Thông tin tài liệu
Tailieumontoan.com Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 MƠN TỐN HÀ NỘI 2022-2023 Tài liệu sưu tầm, ngày 21 tháng năm 2021 Website: tailieumontoan.com ĐỀ THI THỬ VÀO 10 – LẦN TRƯỜNG THCS & THPT MƠN: TỐN LƯƠNG THẾ VINH Năm học: 2022 - 2023 Thời gian làm bài: 90 phút Câu x − x x + x ( x − 1) − + Cho biểu = thức P x + x +1 x x −1 ∀x > 0; x ≠ 1) Tính giá trị P x = 2) Rút gọn P 3) Tìm giá trị nhỏ P Câu 2: (2,5 điểm) 1) Chiều cao hải đăng bao nhiêu? Biết tia nắng mặt trời chiếu qua đỉnh hải đăng hợp với mặt đất góc 350 bóng hải đăng mặt đất dài 20 m ( làm tròn kết đến chữ số thập phân thứ nhất) 2) Giải toán sau cách lập phương trình hệ phương trình: Nếu giảm chiều rộng mảnh vườn hình chữ nhật 3m tăng chiều dài thêm 8m diện tích mảnh vườn giảm 54m Nếu tăng chiều rộng mảnh vườn thêm 2m giảm chiều dài 4m diện tích mảnh vườn tăng thêm 32m Hãy tính kích thước mảnh vườn Câu 3: (2,0 điểm) Giải phương trình sau tập số thực x − − x + − = ( ) Cho phương trình x − 2mx + 2m − = , với m tham số thực Tìm giá trị m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 = Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BM CN cắt H Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp đường trịn xác định vị trí tâm I đường trịn Gọi D điểm thuộc cạnh BC ( D khác B D khác C) Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDN đường tròn ngoại tiếp tam giác CDM cắt điểm thứ hai E Chứng minh E thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN Gọi K điểm di động nửa đường trịn đường kính BC (cung chứa điểm M) Q chân đường vng góc hạ từ K xuống BC Tìm vị trí điểm K để tổng KQ+BQ đạt giá trị lớn Câu 5: (0,5 điểm) a, b, c số thực dương, chứng minh : a b3 c a b c + + ≥ + + b2 c2 a b c a Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieutoanhoc.com Website: tailieumontoan.com HẾT ĐÁP ÁN HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT x − x x + x ( x − 1) − + x + x +1 x x −1 Câu Cho biểu = thức P ∀x > 0; x ≠ 1) Tính giá trị P x = 2) Rút gọn P 3) Tìm giá trị nhỏ P Lời giải = 1) P = P x − x x + x ( x − 1) − + x + x +1 x x −1 x ( )( ) − x (2 x −1 x + x +1 x + x +1 ∀x > 0; x ≠ ) + 2( x +1 x )( x −1 ) x +1 x −1 P = x − x − x −1+ x + P = x − x + ∀x > 0; x ≠ Thay x = (TMDK ) vào biểu thức P ta P =9 − + P = − +1 = Vậy x = P = 2) Rút gọn P x − x x + x ( x − 1) P = − + x + x +1 x x −1 = P x ( )( ) − x (2 x −1 x + x +1 x + x +1 ∀x > 0; x ≠ ) + 2( x +1 x )( x −1 ) x +1 x −1 P = x − x − x −1+ x + P = x − x + ∀x > 0; x ≠ 3) Tìm giá trị nhỏ P Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieutoanhoc.com Website: tailieumontoan.com P = x − x + ∀x > 0; x ≠ P= 1 x − x + + 4 1 P= x− + 2 1 Ta có x − ≥ ∀x 2 1 3 ∀x x− + ≥ 2 4 Dấu " = " xảy x= 1 ⇔ x = ( tmdk ) Vậy giá trị nhỏ P = ⇔x= 4 Câu 2: 1) Chiều cao hải đăng bao nhiêu? Biết tia nắng mặt trời chiếu qua đỉnh hải đăng hợp với mặt đất góc 350 bóng hải đăng mặt đất dài 20 m ( làm tròn kết đén chữ số thập phân thứ nhất) 2) Giải tốn sau cách lập phương trình hệ phương trình: Nếu giảm chiều rộng mảnh vườn hình chữ nhật 3m tăng chiều dài thêm 8m diện tích mảnh vườn giảm 54m Nếu tăng chiều rộng mảnh vườn thêm 2m giảm chiều dài 4m diện tích mảnh vườn tăng thêm 32m Hãy tính kích thước mảnh vườn Lời giải 1) Gọi chiều cao hải đăng AB, bóng hải đăng mặt đất BC, góc tạo tia nắng mặt trời qua hải đăng hợp với mặt đất góc 350 A AB Tam giác ABC vng B, ta có: tan C = AC C 35° B AB ⇒ tan 350 = 20 ⇒= AB tan 35= 20 14m Vậy chiều cao hải đăng là: 14m 2) Gọi chiều dài chiều rộng mảnh vườn hình chữ nhật a, b ( m , đk: a > 4, b > ) Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieutoanhoc.com Website: tailieumontoan.com Diện tích mảnh vườn là: a.b ( m ) Khi giảm chiều rộng mảnh vườn hình chữ nhật 3m tăng chiều dài thêm 8m diện tích mảnh vườn giảm 54m nên ta có phương trình: ( b − 3) ( a + ) = ab − 54 (1) Khi tăng chiều rộng mảnh vườn thêm 2m giảm chiều dài 4m diện tích mảnh vườn tăng thêm 32m nên ta có phương trình: ( b + 3).( a − ) = ab + 32 (2) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: (b − 3).( a + ) = ab − 54 ( b + ) ( a − ) = ab + 32 ab + 8b − 3a − 24 = ab − 54 ⇔ ab − 4b + 2a − = ab + 32 −30 8b − 3a = ⇔ 40 −4b + 2a = a = 50 (tm) ⇔ b = 15 (tm) Vậy chiều dài, chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật là: 50m,15m Câu 3: (2,0 điểm) a Giải phương trình sau tập số thực x − ( ) −1 x + − = b Cho phương trình x − 2mx + 2m − = , với m tham số thực Tìm giá trị m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 = Lời giải x − ( ) −1 x + − = ( ) Ta có a == 1, b −2 − , c = −3 ⇒ a +b+c = Suy phương trình có nghiệm phân biệt x1 = x2= Vậy PT có tập nghiệm = S {1; c = −3 a } −3 Phương trình x − 2mx + 2m − = , với m tham số thực ∆ ' = ( −m ) − ( 2m − ) = m − 2m + 2= ( m − 1) + > ∀m ∈ R Suy pt có hai nghiệm phân biệt với m Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieutoanhoc.com Website: tailieumontoan.com 2m x1 + x2 = Theo Vi-et ta có : x2 2m − x1.= Theo đề, ta có : x1 + x2 = 2m x2 = − m 2 x2= − 2m x2 = − m x1 + x2 = ⇔ ⇔ Giải hệ pt ⇔ 2m x1 3m − x1 = 2m − ( − m ) x1 + x2 = = x1 + x2 = x2 = − m Thay vào x1.= x2 2m − , ta được: x1 3m − = ( 3m − 3) ( − m ) = 2m − ⇔ 9m − 3m − + 3m= 2m − ⇔ 3m − 10m + = Ta thấy + ( −10 ) + =0 suy m = m = Vậy m = m = x1 + 3x2 = Câu (thoả mãn) phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BM CN cắt H a) Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp đường tròn xác định vị trí tâm I đường trịn b) Gọi D điểm thuộc cạnh BC ( D khác B D khác C ) Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDN đường tròn ngoại tiếp tam giác CDM cắt điểm thứ hai E Chứng minh E thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN c) Gọi K điểm di động nửa đường trịn đường kính BC (cung chứa điểm M ) Q chân đường vuông góc hạ từ K xuống BC Tìm vị trí điểm K để tổng KQ + BQ đạt giá trị lớn Lời giải Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieutoanhoc.com Website: tailieumontoan.com a) Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp đường tròn xác định vị trí tâm I đường trịn Ta có: BM CN đường cao ⇒ BM ⊥ AC CN ⊥ AB ⇒ ANH = AMH = 90° Xét tứ giác AMHN có ANH + AMH = 180° nên tứ giác AMHN nội tiếp Do A , N , H , M thuộc đường tròn tâm I trung điểm AH bán kính AH b) Gọi D điểm thuộc cạnh BC ( D khác B D khác C ) Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDN đường tròn ngoại tiếp tam giác CDM cắt điểm thứ hai E Chứng minh E thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieutoanhoc.com Website: tailieumontoan.com + NED Ta có tứ giác BNED nội tiếp ⇒ NBD = 180° ⇒ NED = 180° − NBD + DEM = = Tứ giác CDEM nội tiếp ⇒ DCM 180° ⇒ DEM 180° − DCM + NED + DEM = Ta lại có MEN 360° + DEM = + 180° − DCM ) ) 360° − (180° − NBD ⇒ MEN = 360° − ( NED + DCM − 180° + DCM = 360° − 180° + NBD = NBD = ABC + ACB = 180° − BAC = 180° − MAN + MEN ⇒ MAN = 180° ⇒ tứ giác AMEN nội tiếp ⇒ E thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN (đpcm) c) Gọi K điểm di động nửa đường trịn đường kính BC (cung chứa điểm M ) Q chân đường vng góc hạ từ K xuống BC Tìm vị trí điểm K để tổng KQ + BQ đạt giá trị lớn Gọi O trung điểm BC ⇒ OK = R ; α = KOQ Để KQ + BQ đạt giá trị lớn Q phải bên phải điểm O ⇒ 0° ≤ α ≤ 90° ≤ sin α ≤ ; ≤ cos α ≤ KQ KQ Ta có sin α = = ⇒ KQ = R sin α OK R Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieutoanhoc.com Website: tailieumontoan.com OQ OQ = ⇒ OQ = R cos α OK R ⇒ KQ + BQ = R sin α + R + R cos α = R(1 + sin α + cos α ) cos α = Ta lại có (sin α + cos α ) = sin α + cos α + sin α cos α = + sin α cos α sin α + cos α Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có: sin α cos α ≤ = 2 ⇒ (sin α + cos α ) = + sin α cos α ≤ + = 2 ⇒ (sin α + cos α ) ≤ Mà ≤ sin α ≤ ; ≤ cos α ≤ ⇒ sin α + cos α ≥ ⇒ sin α + cos α ≤ ( ⇒ KQ + BQ = R (1 + sin α + cos α ) ≤ R + ) Dấu “=” xảy ⇔ sin α = cos α ⇔ α = 45° Câu 5: (0,5 điểm) a, b, c số thực dương, chứng minh : a b3 c a b c + + ≥ + + b2 c2 a b c a Lời giải Áp dụng BĐT Cô-si ta có: a3 a b3 b c3 c2 ; ; + a ≥ + b ≥ + c ≥ b2 b c2 c a2 a Cộng vế bất đẳng thức ta suy a b3 c a b2 c2 + + ≥ 2( + + ) − (a + b + c) b2 c2 a b c a (1) Tiếp tục áp dụng BĐT Cơ-si ta có: b2 a2 c2 + c ≥ 2b ; + a ≥ 2c + b ≥ 2a ; c b a Cộng vế bất đẳng thức ta suy a b2 c2 + + + (a + b + c) ≥ 2(a + b + c) b c a ⇔ a b2 c2 + + − (a + b + c) ≥ (2) b c a Từ (1) (2) ta suy a b3 c a b c + + ≥ + + b2 c2 a b c a Dấu “=” xảy a= b= c Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieutoanhoc.com Website: tailieumontoan.com TRƯỜNG THCS ARCHIMEDES ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT LẦN NĂM HỌC 2022-2023 MƠN: TỐN Câu (2,0 điểm) Cho hai biểu thức A = x +2 B= x +1 x với x ≥ 0, x ≠ − + x −2 x−4 x +2 a) Tính giá trị biểu thức A x = 25 b) Chứng minh B = x +2 c) Tìm số dương x để biểu thức P = A.B nhận giá trị nguyên Câu (2,5 điểm) 1) Giải toán cách lập hệ phương trình Hai tổ sản xuất nhà máy theo kế hoạch phải làm 1800 kit test COVID-19 Nhưng tổ I làm vượt mức 25% kế hoạch tổ II làm vượt mức 30% kế hoạch, hai tổ làm 2300 kit test COVID-19 Hỏi theo kế hoạch tổ phải làm kit test COVID- 19? 2) Một bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài 50m , chiều rộng 24m chiều cao 2,5m Người ta bơm nước vào bể cho mặt nước cách mép bể 0,8m Tính thể tích nước có bể Câu (2,5 điểm) 1) 2) 5 x + − ( x + y ) = Giải hệ phương trình 2 x + + ( x + y ) = Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ( d1 ) : y =( m + 1) x + đường thẳng :y ( d )= Câu 2mx + Tìm m để ( d1 ) cắt ( d ) điểm nằm đường thẳng y = x (2,5 điểm) Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn ( O, R ) Các tiếp tuyến A B đường tròn ( O ) cắt M 1) Chứng minh điểm M , B, O, A thuộc đường tròn OA ⊥ BC 2) MC cắt ( O ) D ( D ≠ C ) tia BD cắt MA N Chứng minh NA2 = ND.NB N trung điểm AM Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo) : 039.373.2038 Webste: tailieutoanhoc.com x − 50 = ⇔ x + 55 = x = 50 (TMÐK) ⇔ x = −55(Không TMÐK) Vậy số nhiệt kế mà phân xưởng sản xuất ngày theo kế hoạch 50 2) Một nón hình nón có đường sinh 20 cm , đường kính 30 cm Người ta dùng hai lớp để phủ lên bề mặt xung quanh nón Tính diện tích cần dùng cho nón Lời giải Diện tích xung quanh nón hình nón S= π= rl π xq 30 20 = 300π (cm2) Theo đề bài, người ta dùng hai lớp để phủ lên bề mặt xung quanh Diện tích cần dùng cho nón 300π = 600π (cm2) Bài III (2,5 điểm) 3 ( x − ) − y + = 1) Giải hệ phương trình 2 ( x − ) + = y+3 Lời giải ĐKXĐ: y ≠ −3 Hệ phương trình tương đương với hệ 2 3 ( x − ) − y + = 4 = = 3 ( x − ) − y + = 3.2 − 3 ( x − ) − y+3 y+3 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 7 ( x − ) = x − = x − = 4 ( x − ) + = 10 14 2 y+3 =1 y +3 = y = −2 (TM ) ⇔ y+3 ⇔ ⇔ x = x = x = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) ( 4; −2 ) 2) Cho Parabol ( P) : y = x đường thẳng (d ) : y = x − m + với m tham số a) Tìm tọa độ giao điểm (d ) ( P) m = b) Tìm m để (d ) cắt ( P) hai điểm có hồnh độ x1 ; x2 thỏa mãn 2x1 = x2 Lời giải a) Tìm tọa độ giao điểm (d ) ( P) m = Xét phương trình hồnh độ giao điểm (d ) ( P) (khi m = ), ta có: x= 5x − ⇔ x2 − 5x + = ⇔ x2 − x − 4x + = ⇔ x( x − 1) − 4( x − 1) = ⇔ ( x − 1)( x − 4) = x −1 = = x ⇔ ⇔ −4 = x= x Thay x = vào ( P) ta y = Thay x = vào ( P) ta y = 16 Vậy với m = (d ) cắt ( P) hai điểm (1;1) ( 4;16 ) b) Tìm m để (d ) cắt ( P) hai điểm có hồnh độ x1 ; x2 thỏa mãn 2x1 = x2 Xét phương trình hồnh độ giao điểm (d ) ( P) , ta có: x2 = 5x − m + ⇔ x − x + m − =0 (1) Phương trình (1) có a = ≠ nên (1) phương trình bậc hai, ta có: ∆ = (−5) − 4.1.(m − 1) =25 − 4m + = 29 − 4m Đường thẳng (d ) cắt ( P) hai điểm có hồnh độ x1 ; x2 ⇔ Phương trình (1) có hai nghiệm ⇔∆≥0 ⇔ 29 − 4m ≥ ⇔m≤ 29 Với m ≤ 29 (d ) cắt ( P) hai điểm có hồnh độ x1 ; x2 nghiệm phương trình (1) x + x = Theo định lý Viet, ta có: x1.x2= m − (2) (3) Xét 2x1 = x2 (4) x x ≥ Điều kiện để (4) tồn là: x1 ≥ 0; x2 ≥ ⇔ x1 + x2 ≥ m − ≥ (theo định lý Viet) ⇔ 5 ≥ ⇔ m ≥1 Khi đó, ta có (4) ⇔ 4x12 = x2 (5) Vì x1 nghiệm phương trình (1) , nên ta có: x12 − x1 + m − =0 ⇔ x12 = x1 − m + Thay x12 = x1 − m + vào (5) ta được: ( x1 − m + 1) = x2 ⇔ 20 x1 − x2 = 4m − Kết hợp với (2) , ta có hệ phương trình: x1 + x2 = 20 x1 − x2 = 4m − x1 + x2 = ⇔ x1 4m + 21= x1 + x2 = ⇔ 4m + x1 = 21 104 − 4m x2 = 21 ⇔ (6) x = 4m + 21 Thay (6) vào (3) , ta được: 4m + 104 − 4m = m −1 21 21 ⇔ ( 4m + 1)(104 − 4m )= 212 ( m − 1) ⇔ −16m + 412m + = 104 441m − 441 ⇔ 16m + 29m − 545 = ⇔ 16m − 80m + 109m − 545 = ⇔ 16m ( m − ) + 109(m − 5) = ⇔ ( m − )(16m + 109 ) = m = (TM ) m − = ⇔ ⇔ m = − 109 ( KTM ) 16 m + 109 = 16 Vậy m = (d ) cắt ( P) hai điểm có hồnh độ x1 ; x2 thỏa mãn 2x1 = x2 Bài IV (3,0 điểm) Cho đường tròn (O) Từ điểm A nằm ngồi đường trịn vẽ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (O) với B, C tiếp điểm Qua điểm A vẽ đường thẳng d không qua tâm cắt đường tròn P, Q ( P nằm A Q ; P Q thuộc nửa mặt phẳng bờ đường thẳng OA không chứa điểm B ) Gọi I giao điểm AO BC a) Chứng minh: điểm A, B, O, C thuộc đường tròn b) Chứng minh: AB = AI AO Từ suy ra: AI AO = AP AQ c) Vẽ đường thẳng qua P song song BQ cắt đường thẳng AB, BC theo thứ tự M , G Chứng minh: P trung điểm MG Lời giải B I A O P Q C a) Chứng minh: điểm A, B, O, C thuộc đường trịn Có AB tiếp tuyến ( O ) ⇒ AB ⊥ BO ⇒ ABO =90° Có AC tiếp tuyến ( O ) ⇒ AC ⊥ CO ⇒ ACO =90° Xét tứ giác ABOC có ABO ACO vị trí đối ABO + ACO= 90° + 90°= 180° , hai góc ⇒ Tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn (dấu hiệu nhận biết) ⇒ Bốn điểm A, B, O, C thuộc đường tròn (đpcm) b) Chứng minh: AB = AI AO Từ suy ra: AI AO = AP AQ Có AB, AC hai tiếp tuyến cắt A ( O ) ⇒ AB = AC ⇒ A ∈ đường trung trực BC Vì OB = OC (bằng bán kính) ⇒ O ∈ đường trung trực BC ⇒ OA đường trung trực BC ⇒ OA ⊥ BC hay ⇒ OA ⊥ BI Xét tam giác ABO vuông A , đường cao BI có AB = AI AO (Hệ thức lượng tam giác vuông) (1) Xét ∆ABP ∆AQB có chung BAQ ABP = AQB (Hệ góc tạo tiếp tuyến dây cung) ⇒ ∆ABP # ∆AQB (g-g) AB AP = ⇒ AB =AP AQ (2) AQ AB Từ (1) (2) , ta suy AI AO = AP AQ (đpcm) c) Chứng minh: P trung điểm MG B M I A O P F Q G C Gọi F giao điểm BC AQ Theo câu b, ta có AI AO = AP AQ ⇒ AI AQ = AP AO Xét ∆AIP ∆AQO có chung OAQ AI AQ = AP AO ⇒ ∆AIP # ∆AQO (c-g-c) ⇒ AIP = AQO ⇒ tứ giác QOIP nội tiếp đường tròn (dấu hiệu nhận biết) = (Góc nội tiếp chắn cung QO ) ⇒ OIQ OPQ = Có OP OQP = OQ ⇒ ∆OPQ cân O ⇒ OPQ ⇒ QIF = FIP ⇒ IF phân giác ∆IPQ mà AIF= 90° AIP = OIQ ⇒ ⇒ IA phân giác ∆IPQ ⇒ Xét ∆ABQ có PM // BQ nên suy MP AP = (4) BQ AQ Xét ∆FBQ có PG // BQ nên suy GP FP = (5) BQ FQ Từ (3), (4) (5) , ta có Bài V FP AP IP = = (3) FQ AQ IQ MP GP = ⇒ MP = GP ⇒ P trung điểm MG (đpcm) BQ BQ (0,5 điểm) Cho hai số thực x, y thỏa mãn x ≥ 1; x + y ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức A =x + xy + y Lời giải Ta có A =x + xy + y = (2y) 2 3 3 + 2.2 y ⋅ x + x − x + x 4 4 = y + x + x 16 Vì y + x ≥ với ∀x; y Có x ≥ ⇒ 7 x ≥ 16 16 7 với ∀x; y ⇒ y + x + x2 ≥ 16 16 ⇒ A≥ 16 = x = x 1= x Dấu “=” xảy ⇔ ⇔ −3 (TMĐK) −3 ⇔ y= 2y x = 2 y += 4 Vậy giá trị nhỏ biểu thức A = −3 khi= x 1;= y 16 TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ NỘI – AMSTERDAM TỔ TOÁN – TIN ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ KIỂM TRA KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG NĂM HỌC 2022 - 2023 MƠN TỐN LỚP Thời gian làm bài: 120 phút Bài I (2,0 điểm) x−2 x +4 1 x−7 + + B = với x > 0, x ≠ x−4 x +2 2− x x 1) Tính giá trị biểu thức A x = Cho hai biểu thức: A = x x +2 3) Tìm tất số nguyên x để biểu thức P = A.B có giá trị nguyên Bài II (2,0 điểm) 1) Giải tốn sau cách lập phương trình hệ phương trình : Một đội xe dự định dùng số xe loại để chở 180 hàng để ủng hộ đồng bào tỉnh khó khăn để chống dịch Covid Lúc khởi hành đội bổ sung thêm xe loại Nhờ vậy, so với ban đầu, xe chở Hỏi lúc đầu đội có xe? Biết khối lượng hàng xe chở 2) Một bồn nước inox có dạng hình trụ với đường kính đáy 60cm , chiều cao m Hỏi bồn nước đựng đầy mét khối nươc? (Bỏ qua chiều dày vỏ thùng lấy π ≈ 3,14 ) Bài III (2,5 điểm) 2) Chứng minh B = 2y x +1 + y +1 = 1) Giải hệ phương trình 2 x + − = y +1 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol ( P ) : y = x đường thẳng ( d ) : y = ( 2m + 1) x − m2 − m a) Chứng minh đường thẳng ( d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 b) Giả sử x1 < x2 Tìm tất giá trị m để x12 − x2 + = Bài IV (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn ( O ) , đường cao AD, BE cắt H , F chân đường vng góc hạ từ B lên tiếp tuyến A ( O ) Gọi K trực tâm tam giác BEF , đường thẳng CK cắt AF điểm M 1) Chứng minh điểm A, F , B, D, E nằm đường tròn 2) Chứng minh AM AF ABF = CBE = AC EC N , K , E thẳng hàng 3) Gọi N chân đường cao hạ từ A lên BM Chứng minh: BA phân giác MBC Bài V (0,5 điểm) 4, tìm giá trị nhỏ biểu thức Với số thực không âm a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca + abc = P= a+ b+ c HƯỚNG DẪN Bài I (2,0 điểm) Cho hai biểu thức A = x−2 x +4 1 với x > 0, x ≠ + + x−4 x +2 2− x x−7 B = x a) Tính giá trị biểu thức A x = x x +2 b) Chứng minh B = c) Tìm tất số nguyên x để biểu thức P = A.B có giá trị nguyên Lời giải a) Ta thấy x = thỏa mãn điều kiện x > 0, x ≠ , ta thay vào biểu thức A , ta x−7 9−7 = = x = A Vậy A = x = b) Với điều kiện x > 0, x ≠ , ta có: x−2 x +4 1 + + x−4 x +2 2− x B= = = )( ( x +2 ( x −2 − x −2 x +2 − ) ( x +2 )( ) ( x + 2) + ( x − ( x + 2)( x − 2) x −2 x +4 + ) ( x−2 x +4 x −2 )( x +2 ) x −2− x −2+ x−2 x +4 = = x −2 ( x +2 )( x −2 x−2 x = x +2 x −2 ( )( ) ) ( Vậy với x > 0, x ≠ B = c) Ta có: P= A.B= ( ) x x −2 = x +2 x −2 )( ) x x +2 x x +2 x−7 x ⋅ = x x +2 x−7 = x +2 x −2− x +2 ) x ∈ x ∈ ⇔ x + ∈ U ( 3) ⇔ x = (Thỏa mãn x > 0, x ≠ ) Để P số nguyên ∈ x +2 x + ≥ Vậy với x = biểu thức P = A.B có giá trị nguyên Bài II (2,0 điểm) 1) Giải tốn sau cách lập phương trình hệ phương trình: Một đội xe dư định dùng số xe loại để chở 180 hàng để ủng hộ đồng bào tỉnh khó khăn để chống dịch Covid Lúc khởi hành đội bổ sung thêm xe loại Nhờ vậy, so với ban đầu, xe chở Hỏi lúc đầu đội có xe? Biết khối lượng hàng xe chở Lời giải Gọi số xe lúc đầu đội x (đơn vị: xe, điều kiện x ∈ N * ) 180 (tấn hàng/xe) Số hàng xe chở lúc đầu là: x Số xe thực tế là: x + (xe) 180 Số hàng xe chở thực tế là: (tấn hàng/xe) x+3 Vì thực tế xe chở nên ta có phương trình : 180 180 = +2 x x+3 180 ( x + 3) x ( x + 3) 180 x ⇔ = + x ( x + 3) x ( x + 3) x ( x + 3) ⇒ 180 ( x + 3)= 180 x + x ( x + 3) ⇔ 180 x + 540 = 180 x + x + x ⇔ x + x − 540 = ⇔ ( x + 18 )( x − 15 ) = x = 15 ( tm ) ⇔ x = −18 ( ktm ) Vậy số xe lúc đầu đội 15 xe 2) Một bồn nước inox có dạng hình trụ với đường kính đáy 60 cm , chiều cao 1m Hỏi bồn nước đựng đầy mét khối nước? (Bỏ qua chiều dày vỏ thùng lấy π ≈ 3,14 ) Lời giải Đổi 60 cm = 0, m Bán kính đáy là: 0, : = 0,3 ( m ) Thể tích bồn nước = là: V π= R h 3,14.0,3 = 0, 2826 (m3 ) Vậy thể tích bồn nước 0, 2826 m3 nước Bài III (2,5 điểm) 2y x + + y + =2 1) Giải hệ phương trình 2 x + − =3 y +1 Lời giải (ĐKXĐ: x ≥ −1; y ≠ −1 ) 2y 2( y + 1) − 2 = = x +1 − x + + y + =2 x +1 + y +1 y +1 ⇔ ⇔ 3 2 x + − 2 x + − 2 x + − =3 = = y +1 y +1 y +1 2 2 x +1 − y +1 = 0 x +1 − y +1 = x +1 − y +1 = ⇔ ⇔ ⇔ x +1 = 3 x + = 4 x + − = 3 y +1 =1 y + =2 1 − y + = ⇔ y +1 ⇔ ⇔ x +1 = x +1 = x +1 = 1 y = (TM ) ⇔ x = (TM ) Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = ( 0;1) 2) Trong mặt phẳng tạo độ Oxy , cho Parabol ( P) : y = x đường thẳng (d ) : y = (2m + 1) x − m − m a) Chứng minh đường thẳng (d ) cắt ( P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 b) Giả sử x1 < x2 Tìm tất giá trị m để x12 − x2 + = Lời giải a) Chứng minh đường thẳng (d ) cắt ( P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 Xét phương trình hồnh độ giao điểm (d ) ( P) , ta có: x = (2m + 1) x − m − m ⇔ x − (2m + 1) x + m + m = (1) Phương trình (1) có: a == 1; b −(2m + 1); c =+ m2 m Vì a = ≠ nên (1) phương trình bậc hai, ta có: ∆ = [ −(2m + 1) ] − 4.1.(m + m) = 4m + 4m + − 4m − 4m =1 > 0, ∀m Vì ∆ > 0, ∀m nên phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với m ⇔ (d ) cắt ( P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 với m (đpcm) b) Giả sử x1 < x2 Tìm tất giá trị m để x12 − x2 + = Theo câu a) ta có ∆ = > ⇒ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 2m + − 2m + + x= = m; x= = m +1 2.1 2.1 Vì x1 < x2 nên x1 = m x2= m + Thay x1 = m x2= m + vào x12 − x2 + = ta được: m − (m + 1) + =0 ⇔ m − m = m = m = ⇔ ⇔ m(m − 1) = 0⇔ m = m − =0 Vậy m ∈ {0;1} giá trị cần tìm Bài IV (3,0 điểm) Cho tam giác ABC ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn ( O ) , đường cao AD, BE cắt H , F chân đường vng góc hạ từ B lên tiếp tuyến A ( O ) Gọi K trực tâm tam giác BEF , đường thẳng CK cắt AF điểm M 1) Chứng minh điểm A, F , B, D, E nằm đường tròn AM AF = 2) Chứng minh ABF = CBE AC EC 3) Gọi N chân đường cao hạ từ A lên BM Chứng minh: BA phân giác MBC N , K , E thẳng hàng Lời giải A E F M K H O N B D 1) Chứng minh điểm A, F , B, D, E nằm đường tròn = Ta có: BF ⊥ AM ⇒ BFA 90° = 90° nên ∆ABF nội tiếp đường trịn đường kính AB Xét tam giác ABF có BFA =90° Ta có: BE ⊥ AC ⇒ BEA = 90° nên ∆ABE nội tiếp đường trịn đường kính AB Xét tam giác ABE có BEA Ta có: AD ⊥ BC ⇒ ADB =90° Xét tam giác ABD có ADB= 90° nên ∆ABD nội tiếp đường trịn đường kính AB Từ đó, ta suy A, F , B, D, E thuộc đường trịn đường kính AB Vậy điểm A, F , B, D, E nằm đường tròn AM AF = ABF = CBE AC EC Vì K trực tâm ∆BEF nên FK ⊥ BE mà BE ⊥ AC ⇒ FK AC AF KC = (định lý Ta-let) (1) Xét ∆AMC có FK AC ⇒ AM CM 2) Chứng minh Vì K trực tâm ∆BEF nên EK ⊥ BF mà BF ⊥ AM ⇒ EK AM Xét ∆AMC có EK AM ⇒ EC KC = (định lý Ta-let) (2) AC MC C Từ (1) (2) ⇒ AF EC AM AF = ⇒ = (3) AM AC AC EC Xét ∆AFB ∆CEB ta có: = 90° AFB= CEB = ECB (góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến dây cung chắn FAB AB ) ⇒ ∆AFB # ∆CEB ( g − g ) (góc tương ứng) (đpcm) ⇒ ABF = CBE N , K , E thẳng hàng 3) Chứng minh: BA phân giác MBC AF AB =(4) Ta có ∆BFA # ∆BEC ⇒ CE BC Từ (3) (4) ⇒ AB AM AB CB = ⇒ = BC AC AM CA AB CB = Xét ∆MAB ∆ACB ta có: MAB = ACB ; AM CA ⇒ ∆MAB # ∆ACB ( c − g − c ) = ⇒ MBA ABC ⇒ BA tia phân giác MBC ( cmt ) ABF = CBE Mà (5) ⇒ NBF = ABE = AFE = FEK Lại có: ANB= 90° ⇒ ∆ANB nội tiếp đường tròn đường kính AB Suy sáu điểm A, F , N , B, D, E thuộc đường trịn đường kính AB ) (6) ⇒ NBF = NEF (góc nội tiếp chắn cung NF = Từ (5) (6) ⇒ FEK NEF ⇒ Ba điểm N , K , E thẳng hàng (đpcm) Bài V Với số thực không âm a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca + abc = , tìm giá trị nhỏ biểu thức P= a+ b+ c Lời giải Ta có: ab + bc + ca + abc = ⇔ ab + bc + ca + abc + ( 4a + 4b + 4c + ab + bc + ca + ) =4 + ( 4a + 4b + 4c + ab + bc + ca + ) ⇔ abc + 2ab + 2bc + 2ca + 4a + 4b + 4c + = ( bc + 2b + 2c + ) + ( ca + 2c + 2a + ) + ( ac + 4a + 4b + ) ⇔ ( a + )( b + )( c + ) = ( a + )( b + ) + ( b + )( c + ) + ( c + )( a + ) ⇔ 1 + + = a+2 b+2 c+2 2 ⇔ 3− + + 3− = a+2 b+2 c+2 ⇔ a b c + + = a+2 b+2 c+2 Ta lại có: a + ≥ 2 a ⇒ Tương tự ta có: Khi ta có: ⇔1≤ 2 ( a ≤ a a+2 2 b c ≤ b; ≤ c b+2 2 c+2 2 1 1 a b c + + ≤ a+ b+ = c a+2 b+2 c+2 2 2 2 2 a+ b+ c ) ⇔ a+ b+ c ≥2 Vậy giá trị nhỏ biểu thức P = 2 Dấu " = " xảy ( a; b; c ) = ( 2; 2;0 ) hoán vị ( a+ b+ c ) ... tiếp ⇒ NBD = 180° ⇒ NED = 180° − NBD + DEM = = Tứ giác CDEM nội tiếp ⇒ DCM 180° ⇒ DEM 180° − DCM + NED + DEM = Ta lại có MEN 360° + DEM = + 180° − DCM ) ) 360° − (180° − NBD... 039.373.2038 Website: tailieutoanhoc.com Website: tailieumontoan.com TRƯỜNG THCS ARCHIMEDES ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT LẦN NĂM HỌC 2022-2023 MƠN: TỐN Câu (2,0 điểm) Cho hai biểu thức A = x +2 B=... tailieutoanhoc.com Website: tailieumontoan.com TRƯỜNG THCS ARCHIMEDES ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT LẦN NĂM HỌC 2022-2023 MƠN: TỐN HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu (2,0 điểm) x +2 B= x +1 Cho hai biểu
Ngày đăng: 17/01/2023, 08:34
Xem thêm:
