Skkn skkn ứng dụng phép biến hình trong giải toán 2016 2017

PHẦN CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Lý chọn đề tài Năm học 2016-2017, Bộ Giáo dục Đào tạo thực đổi kỳ thi Trung học Phổ thơng Quốc gia (THPTQG) Trong mơn tốn đổi từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm Việc thay đổi tạo nên nhiều bỡ ngỡ khó khăn cho giáo viên học sinh việc ôn luyện Hình thức thi trắc nghiệm mơn tốn địi hỏi số cách tiếp cận vấn đề so với hình thức thi tự luận Hơn nội dung kỳ thi THPTQG năm học 2016-2017 mơn tốn, theo chủ trương Bộ Giáo dục Đào tạo, chủ yếu kiến thức lớp 12 dựa kiến thức lớp trước Phép biến hình mặt phẳng đề cập lớp trước lớp 12 tập trung chương I hình học lớp 11 nên trình giải tập trắc nghiệm em thường quên chưa nắm cách vận dụng phép biến hình vào giải tập Vì lý trên, với giúp đỡ đạo Ban Giám hiệu nhà trường tổ chuyên môn, thực viết sáng kiến kinh nghiệm với tên:” Một số ứng dụng phép biến hình vào giải toán trắc nghiệm lớp 12” Cơ sở lý luận thực tiễn Lịch sử toán học cho thấy đại số phát triển tảng hình học trước Rất nhiều cơng trình nhà tốn học lớn Descartes, Fermat …đã nghiên cứu vấn đề Trong khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm đề cập đến hai nội dung: Hàm số số phức Trong nội dung hàm số, với hàm số ánh: skkn xác định ta đơn Suy ra: song ánh Do thay thao tác phép tính đại số ta chuyển thao tác hình học đồ thị hàm số Trong nội dung số phức ta đặt qui tắc số phức có dạng đại số với điểm mặt phẳng Dễ thấy qui tắc song ánh Do chuyển phép tốn đại số số phức phép biến đổi hình học Mục đích đối tượng nghiên cứu Nếu ứng dụng phép biến hình vào giải tốn trắc nghiệm giúp học sinh hiểu chất hình học tốn giải toán nhanh Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết thực nghiệm Ứng dụng đề tài Dùng cho học sinh lớp 12 ôn thi THPT Quốc Gia skkn PHẦN MỘT SỐ ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH VÀO GIẢI TỐN TRẮC NGHIỆM LỚP 12 Ứng dụng phép biến hình vào nội dung hàm số 1.1 Dựng đồ thị hàm số thông qua phép biến hình từ đồ thị hàm số cho 1.1.1 Đồ thị hàm số Giả sử thuộc đồ thị hàm số đặt tương ứng với điểm thuộc đồ thị hàm số Dễ thấy qui tắc đơn ánh Do đó, đồ thị hàm số suy từ đồ thị hàm số phép tịnh tiến theo véc tơ Từ ta thấy trục tung Hình 1.1.1 từ đồ thị hàm số đơn vị ta thu đồ thị hàm số thị hàm số đồ thị hàm số ta “dịch xuống” theo trục tung Hiển nhiên, khơng có điểm bất động skkn Nếu từ đồ đơn vị ta thu phép tịnh tiến trở thành phép đồng Chú ý: Nếu ta “dịch lên” theo skkn 1.1.2 Đồ thị hàm số Giả sử thuộc đồ thị hàm số đặt tương ứng với điểm thuộc đồ thị hàm số Dễ thấy qui tắc đơn ánh Do đó, đồ thị hàm số suy từ đồ thị hàm số Hình 1.1.2 phép tịnh tiến theo véc tơ Từ ta thấy theo trục hồnh từ đồ thị hàm số đơn vị ta thu đồ thị hàm số từ đồ thị hàm số Hiển nhiên, trở thành phép đồng 1.1.3 Đồ thị hàm số thuộc đồ thị hàm số đặt tương ứng với điểm số Nếu ta “dịch sang phải” theo trục hoành ta thu đồ thị hàm số Giả sử ta “dịch sang trái” thuộc đồ thị hàm Dễ thấy qui tắc đơn ánh Do đó, đồ thị hàm số skkn đơn vị phép tịnh tiến Hình 1.1.3 suy từ đồ thị hàm số phép co dãn theo trục hồnh Nếu phép co với hệ số co Nếu đo phép dãn với hệ số dãn Nếu ta dựng đồ thị hàm số sau lấy đối xứng qua trục tung Điểm bất động điểm nằm trục tung 1.1.4 Đồ thị hàm số Giả sử thuộc đồ thị hàm số đặt tương ứng với điểm thuộc đồ thị hàm số Dễ thấy qui tắc đơn ánh Do đó, đồ thị hàm số suy từ đồ thị hàm số phép co dãn theo trục tung Hình 1.1.4 Nếu phép dãn với hệ số dãn skkn Nếu Nếu đo phép co với hệ số co ta dựng đồ thị hàm số sau lấy đối xứng qua trục hồnh Điểm bất động điểm nằm trục hoành skkn 1.1.5 Đồ thị hàm số Giả sử thuộc đồ thị hàm số đặt tương ứng với điểm thuộc đồ thị hàm số Dễ thấy qui tắc đơn ánh Hình 1.1.5 Giả sử thuộc đồ thị hàm số thuộc đồ thị hàm số đặt tương ứng với điểm Dễ thấy qui tắc đơn ánh Vì từ đồ thị hàm số nên đồ thị hàm số suy cách giữ nguyên phần bên trục hoành ( kể điểm nằm trục hoành), lấy đối xứng phần bên trục hoành qua trục hồnh, sau bỏ phần bên trục hoành Những điểm nằm trục hoành điểm bất động 10 skkn 1.1.6 Đồ thị hàm số Giả sử thuộc đồ thị hàm số đặt tương ứng với điểm thuộc đồ thị hàm số Dễ thấy qui tắc đơn ánh Hình 1.1.6 Vì từ đồ thị hàm số nên đồ thị hàm số suy cách bỏ phần bên trái trục tung, lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tung Những điểm nằm trục tung điểm bất động 1.1.7 Đồ thị 11 skkn Ta có đo đồ thị suy từ đồ thị hàm số cách bỏ phần bên trục hồnh, Hình 1.1.7 lấy đối xứng phần bên trục hoành qua trục hoành 1.2 Ứng dụng vào giải số toán Bài (Chuyên Vĩnh Phúc) Cho hàm số có đồ thị hình vẽ bên (Hình 1.2.1) Xác định tất giá trị tham số để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt A B C D Hình 1.2.1 Hình 1.2.2 Hướng dẫn: Theo 1.1.5 ta dễ dàng dựng đồ thị hàm số nghiệm phương trình (Hình 1.2.2) Số số giao điểm đồ thị hàm số 12 skkn Bài Cho hàm số có đồ thị hình bên ( Hình 1.3.2) Số đường tiệm cận hàm số A C B D Hình 1.3.2 Bài Giá trị A để phương trình có nghiệm phân biệt B C 18 skkn Ứng dụng phép biến hình vào nội dung số phức 2.1 Các phép biến hình ứng với phép toán tập số phức 2.1.1 Phép cộng hai số phức Dựa định nghĩa phép cộng hai số phức ta có nhận xét sau: Giả sử số phức điểm biểu diễn điểm Khi điểm tịnh tiến điểm theo , số phức biểu diễn số phức biểu diễn có cách 2.1.2 Phép trừ hai số phức Dựa định nghĩa phép trừ hai số phức ta có nhận xét sau: Giả sử số phức điểm biểu diễn điểm Khi điểm tịnh tiến điểm theo , số phức biểu diễn số phức biểu diễn có cách 2.1.3 Phép nhân hai số phức Giả sử hai số phức có biểu diễn dạng mũ Khi đó: biểu diễn cho Do điểm tiếp phép quay tâm suy từ điểm góc quay phép vị tự tâm 2.1.4 Phép chia hai số phức 19 skkn , điểm cách thực liên tỉ số Giả sử hai số phức có biểu diễn dạng mũ Khi đó: diễn cho Do điểm phép quay tâm suy từ điểm góc quay , điểm biểu cách thực liên tiếp phép vị tự tâm tỉ số 2.1.5 Phép lấy số phức liên hợp Dựa định nghĩa số phức liên hợp ta có nhận xét sau: Nếu biểu diễn cho số phức đối xứng với qua trục biểu diễn cho số phức 2.1.6 Phép lấy mô đun Giả sử điểm diễn số phức , điểm biểu diễn số phức biểu diễn số phức Giả sử điểm Khi biểu 2.2 Một số biểu diễn hình học số phức thường gặp 2.2.1 Đường thẳng Phương trình biểu diễn cho đường thẳng Đường thẳng cịn biểu diễn phương trình 2.2.2 Đường trịn, hình trịn Phương trình Phương trình biểu diễn đường trịn tâm biểu diễn hình trịn tâm 20 skkn bán kính bán kính 2.2.3 Đường Elip Phương trình , , biểu diễn cho Elip có tiêu điểm độ dài trục lớn Nếu Elip suy biến thành đường trịn Nếu Elip suy biến thành đoạn thẳng 2.2.4 Đường Hyperbol Phương trình , biểu diễn cho đường hyperbol có tiêu điểm , độ dài trục thực Nếu thẳng hyperbol suy biến thành đường bỏ đoạn thẳng 2.2.5 Đường Parabol Cho Parabol có đường chuẩn tiêu điểm Khi phương trình Parabol có dạng: 2.3 Ứng dụng vào giải tốn Bài (Đề minh họa lần năm 2017-BGD) 21 skkn Trong mặt phẳng tọa độ, điểm điểm biểu diễn số phức hình vẽ bên Điểm điểm sau điểm biểu diễn số phức A Điểm B Điểm C Điểm D Điểm Hình 2.3.1 Hướng dẫn: Theo 2.1.3, để biểu diễn số phức quay ta thực liên tiếp phép quay tâm ( Đây phép đồng nhất) phép vị tự tâm tỉ số góc Do chọn C Bài Cho số phức diễn số phức thỏa mãn Biết điểm biểu đường trịn Tìm tâm bán kính đường trịn Hướng dẫn: Vì nên điểm biểu diễn số phức bán kính đường tròn tâm Chú ý rằng: Phép quay biến đường trịn thành đường trịn có bán kính, biến tâm thành tâm Phép vị tự tỉ số biến đường trịn thành đường trịn có bán kính , biến tâm thành tâm 22 skkn Do theo 2.1.3, điểm biểu diễn số phức Vì nên tâm là đường trịn Bán kính Theo 2.1.1, điểm biểu diễn số phức Vì đường tròn nên tâm Phép tịnh tiến khơng làm thay đổi bán kính nên bán kính Vậy tâm , bán kính Hình 2.3.2 Bài Cho số phức biểu diễn hình vng hình bên (Hình 2.3.2) Trong hình vng sau khơng kể hình vng biểu diễn hình biểu diễn cho số phức 23 skkn Hình 2.3.3 A B C D Hướng dẫn: Để tìm hình biểu diễn cho số phức hình sau: Ě Phép đối xứng trục 24 skkn ta thực phép biến Ě Phép quay tâm góc quay Ě Phép tịnh tiến theo Do chọn A Bài Cho số phức thỏa mãn , phức thỏa mãn phương trình hai số Tìm giá trị lớn Hướng dẫn: Theo 2.2.3 lớn là đường elip có độ dài trục Theo 2.1.1 2.1.3 lớn là elip có độ dài trục Do Bài (Đề minh họa lần năm 2017-BGD) Xét số phức thỏa mãn Gọi giá trị nhỏ giá trị lớn A C Tính D với B Hướng dẫn: Theo 2.2.3, dễ thấy đoạn thẳng , phương trình 25 skkn Hình 2.3.4 Giả sử Do độ dài đoạn Ta có phương trình đường thẳng ; Vậy , 2.4 Bài tập đề nghị Bài Cho số phức thỏa mãn số phức trị lớn giá trị nhỏ A 16 B Khi C Bài 26 skkn thỏa mãn Giá D Cho số phức có miền biểu diễn miền kể biên hình vng hình vẽ ( Hình 2.4.1) Diện tích miền biểu diễn số phức A 17 B Hình 2.4.1 C C Bài Cho số phức thỏa mãn số phức thỏa mãn Giá trị nhỏ A Bài Cho số phức A B Khi C D C D B Bài Trong mặt phẳng phức cho elip có phương trình số phức Biết biểu diễn elip Tính diện tích elip A B C 27 skkn D PHẦN THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM Tiến hành kiểm tra trắc nghiệm với tập đề tài cho lớp 12A1 Sau tiến hành dạy chuyên đề “Một số ứng dụng phép biến hình vào giải tốn trắc nghiệm lớp 12” tiến hành kiểm tra thứ hai với tập kiến nghị đề tài Kết thu sau: Trung bình Khá Giỏi Lần 5/26 15/26 6/26 Lần 1/26 16/26 9/26 Thời gian Nhanh Các em làm nhanh với kết xác sau tiếp cận thêm phương pháp làm 28 skkn PHẦN KẾT LUẬN Kết luận chung Đề tài bước đầu có kết khả quan giúp em học sinh hiểu rõ chất hình học đại số số vấn đề hàm số số phức Giúp em tư tốt giải toán giải tốt tốn ứng dụng hình học vào giải tốn Hướng phát triển Vì thời gian kinh nghiệm hạn chế nên đề tài chưa đầy đủ Vì thời gian tới tiếp tục nghiên cứu mối liên hệ hình học đại số chủ đề khác, đào sâu mở rộng hai chủ đề hàm số số phức Đề xuất, kiến nghị Hiểu chất hình học đại số giúp em tránh máy móc tư tơi đề xuất chương trình giảng dạy đổi sách giáo khoa tới cần làm rõ vấn đề mối liên hệ hình học đại số hơn, đặc biệt làm rõ ý nghĩa ứng dụng phép biến hình mặt phẳng Người thực đề tài Hoàng Xuân Định 29 skkn ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC NHÀ TRƯỜNG …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… 30 skkn ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP SỞ …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… 31 skkn TÀI LIỆU THAM KHẢO Giải toán nào, G-Polya, NXB Giáo Dục, 1997 Hình học lớp 11, Trần Văn Hạo (Chủ biên), NXB Giáo Dục, 2007 Sách giáo khoa toán lớp 12 ( Bộ bản) Phương pháp dạy học mơn Tốn, Nguyễn Bá Kim, NXB Đại Học Sư Phạm, 2011 32 skkn ... thuyết thực nghiệm Ứng dụng đề tài Dùng cho học sinh lớp 12 ôn thi THPT Quốc Gia skkn PHẦN MỘT SỐ ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH VÀO GIẢI TỐN TRẮC NGHIỆM LỚP 12 Ứng dụng phép biến hình vào nội dung hàm... phép tốn đại số số phức phép biến đổi hình học Mục đích đối tượng nghiên cứu Nếu ứng dụng phép biến hình vào giải tốn trắc nghiệm giúp học sinh hiểu chất hình học tốn giải toán nhanh Phương pháp... diễn hình biểu diễn cho số phức 23 skkn Hình 2.3.3 A B C D Hướng dẫn: Để tìm hình biểu diễn cho số phức hình sau: Ě Phép đối xứng trục 24 skkn ta thực phép biến Ě Phép quay tâm góc quay Ě Phép