UBND TỈNH PHÚ YÊN CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc THUYẾT MINH MÔ TẢ GIẢI PHÁP VÀ KẾT QUẢ THỰC HIỆN SÁNG KIẾN 1 Tên sáng kiến “Phương trình bậc hai” 2 Ngày sáng kiến được[.]
Mẫu 02/SK CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc THUYẾT MINH MÔ TẢ GIẢI PHÁP VÀ KẾT QUẢ THỰC HIỆN SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: “Phương trình bậc hai” Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: 10/3/2021 Các thông tin cần bảo mật (nếu có): Khơng Mơ tả giải pháp cũ thường làm: - Giải pháp trước hệ thống dạng tập phương trình bậc hai cịn ít, không phong phú đa dạng - Bài tập chủ yếu mang tính vận dụng cấp độ thấp - Chất lượng thi thấp Sự cần thiết phải áp dụng giải pháp sáng kiến: - Phương trình bậc hai dạng toán quan trọng chương trình tốn lớp Nhưng dạng tập phương trình bậc hai sách giáo khoa lớp cịn hạn chế Vì em học sinh thường gặp khó khăn q trình giải dạng tốn liên quan đến phương trình bậc hai - Qua kết khảo sát 122 học sinh lớp năm học 2021-2022 trường THCS Bảo Đài, đa số em điểm tương đối thấp Cụ thể sau: Tổng số học sinh 122 Số học sinh điểm Số học sinh từ đến điểm Số học sinh từ -10 điểm Số lượng % Số lượng % Số lượng % 66 54,1 46 37,7 10 8,2 - Xuất phát từ hạn chế trên, cần thiết phải áp dụng giải pháp sáng kiến để: + Giúp học sinh có nhìn tổng qt phương trình bậc hai, để học sinh sau học xong giải tốt toán liên quan đến phương trình bậc hai bắt gặp kì thi + Rèn luyện cho học sinh kỹ phân tích, xem xét nhận dạng tốn từ tìm lời giải hợp lý + Nâng cao chất lượng thi học kì, đặc biệt thi vào lớp 10 cơng lập Mục đích giải pháp sáng kiến: - Hệ thống dạng tốn phương trình bậc hai cho em học sinh BM-SK02 Trang - Giúp em học sinh giải tốt dạng tập hay gặp cấu trúc đề thi vào lớp 10 - Nhằm nâng cao kiến thức cho học sinh để em tự tin kỳ thi, đặc biệt thi vào lớp 10 công lập - Nâng cao thứ hạng trường huyện, huyện tỉnh Nội dung: 7.1 Thuyết minh giải pháp cải tiến Giải pháp cải tiến để: - Giúp em học sinh có nhìn tổng qt dạng tốn phương trình bậc hai - Giúp em học sinh có nhiều cách giải phương trình bậc hai - Giúp em nhận dạng biết cách giải số tốn phương trình bậc hai chứa tham số - Qua giúp em tự tin kì thi học kì, đặc biệt kì vào lớp 10 cơng lập - Nâng cao chất lượng điểm số vào lớp 10 THPT nhà trường, huyện tỉnh 7.1.1 Giải pháp 1: Giải phương trình bậc hai - Ngồi cách giải phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = ( a ≠ ) công thức nghiệm em gặp sách giáo khoa lớp giải theo cách sau: Cách 1: Phân tích thành nhân tử Phương pháp giải: Tách bx = mx + nx Sao cho m.n = a.c Ví dụ: Giải phương trình: x2 – 5x + = Giải: x2 – 5x + = x2 – 2x – 3x + = x(x-2) – 3(x-2) = (x-2)(x-3) = x − = ⇔ x − = x = ⇔ x = Vậy phương trình cho có tập nghiệm: S = { 2;3} Cách 2: Sử dụng đẳng thức BM-SK02 Trang Phương pháp giải: Đưa đẳng thức A ± 2AB + B2 = ( A ± B ) Ví dụ 1: Giải phương trình: 2x2 + 8x + =0 Giải: 2x2 + 8x + =0 x2 + 4x + = x2 + 4x + – = (x+2)2 = x + = ⇔ x + = −1 x = −1 ⇔ x = −3 Vậy phương trình cho có tập nghiệm: S = { −1; −3} Ví dụ 2: Giải phương trình: x2 - 10x + 30 = Giải: x2 - 10x + 30 = x2 - 10x + 25 + = (x – 5)2 = -5 (loại) Vậy phương trình cho vô nghiệm Bài tập vận dụng: Giải phương trình sau a -3x2 + 9x + 12 = b x2 + 6x + = c 4x − 3.x + = 7.1.2 Giải pháp 2: Tính giá trị biểu thức nghiệm Phương pháp giải: b x1 + x = − a - Áp dụng hệ thức Vi ét: x x = c a - Biến đổi biểu thức để làm xuất tổng tích hai nghiệm - Thay hệ thức Vi ét vào biểu thức sau tính giá trị - Kết luận Một số dạng biểu thức chứa nghiệm thường gặp cách biến đổi: x12 + x 2 = ( x12 + 2x1x + x 2 ) − 2x1x = ( x1 + x ) − 2x1x 2 x13 + x 23 = ( x1 + x ) ( x12 − x1x + x 2 ) = ( x1 + x ) ( x1 + x ) − 3x1x BM-SK02 Trang 2 x14 + x = ( x12 + x 2 ) − 2x12 x 2 = ( x1 + x ) − 2x1x − ( x1x ) 2 1 x1 + x + = x1 x x 1x x12 x + x1x 2 = x1x ( x1 + x ) …………… Ví dụ: Gọi x1 , x hai nghiệm phương trình: x2 – 10x + = (1) Khơng giải phương trình (1) tính giá trị biểu thức: A = 2x12 + 2x 2 Giải: Vì x1 , x hai nghiệm phương trình (1) nên theo hệ thức Vi ét ta có: x1 + x = 10 , x1x = Ta có: A = 2x12 + 2x 2 A = ( x1 + x ) − 2x1x A = ( 102 − 2.9 ) A = 2.82 A = 164 Vậy A = 164 Bài tập vận dụng: Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình: 3x2 – 7x - 10 = (1) Khơng giải phương trình (1) tính giá trị biểu thức sau: - A = x13 + x 23 - B = x13 x + x1x 23 - C= 1 + x12 x 2 - D = x1 − x 7.1.3 Giải pháp 3: Lập phương trình bậc hai Bài tốn 1: Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm nó: Phương pháp giải: - Tính tổng hai nghiệm: S = x1 + x tích hai nghiệm: P = x1.x - Phương trình có hai nghiệm x1, x2 là: X − SX + P = Ví dụ: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm + − Giải: BM-SK02 Trang - Tổng hai nghiệm là: S = (1 + ) + (1 − ) = - Tích hai nghiệm là: P = (1 + )(1 − ) = -1 - Vậy + − hai nghiệm phương trình: X − 2X − = Bài tập vận dụng: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm cặp số sau: a) b) -5 12 c) −1 3 d) + 2− Bài tốn 2: Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = = ( a ≠ 0) (1) có hai nghiệm x1, x2 Hãy lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y1, y2 Phương pháp giải: - Chứng minh (1) ln có hai nghiệm x1, x2 b x + x = − a - Theo hệ thức Vi-ét ta có: x x = c a - Tính tổng S = y1 + y2 tích P = y1.y2 cách biển đổi S P dạng tổng tích hai nghiệm - Phương trình bậc hai ẩn y cần lập là: y2 – Sy + P = Ví dụ: Cho phương trình: x2 – 4x + = (1) có hai nghiệm x 1, x2 Khơng giải phương trình (1) lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là: y1 = 1 ; y2 = x1 x2 Giải: Xét phương trình: x2 – 4x + = (1) Ta có: ∆ = (−4)2 − 4.1.3 = > x1 + x2 = - Theo hệ thức Vi ét ta có: x1x2 = - Tổng S = y1 + y2 = - Tích P = y1.y2 = 1 x2 + x1 + = = x1 x2 x1x2 1 = x1 x2 - Phương trình bậc hai ẩn y cần lập là: y2 − y + = 3 BM-SK02 Trang Bài tập vận dụng: Cho phương trình: x2 + 7x + = (1) có hai nghiệm x 1, x2 Khơng giải phương trình (1) lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là: y1 = x12 ; y2 = x22 7.1.4 Giải pháp 4: Một số dạng toán phương trình bậc hai chứa tham số Bài tốn 1: Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) (1) chứa tham số m a Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt b Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép c Tìm m để phương trình (1) có nghiệm d Tìm m để phương trình (1) vơ nghiệm Phương pháp giải: - Tính ∆ (hoặc ∆ ' ) theo tham số m a Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ∆ > (hoặc ∆ ' > ) b Phương trình (1) có nghiệm kép ∆ = (hoặc ∆ ' = ) c Phương trình (1) có nghiệm ∆ ≥ (hoặc ∆ ' ≥ ) d Phương trình (1) vơ nghiệm ∆ < (hoặc ∆ ' < ) Chú ý: Nếu a có chứa tham số cần thêm điều kiện a ≠ Ví dụ 1: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + m2 – = (1), với m tham số Tìm m để phương trình (1) có nghiệm Giải: Xét phương trình: x2 – 2(m+ 1)x + m2 – = (1) Ta có: ∆ ' = [−(m + 1)]2 − 1.(m − 1) = m + 2m + − m + = 2m + Để phương trình (1) có nghiệm ⇔ ∆ ' ≥ ⇔ 2m + ≥ ⇔ m ≥ −1 Vậy với m ≥ −1 phương trình (1) có nghiệm Ví dụ 2: Cho phương trình: x2 + 2(m+1)x + m2 + 4m + = (1), với m tham số Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép Giải: Xét phương trình: x2 + 2(m+1)x + m2 + 4m + = (1) Ta có: ∆ ' = (m + 1)2 − (m2 + 4m + 5) = −2m− BM-SK02 Trang Để phương trình (1) có nghiệm kép -2m – = m = -2 Vậy với m = - phương trình (1) có nghiệm kép Bài tập vận dụng: Bài 1: Tìm điều kiện m để phương trình sau có nghiệm: a x2 – x - 2m = b 5x2 + 3x + m – = c x2 – (m - 1)x + m2 - = Bài 2: Tìm điều kiện m để phương trình sau có nghiệm kép Tìm nghiệm kép a x2 + 4x – m + = b x2 – 2(m-3)x + m2 – = c x2 + mx – m – 1= Bài tốn 2: Cho phương trình: ax2 + bx + c = ( a ≠ 0) (1), chứa tham số m a Chứng minh phương trình (1) ln có nghiệm với m b Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m Phương pháp giải: - Bước 1: Tính ∆ ∆ ' - Bước 2: Chứng minh ∆ ≥ ∆ ' > với m Ví dụ 1: Cho phương trình: x2 – 2(m-1)x + 2m -3 = (1), với m tham số Chứng minh phương trình (1) ln có nghiệm với m Giải: Xét phương trình: x2 – 2(m-1)x + 2m -3 = (1) Ta có: ∆ ' = [ −(m − 1) ] − (2m − 3) = m − 2m + − 2m + = m − 4m + = (m − 2) Vì (m − 2) ≥ với m Vậy phương trình (1) ln có hai nghiệm với m Ví dụ 2: Cho phương trình: x2 – 2(m-1)x + m -3 = (1), với m tham số a Giải phương trình (1) với m = b Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m Giải: a Thay m = vào phương trình (1) ta được: BM-SK02 Trang x2 – 2(0 – 1)x + – = x2 + 2x – = Ta có: a + b + c = +2 + (-3) = Suy phương trình (1) có hai nghiệm x1 = 1; x2 = -3 Vậy với m = phương trình (1) có tập nghiệm S = { 1; −3} b Xét phương trình: x2 – 2(m-1)x + m -3 = (1) Ta có: ∆ , = − ( m − 1) − 1.( m − 3) = m − 2m +1 − m + = m − 3m + 3 = m − ÷ + > với m 2 Vậy phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m Bài tập áp dụng: Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm hai nghiệm phân biệt với m a x2 + 2mx - 2m - = b x2 – 2(m-3)x + m – = Bài toán 3: Cho phương trình: ax2 + bx + c = ( a ≠ 0) (1) chứa tham số m Xác định m để phương trình (1) có nghiệm α cho trước, với m vừa tìm xác định nghiệm cịn lại phương trình Phương pháp giải: - Thay x = α vào phương trình (1) để tìm m - Thay giá trị m vừa tìm vào phương trình (1), giải phương trình tìm nghiệm cịn lại Chú ý: Có thể dùng định lí Vi ét để tìm nghiệm cịn lại Ví dụ: Cho phương trình: x2 – 2(m-1)x + 2m – = (1), với m tham số Tìm m để phương trình (1) có nghiệm -1 tìm nghiệm cịn lại phương trình Giải: Thay x = -1 vào phương trình (1) ta được: ( −1) − 2(m − 1).(−1) + 2m − = ⇔ 4m − = ⇔ m =1 - Thay m = vào phương trình (1) ta phương trình: BM-SK02 Trang x = x2 −1 = ⇔ x2 = ⇔ x = −1 Vậy với m = phương trình cho có nghiệm -1 nghiệm cịn lại x = Bài tập vận dụng: Tìm m để phương trình sau có nghiệm số cho trước ( ), tìm nghiệm lại a x2 - (m+2)x + m + = ( x = 1) b x2 + 2x + m2 – 2m = ( x = -3) Bài tốn 4: Cho phương trình: ax2 + bx + c = ( a ≠ ) (1) chứa tham số m Tìm điều kiện m để phương trình (1) có hai nghiệm x 1, x2 thỏa mãn điều kiện kx1 + px = q (trong k, p, q số cho trước) Phương pháp giải: - Tìm điều kiện m để phương trình có hai nghiệm x1, x2: ∆ ≥ ∆ ' ≥ - Theo hệ thức Vi - ét ta có: x1 + x = − b c (2); x1.x = (3) a a - Theo ta có: kx1 + px = q (4) kx1 + px = q - Từ (2) (4) ta có hệ phương trình b x + x = − a - Giải hệ phương trình tìm x1, x2 Thay giá trị x1, x2 vừa tìm vào (3) tìm m - Đối chiếu giá trị vừa tìm với điều kiện kết luận Chú ý: - Nếu a có chứa tham số cần thêm điều kiện a ≠ - Có thể kết hợp (3) với (4) để hệ phương trình từ tìm x x2 vào (2) tìm m Tùy cụ thể mà ta vận dụng cho hợp lý Ví dụ: Cho phương trình: x2 – 5x + m – = (1), với m tham số Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn 2x1 + x2 = Giải: Xét phương trình: x2 – 5x + m – = (1) Ta có: ∆ = (−5) − 4.(m − 3) = 37 − 4m Để phương trình (1) có hai nghiệm ⇔ 37 − 4m ≥ ⇔ m ≤ Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = x1.x2 = m -3 BM-SK02 37 (2) (3) Trang Theo ta có: 2x1 + x2 = (4) x1 + x = x = ⇔ Từ (2) (4) ta có hệ phương trình: 2x1 + x = x = Thay x1 = 2; x2 =3 vào phương trình (3) ta được: 2.3 = m -3 6 = m – m = (thỏa mãn ĐK) Vậy m = giá trị cần tìm Bài tập vận dụng: Cho phương trình: x2 + 2(m - 1)x + m - = (1), với m tham số Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: 3x1 - x2 = 11 Bài toán 5: Cho phương trình: ax2 + bx + c = ( a ≠ 0) (1) chứa tham số m Tìm điều kiện m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: a)x12 + x 2 = k b)x12 + x 2 + αx1x = k c) x1 x + =k x1 x1 a)x12 x + x1x 2 = k Với k, α số cho trước Phương pháp giải: - Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2: ∆ ≥ ∆ ' ≥ b x + x = − a - Theo hệ thức Vi ét ta có: x x = c a - Biến đổi điều kiện cho tổng tích hai nghiệm - Thay hệ thức Vi ét, giải phương trình tìm m - Đối chiếu m với điều kiện - Kết luận Chú ý: - Nếu a có chứa tham số cần thêm điều kiện a ≠ BM-SK02 Trang 10 - Nếu thay đẳng thức nghiệm phương trình bậc hai bất đẳng thức cách làm hồn tồn tương tự - Các tốn phương trình bậc hai chứa tham số có hai nghiệm đối nhau, nghịch đảo nhau, có nghiệm k lần nghiệm kia, có nghiệm lớn nghiệm k đơn vị ta quy tốn Ví dụ 1: Cho phương trình: x2 – (4m-1)x + 3m2 -2m = (1), với m tham số Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện: x12 + x22 = Giải: Xét phương trình: x2 – (4m-1)x + 3m2 -2m = (1) Ta có: ∆ = (4m – 1)2 – 12m2 + 8m = 16m2 – 8m + – 12m2 + 8m = 4m2 + > với m => Phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m x1 + x = 4m − Theo hệ thức Vi ét ta có: x1x = 3m − 2m Ta có: x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = (4m-1)2 – 2(3m2 – 2m) = 16m2 – 8m + – 6m2 + 4m = 10m2 – 4m – =0 Ta thấy a + b + c = 10 + (-4) + (-6) = m1 = 1; m2= −3 ( Thỏa mãn ĐK) −3 Vậy m∈ 1; phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 thỏa 5 mãn: x12 + x22 = Ví dụ 2: Cho phương trình: x2 – 2x + m – = (1), với m tham số 2 Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 cho x1 x + x1x > −10 Giải: Xét phương trình: x2 – 2x + m – = (1) Ta có: ∆ ' = (−1) − (m − 3) = − m Để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 ⇔ − m ≥ ⇔m≤4 BM-SK02 Trang 11 x1 + x = Theo hệ thức Vi ét ta có: x 1x = m − Theo ta có: x1 x + x1x > −10 2 ⇔ x1x ( x1 + x ) > −10 ⇔ ( m − 3) > −10 ⇔ m − > −5 ⇔ m > −2 Kết hợp với điều kiện m ≤ => −2 < m ≤ Vậy −2 < m ≤ phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 cho: x12 x + x1x 2 > −10 Ví dụ 3: Cho phương trình: x2 + 2(m – 2)x + m2 = (1), với m tham số Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2, cho x1 − x = Giải: Xét phương trình: x2 + 2(m – 2)x + m2 = (1) Ta có: ∆ ' = (m − 2) − m = m − 4m + − m = −4m + Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt -4m + > m −b x1 + x = a - Theo hệ thức Vi ét ta có: x x = c a x1 − α < - Từ giả thiết: x1 < α < x => x − α > => (x1 − α)(x − α) < ⇔ x1x − α (x1 + x ) + α < - Thay hệ thức Vi ét vào bất phương trình giải tìm m - Đối chiếu giá trị m vừa tìm với điều kiện - Kết luận Chú ý: Nếu a có chứa tham số cần thêm điều kiện a ≠ Ví dụ: Cho phương trình: x2 – 2(m-1)x + 2m – = (1), với m tham số a Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m b Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 < < x Giải: a Xét phương trình: x2 – 2(m-1)x + 2m – = (1) Ta có: ∆ ' = − ( m − 1) − 1.(2m − 5) = m2 – 2m + - 2m + = m2 – 4m + = (m-2)2 + > với m BM-SK02 Trang 17 Vậy phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m b Vì phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m x1 + x = 2(m − 1) Theo hệ thức Vi ét ta có: x1x = 2m − Theo ta có: x1 < < x x − < => x − > ⇒ (x1 − 2)(x − 2) < ⇔ x1x − 2(x1 + x ) + < 2m -5 – 4m + + < -2m < -3 m> (thỏa mãn ĐK) phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: x1 < < x Vậy m > Bài tập vận dụng: Cho phương trình: x2 + 2(m-3)x – 2m – = (1), với m tham số Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1 < −1 < x Bài toán 10: Cho phương trình: ax2 + bx + c = ( a ≠ 0) (1) chứa tham số m a Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu b Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dấu c Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương d Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm âm Phương pháp giải: a Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu a.c < ∆ ≥ b Phương trình (1) có hai nghiệm dấu ⇔ P > ∆ ≥ c Phương trình (1) có hai nghiệm dương ⇔ P > S > BM-SK02 Trang 18 ∆ ≥ d Phương trình (1) có hai nghiệm âm ⇔ P > S < Trong đó: S tổng hai nghiệm, P tích hai nghiệm Chú ý: Nếu a có chứa tham số cần thêm điều kiện a ≠ Ví dụ 1: Cho phương trình: x2 – 3mx + – 2m = (1), với m tham số Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu Giải: Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu a.c < - 2m < m>3 Vậy với m > phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu Ví dụ 2: Cho phương trình: x2 + 2x – m – = (1), với m tham số Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dấu Giải: Xét phương trình: x2 + 2x – m – = (1) Ta có: ∆ ' = 12 − ( −m − 1) = m + Để phương trình (1) có hai nghiệm dấu m + ≥ m ≥ −2 ⇔ ⇔ ⇔ − ≤ m < −1 − m − > m < − Vậy −2 ≤ m < −1 phương trình (1) có hai nghiệm dấu Bài tập vận dụng: Cho phương trình: x2 – 2(m-1)x + m -5 = (1), với m tham số a Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu b Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt 7.1.5 Giải pháp 5: Một số tốn có tính chất đặc biệt (nâng cao) phương trình bậc hai chứa tham số Ví dụ 1: Cho phương trình: x2 – 2mx + 4m – = (1), m tham số Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: x12 + 2mx2 – 8m + = Giải: Xét phương trình: x2 – 2mx + 4m – = (1) Ta có: ∆ ' = ( − m ) − ( 4m − ) = m2 – 4m + = (m-2)2 BM-SK02 Trang 19 Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ( m − ) > ⇔ m ≠ 2 x1 + x = 2m Theo hệ thức Vi ét ta có: x1x = 4m − Theo ta có: x12 + 2mx2 – 8m + = x12 + (x1 + x2) x2 – 8m + = (vì 2m = x1 + x2) x12 + x22 + x1x2 – 8m + = (x1 + x2)2 – x1x2 – 8m + = 4m2 – 4m + – 8m + = 4m2 – 12m + = (2m – 3)2 = m= Vậy m = (thỏa mãn ĐK) giá trị cần tìm Chú ý: Điều đặc biệt toán ta thay 2m điều kiện x + x2 sau khai triển, biến đổi tổng tích hai nghiệm Ví dụ 2: Cho phương trình: x2 – 2mx - 2021 = (1), m tham số Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: x13 + 2021x2 = Giải: Xét phương trình: x2 – 2mx - 2021 = (1) Ta có: ∆ ' = ( − m ) − 1.( −2021) = m + 2021 > với m Phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m x1 + x = 2m Theo hệ thức Vi ét ta có: x1x = −2021 Theo ta có: x13 + 2021x2 = x13 - x1x22 = (Vì -2021 = x1x2) x1(x12 - x22) = x1(x1 – x2)(x1 + x2) = x1 = x1 − x = x1 + x = BM-SK02 Trang 20 ... sinh để em tự tin kỳ thi, đặc biệt thi vào lớp 10 công lập - Nâng cao thứ hạng trường huyện, huyện tỉnh Nội dung: 7.1 Thuyết minh giải pháp cải tiến Giải pháp cải tiến để: - Giúp em học sinh có nhìn... đặc biệt kì vào lớp 10 cơng lập - Nâng cao chất lượng điểm số vào lớp 10 THPT nhà trường, huyện tỉnh 7.1.1 Giải pháp 1: Giải phương trình bậc hai - Ngồi cách giải phương trình bậc hai: ax2 + bx