BÀI TIỂU LUẬN HỌC PHẦN LÝ THUYẾT XÁC XUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TPHCM BỘ MƠN TỐN KINH TẾ  BÀI TIỂU LUẬN HỌC PHẦN LÝ THUYẾT XÁC XUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Sinh viên thực : Nguyễn Đào Lan Anh Lớp học phần : AMA303_211_D02 TP Thủ Đức, ngày 14 tháng 11 năm 2021 Phần I: XÁC SUẤT Xác xuất điều kiện - Định nghĩa: Xác suất có điều kiện xác suất biến cố A đó, biết biến cố B khác xảy Ký hiệu: P(A|B), đọc "xác suất A, biết B" - Cơng thức: P(A|B) = - Tính chất: P(AB) P(B) , P(B) > + P(A|B) ≥ + P(Ω|B) = P(B|B) = + Nếu A1, A2, , An (n ≥ 2) biến cố xung khắc đôi một, nghĩa AiAj = ∅ với i ≠ j, ta có: P Cộng xác suất n i=1 Ai |B = n i=1 P(Ai |B) - Công thức: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB), với A B hai biến cố - Công thức tổng quát: P(A1 + A2 + + An) = -(-1)n-1P(A1.A2 An) - Hệ quả: Nếu A � hai biến cố đối lập với thì: P(A) = - P (�) Nhân xác suất - Công thức: P(A.B) = P(A).P(B|A) = P(B).P(B|A) với P(A) > 0, P(B) > - Công thức tổng quát: P(A1 + A2 + + An) = P(A1)P(A2|A)P(A3|A1A2) P(An|A1A2 An-1) với P(A1 + A2 + + An-1) > Công thức đầu đủ - Hệ đầy đủ biến cố: Hệ biến cố {B1,B2,…,Bn} gọi đầy đủ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: + B1, B2,…,Bn biến cố xung khắc đôi một, nghĩa BiBj = ∅ với i ≠ j, + Ω = B1∪B2∪ ∪Bn Nhận xét rằng, hệ {B, �} hệ đầy đủ, B biến cố - Công thức: Giả sử {B1,B2,…,Bn} hệ đầy đủ biến cố với P(Bi) > 0,∀i = 1,2,…,n Khi với biến cố A, ta có P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+ +P(Bn)P(A|Bn) Cơng thức Bayes - Định lý Bayes Giả sử P(A) > {B1,B2,…,Bn} hệ đầy đủ biến cố với P(Bk) > với k = 1,2,…,n Khi với k = 1,2,…,n, ta có P(Bk|A) = P(Bk)P(A|Bk)P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + +P(Bn)P(A|Bn) Kỳ vọng - Kỳ vọng biến ngẫu nhiên trung bình biến ngẫu nhiên Kỳ vọng biến ngẫu nhiên X kí hiệu E X : EX = - Kỳ vọng có số tính chất sau:  E(c) = c với c số  E(cX) = cE(X) với c số ∀i ∞ −∞ xi pi xf(x)dx  E[aX+b] = aE[X]+b với a, b số  E[X+Y] = E[X]+E[Y]  E[XY] = E[X]E[Y] với X, Y độc lập  E g(X) = g(xi )pX (xi ) ∀i ​ ∞ g(x)f(x)dx −∞ Phương sai - Phương sai Var(X) trung bình bình phương khoảng cách từ biến ngẫu nhiên X tới giá trị trung bình: Var(X)=E[(X-E[X])2] - Việc tính tốn dựa vào cơng thức phức tạp, nên thực tế người ta thường sử dụng công thức tương đương sau:Var(X)=E[X2]-E2[X] - Phương sai có số tính chất sau:  Var(c) = với c số  Var(cX) = c2Var(X) với c số  Var(aX+b) = a2Var(X) với a, b số  Var(X+Y) = Var(X)+Var(Y) với X, Y độc lập Mod Giá trị tin đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X [ký hiệu Mod(X)] giá trị X ứng với xác suất lớn ưong bảng phân phối xác suất Nếu X đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất f(x) Mod(X) giá trị X mà hàm mật độ đạt giá trị cực đại Chú ý: Mod(X) nhận nhiều giá trị khác Trung vị Trung vị (median) điểm chia xác suất thành phần giống nhau, kí hiệu med(X): P(X < med(X)) = P(X ≥ med(X)) = 0.5 Như trung vị nghiệm phương trình hàm tích lũy xác suất: FX(x) = 0.5 Luật phân phối biến ngẫu nhiên - Quy luật phân phối chuẩn + Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên liên tục X nhận giá trị khoảng ( − ∞; + ∞) gọi phân phối theo quy luật chuẩn với tham số μ �2 , hàm mật độ xác suất có dạng: f(x) = σ 2π (�−�)2 − � 2�2 Nếu tiến hành khảo sát hàm số vẽ đồ thị ta thu kết luận sau đây: ‒ Hàm số xác định toàn trục Ox ‒ Với giá trị x, hàm số ln dương, vậy, đồ thị ln nằm cao trục Ox ‒ ‒ Khi x →± ∞ f(x) → 0, tức trục Ox đường tiệm cận ngang Ta tìm đạo hàm bậc nhất: f'(x) = − Dễ dàng thấy x−μ σ3 2π e (x−μ)2 2σ2 − rằng: f'(x) = x = μ, f'(x) > x < μ, f'(x) < x > μ Như vậy, ‒ x = μ, hàm số có cực đại � 2� Hiệu x − μ biểu thức hàm f(x) nằm dạng bình phương, tức hàm số đối xứng qua đường thẳng x = μ ‒ Ta tìm đạo hàm bậc hai: f''(x) = − σ3 2π (x−μ)2 2σ2 − e 1− (x−μ)2 σ2 Dễ dàng thấy rằng: x = μ + σ x = μ − σ, đạo hàm bậc hai qua hai điểm đổi dấu Tại hai điểm đó, hàm số hàm có điểm uốn là: μ + σ; � μ − σ; � 2�� 1 � 2�� Như vậy, 2�� Đồ thị hàm f (x) đồ thị thay đổi f(x) theo σ: Hai tham số μ σ có ý nghĩa quan trọng phân phối chuẩn Khi μ σ thay đổi, dạng đồ thị hàm mật độ xác suất f(x) thay đổi sau: Khi μ thay đổi dạng đường cong f(x) khơng thay đổi, song chuyển dịch sang phải sang trái theo trục Ox Khi μ tăng lên đồ thị dịch sang phải, cịn μ giảm đồ thị dịch sang trái Trái lại, σ thay đổi, dạng đồ thị thay đổi theo Nếu σ tăng lên đồ thị thấp xuống phình ra, cịn σ giảm đồ thị cao lên nhọn thêm Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X phân phối theo quy luật chuẩn: F(X) = � � 2�� −∞ Các tham số đặc trưng quy luật chuẩn: (�−�)2 − � 2�2 �� – Kỳ vọng toán: E(X) = μ – Phương sai: V(X) = σ2 – Độ lệch chuẩn: �� = � Phân phối chuẩn ký hiệu N(μ, σ2 ) Có liên quan mật thiết với phân phối chuẩn quy luật phân phối chuẩn hóa Giả sử biến ngẫu nhiên X phân phối chuẩn với kỳ vọng toán μ độ lệch chuẩn � Xét biến ngẫu nhiên: U = - Quy luật nhị thức: + Định nghĩa: X−μ σ Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá trị có x = 0, 1, 2, , n với xác suất tương ứng tính cơng thức (2) gọi phân phối theo quy luật nhị thức với tham số n p Quy luật nhị thức ký hiệu B(n,p) Bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X phân phối theo quy luật nhị thức có dạng: X … x … n P P0 P1 … Px … Pn Với �0 = �0� �0 �� ; �1 = �1� �1 ��−1 ; , �� = ��� �� ��−� , , �� = ��� �� �0 Trong thực tế, đơi ta phải tính xác suất để biến ngẫu nhiên X phân phối theo quy luật nhị thức nhận giá trị khoảng [x, x + h], h số nguyên dương (h ≤ n − x) Lúc đó, ta tính xác suất theo cơng thức: P(x ≤ X ≤ x + h) = Px + Px+1 + + Px+h Trong đó: �� , ��+1 , , ��+ℎ tính cơng thức (2) Ngồi ra, xuất phát từ cơng thức (2), ta có mối liên hệ truy chứng xác suất �� ��−1 sau: �� = �(� − � + 1) ��−1 �� + Các tham số đặc trưng quy luật nhị thức: – Kỳ vọng toán: E(X) = np – Phương sai: V(X) = npq – Độ lệch chuẩn: �� = ��� Ngoài kỳ vọng toán, phương sai độ lệch chuẩn, quy luật nhị thức, tham số mode hay dùng Nếu X phân phối theo quy luật nhị thức mode m0 tìm trực tiếp từ bảng phân phối xác suất cách tìm số giá trị có X giá trị tương ứng với xác suất lớn Tuy nhiên, tìm mode mà khơng cần phải xây dựng bảng phân phối xác suất Nó xác định cơng thức sau đây:np − q ≤ m0 ≤ np + p Ta ý rằng, quy luật nhị thức mode phải giá trị nguyên, xảy hai trường hợp: Nếu np + p số nguyên np − q số nguyên, lúc mode lúc nhận hai giá trị: m0 = np + p m0 = np − q Còn np + p số thập phân mode giá trị nguyên nằm khoảng hai số thập phân np − q np + p 10 Liên hệ luật phân phối - Chuyển từ phân phối siêu bội sang phân phối nhị thức p = NA /N q=1−p N > 20 n - Chuyển từ phân phối nhị thức sang phân phối Poison λ = np � ≥ 30 �� < � ≤ 0.1 - Chuyển từ phân phối nhị thức sang phân phối chuẩn � ≥ 30 0.1 < � < 0.9 �� ≥ ∧ �� ≥ μ = np σ = npq P(X = k) ≈ k−μ f( ) σ σ P(a ≤ X < b) ≈ φ b−μ a−μ −φ σ σ 11 Ví dụ Xác suất bắn trúng đích lần thiện xạ 0,8 Xạ thủ bắn lần độc lập Tính xác suất: a Cả lần trúng đích b lần đầu trúng đích, lần sau trượt c Có lần trúng đích d Có lần trúng đích Lời giải Gọi Ai “lần thứ i xạ thủ bắn trúng đích” i=1,2,3,4,5 a Gọi B “Cả lần trúng đích” P(B) = A1.A2.A3.A4.A5 = 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 = 0,32768 b Gọi C “3 lần đầu trúng đích, lần sau trượt” P(C) = A1 A2 A3 A4 A5 = 0,8 0,8 0,8 0,2 0,2 = 0,02048 c Gọi D “Có lần trúng đích” P(D) = C35 Ai Ai Ai Ai Ai = C35 0,8 0,8 0,8 0,2 0,2 = 0,2048 d Gọi E “Có lần trúng đích” E “Khơng lần trúng đích” P(E) = Ai Ai Ai Ai Ai = 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 = 0,00032 P(E) = − P(E) = − 0,00032 = 0,99968 Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối xác suất: X P 4 Và Y = 2X - Tính P{Y 10) =0,1 ⇒ϕ ⇒ϕ 10−μ σ 10−μ σ = 0,1 = 0,1 ⇒ϕ ⇒ 10 − μ = ϕ −1,28 σ 10 − μ =− 1,28 σ ⇒ 10 − μ =− 1,28σ (2) Kết hợp (1) (2), ta được: 20 − μ = 0,84σ � = 16,04 ⇒ 20 − μ =− 1,28σ � = 4,72 Theo yêu cầu tốn, ta cần tính: P(X > 14) = − ϕ 14 − 16,04 = − ϕ( − 0,43) 4,72 = − 0,3336 = 0,6664 Phần 2: THỐNG KÊ Trong đợt kiểm tra loại độ tuổi vườn ươm, người ta chọn mẫu gồm số chiều cao cho bảng Chiều cao (cm) 230 - 240 220 - 230 210 - 220 200 - 210 180 - 200 Số 35 30 15 10 30 a Hãy ước lượng chiều cao trung bình vườn ươm với độ tin cậy 96% b Với độ tin cậy 97% ước lượng tỉ lệ không đạt tiêu chuẩn vườn ươm Biết tỉ lệ đạt tiêu chuẩn có chiều cao lớn 210 cm c Với độ tin cậy 95% ước lượng phương sai vườn ươm d Có người cho chiều cao trung bình vườn ươm 225 cm Cho nhận xét ý kiến với mức ý nghĩa 5% e Có người cho tỉ lệ khơng đạt tiêu chuẩn có chiều cao lớn 210 cm 20% Cho nhận xét ý kiến với mức ý nghĩa 5% Giải Ta có: n = 120; x = 219,5833; s = 13,1983; m=25; f=0,2083 a Gọi µ chiều cao trung bình vườn ươm Ta có: Giá trị giới hạn: − α = 0,96 ⇒ φ(zα ) = Độ xác: ε = zα 2 s n 1−α = 0,48 ⇒ zα = 2.05 = 2,47 Khoảng ước lượng trung bình: μ ∈ (217,1089; 222,0578) b Gọi ρ tỷ lệ không đạt tiêu chuẩn Ta có: Giá trị giới hạn: − α = 0,97 ⇒ φ(zα ) = Độ xác: ε = zα f(1−f) n 1−α = 0,485 ⇒ zα = 2.17 2 = 0.0804 Khoảng ước lượng tỷ lệ: ρ ∈ (0,1279; 0,2887) (n − 1)s2 c χ (n−1;α/2) ⇔ ≤ σ2 ≤ (n − 1)s χ 2(n−1;1−α/2) 621875 621875 ≤ σ2 ≤ 4566 27471 ⇔ 136,1969 ≤ σ2 ≤ 226,1969 d Gọi µ chiều cao trung bình vườn ươm Giả thiết �0 : �0 = 225 �1 : �0 ≠ 225 Mức ý nghĩa: ∝= 0,05 ⇒ zα = 2,17 Giá trị tiêu chuẩn kiểm định: z = x−μ0 s n =− 4.4957 Do |z| = 4.4957 > zα ⇒ Bác bỏ H0 Tức bác bỏ tuyên bố trên với mức ý nghĩa 5% e Gọi ρ tỷ lệ không đạt tiêu chuẩn Giả thiết �0 : ρ0 = 0,2 �1 : ρ0 ≠ 0,2 Mức ý nghĩa: ∝= 0,05 ⇒ zα = 2,17 Giá trị tiêu chuẩn kiểm định: z = f−ρ0 n =0,2282 ρ0 (1−ρ0 ) Do |z| = 4.4957 < zα ⇒ Chấp nhận H0 Tức chưa có sở bác bỏ tuyên bố trên với mức ý nghĩa 5% Để so sánh hiệu hai loại phân A B suất cà chua, người ta điều tra suất cà chua (đơn vị: quả) bón A, B cho kết quả: Loại phân Số Năng suất trung Độ lệch tiêu chuẩn bình A 41 32,2 8,5 B 61 28,4 9,3 Với mức ý nghĩa 5%, cho biết loại phân A có hiệu loại phân B khơng? Ta có: n1 = 41; n2 = 61; x1 = 32,2; x2 = 28,4; s1 = 8,5 s2 = 9,3 Gọi µ1, µ2 suất trung bình phân bón A B Giả thiết: H0 : µ1 = µ2 H1 : µ1 > µ2 Mức ý nghĩa: α = 0.05 =⇒ zα = 1.65 Giá trị tiêu chuẩn kiểm định: z = x1 −x2 s2 + s2 n1 n2 = 2,1309 Do z = 2,1309 > zα = 1.65 =⇒ Bác bỏ H0 Tức đủ sở hiệu phân bón A cao B với mức ý nghĩa 5%