàm số Muốn giải tốn đó, phải nắm hệ thống tốn xét tính đơn điệu hàm số sở điều kiện tương đương tính đơn điệu dấu hiệu I cực trị hàm số xây dựng nên toán cụ thể Chìa khóa để mở cánh cửa toán người đề cất đi, yêu cầu người học phải tìm chìa khóa với kiến thức tổng hợp giải Các bước tiến hành xây dựng toán: Bước 1: Thiết kế tốn xét tính đơn điệu hàm số Xuất phát điểm từ toán cho trước bảng xét dấu hàm số đạo hàm đại diện f   x  đồ thị hàm số đạo hàm đại diện f   x  hàm số Trên sở phân tích yếu tố kiện toán, phát triển mở rộng tốn từ việc xét tính đơn điệu hàm số thành tốn xét tính đơn điệu hàm hợp, thiết lập yêu cầu toán hàm số đồng biến, nghịch biến khoảng nào, số cực trị hàm số hợp bao nhiêu, Từ đó, ta nhận tốn xét tính đơn điệu hàm số (ở mức độ thông hiểu, vận dụng, vận dụng cao) tương ứng với tốn tính đơn điệu hàm số ban đầu biết bảng dấu đạo hàm đồ thị hàm số đạo hàm Bước 2: Thiết lập sơ đồ lời giải tốn Bước 3: Trình bày lời giải toán theo sơ đồ Bước 4: Kết luận toán (Chọn đáp án đúng) Khai thác xây dựng hệ thống tập tương ứng: Sử dụng kiến thức tính đơn điệu hàm số, xây dựng thành toán xét tính đơn điệu nhiều hàm hợp khác mà cách giải tốn qui tốn xét tính đơn điệu hàm số quen thuộc Bằng cách phân tích yếu tố liên quan đến việc xét tính đơn điệu hàm số gốc liên kết với tốn xét tính đơn điệu hàm hợp Từ việc phân tích đó, giúp học sinh hiểu chất tốn, để từ em biết định skkn hướng việc tiến hành giải toán Việc phát triển toán tương tự, tổng qt hóa giúp thầy xây dựng toán, câu hỏi trắc nghiệm tương đương mức độ kiến thức mức độ cao thấp khác để sử dụng cho nhiều mã đề gồm mã đề gốc mã đề sinh từ mã đề gốc kỳ thi Đồng thời, giúp học sinh nắm kiến thức, hệ thống hóa, tổng qt hóa dạng tốn xét tính đơn điệu hàm số để phát triển tư giải toán (Trong ôn thi THPT QG năm học 2019-2020 HS trường THPT Bến Tre, tỉnh Vĩnh Phúc) III CÁC BÀI TỐN MINH HỌA 1.1 Bài tốn 1.1 Bước 1: Thiết kế tốn xét tính đơn điệu hàm số Xuất phát từ toán: Cho hàm số cụ thể có hàm đạo hàm đại diện tổng quát có bảng xét dấu f   x  sau: x f  x  3  1  *) Ta có tốn 1.1.1: skkn    , bảng xét dấu f   x  sau: Cho hàm số  x f  x Hàm số  1  0    đồng biến khoảng đây? A *) Khi thay B C D đó, ta có tốn 1.1.2: , bảng xét dấu f   x  sau: Cho hàm số  x f  x Hàm số 3 3  1  0    nghịch biến khoảng đây? A  2;3 B  0;  C  3;5  D  5;   Bước 2: Thiết lập sơ đồ lời giải toán *) Ta có tốn 1.1.1 tốn quen thuộc, mức độ nhận biết, cần dựa vào bảng xét dấu f   x  ta chọn đáp án D *) Với tốn 1.1, ta có điều kiện để hàm số cho nghịch biến Dựa vào bảng xét dấu , ta được: Khi đó, thay biểu thức tuyến tính (bậc nhất) ta có kết cần tìm Bước 3: Trình bày lời giải tốn 1.1 theo sơ đồ Ta có Hàm số cho nghịch biến Dựa vào bảng xét dấu vào hệ thức (*), , ta được: Bước 4: Kết luận toán (Chọn đáp án đúng) Do đó, chọn đáp án B, khoảng *) Xây dựng, hệ thống toán tương ứng Từ tốn 1.1 trên, có nhiều hướng khai thác để xây dựng hệ thống tập tương tự, mức độ khó mức độ kiến thức mà sử dụng cho nhiều mã đề kỳ thi skkn +) Giữ nguyên giả thiết tốn thay hàm tuyến tính g(x) hàm tuyến tính khác, chẳng hạn, thay toán hàm số ta toán với mức độ tương đương: Cho hàm số f  x  , bảng xét dấu f   x  sau:  x f  x 3  1     Hàm số y  f   x  nghịch biến khoảng đây? A  4;    B  2;1 C  2;  D  1;  +) Hướng thứ hai, giữ nguyên giả thiết ban đầu, thay đổi phương án lựa chọn đáp án, ví dụ : A  2;3 B C D  5;   ta toán với mức độ tương đương Hoặc thay câu hỏi, hàm số nghịch biến hàm số đồng biến khoảng nào, đồng thời chỉnh sửa phương án lựa chọn đáp án, ta xây dựng thành toán tương ứng +) Hướng thứ ba, thay hàm số bậc toán hàm số đa thức bậc cao hơn, hàm số bậc hai, bậc ba,… ta phát triển thành toán mức độ cao toán cho +) Hướng thứ tư thay hàm số khác mà có đạo hàm dạng (hoặc có bảng xét dấu f   x  cho trước) thiết lập câu hỏi tương tự cách làm cho lớp toán tương ứng 1.2 Bài toán 1.2 Bước 1: Thiết kế toán xét tính đơn điệu hàm số Xét tốn sau: Cho hàm số có với bảng xét dấu : x - -2 + -1 0 - Rõ ràng hàm đại diện hàm + + - dấu với hàm số đạo với Viết lại hàm số đạo hàm skkn Thay công thức hàm số đạo hàm hàm số đạo hàm hàm số đạo hàm ta thấy hàm số cho trước có Ta nhận tốn 1.2 sau: Cho hàm số có đạo hàm với với Hàm số đồng biến khoảng khoảng sau đây? A B C D Bước 2: Thiết lập sơ đồ lời giải tốn Tính đạo hàm hàm số Từ hàm số đạo hàm suy hàm số đạo hàm bảng xét dấu hàm số Mà Từ có dấu với hàm nên , , từ đó, kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Bước 3: Trình bày lời giải tốn theo sơ đồ Ta có Theo giả thiết Do nên dấu hàm số đạo hàm dấu với hàm Bảng xét dấu x - -2 + -1 0 - + - + Từ chọn đáp án cần tìm Bước 4: Kết luận tốn (Chọn đáp án đúng) Do đó, chọn đáp án C *) Xây dựng, hệ thống toán tương ứng +) Bài tốn 1.2 tốn có liên quan đến đạo hàm hàm hợp Mức độ toán mức độ vận dụng Để giải tốt toán dạng này, học sinh phải skkn hiểu tường tận tính chất đạo hàm hàm hợp Hàm số gốc trước có bảng xét dấu hàm số đạo hàm đại diện thể dạng định tính, nhân tử cho biết toán hàm số đạo hàm tăng thêm tính chất định tính Nếu thay hàm số đạo hàm đại diện hàm số tương tự khác, ta có tốn tương tự +) Khái qt hóa toán, cách xuất phát từ hàm số , với có , ta xây dựng số toán tương tự, đơn giản cho a, b, c giá trị cụ thể Tiếp theo đây, xây dựng toán cho hàm số bậc cao bậc hai, bậc ba, … 1.3 Bài tốn 1.3 Bước 1: Thiết kế tốn xét tính đơn điệu hàm số Bắt đầu từ toán: Cho hàm số liên tục có đạo hàm có hàm đạo hàm đại diện với , với a, b, c đôi phân biệt Chẳng hạn , Để có bảng xét dấu đơn giản, ta chọn sau: Khi ấy, bảng xét dấu : x - 10 11 + 12 + - Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm, ta nhận thấy hàm số cho đồng biến khoảng , nghịch biến khoảng có hai cực trị Từ ta có tốn sau : Cho hàm số liên tục có đạo hàm Khẳng định sau skkn  ; hàm số có đạo hàm A Hàm số đồng biến khoảng B Hàm số có ba cực trị C Hàm số đồng biến khoảng D Hàm số đạt cực đại đạt cực tiểu Bước 2: Thiết lập sơ đồ lời giải toán Lập bảng xét dấu đạo hàm Từ ta có kết cần tìm Bước 3: Trình bày lời giải tốn Ta có Bảng xét dấu : x - 10 11 + Hàm số nghịch biến khoảng Hàm số 12 + - nên loại đáp án A có hai cực trị nên loại đáp án B Hàm số đồng biến khoảng nên chọn đáp án C Hàm số đạt cực đại nên loại đáp án D Bước 4: Kết luận toán (Chọn đáp án đúng) Do đó, chọn đáp án C *) Xây dựng, hệ thống toán tương ứng +) Bài toán 1.3 tốn mức thơng hiểu, tốn xét dấu đạo hàm mà không cần tường minh hàm số thực chất dấu cho trước dấu của tam thức bậc hai +) Tổng quát hóa tốn, cách xuất phát từ hàm số xét dấu được, dễ dàng ta xây dựng lớp toán toán 1.3 sau: Xét hàm số liên tục có đạo hàm có đạo hàm , xây dựng phương án trả lời trắc nghiệm khách quan liên quan đến tính đơn điệu hàm số ( ý phương án sai gây nhiễu) để thiết lập lên tốn Ngồi cách cho hàm số có hàm số đạo hàm biết trước bảng xét dấu nó, cịn có phương pháp khác cho trước đồ thị hàm số đạo skkn hàm hàm số không tường minh Từ đây, xây dựng tốn tính đơn điệu lớp hàm số biết trước đồ thị hàm số đạo hàm Đây dạng toán “đọc đồ thị” hàm số đạo hàm để suy khoảng mà đạo hàm mang dấu dương (hoặc âm), tương ứng hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng Hoặc đạo hàm hàm số đổi dấu từ (+) sang (-) (hoặc từ (-) sang (+) ) để kết luận điểm cực đại (hay cực tiểu) hàm số Hoặc dựa vào đồ thị ta biết giá trị đạo hàm điểm,… Tùy theo đồ thị mà ta xuất phát cách thức thiết kế toán TNKQ Sau toán đơn giản mức độ thông hiểu cách thiết lập tốn tính đơn điệu hàm số biết trước đồ thị đạo hàm hàm số 1.4 Bài toán 1.4 Bước 1: Thiết kế toán Cơ sở từ toán: Cho hàm số diện liên tục có đạo hàm có hàm đạo hàm đại có đồ thị hình vẽ bên ( không cần cụ thể) Dựa vào đồ thị ta thấy, hàm số đồng biến khoảng ; hàm số nghịch biến Từ ta có tốn sau : Cho hàm số liên tục có đạo hàm có đạo hàm đồ thị hình vẽ bên Khẳng định sau skkn có A Hàm số nghịch biến khoảng B Hàm số đồng biến khoảng C Hàm số đồng biến khoảng D Hàm số đồng biến khoảng Bước 2: Thiết lập sơ đồ lời giải toán Dựa vào đồ thị hàm số đạo hàm, ta có kết cần tìm Bước 3: Trình bày lời giải toán Từ đồ thị ta thấy, hàm số đồng biến khoảng hàm số nghịch biến ; Từ chọn đáp án Bước 4: Kết luận toán (Chọn đáp án đúng) Đáp án D *) Xây dựng, hệ thống toán tương ứng +) Thay đồ thị hàm số đạo hàm đồ thị hàm số bậc hai toán 4.1 ta nhận toán tương tự mức độ câu hỏi mức độ thông hiểu Bây giờ, thay việc tìm khoảng đơn điệu hàm số có đồ thị đạo hàm cho trước, việc tìm khoảng đơn điệu hàm hợp hàm số tốn khó ta thiết kế toán mức độ vận dụng cao 1.5 Bài toán 1.5 Bước 1: Thiết kế toán Cho có hàm số đạo hàm đại diện bậc ba đơn giản, hệ số đẹp (để co ngắn chiều cao điểm cực đại cực tiểu đồ thị hàm số cho đồ thị cân đối) Khi đồ thị hàm đạo hàm đại diện thỏa mãn điều kiện: 10 skkn Nếu thay x đạo hàm hàm số , với hàm số liên tục có thỏa mãn điều kiện Tiếp đó, chọn biểu thức chứa tham số m xét tốn tìm điều kiện tham số m để Bài toán tương đương với toán tìm điều kiện tham số m để hàm số đồng biến đoạn Gỉả sử , với b số hàm số liên tục có đạo hàm , thỏa mãn điều kiện: Ẩn hàm số đạo hàm chọn đi, giữ lại giả thiết biết đồ thị , ta có tốn 1.5 sau đây: Cho hàm số liên tục có đạo hàm Biết hàm số có đồ thị cho hình vẽ Tìm điều kiện tham số m để hàm số đồng biến 11 skkn A B C D Bước 2: Thiết lập sơ đồ lời giải tốn Sử dụng cơng thức đạo hàm u cầu tốn tương đương với việc tìm m để Dựa vào đồ thị hàm số để xác định giá trị nhỏ hàm h(x), đồng biến đoạn Do tìm giá trị m Bước 3: Trình bày lời giải tốn + Ta có + Để hàm số đồng biến đoạn ‘‘ = ’’ xảy số hữu hạn điểm dấu Khi Dựa vào đồ thị hàm số đạo hàm , suy biến đoạn , ta thấy nên hàm số đồng Lại có hàm số đồng biến dương đoạn đồng biến đoạn 12 skkn nên Suy (vì theo hình vẽ ) Vậy Bước 4: Kết luận toán (Chọn đáp án đúng) Đáp án A *) Xây dựng, hệ thống toán tương ứng +) Khi thay đồ thị hàm số đạo hàm đồ thị hàm số khác toán 5.1 thỏa mãn điều kiện , hàm số liên tục, đồng biến nửa khoảng , đồng thời thay hàm số hàm số khác có tính chất ta nhận toán tương tự Chẳng hạn hàm số đạo hàm +) Cũng thay biểu thức việc lựa chọn hàm số thích hợp, ta thiết kế nên tốn tương tự Hồn tồn tương tự cách làm chọn tốn tính đơn điệu hàm số sở chọn hàm số gốc phát triển thành tốn tính đơn điệu hàm số MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài Cho hàm số có đạo hàm có đồ thị hàm số đạo hàm đại diện hình vẽ Hàm số đồng biến khoảng nào? A B C Bài Cho hàm số y = f ( x ) Đồ thị hàm số y = f ¢( x ) 13 skkn D hình bên Hàm số g ( x ) = f ( A ( - 1;0) 2x ) Bài Cho hàm số g ( x) = f ( x2 ) y = f ( x) Đồ thị hàm số y = f ¢( x ) hình bên Hỏi hàm số đồng biến khoảng khoảng sau? A ( - ¥ ; - 1) Bài Cho hàm số g ( x) = f ( x2 ) đồng biến khoảng khoảng sau? B ( - ¥ ;0) C ( 0;1) D ( 1; +¥ ) y = f ( x) B ( - 1; +¥ ) Đồ thị hàm số C ( y = f ¢( x ) 1;0) D ( 0;1) hình bên Hỏi hàm số đồng biến khoảng khoảng sau? A ( - ¥ ; - 1) B ( - 1; +¥ ) C ( - 1;0) D ( 0;1) Bài Cho hàm số y  f  x  Hàm số y  f   x  có đồ thị hình vẽ Hàm số y  f  x  có khoảng nghịch biến A B C D Bài Cho hàm số y  f  x   ax  bx3  cx  dx  e , đồ thị hình bên đồ thị hàm số y  f   x  Xét hàm số g  x   f  x   Mệnh đề sai? 14 skkn A Hàm số g  x  nghịch biến khoảng  ; 2  B Hàm số g  x  đồng biến khoảng  2;   C Hàm số g  x  nghịch biến khoảng  1;0  khoảng  0;  Bài Cho hàm số y = f ( x ) Đồ thị hàm số y = f ¢( x ) D Hàm số g  x  nghịch biến hình bên Hàm số g ( x ) = f ( x ) đồng biến khoảng khoảng sau? A ( - ¥ ;- 1) Bài B ( - 1;1) Cho hàm số y  f ( x) Hàm số nghịch biến khoảng? y  f '( x)   A   ;     C ( 1; +¥ ) có đồ thị hình bên Hàm số y  f ( x  x )   B   ;    D ( 0;1)   C  ;     1  D  ;   2  Bài Cho hàm số y  f ( x) Hàm số y  f ( x) có đồ thị hình bên Hàm số y  f (1  x  x ) đồng biến khoảng đây? A  ;1 10 Bài 10 B  1;   15 skkn C  0;1 D  1;  Cho hàm số có bảng xét dấu đạo hàm hình bên Hàm số đồng biến khoảng đây? A 11 Bài 11 Cho hàm số B C D y Đồ thị hàm số cho hình vẽ bên Hàm số đồng biến khoảng ? A B C D -1 16 skkn O x Có thể nói rằng, có nhiều vơ kể hàm số sơ cấp mà ta biết bảng xét dấu đồ thị hàm số đạo hàm Nếu biết khai thác cách hợp lí kết phát triển sang tốn xét tính đơn điệu hàm hợp tương ứng xây dựng nhiều tốn khác nhau, tùy thuộc vào mức độ khó dễ mà mong muốn có ứng dụng cách thiết thực giảng dạy phần hàm số đồ thị Qua viết này, mong thầy cô giáo nghiên cứu áp dụng phương pháp vào thực tiễn dạy học để rút nhiều điều bổ ích để đạt hiệu cao việc khai thác xây dựng đề thi tốn xét tính đơn điệu hàm số truyền say mê đến học sinh Giúp em học sinh “Phát triển tư khoa học” “tăng cường em ý thức, lực vận dụng cách thông minh điều học”, hướng dẫn học sinh tự học, tự đọc tài liệu liên quan Rất mong góp ý thầy cô bạn đọc! Phúc Yên, ngày 06 tháng 01 năm 2020 Người viết Dương Ngọc Anh 17 skkn ... KẾ Xây dựng tốn xét tính đơn điệu hàm số biết trước bảng xét dấu đạo hàm đồ thị hàm số đạo hàm: Cho hàm số đạo hàm (thường hàm số đạo hàm đơn giản, quen thuộc) hàm số dạng bảng xét dấu hàm số đạo. .. tốn tính đơn điệu hàm số MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài Cho hàm số có đạo hàm có đồ thị hàm số đạo hàm đại diện hình vẽ Hàm số đồng biến khoảng nào? A B C Bài Cho hàm số y = f ( x ) Đồ thị hàm số. .. hàm số đạo với Viết lại hàm số đạo hàm skkn Thay công thức hàm số đạo hàm hàm số đạo hàm hàm số đạo hàm ta thấy hàm số cho trước có Ta nhận tốn 1.2 sau: Cho hàm số có đạo hàm với với Hàm số