Math and computer science

Vĩnh thức Tự học tốt có thầy tốt Ngô Quang Hưng Ma trận ngẫu nhiên Vũ Hà Văn Thư Kapitsa khoa học Đàm Thanh Sơn (dịch) Nguyễn Tiến Dũng VÀ CÁC CHUYÊN MỤC KHÁC Định lí bướm kép tứ giác Nguyễn Ngọc Giang Trịnh Huy Vũ Cubic Rubik Trần Nam Dũng (dịch tổng hợp) 90 x x x 90 90 45 x HENRYK MINC 135 1/3x c - N No n - Qua Vĩnh gô t ghi hồi ông nộp số báo vĩnh thức kỷ 20 có bình duyệt viên nói “chế tên lố bịch thế”? Nếu bạn muốn bạn thông minh, đọc cho chúng nghe truyện cổ tích Nếu bạn muốn bạn thơng minh hơn, đọc cho chúng nhiều truyện cổ tích g Hưng Albert Einstein 13 Jun 2015 ngày 13 tháng 06 năm 2015 Số Tạp chí online cộng đồng người yêu Toán Chủ biên: TRẦN NAM DŨNG Biên tập viên: VÕ QUỐC BÁ CẨN TRẦN QUANG HÙNG LÊ PHÚC LỮ NGUYỄN TẤT THU ĐẶNG NGUYỄN ĐỨC TIẾN LỜI NGỎ Ban biên tập Epsilon Epsilon số mắt bạn đọc hạn vào ngày 13/4 làm cho Epsilon khơng thuộc vào đội ngũ Tạp chí số Tức tạp chí dồn cơng sức số đầu hay, tốt Có số tức hy vọng có số Và bạn đọc đọc số tạp chí Epsilon – tạp chí online người yêu toán Qua số đầu tiên, vui mừng người đọc Epsilon nhiều lên, người biết đến ủng hộ Epsilon nhiều lên, người viết cho Epsilon nhiều lên Trong buổi uống bia trưa 10/6 quán Hải Xồm gần Viện Toán học, cảm thấy vui vui người nhắc đến Epsilon “Hôm trước gặp hội anh Nguyễn Thành Nam, có nói vừa tờ Epsilon Trước Ngơ Bảo Châu có nói anh rảnh viết cho Epsilon” – GS Phạm Hữu Tiệp, người vừa trình bày chun đề Viện tốn nói với tơi “Anh rảnh viết cho em Random walk anh”, “Chưa biết anh có viết khơng, sau trận bia anh với ramdon walk viện Tốn” Thấy người bàn tán rơm rả Epsilon, PGS trẻ Phạm Hoàng Hiệp, người vừa giải thưởng Tạ Quang Bửu, cịn nói đùa “Có anh Dũng phải đổi tên tạp chí thành 1/epsilon nên” Nói vui thế, cơng việc Epsilon thực công việc gom li ti để tạo nên sản phẩm nhỏ mà ý nghĩa, để người đọc ln tìm điều cho qua số tạp chí Với suy nghĩ vậy, mong muốn, trân trọng ghi nhận đóng góp đến từ tác giả Epsilon hy vọng có mặt làm cho người chịu khó viết Các GS cố gắng nghiên cứu cách viết đơn giản, dễ hiểu để đến với số đông Các bạn học sinh, sinh viên cố gắng viết có chất lượng hơn, có định hướng hơn, bước đầu làm quen Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 với phong cách nghiên cứu trình bày báo khoa học Các thầy giáo có động lực việc tổng kết chuyên đề cách hệ thống hơn, thay viết nhỏ với ý tưởng đơn lẻ Epsilon số lần quy tụ 14 viết với chủ đề phong phú: Các viết Vũ Hà Văn “Ma trận ngẫu nhiên” Ngô Quang Hưng “Vĩnh thức định thức Pfaff” giới thiệu với bạn đọc vấn đề nóng hổi tốn học đại Mục lịch sử toán học dành trang viết cho nhà Vật lý qua “Những triết lý sống Einstein” BBT sưu tầm “Thư Kapitsa khoa học” GS Đàm Thanh Sơn dịch giới thiệu Mục Giảng dạy toán học lần có GS Nguyễn Tiến Dũng “Tự học tốt có thầy tốt hơn” Nguyễn Quốc Khánh tiếp tục chuyên mục điểm sách đầy hấp dẫn qua “Đêm trước thảo in” Đặng Nguyễn Đức Tiến tạm gác chủ đề mũ để giới thiệu nhà truyền bá toán học tiếng giới – Martin Gardner Chuyên mục Các vấn đề cổ điển đại giới thiệu chuỗi toán đếm tam giác (dành cho học sinh tiểu học THCS) chuỗi tốn khối vng Rubik (từ trị chơi đến lý thuyết nhóm) Mảng tốn sơ cấp, thường lệ rôm rả với viết công phu “Cực trị tập hợp” thầy Trần Minh Hiền, tiểu phẩm xinh xinh thầy Nguyễn Duy Liên xung quanh toán thi IMO 2001 Các học sinh chuyên toán chuẩn bị cho kỳ thi HSG năm học sau chắn tìm nhiều điều bổ ích qua bình luận lại kỳ thi chọn đội tuyển Việt Nam 2015 thầy Trần Nam Dũng Đặc biệt mảng hình học lần giới thiệu chùm hoa đẹp gồm ba viết thành viên nhóm Bài tốn hay – Lời giải đẹp – Đam mê toán học (Vũ Thanh Tùng, Nguyễn Chương Chí, Nguyễn Ngọc Giang) phối hợp biên tập viên Trần Quang Hùng học trò (Nguyễn Bảo Ngọc, Trịnh Huy Vũ) Những toán định lý xinh xắn, chứng minh ảo thuật chắc làm hài lịng độc giả u thích hình học, cịn người chưa thích bắt đầu thích Làm cho người thích tốn thêm thích tốn Làm cho người chưa thích tốn bắt đầu thấy thích tốn Nếu hồn Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 thành 10% nhiệm vụ người làm Epsilon đỗi vui mừng Và lại có lượng để bước tiếp Đi nhiều người, bạn xa Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 MỤC LỤC Lời ngỏ Ma trận ngẫu nhiên Vũ Hà Văn Vĩnh thức 29 Ngô Quang Hưng Tự học tốt có thầy tốt 61 Nguyễn Tiến Dũng Thư Kapitsa khoa học 71 Đàm Thanh Sơn Những triết lý sống Einstein 81 Ban biên tập Epsilon Lời giải bình luận đề thi TST 2015 89 Trần Nam Dũng Martin Gardner - Người làm vườn toán học 105 Đặng Nguyễn Đức Tiến Cực trị tập hợp 123 Trần Minh Hiền 10 Một toán số học hay với nhiều cách giải 175 Nguyễn Duy Liên Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 11 Định lý Carnot ứng dụng 181 Vũ Thanh Tùng, Nguyễn Chương Chí 12 Về tốn hình học từ diễn đàn AoPS 193 Trần Quang Hùng, Nguyễn Bảo Ngọc 13 Định lý bướm kép tứ giác 205 Nguyễn Ngọc Giang (TP Hồ Chí Minh) Trịnh Huy Vũ (THPT Chuyên KHTN Hà Nội) 14 Đêm trước thảo in 211 Nguyễn Quốc Khánh 15 Các vấn đề cổ điển đại 223 Trần Nam Dũng MA TRẬN NGẪU NHIÊN VŨ HÀ VĂN (Đại học Yale, Mỹ) Lời giới thiệu Lý thuyết ma trận ngẫu nhiên có mục tiêu đưa hiểu biết sâu sắc tính chất đa dạng ma trận mà thành phần chúng chọn ngẫu nhiên từ phân phối xác suất khác Từ đời đến nay, lý thuyết ma trận ngẫu nhiên có phát triển mạnh mẽ, thúc đẩy ứng dụng Thống kê Giải tích số, Khoa học máy tính, Điều khiển tối ưu, đặc biệt ứng dụng Vật lý hạt nhân Ở Việt Nam, lý thuyết ma trận ngẫu nhiên khái niệm tương đối Năm 2009, người viết lời giới thiệu này, dạy cho đội tuyển Olymic Toán Việt Nam chuẩn bị cho kỳ thi toán quốc tế IMO 2009, dẫn tồn đội tuyển đến dự nói chuyện GS Vũ Hà Văn Ma trận ngẫu nhiên Thú thực thầy trò hiểu lõm bõm điều GS Văn nói, tất ấn tượng hàng loạt giả thuyết Vũ Hà Văn Terence Tao chứng minh với tốc độ chóng mặt Trong Epsilon số này, đồng ý tác giả, chúng tơi trích giới thiệu nội dung chương đầu báo cáo GS Vũ Hà Văn Đại hội Toán học Thế giới 2014 (ICM 2014) Để giúp độc giả nắm bắt nội dung chính, chúng tơi cố gắng giải chi tiết có thể, đồng thời đăng nguyên tiếng Anh để đối chiếu Vì lĩnh vực mới, có tài liệu tiếng Việt nên dịch thuật có chỗ chưa chuẩn, mong nhận ý kiến đóng góp bạn đọc để phần sau dịch tốt Ban Biên tập Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 Tóm tắt nội dung Trong viết này, trao đổi số tốn lý thuyết ma trận ngẫu nhiên có chất tổ hợp Mở đầu Lý thuyết ma trận ngẫu nhiên mảnh đất màu mỡ toán học Bên cạnh vấn đề nội thú vị, ma trận ngẫu nhiên đóng vai trị quan trọng nhiều lĩnh vực Thống kê, Vật lý Toán, Tổ hợp, Khoa học Máy tính Trong khảo sát này, chúng tơi tập trung vào tốn có chất tổ hợp Các toán đặc biệt thú vị ma trận lấy mẫu từ phân phối rời rạc Các mơ hình thơng dụng là: • (Bernoulli) Mn : ma trận ngẫu nhiên bậc n mà thành phần biến ngẫu nhiên độc lập đồng theo phân phối Bernoulli (nhận giá trị ±1 với xác suất 1/2) Ma trận đơi cịn gọi ma trận dấu ngẫu nhiên1 Tổng cộng có tất N = 2n ma trận với tất thành phần ±1, ma trận có xác suất 1/N • (Bernoulli đối xứng2 ) Mnsym : ma trận đối xứng ngẫu nhiên bậc n mà thành phần đường chéo biến ngẫu nhiên độc lập đồng theo phân phối Bernoulli Số ma trận đối xứng với thành phần ±1 M = 2n(n+1)/2 ma trận có xác suất 1/M • Ma trận kề đồ thị ngẫu nhiên Với đồ thị ta có ma trận kề định nghĩa sau: Giả sử đồ thị G có n đỉnh {1, , n} Ma trận kề G ma trận đối xứng vị trí ij ta viết ij cạnh G trường hợp ngược lại Về mô hình đồ thị ngẫu nhiên Trong viết này, chúng tụi xột trờn hai mụ hỡnh: Erdăos-Rộnyi v th ngẫu nhiên Chi tiết mơ hình này, xem [6, 35] Random sign matrix Toàn thích Ban Biên tập Symmetric Bernoulli 10 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 Khi ta có n X i=1 ni = |A1 | + · · · + |An | = 4n (∗) Dẫn đến với i, trung bình xuất tập hợp Aj Giả sử tồn phần tử, khơng tính tổng quát, giả sử nằm nhiều tập hợp Khơng tính tổng qt, giả sử A1 , A2 , , A5 • Vì |Ai ∩ Aj | = 1, ∀1 ≤ i < j ≤ ta ln có Ai ∩ Aj = {1}, ∀1 ≤ i < j ≤ 5, nên × = 15 phần tử cịn lại tập A1 , A2 , A3 , A4 , A5 phải khác • Ngồi nằm tất tập hợp A1 , , An , khơng áp dụng lập luận × n = 3n phần tử lại tập A1 , , An phải phân biệt Nhưng |A1 ∪ A2 ∪ ∪ An | = 3n + > n, mâu thuẫn • Do tồn tập hợp A6 , , An không chứa phần tử Giả sử A6 ∩ Ai (i = 1, 2, , 5) tập phân biệt Nếu ngược lại, giả sử A6 ∩ A1 = A6 ∩ A2 = {b} b 6= 6∈ A6 Nhưng b ∈ A1 , b ∈ A2 , mâu thuẫn với ý Từ dẫn đến tập A6 phải có phần tử, mâu thuẫn với giả thiết Vậy phần tử nằm không tập hợp Ngồi có phần tử nằm phần tử, theo (*) phải có phần tử nằm ≤ tập hợp, dẫn đến mâu thuẫn Vậy phần tử xuất tập hợp Aj 157 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 Giả sử nằm A1 , A2 , A3 , A4 Khi đó, giả sử A1 = {1, 2, 3, 4}, A2 = {1, 5, 6, 7}, A3 = {1, 8, 9, 10}, A4 = {1, 11, 12, 13} Khi n ≥ 13 Nếu n ≥ 14 phần tử 14 nằm tập hợp, giả sử A5 Khi phần tử lại A5 nằm tập A1 , A2 , A3 Dẫn đến A5 A4 khơng có phần tử chung, mâu thuẫn Vậy n lớn 13, 13 tập hợp thỏa mãn A1 = {1, 2, 3, 4}, A2 = {1, 5, 6, 7}, A3 A4 = {1, 11, 12, 13}, A5 = {2, 5, 8, 11}, A7 = {2, 7, 10, 13}, A8 = {3, 5, 10, 12}, A10 = {3, 7, 9, 11}, A11 = {4, 5, 9, 13}, A13 = {4, 7, 8, 12} = {1, 8, 9, 10}, A6 = {2, 6, 9, 12}, A9 = {3, 6, 8, 13}, A12 = {4, 6, 10, 11}, Ví dụ 2.29 (China 1999) Cho n nguyên dương X tập hợp với |X| = n Gọi A1 , A2 , , An tập X cho |Ai | ≥ 2, ∀i = 1, 2, , n Giả sử với tập A′ ⊂ X, |A′ | = tồn số i cho A′ ⊆ Ai Chứng minh Ai ∩ Aj 6= ∅, ∀1 ≤ i < j ≤ n Chứng minh Vì tập con, giả sử {a, b} X tồn số i cho {a, b} ⊆ Ai tập chứa hai phần tử Ai khơng thể tập tập Aj khác Do  n  X |Ai | i=1   n = 158 (1) Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 Đặt X = {x1 , x2 , , xn } Với i ∈ {1, 2, , n}X, ký hiệu ni = |{j ∈ {1, 2, , n}|xi ∈ Aj }| Khi n X ni = i=1 Mặt khác n X i=1 |Ai | (2) • Mỗi phần tử xi ∈ X nằm n
i tập hợp Do phần tử xi xuất n2i tập giao • Xét tập giao, giả sử {xi , xt } = Ar ∩ As Khi xi xt tính tập giao Do n   X ni i=1 X = 1≤i + a + a + · · · + a = , a−1 1, S{a} = an+1 − 1a − =
an+1 − = an+1 − −1 = an+1 + (an+1 − 2) > an+1 + a2 − = an+1 + > an+1 nên < (x − an+1 ) ≤ + a + a2 + · · · + an Theo giả thiết quy nạp, tồn tập X ⊂ Qn thỏa mãn ≤ (x − an+1 ) − SX < =⇒ ≤ x − SX ′ < với X′ = X [ {an+1 } ⊂ Qn+1 Bài tốn chứng minh Ví dụ 2.33 (Romania, grade 9, final round) Cho p, q hai số nguyên dương, p ≥ 2, q ≥ Một tập hữu hạn X gọi có tính chất (S) nếu: với cách chọn p tập Bi ⊂ X, i = 1, 2, , p, không thiết phân biệt, tập có q phần tử, ln tồn tập Y ⊂ X có p phần tử, cho |Y ∩ Bi | ≤ 2, ∀i = 1, 2, , p Chứng minh Mọi tập X có pq − q phần tử khơng có tính chất (S) Mọi tập hợp X có pq − q + phần tử có tính chất (S) 164 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 Chứng minh Nếu X có pq − q = (p − 1)q phần tử, ta chọn p − tập, tập có q phần tử (là phân hoạch X) sau B1 = {1, 2, , q}, B2 = {q + 1, q + 2, , 2q}, Bp−1 = {(p − 2)q + 1, , (p − 1)q} ., tập Bp tập tùy ý có q phần tử Khi đó, theo ngun lý Dirichlet, với tập Y có p phần tử X, tồn tập Bi (i ∈ {1, 2, , p − 1}) cho giao với Y có ≥ phần tử Vậy tập X khơng có tính chất (S) Bây với i cho trước, nhận xét tập [ Bi j6=i có ≤ (p − 1)q phần tử Trong tập X có pq − q + = (p − 1)q + phần tử Do ta tìm phần tử tập X mà không nằm tập Bj , với j 6= i • Với i = 1, sử dụng lập luận trên, ta tìm phần tử x1 mà x1 6∈ Bj , ∀j = 2, , p Nếu x1 ∈ B1 , ta tiếp tục qua bước 2, x1 6∈ B1 , ta xây dựng tập B1 cách bỏ khỏi B1 phần tử y1 , thêm vào tập B1 phần tử x1 Dĩ nhiên phần tử y1 phần tử X • Tiếp tục với i = 2, lưu ý tập B1 sử dụng tập B1 "mới" Lại sử dụng lập luận trên, ta tìm phần tử x2 mà x2 khơng nằm tập B1 , B3 , B4 , , Bn Khi x2 6= x1 (vì x1 ∈ B1 , x2 6∈ B1 ) Nếu x2 ∈ B2 ta tiếp tục quy trình, x2 6∈ B2 , ta xây dựng tập B2 cách bỏ khỏi B2 phần tử y2 , thêm vào tập B2 phần tử x2 Cứ tiếp tục quy trình đến bước p, ta tìm tập Y = {x1 , x2 , , xp } Tập Y giao với tập Bi "mới" xác phần tử, xi Bây thay ngược trở lại xi yi ta quay trở lại tập Bi "cũ" Nếu yi 6∈ Y Y ∩ Bi = ∅, cịn yi ∈ Y Y ∩ Bi = {yi } 165 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 Ví dụ 2.34 (China TST 2015) Cho X tập khác rỗng A1 , A2 , , An n tập X cho |Ai | ≤ 3, ∀i = 1, 2, , n; Bất kỳ phần tử X nằm tập số A1 , A2 , , An   3n tập hợp số tập Chứng minh chọn A1 , A2 , , An mà hợp chúng X Chứng minh Kết luận toán yêu cầu chọn số tập hợp, hợp lại X, ta Chọn tập có phần tử, giả sử A1 , |A1 | = Sau đó, ta chọn tiếp tập A2 mà |A2 | = A2 ∩ A1 = ∅ Sau chọn tập A2 , ta chọn tiếp tập A3 mà |A3 | = A3 ∩ A1 = ∅, A3 ∩ A2 = ∅, tiếp tục đến chọn thêm tập vào hệ Trong tất cách cách lựa chọn tập hợp A1 , A2 , , An , ta chọn hệ tập hợp S3 cực đại, giả sử S3 = {A1 , A2 , , Ai } (i ≤ n) (tức họ S3 chứa nhiều tập hợp có) mà |At | = 3, ∀t = 1, 2, , i Ar ∩ As = ∅, ∀1 ≤ r < s ≤ i (điều có nghĩa, lần bổ sung tập hợp vào S3 tập X3 có số lượng phần tử tăng lên 3) S Đặt X3 = Ar ∈S3 Ar Do tính tối đại tập S3 , nên với tập hợp Aj (j > i) |Aj ∩ (X\X3 )| ≤ 166 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 khơng ta tiếp tục bổ sung Aj vào tập S3 , mâu thuẫn với tính tối đại S3 Và |X3 | = 3i Bây ta tiếp tục chọn họ S2 cực đại chứa tập Aj lại số Ai+1 , , An , cho lần thêm tập hợp vào họ S2 , số lượng phần tử hợp chúng tăng lên Khơng tính tổng quát, giả sử S2 = {Ai+1 , Ai+2 , , Aj } Đặt X2 = [ Ar ∈S2 Ar ∩ (X\X3 ) theo cách xác định S2 ta có |X2 | = 2j theo tính tối đại tập S2 |At ∩ (X\(X2 ∪ X3 ))| ≤ 1, ∀t = j + 1, , n Bây ta tiếp tục chọn họ S1 chứa tập As lại số Aj+1 , , An , cho lần thêm tập hợp vào họ S1 , số lượng phần tử hợp chúng tăng lên dĩ nhiên tập hợp họ S1 chứa hết tất phần tử X\(X3 ∪ X2 ) = X1 Không tính tổng quát, giả sử S1 = {Aj+1 , Ai+2 , , Ak } 167 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 Khi |X| = |X1 | + |X2 | + |X3 | = 3i + 2j + k, X = X1 ∪ X2 ∪ X3 |S3 | + |S2 | + |S1 | = i + j + k = m Ta cần chứng minh m ≤ 3n • Vì phần tử X1 nằm tập hợp, |Ar ∩ X1 | ≤ 1, ∀r = j + 1, , n nên n ≥ i + j + 4k (1) Mỗi phần tử X1 ∪ X2 xuất tập hợp, |Ar | ∩ (X1 ∪ X2 ) ≤ 2, ∀r = i + 1, , n nên n≥i+ 4(2j + k) = i + 4j + 2k (2) Mỗi phần tử X xuất tập hợp, |Ar ∩ X| ≤ 3, ∀r = 1, 2, , n, n≥ 4(3i + 2j + k) (3) ã Ly 20 ì (1) + 12 × (2) + 27 × (3) ta có 59n ≥ 140(i + j + k) = 140m ⇒ m ≤ 3n 59n < 140 Bài toán chứng minh hồn tồn Ví dụ 2.35 (Romania TST 2006) Cho n số nguyên dương Một tập S ⊂ {0, 1, 2, , 4n − 1} gọi tập rời rạc với số k bất kỳ, hai điều kiện sau thỏa mãn T Tập S {4k − 2, 4k − 1, 4k, 4k + 1, 4k + 2} có tối đa phần tử T Tập S {4k + 1, 4k + 2, 4k + 3} có tối đa phần tử Hỏi tập {0, 1, , 4n − 1} có tập rời rạc? Chứng minh • Ta diễn giải tập S, tập số: gồm số chia hết cho 4, chia dư 1, chia dư 2, chia dư thêm số chia dư tập S chứa tối đa phần tử chúng Trong tập số: chia dư 1, dư 2, dư tập S chứa tối đa số Rõ hai số chia cho dư dư nằm tập S (vì vi phạm điều kiện (ii)) 168 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 • Gọi Sn tập hợp chứa tập rời rạc tập {0, 1, 2, , 4n − 1} Rõ ràng số có dạng 4k + 1, 4k + bị ràng buộc hai điều kiện Đây sở cho việc xây dựng công thức truy hồi • Gọi Xn tập hợp chứa tập Sn mà tập chứa phần tử 4n − (tức tập Sn mà tập chứa phần tử chia dư 3) • Gọi Yn tập hợp chứa tập Sn mà tập khơng chứa hai phần tử 4n − 4n − (tức chứa tập Sn mà tập khơng chứa hai phần tử chia dư chia dư 3, nghĩa chứa phần tử chia hết cho chia dư 1) • Gọi Zn tập hợp chứa tập Sn mà tập chứa phần tử 4n − (tức chứa tập Sn mà tập chứa phần tử chia dư 2) Khi |Sn | = |Xn | + |Yn | + |Zn | Xét tập hợp Xn+1 xây dựng từ tập hợp lại Xét tập hợp {1, 2, , 4n − 2, 4n − 1, 4n, 4n + 1, 4n + 2, 4n + 3} • Từ tập Xn , ta thêm vào tập Xn phần tử 4n không thêm vào, thân tập Xn+1 chứa phần tử 4n + Vậy |Xn+1 | = |Xn | • Từ tập Yn , ta thêm vào tập Yn phần tử 4n khơng thêm vào Vì |Xn+1 | = |Yn | • Từ tập Zn , ta thêm vào tập Yn phần tử 4n không thêm vào Vậy |Xn+1 | = |Zn | Từ ta có quan hệ truy hồi |Xn+1 | = |Xn | + |Yn | + |Zn | = |Sn | (1) Xét tập hợp Yn+1 xây dựng từ tập hợp cịn lại • Từ tập Yn , ta thêm vào tập Yn phần tử 4n 4n + 1, thêm hai khơng thêm phần tử Khi |Yn+1 | = |Yn | 169 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 • Từ tập Xn , ta thêm vào tập Xn phần tử 4n 4n + thêm đồng thời hai phần tử này, khơng thêm vào Khi |Yn+1 | = |Xn | • Từ tập Zn , ta thêm vào tập Zn phần tử 4n 4n + thêm đồng thời hai phần tử này, khơng thêm vào Khi |Yn+1 | = |Zn | Từ ta có quan hệ hồi quy |Yn+1 | = |Xn | + |Yn | + |Zn | (2) Tương tự ta có |Zn+1 | = |Xn | + |Yn | + |Zn | = |Sn | (3) Từ ba quan hệ (1), (2), (3) ta có |Sn+1 | = |Sn | Từ ta tính |Sn+1 | = 7n |S1 | = 8.7n Bài tập vận dụng Bài tập 3.1 (Olympic KHTN lần 1) Xét tập M = {1, 2, 3, , 10} A1 , A2 , , An dãy tập khác rỗng, phân biệt M cho |Ai ∩ Aj | ≤ 3, ∀1 ≤ i < j ≤ n Tìm giá trị lớn n Đáp số: n = 385 Bài tập 3.2 (Taiwan 1998) Cho n ≥ k ≥ X = {1, 2, , n} Gọi Fk họ k_tập X cho với A, B ∈ Fk |A ∩ B| ≤ k − Chứng minh tồn tập Mk X, |Mk | ≥ [log2 n]+1 cho Mk không nhận phần tử Fk tập 170 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 Bài tập 3.3 (THTT 444 - Trần Nam Dũng) Cho 100 điểm A1 , A2 , , A100 nằm hình vng ABCD có cạnh Chứng minh tồn tập X E = {1, 2, , 100} gồm 50 phần tử cho