Câu 1 SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2007 2008 ĐỀ THI MÔN TOÁN Dành cho học sinh trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời[.]
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2007-2008 ĐỀ THI MƠN: TỐN Dành cho học sinh trường THPT Chun Vĩnh Phúc Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu Giải hệ phương trình: Câu Cho hai đường tròn (O1) (O2) cắt hai điểm phân biệt A, B N điểm tùy ý đoạn AB (N không trùng với A, B) Một đường thẳng (d) qua B cắt (O1), (O2) M1, M2 theo thứ tự Đường thẳng M1N cắt đường trịn (O2) P2, Q2 đường thẳng M2N cắt đường tròn (O1) P1, Q1 Chứng minh bốn điểm P1, P2, Q1, Q2 nằm đường trịn có tâm O OB M1M2 Câu Tìm tất cặp hai số nguyên (x; y) cho: Câu Cho số thực thỏa mãn Chứng minh rằng: Câu Cho số nguyên dương n Tìm số từ độ dài n lập từ ba chữ a, b, c có chẵn lần chữ a -Hết (Cán coi thi khơng giải thích thêm) Họ tên thí sinh SBD SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2007-2008 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN Dành cho học sinh trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc Câu + Điều kiện: (2đ) hệ Nội dung Điểm Từ phương trình thứ hai, suy nghiệm 0.25 + Hệ cho tương đương với 0.25 + Từ (1) suy + Nếu 0.25 thay vào (2), 0.25 + Nếu 0.25 thay vào (2), 0.25 0.25 0.25 + Kết luận nghiệm (2.5 đ) Q1 O Q2 A N O1 O2 P2 B M1 + Xét phương tích P1 hai đường tròn M2 ta Suy nằm đường tròn, gọi theo thứ tự tâm, bán kính đường trịn Ta có: 0.5 + Từ đó, suy Suy + Xét đa thức (2.5 đ) + Nếu + Suy + Mặt khác khơng có nghiệm ngun khơng có nghiệm 0.5 0.5 ngun Do đó, phương trình cho khơng có nghiệm mà + Với : để ý , nên nghiệm nghiệm + Do đó, phương trình khơng có nghiệm với trình có nghiệm , suy phương + Thử trực tiếp, tìm nghiệm: + Đặt (1.5 đ) + Nếu và 0.25 bất đẳng thức cần chứng minh 0.5 0.5 Khi 0.5 + Nếu Chia tử mẫu cho + Để ý đặt 0.5 , nên cần chứng minh: + Ta có (1) + Nếu + Với (1) phương trình bậc nhất, có nghiệm , (1) ln có nghiệm 0.25 (2) nên 0.25 + Giải bất phương trình thu + Từ (1),(2) (3) suy điều phải chứng minh Giả sử từ độ dài có (1.5 đ) + Có cách chọn vị trí cho cách chọn vị trí cho hai chữ + Do đó, số từ độ dài , có chứa (3) 0.25 chữ Thế chữ với cách đó, có 0.25 chữ 0.25 + Vậy, số từ cần tìm bằng: S= 0.5 + Xét khai triển tính 0.5 -Hết - ... (2), 0.25 + Nếu 0.25 thay vào (2), 0.25 0.25 0.25 + Kết luận nghiệm (2.5 đ) Q1 O Q2 A N O1 O2 P2 B M1 + Xét phương tích P1 hai đường trịn M2 ta Suy nằm đường tròn, gọi theo thứ tự tâm, bán kính đường... (1. 5 đ) + Nếu và 0.25 bất đẳng thức cần chứng minh 0.5 0.5 Khi 0.5 + Nếu Chia tử mẫu cho + Để ý đặt 0.5 , nên cần chứng minh: + Ta có (1) + Nếu + Với (1) phương trình bậc nhất, có nghiệm , (1) ... trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc Câu + Điều kiện: (2đ) hệ Nội dung Điểm Từ phương trình thứ hai, suy nghiệm 0.25 + Hệ cho tương đương với 0.25 + Từ (1) suy + Nếu 0.25 thay vào (2), 0.25