1 Mục lục Lời nói đầu 3 Chương 1 Tiêu chuẩn Eisenstein 5 1 1 Đa thức bất khả quy 5 1 2 Tiêu chuẩn Eisenstein 11 1 3 Lịch sử phát hiện và chứng minh Tiêu chuẩn Eisenstein 14 Chương 2 Một số mở rộng của[.]
1 Mục lục Lời nói đầu Chương Tiêu chuẩn Eisenstein 1.1 Đa thức bất khả quy 5 1.2 Tiêu chuẩn Eisenstein 11 1.3 Lịch sử phát chứng minh Tiêu chuẩn Eisenstein 14 Chương Một số mở rộng tiêu chuẩn Eisenstein 18 2.1 Mở rộng cho trường hợp đa thức với hệ số nguyên 18 2.2 Miền phân tích (UFD) 25 2.3 Mở rộng cho trường hợp đa thức với hệ số miền UFD 29 2.4 Vận dụng xét tính bất khả quy đa thức 31 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 LỜI CẢM ƠN Luận văn “Tiêu chuẩn Eisenstein tính bất khả quy đa thức” thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn GS TS Lê Thị Thanh Nhàn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học Cơ dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Luận văn tơi hồn thành nhờ đơn đốc nhắc nhở hướng dẫn nhiệt tình cô Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, thầy, cô tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để tác giả học tập nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu đồng nghiệp Trường THPT Quế Võ số - Bắc Ninh tạo điều kiện cho hồn thành tốt nhiệm vụ học tập Nhân dịp này, xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học Tốn K10C (khóa 2016 - 2018), cảm ơn gia đình bạn bè động viên giúp đỡ tơi nhiều q trình học tập Tơi xin trân trọng cảm ơn! Lời nói đầu Trong kì thi học sinh giỏi cấp quốc gia, quốc tế, kì thi Olympic tốn sinh viên trường đại học tốn liên quan đến đa thức thường xuyên đề cập xem tốn khó Trong lý thuyết đa thức đa thức bất khả quy đóng vai trò quan trọng giống vai trò số nguyên tố tập số nguyên Các tốn xét tính bất khả quy đa thức trường số C R giải từ người ta chứng minh Định lý Đại số chứng minh hoàn chỉnh đưa Gauss năm 1816 Nhưng tốn tính bất khả quy đa thức Q thử thách nhà tốn học giới Với lý trên, tơi chọn đề tài “Tiêu chuẩn Eisenstein” tính bất khả quy đa thức Q Mục đích luận văn trình bày lại số kết gần mở rộng tiêu chuẩn Eisenstein cho tính bất khả quy đa thức Tiêu chuẩn Eisenstein phát biểu rằng, f pxq an xn an1 xn1 a1 x a0 đa thức với hệ số nguyên cho có số nguyên tố p thỏa mãn p ước với i n, p không ước an p2 khơng ước a0 , f pxq bất khả quy trường hữu tỷ Q Luận văn nghiên cứu đến vấn đề sau đây: • Vấn đề Mở rộng tiêu chuẩn Eisenstein cho trường hợp số nguyên tố p không ước hệ số ak với k số tự nhiên tùy ý không thiết n p2 không ước at với t tùy ý không thiết (dựa theo tài liệu [1], [4] [5]); • Vấn đề Mở rộng tiêu chuẩn Eisenstein cho trường hợp hệ số đa thức thuộc miền phân tích tùy ý (khơng thiết miền Z số nguyên) Từ xét tính bất khả quy đa thức nhiều biến (dựa theo tài liệu [6]); • Vấn đề Trình bày lịch sử phát chứng minh Tiêu chuẩn Eisenstein (dựa theo tài liệu [3]) Luận văn gồm hai chương Trong Chương 1, nhắc lại khái niệm đa thức bất khả quy, Tiêu chuẩn Eisenstein lịch sử phát chứng minh Tiêu chuẩn Eisenstein Chương nội dung luận văn, nêu số mở rộng tiêu chuẩn Eisenstein Tiết đầu dành để mở rộng cho trường hợp đa thức với hệ số nguyên Tiết 2.2 trình bày khái niệm miền phân tích nhất, chuẩn bị cho việc mở rộng tiêu chuẩn với trường hợp đa thức với hệ số miền UFD Tiết cuối trình bày vận dụng mở rộng để xét tính bất khả quy đa thức Nội dung nghiên cứu chưa tiếp cận bậc phổ thông đại học, gắn liền với toán sơ cấp Thái Nguyên, tháng năm 2018 Tác giả Nguyễn Khắc Hưởng Chương Tiêu chuẩn Eisenstein Mục tiêu Chương trình bày đa thức bất khả quy Tiêu chuẩn Eisenstein Trong tiết đầu chương nhắc lại số khái niệm đa thức bất khả quy số phương pháp chứng minh đa thức bất khả quy Tiết dành để trình bày Tiêu chuẩn Eisenstein Trong phần cuối chương chúng tơi trình bày lịch sử phát chứng minh Tiêu chuẩn Eisenstein 1.1 Đa thức bất khả quy Đa thức bất khả quy đóng vai trị quan trọng giống vai trò số nguyên tố vành Z số nguyên Nhờ Định lí số học, để nghiên cứu vành số ngun ta xuất phát từ số nguyên tố Tương tự để nghiên cứu vành đa thức ta nghiên cứu đa thức bất khả quy Trong suốt tiết này, giả thiết V miền nguyên, tức V vành giao hoán khác t0u a, b hai phần tử V ab Ta có khái niệm đa thức bất khả quy vành đa thức V rxs Chú ý V rxs miền nguyên Nội dung tiết tham khảo từ tài liệu [1] Định nghĩa 1.1.1 Cho f pxq P V rxs đa thức khác khơng khả nghịch Ta nói f pxq bất khả quy V khơng có ước thực Ta nói f pxq khả quy f pxq có ước thực Chú ý tính bất khả quy đa thức phụ thuộc vào vành sở Chẳng hạn, đa thức 2x bất khả quy trường Q Tuy nhiên 2x không bất khả quy vành Z đa thức x ước thực 2x Tương tự, đa thức x2 bất khả quy R không bất khả quy C Bổ đề 1.1.2 Đa thức f pxq bất khả quy f px khả quy với a P V aq bất Vì phần tử khác trường khả nghịch, nên từ định nghĩa đa thức bất khả quy ta có kết sau Bổ đề 1.1.3 Đa thức f pxq với hệ số trường K bất khả quy deg f pxq ¡ f pxq không phân tích thành tích hai đa thức có bậc bé Chú ý đa thức bậc với hệ số trường có nghiệm Vì ta có kết sau Bổ đề 1.1.4 Trên trường K, phát biểu sau i) Đa thức bậc bất khả quy ii) Đa thức bậc bậc bất khả quy khơng có nghiệm K Tiếp theo chúng tơi trình bày số phương pháp xét tính bất khả quy đa thức tập số hữu tỷ Q Trước hết ta nhắc lại khái niệm đa thức nguyên Định nghĩa 1.1.5 Một đa thức khác không vành Zrxs gọi nguyên hệ số có ước chung lớn Bổ đề 1.1.6 Tích hai đa thức nguyên đa thức nguyên Bổ đề 1.1.7 (Bổ đề Gauss) Cho ppxq P Zrxs Giả sử ppxq g pxqf pxq với g pxq, f pxq P Qrxs Khi tồn g pxq, f pxq P Zrxs cho deg g pxq deg g pxq, deg f pxq deg f pxq ppxq g pxqf pxq Đặc biệt, ppxq khả quy Q phân tích thành tích hai đa thức với hệ số nguyên có bậc thấp Chứng minh Viết f pxq af1pxq gpxq bg1pxq, a, b P Q f1 pxq, g1 pxq P Zrxs đa thức nguyên Khi f1 pxqg1 pxq đa thức nguyên (theo Bổ đề 1.1.6) Rõ ràng ppxq abf1 pxqg1 pxq P Zrxs r r với Ta chứng minh ab P Z Thật vậy, giả sử ab R Z Khi ab s s phân số tối giản s ¡ Viết f1 pxqg1 pxq an xn a1 x a0 Vì f1 pxqg1 pxq nguyên nên gcdpan , an1 , , a0 q Vì ppxq P Zrxs ran ra1 ra0 nên ta có , , , P Z Suy s ước chung an, , a1, a0, s s s điều vơ lí Vậy ab P Z Đặt f pxq abf1 pxq g pxq g1 pxq Khi ppxq f pxqg pxq với f pxq, g pxq P Zrxs deg f pxq deg f pxq deg g pxq deg g pxq l Chú ý f pxq an xn a1 x a0 đa thức với hệ số nguyên p nhận phân số tối giản làm nghiệm p ước a0 q ước q an Đặc biệt, an nghiệm hữu tỷ f pxq nghiệm nguyên Việc sử dụng Bổ đề Gauss để xét tính bất khả quy đa thức Q phương pháp hữu hiệu Một số ví dụ minh họa cho phương pháp xem tài liệu [1] Sau số ví dụ khác Ví dụ 1.1.8 Chứng minh đa thức ppxq x4 x2 bất khả quy Q Lời giải Nếu ppxq có nghiệm hữu tỷ nghiệm phải nghiệm nguyên (do hệ số số hạng cao 1) ước số hạng tự Kiểm tra ước 1, 1 thấy chúng khơng nghiệm ppxq Do ppxq khơng có nghiệm hữu tỷ Vì ppxq khơng tích đa thức bậc đa thức bậc ba Giả sử ppxq khả quy Q Theo Bổ đề Gauss, ppxq có phân tích ppxq g pxqhpxq g pxq, hpxq P Zrxs có bậc có hệ số cao Ta viết g pxq x2 ax b hpxq x2 cx d, a, b, c, d P Z Đồng hệ số hai vế $ ' a c ' ' ' ' & ac b d đẳng thức ppxq gpxqhpxq ta ' ad ' ' ' ' % 1 bc Vì bd vai bd trò b, d nên khơng tính tổng qt ta giả thiết d b d 1 Nếu b d a c 0, ac 3 Suy a2 đ a R Z, vơ lí Nếu b d 1 a c 0, ac Suy a2 1, vơ lí Như vậy, đa thức ppxq bất khả quy Q b Ví dụ 1.1.9 Chứng minh đa thức f pxq x6 6x4 6x3 12x2 36x bất khả quy Q Lời giải Dễ dàng kiểm tra f pxq khơng có nghiệm hữu tỷ Vì f pxq khơng tích đa thức bậc đa thức bậc năm Giả sử f pxq khả quy Q Theo Bổ đề Gauss (xem Bổ đề 1.1.7), tồn phân tích f pxq g pxqhpxq, g pxq, hpxq P Zrxs có hệ số cao có bậc dương Vì deg f pxq nên ta có hai trường hợp Trường hợp : f pxq px2 ax bqpx4 cx3 dx2 ex g q, a, b, c, d, e, g Vì bg P Z Đồng hệ số ta $ ' a c0 ' ' ' ' ' ' ac b d 6 ' ' ' ' & ad bc e 6 ' ae bd g 12 ' ' ' ' ' ' ag be 36 ' ' ' ' % bg (1.1) nên xảy trường hợp nhỏ sau Với b 1, g 1, thay vào hệ (1.1) ta $ ' ' ' ' ' ' ' & ' ' ' ' ' ' ' % a c0 (1.2a) ac d 7 (1.2b) ad c (1.2c) ae d 11 e 6 (1.2d) e 36 (1.2e) ape cq 18 (1.3) a Từ (1.2b) (1.2d) suy Từ (1.2a) (1.2e) rút c e theo a vào (1.3) ta phương trình ap36 a aq 18 suy a , vô lí Với b 1, g 1 thay vào hệ (1.1) ta $ ' ' ' ' ' ' ' & ' ' ' ' ' ' ' % a ac c0 (1.4a) d 5 ad c (1.4b) e 6 (1.4c) ae d 13 (1.4d) a e 36 (1.4e) Từ (1.4b) (1.4d) suy apc eq (1.5) ? Từ (1.4a) (1.4e) rút c e theo a vào (1.5) ta phương trình apa a 36q 8, suy a 2, vơ lí Trường hợp : f pxq px3 ax2 bx cqpx3 dx2 ex g q, a, b, c, d, e, g P Z Lập luận tương tự trường hợp ta dẫn đến vơ lí Do f pxq bất khả quy Q Tiếp theo, trình bày phương pháp rút gọn theo modulo số nguyên tố để xét tính bất khả quy đa thức trường số hữu tỷ Q Chú ý p số nguyên tố vành Zp số nguyên modulo 10 p trường Với đa thức f pxq an xn a1 x a0 P Zrxs số nguyên tố p, ta đặt f pxq an xn a1 x a0 P Zp rxs Định lý sau cho ta cơng cụ mạnh để xét tính bất khả quy Q đa thức với hệ số nguyên Định lý 1.1.10 Nếu tồn số nguyên tố p cho deg f pxq f pxq bất khả quy Zp f pxq bất khả quy Q deg f pxq Chứng minh Vì f pxq đa thức bất khả quy Zp nên deg f pxq ¡ Suy deg f pxq ¡ Giả sử đa thức f pxq khả quy Q Theo Bổ đề Gauss, f pxq có phân tích f pxq gpxqhpxq gpxq, hpxq P Zrxs g pxq, hpxq có bậc nhỏ bậc f pxq Chú ý f pxq g pxqhpxq Do đó, ta có deg f pxq deg g pxq deg hpxq Rõ ràng deg g pxq ¥ deg g pxq deg hpxq ¥ deg hpxq Vì deg f pxq deg f pxq nên deg g pxq deg g pxq deg hpxq deg hpxq Do f pxq phân tích thành tích hai đa thức g pxq, hpxq có bậc thấp Điều mâu thuẫn với tính bất khả quy f pxq Zp l Chú ý giả thiết deg f pxq deg f pxq Định lý 1.1.10 cần thiết Chẳng hạn, xét đa thức f pxq 5px 1q9 px 1q P Zrxs Đa thức không bất khả quy Q có ước thực x Ta có f pxq x P Z5 rxs Vì deg f pxq nên f pxq bất khả quy Z5 Ví dụ 1.1.11 Các đa thức sau bất khả quy Q i) f pxq 2017x2 ii) g pxq p2a iii) hpxq 19x4 2018x 1qx3 5x3 770 p2b 1qx2 1890x2 2cx 2x 2d 1, với a, b, c, d P Z Lời giải i) Vì f pxq x2 2x P Z3 rxs khơng có nghiệm Z3 deg f pxq nên f pxq bất khả quy Z3 Rõ ràng deg f pxq deg f pxq nên theo Định lý 1.1.10 f pxq bất khả quy Q ... tốn tính bất khả quy đa thức Q thử thách nhà toán học giới Với lý trên, chọn đề tài ? ?Tiêu chuẩn Eisenstein? ?? tính bất khả quy đa thức Q Mục đích luận văn trình bày lại số kết gần mở rộng tiêu chuẩn. .. Chương Tiêu chuẩn Eisenstein Mục tiêu Chương trình bày đa thức bất khả quy Tiêu chuẩn Eisenstein Trong tiết đầu chương nhắc lại số khái niệm đa thức bất khả quy số phương pháp chứng minh đa thức bất. .. khả quy đa thức phụ thuộc vào vành sở Chẳng hạn, đa thức 2x bất khả quy trường Q Tuy nhiên 2x không bất khả quy vành Z đa thức x ước thực 2x Tương tự, đa thức x2 bất khả quy R không bất khả quy