(Luận văn thạc sĩ) Bất đẳng thức trên thang thời gian và ứng dụng

(Luận văn thạc sĩ) Bất đẳng thức trên thang thời gian và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Bất đẳng thức trên thang thời gian và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Bất đẳng thức trên thang thời gian và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Bất đẳng thức trên thang thời gian và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Bất đẳng thức trên thang thời gian và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Bất đẳng thức trên thang thời gian và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Bất đẳng thức trên thang thời gian và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Bất đẳng thức trên thang thời gian và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Bất đẳng thức trên thang thời gian và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Bất đẳng thức trên thang thời gian và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Bất đẳng thức trên thang thời gian và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Bất đẳng thức trên thang thời gian và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Bất đẳng thức trên thang thời gian và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ VĂN NHÂN BẤT ĐẲNG THỨC TRÊN THANG THỜI GIAN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên – 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ VĂN NHÂN BẤT ĐẲNG THỨC TRÊN THANG THỜI GIAN VÀ ỨNG DỤNG CHUYÊN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG MÃ SỐ: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Tạ Duy Phượng Thái Nguyên – 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ MỤC LỤC MỞ ĐẦU .2 Chương Giải tích thang thời gian 1.1 Thang thời gian……………………………………………………… 1.1.1 Định nghĩa thang thời gian…………………………………… …4 1.1.2 Các định nghĩa bản………………………………………… 1.2 Không gian tôpô …………………………………………… ……….9 1.3 Hàm qui hàm rd-liên tục 11 1.4 Phép toán vi phân .13 1.4.1 Định nghĩa đạo hàm Hilger……………………………… … 13 1.4.2 Tính chất đạo hàm Hilger ………………………… ………15 1.4.3 Đạo hàm cấp cao………… ………………………… ……… 17 1.5 Phép tốn tích phân…………………………………………… … 19 1.5.1 Tồn tiền nguyên hàm………………………………… …….19 1.5.2 Nguyên hàm……………………………………………….…… 19 1.5.3 Quy tắc xích…………………………………………….……… 21 Chương Bất đẳng thức thang thời gian………………………………25  2.1 Các bất đẳng thức Holder, Cauchy- Schwarz, Minkowski 25 2.2 Bất đẳng thức Jensen…………………….…… ………… …………29 2.3 Các bất đẳng thức Gronwall, Bernoulli, Bihari…………………… ….31 2.4 Các bất đẳng thức Opial, Wirtinger……………….………………… 40 2.5 Bất đẳng thức Lyapunov………………………………… … ………46 2.6 Một số bất đẳng thức khác………………….……………… ……… 59 KẾT LUẬN…………………………………………………………………….84 TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………….85 Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ MỞ ĐẦU Lý thuyết thang thời gian (time scale) trình bày lần Stefan Hilger vào năm 1988 luận án Tiến sĩ khoa học ông (dưới hướng dẫn Bernd Aulbach), nhằm mục đích thống nghiên cứu tốn mơ tả hệ liên tục rời rạc Cho đến có số sách, hàng chục luận án Tiến sĩ hàng nghìn báo nghiên cứu thang thời gian Giải tích (phép tính vi phân tích phân) thang thời gian tác giả nghiên cứu sâu rộng đầy đủ Và từ nhiều kết quen thuộc trường hợp liên tục rời rạc “chuyển dịch” sang thang thời gian Chẳng hạn, có kết sâu sắc tính ổn định, tính dao động, tốn giá trị biên,…của hệ động lực thang thời gian Các bất đẳng thức đóng vai trị quan trọng tốn học nói chung, nghiên cứu hệ động lực liên tục hệ động lực rời rạc nói riêng Hầu hết bất đẳng thức mở rộng sang cho thang thời gian Với mong muốn tìm hiểu vấn đề mà thời gian gần nhiều nhà toán học quan tâm thang thời gian, đồng thời so sánh bất đẳng thức vi phân sai phân với bất đẳng thức thang thời gian, để từ có nhìn tổng qt bất đẳng thức, chọn Bất đẳng thức thang thời gian Ứng dụng làm đề tài luận văn cao học Luận văn gồm phần Mở đầu, hai chương, phần Kết luận Tài liệu tham khảo Trong chương 1, nhắc lại khái niệm thang thời gian, khái niệm toán tử nhảy tiến, toán tử nhảy lùi, hàm hạt, điểm trù mật điểm cô lập; khái niệm tính chất phép tính vi phân, tích phân thang thời gian đối chiếu kết số thang thời gian thường gặp Soá hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương chúng tơi trình bày bất đẳng thức quan trọng  thang thời gian Bất đẳng thức Holder , Bất đẳng thức Gronwall, Bất đẳng thức Bihari, Bất đẳng thức Opial, Bất đẳng thức Wirtinger, Bất đẳng thức Lyapunov số bất đẳng thức khác; đồng thời tham chiếu bất đẳng thức trường hợp thang thời gian liên tục thang thời gian rời rạc Để hoàn thành luận văn này, trước tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS.TS Tạ Duy Phượng, người thầy dành thời gian hướng dẫn, tận tình bảo, tạo điều kiện giúp đỡ tơi có thêm nhiều kiến thức, khả nghiên cứu tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, Phòng Sau đại học, Phòng Đào tạo, Khoa Toán-Tin Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập trường Xin cảm ơn Trường trung học phổ thông Quảng Hà, Tỉnh Quảng Ninh, nơi công tác, tạo điều kiện để tơi hồn thành nhiệm vụ học tập Cuối tác giả xin gửi lời cảm ơn đặc biệt đến người thân, đồng nghiệp người bạn tạo điều kiện thuận lợi, động viên, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập hồn thiện luận văn Thái Nguyên, tháng 04 năm 2014 Người thực Đỗ Văn Nhân Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương GIẢI TÍCH TRÊN THANG THỜI GIAN 1.1 Thang thời gian 1.1.1 Định nghĩa thang thời gian Định nghĩa 1.1 Thang thời gian (time scale) tập đóng khác rỗng tập hợp số thực  Thang thời gian thường kí hiệu  Ví dụ 1.1 1.1.1) Các tập , , ,  , [1;2]  [3;4], [1;2]    tập số tự nhiên,   1,2,3,  , 0  0,1,2,  thang thời gian  1.1.2) Các tập     2k , 2k  1 , k  0,k0    02  n2 : n   ,   2z : z       thang thời gian 1.1.3) Cho q  số hữu tỉ cố định Khi tập hợp q  q n : n    1, q, q , q , thang thời gian     1.1.4) Cho n   , số điều hòa H n xác định sau n H  0, H n   k 1 k Khi    H n : n  0  thang thời gian 1.1.5) Các tập ,  \ ,  0;1 thang thời gian chúng nằm  khơng phải tập đóng  1.1.6) Mặt phẳng phức  khơng phải thang thời gian tập đóng khơng nằm  Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Hai thang thời gian quan trọng thường gặp chứng minh trước tập số thực  tập số nguyên  1.1.2 Các định nghĩa Định nghĩa 1.2 Cho  thang thời gian, với t   ta có định nghĩa sau: Toán tử nhảy tiến (forward jump) toán tử  :    xác định  (t ) : inf s  , s  t Toán tử nhảy lùi (backward jump) toán tử  :    xác định  (t ) : sups  , s  t Trong định nghĩa quy ước inf : sup sup : inf ,  tập hợp rỗng Ví dụ 1.2 1.2.1) Cho thang thời gian t   Khi với t   ta có  (t )  inf s   : s  t  inf  t ,    t Tương tự,  (t )  sup s   : s  t  sup  , t   t Như vậy,  (t )   (t )  t với t   1.2.2) Cho thang thời gian    Khi với t   ta có  (t )  inf s   : s  t  inf t  1, t  2, t  3,   t  Tương tự  (t )  t  với t   1 n  1.2.3) Cho thang thời gian    : n    Ta có  (t )  t   (t )  t  2 2  Soá hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 1.2.4) Cho thang thời gian    02  n : n   Nếu t   tồn số n    cho t  n hay  t  n Ta có:  (t )   (n )   n  1    t 1 2  (t )   (n )   n  1    t 1 1.2.5) Cho thang thời gian   2z : z   Nếu t   tồn số z     cho t  z  hay z  log t Ta có:  (t )   (2 z )  z 1  2log t 1  2t  (t )   (2 z )  z 1  2log t 1  t Định nghĩa 1.3 Cho  thang thời gian Điểm t   gọi điểm cô lập phải (right-scattered) t   (t ) Điểm t   gọi điểm cô lập trái (left-scattered)  (t )  t Điểm t   gọi điểm cô lập (isolated)  (t )  t   (t ) Ví dụ 1.3 1.3.1) Cho thang thời gian    điểm t   điểm cô lập n  1.3.2) Cho thang thời gian    : n    (xem ví dụ 1.2.3) Ta có điểm t  2  điểm cô lập phải, t   , t  điểm cô lập 1.3.3) Cho thang thời gian   2z : z     (xem ví dụ 1.2.5) Ta có t   (t )  t   (t )  2t với t   Do điểm t   điểm lập Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Định nghĩa 1.4 Cho  thang thời gian Điểm t   gọi điểm trù mật phải (right-dense) t   (t ) Điểm t   gọi điểm trù mật trái (left-dense)  (t )  t Điểm t   gọi điểm trù mật (dense)  (t )  t   (t ) Ví dụ 1.4 1.4.1) Cho thang thời gian    điểm t   điểm trù mật 1.4.2) Cho thang thời gian     [2k ,2k  1] Ta có k  0,k Nếu t  (2k ,2 k  1)  (t )  t   (t ) nên t điểm trù mật Nếu t  2k   (t )  t   2k   t  (t )  t nên t điểm cô lập phải điểm trù mật trái Nếu t  2k  (t )  t  2k  (t )  t   2k   t nên t điểm cô lập trái điểm trù mật phải 1.4.3) Cho thang thời gian    H n : n  0  (Xem ví dụ 1.1.4) Ta có n1 n1 1 1  ( H n )  H n 1    H n  ,  ( H n )  H n 1    H n  n 1 n k 1 k k 1 k   H0   H0 Suy H điểm trù mật trái cô lập phải Mọi điểm H n  H  điểm cô lập 1.4.4) Cho q  , ta xác định q  : q k : k   q  : q   0 Xét   q    Ta có  (t )  inf q n : n   m  1,    q m1  q.q m  qt Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ t  q m  rõ ràng     Vì ta   t   qt   t   t với t   q Do điểm trù mật phải điểm khác  điểm lập Ta có bảng tóm tắt 1.1 t điểm cô lập phải t   (t ) t right-scattered t điểm trù mật phải t   (t ) t right-dense t điểm cô lập trái  (t )  t t left-scattered t điểm trù mật trái  (t )  t t left-dense t điểm cô lập  (t )  t   (t ) t isolated t điểm trù mật  (t )  t   (t ) t dense Bảng 1.1 Bảng 1.2 mơ tả hình ảnh hình học điểm t1 : Điểm trù mật t1 t2 : Điểm trù mật trái cô lập phải t3 : Điểm trù mật phải cô lập trái ● ● t2 t3 t4 : Điểm lập ● Bảng 1.2 Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ● t4 ● ... Gronwall, Bất đẳng thức Bihari, Bất đẳng thức Opial, Bất đẳng thức Wirtinger, Bất đẳng thức Lyapunov số bất đẳng thức khác; đồng thời tham chiếu bất đẳng thức trường hợp thang thời gian liên tục thang. .. thời so sánh bất đẳng thức vi phân sai phân với bất đẳng thức thang thời gian, để từ có nhìn tổng qt bất đẳng thức, chọn Bất đẳng thức thang thời gian Ứng dụng làm đề tài luận văn cao học Luận văn... Chương GIẢI TÍCH TRÊN THANG THỜI GIAN 1.1 Thang thời gian 1.1.1 Định nghĩa thang thời gian Định nghĩa 1.1 Thang thời gian (time scale) tập đóng khác rỗng tập hợp số thực  Thang thời gian thường kí