ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN

1 Bài I (2,0 điểm) Cho hai biểu thức 2 5 x A x    và 3 20 2 255 x B xx     , với 0, 25 x x  1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9 2) Chứng minh 1 5 B x   3) Tìm tất cả các giá trị của[.]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2017 – 2018 Mơn thi: TỐN Ngày thi: tháng năm 2017 Thời gian làm bài: 120 phút Bài I (2,0 điểm) Cho hai biểu thức A  x 2 B  x 5 20  x , với x  0, x  25  x  25 x 5 1) Tính giá trị biểu thức A x = 2) Chứng minh B  x 5 3) Tìm tất giá trị x để A  B x  Bài II(2,0 điểm) Giải toán sau cách lập phương trình hệ phương trình Một xe ô tô xe máy khởi hành từ A để đến B với vận tốc xe khơng đổi tồn qng đường AB dài 120 km Do vận tốc xe ô tô lớn vận tốc xe máy 10 km/h nên xe ô tơ đến B sớm xe máy 36 phút Tính vận tốc xe Bài III(2 điểm)  x  y   1) Giải hệ phương trình:  x  y    2) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho đường thẳng (d): y  mx  a) Chứng minh đường thẳng (d) qua điểm A(0; 5) với giá trị m b) Tìm tất giá trị m để đường thẳng (d) cắt parabol (P): y  x hai điểm phân biệt có hồnh độ x1; x2 (với x1  x2 ) cho x1  x2 Bài IV(3,5 điểm) Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC Gọi M N điểm cung nhỏ AB cung nhỏ BC Hai dây AN CM cắt điểm I Dây MN Cắt cạnh AB BC lần lươt điểm H K 1) Chứng minh bốn điểm C, N, K, I thuộc đường tròn 2) Chứng minh NB2  NK.NM 3) Chứng minh tứ giác BHIK hình thoi 4) Gọi P, Q tâm đường tròn ngọai tiếp tam giác MBK, tam giác MCK E trung điểm đoạn PQ Vẽ đường kính ND đường tròn (O) Chứng minh ba điểm D, E, K thẳng hàng Bài V(0,5 điểm) Cho số thực a, b, c thay đổi thỏa mãn: a  1, b  1, c  ab  bc  ca  Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P  a2  b2  c2 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Thực hiện: Ban chuyên môn Loigiaihay.com Bài I x 2 B  x 5 Cho hai biểu thức A  20  x , với x  0, x  25  x  25 x 5 4) Tính giá trị biểu thức A x = 5) Chứng minh B  x 5 6) Tìm tất giá trị x để A  B x  Hướng dẫn giải: 92 32      1) Khi x = ta có: A  2 5 5 35 2) Với x  0, x  25 B  20  x  x  25 x 5   x 5    x  5   x    20  x   x  5 x  5   x 5 20  x x 5  x 5  x  15  20  x   x 5  x 5 x 5 x 5  x 5   x 5 Ta có điều phải chứng minh 3) với x  0, x  25  A  B x   x 2  x 5 x4 x 5  x   x  (1) TH1: Nếu x  4, x  25 ta (1) trở thành: x 2  x4  x x 6    x 2   x   x  9(tm) x 3     x  2(ktm)  TH2: Nếu  x  ta (1) trở thành: x   x   x  x      x 1  x   x  1(tm) x 2 0   x  2(ktm)  Vậy x = 9, x = thỏa mãn yêu cầu toán Bài II Giải toán sau cách lập phương trình hệ phương trình Một xe ô tô xe máy khởi hành từ A để đến B với vận tốc xe khơng đổi tồn qng đường AB dài 120 km Do vận tốc xe ô tô lớn vận tốc xe máy 10 km/h nên xe ô tơ đến B sớm xe máy 36 phút Tính vận tốc xe Hướng dẫn giải Cách 1: Gọi vận tốc ô tô x (km/h) (ĐK: x>10 ) Do vận tốc ô tô lớn hớn vận tốc xe máy 10 km/h nên vận tốc xe máy x-10 (km/h) Thời gian ô tô từ A đến B 120 (h) x Thời gian xe máy từ A đến B 120 (h) x  10 Vì tơ đến B sớm xe máy 36 phút = nên ta có phương trình:  120 120 1 1    120       x  10 x x  10 x 200  x  10 x  x  x  10   x  10 x 200       x  50  x  40    x x  10  2000  x2  10x  2000   x  50(tmdk)   x  40(ktmdk) Vậy vận tốc ô tô 50 km/h vận tốc xe máy 40 km/h Cách 2: Gọi vận tốc ô tô x, vận tốc xe máy y (km/h) (ĐK: x>10; y>0 ) Do vận tốc ô tô lớn vận tốc xe máy 10 km/h nên ta có phương trình x  y  10 (1) Thời gian ô tô từ A đến B 120 (h) x Thời gian xe máy từ A đến B 120 (h) y Vì ô tô đến B sớm xe máy 36 phút = nên ta có phương trình: 120 120   (2) y x Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: x  y  10 x  y  10 x  y  10     1   1 1 120 120   120         y   x   y x 200 y x  x  y  10 x  10  y x  y  10   x  y   xy  2000  10  y y  2000  xy  200  x  10  y x  10  y x  50      y  40 (tm)   (tm) y  40 y  10y  2000    y  50 (ktm)     Vậy vận tốc ô tô 50 km/h vận tốc xe máy 40 km/h Bài III:  x  y   1) Giải hệ phương trình:  4 x  y   2) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho đường thẳng (d): y  mx  a) Chứng minh đường thẳng (d) qua điểm A(0; 5) với giá trị m b) Tìm tất giá trị m để đường thẳng (d) cắt parabol (P): y  x hai điểm phân biệt có hồnh độ x1; x2 (với x1  x2 ) cho x1  x2 Hướng dẫn giải: x  1) ĐKXĐ:  y 1  x  a  Đặt  Khi ta có hệ phương trình:  y   b  a  1 tm  a   2b a  2b  a   2b a   2b      4   2b   b   4a  b  9b  18 b  b   tm   x  x   x  1 tm      y 1   y   tm   y   Vậy hệ phương trình có nghiệm nhất:  x; y   1;5 2) Ta có: (d): y  mx  a) Thay tọa độ điểm A(0; 5) vào (d) ta được: = m + ( đúng) Vậy đường thẳng (d) qua điểm A(0; 5) với giá trị m b) Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: x2  mx   x2  mx   (*) Đường thẳng (d) cắt (P) hai điểm phân biệt  phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt     m2  20  m Vậy đường thẳng (d) cắt (P) hai điểm phân biệt x1; x2 với m  x1  x2  m Theo hệ thức Vi-ét ta có:   x1 x2  5 Vì a.c < nên phương trình ln có nghiệm phân biệt trái dấu x1   x2 Để x1  x2 x1  x2   m  Vậy m  thỏa mãn điều kiện tốn Bài IV Cho đường trịn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC Gọi M N điểm cung nhỏ AB cung nhỏ BC Hai dây AN CM cắt điểm I Dây MN Cắt cạnh AB BC lần lươt điểm H K 5) Chứng minh bốn điểm C, N, K, I thuộc đường tròn 6) Chứng minh NB2  NK.NM 7) Chứng minh tứ giác BHIK hình thoi 8) Gọi P, Q tâm đường tròn ngọai tiếp tam giác MBK, tam giác MCK E trung điểm đoạn PQ Vẽ đường kính ND đường tròn (O) Chứng minh ba điểm D, E, K thẳng hàng Hướng dẫn giải A G M O I H B C K N 1) Vì M điểm cung nhỏ AB (O) (giả thiết) Suy cungAM = cung MB  góc ACM = góc BCM (hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) Mà góc ACM = góc ANM (hai góc nội tiếp chắn cung AM) ⇒ góc MNA = góc BCM hay góc KNI = góc KCI Xét tứ giác IKNC: Góc KNI = góc KCI (cmt) Mà C N hai đỉnh kề ⇒ IKNC tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp) ⇒ điểm C, N, K, I thuộc đường trịn 2) Vì ABNC tứ giác nội tiếp nên góc NBC = góc NAC Vì N điểm cung nhỏ BC (O) nên góc NAC = góc NAB Vì AMBN tứ giác nội tiếp nên góc NAB = góc NMB Suy góc NBC = góc NMB hay góc NBK = góc NMB Xét ∆ NBK ∆ NMB có góc NBK = góc NMB; góc MNB chung nên NBK ∽ NMB  g g   NB NK   NB  NM NK NM NB 3) Tứ giác IKNC nội tiếp suy góc IKC = góc INC (hai góc nội tiếp chắn cung IC) A G M O I H B C K N Xét (O): Góc ABC = góc ANC ( hai góc nội tiếp chắn cung AC) Suy góc ABC = góc IKC Mà hai góc vị trí đồng vị Suy IK//HB (dhnb hai đt song song) BI cắt (O) G Vì I giao điểm ba đường phân giác tam giác ABC nên G điểm cung AC BI phân giác góc ABC Chứng minh tương tự câu a ta có tứ giác AMHI nội tiếp Suy góc AHI = góc AMI (hai góc nội tiếp chắn cung AI) Xét (O): Góc ABC = góc AMC ( hai góc nội tiếp chắn cung AC) Suy góc ABC = góc AHI Mà hai góc vị trí đồng vị Suy HI//BK (dhnb hai đt song song) Xét tứ giác BHIK: IK//HB ( cmt) HI//BK (cmt) Suy tứ giác BHIK hình bình hành (dhnb HBH) Mà BI phân giác góc HBK (cmt) Suy tứ giác BHIK hình thoi (dhnb hình thoi) 4) D A Q E M O P B C K N Vì góc NBK = góc BMK nên ta có BN tiếp tuyến B đường trịn (P) ngoại tiếp ∆MBK ⇒ BN ⊥ BP Mà BN ⊥ BD góc DBN = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ B, P, D thẳng hàng Tương tự ta có C, Q, D thẳng hàng ∆ PBK ∆ DBC tam giác cân có chung góc đáy nên góc đỉnh chúng ⇒ góc BPK = góc BDC ⇒ PK // DC ⇒ PK // DQ Tương tự ta có DP // QK Vậy DPKQ hình bình hành ⇒ DK qua trung điểm PQ ⇒ D, E, K thẳng hàng Bài V Cho số thực a, b, c thay đổi thỏa mãn: a  1, b  1, c  ab  bc  ca  Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P  a2  b2  c2 Hướng dẫn giải + Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương ta có a  b2  2ab  2 2 b  c  2bc   a  b  c    ab  bc  ca  c  a  2ca   P  a  b2  c2  ab  bc  ca  a  b  c  abc Dấu “=” xảy ⇔  ab  bc  ca  a   a  1 b  1  ab  a  b      + Vì b    b  1 c  1   bc  b  c   c   ca  c  a     c  1 a  1    ab  bc  ca   a  b  c     abc  ab  bc  ca  a  1; b  1; c  Vì 3 abc  ab  bc  ca  6   a  b  c   36  a  b  c   ab  bc  ca   36  P  36   ab  bc  ca   18  a  b  1, c  Dấu “=” xảy ⇔  a  4, b  c   a  c  1, b  Vậy GTNN P 9, xảy a  b  c  ; GTLN P 18, xảy  a  b  1, c   a  4, b  c    a  c  1, b  ...  y  10 x  y  10 x  y  10     1   1 1 120 120   120         y   x   y x 200 y x  x  y  10 x  10  y x  y  10   x  y   xy  2000  10  y... A đến B 120 (h) x  10 Vì tô đến B sớm xe máy 36 phút = nên ta có phương trình:  120 120 1 1    120       x  10 x x  10 x 200  x  10 x  x  x  10   x  10 x 200      ... 10 km/h nên xe ô tô đến B sớm xe máy 36 phút Tính vận tốc xe Hướng dẫn giải Cách 1: Gọi vận tốc ô tô x (km/h) (ĐK: x >10 ) Do vận tốc ô tô lớn hớn vận tốc xe máy 10 km/h nên vận tốc xe máy x-10