Së gi¸o dôc - ®µo t¹o h¶I phßng ®Ò kh¶o s¸t chÊt l­îng ®Çu n¨m

Së gi¸o dôc ®µo t¹o h¶I phßng ®Ò kh¶o s¸t chÊt l­îng ®Çu n¨m Së gi¸o dôc ®µo t¹o h¶I phßng ®Ò thi häc sinh giái Trêng thpt trÇn nguyªn h n M«n to¸n líp 11 n¨m häc 2008 2009 Thêi gian lµm bµi 150’ Bµi[.]

đề thi học sinh giỏi Sở giáo dục - đào tạo hảI phòng Trờng thpt trần nguyên hÃn Môn toán lớp 11- năm học 2008-2009 Thời gian làm : 150 Bài 1( 4,0 điểm ) 1, Giải phơng trình : 2x + − 2 − x = 6x x2 + 2, Giải phơng trình sau : 2005 π − x) tan y = cos x + tan y + cos( (x, y ẩn ) Bài (4,0 điểm ) Cho hàm số f ( x) = x + ax + bx + cx + d , (a, b, c, d ∈ R) f (2) = 20 , f (3) = 30 BiÕt f (1) = 10 , H·y tÝnh f (12) + f (8) + 25 10 Bài (4,0 điểm ) Cho dÃy số (un ) đợc xác định nh sau u1 =  (n = 1,2,3,4,…)  un +1 = un + 2009 un un = +∞ 1, Chøng minh lim n →∞ u u1 u2 u3 + + + + n ) 2, T×m lim( n →∞ u u3 u4 un +1 Bµi (4,0 điểm ) Cho ba số dơng x,y,z thoả mÃn Tìm giá trị lớn P = 1 + + = x y z xyz x y z −1 + + 1+ x 1+ y z +1 Bài (4,0 điểm ) à tính góc BMC Cho tam giác ABC , 1, M ®iĨm n»m tam gi¸c cho MA2 = MB + MC H·y 2, Mét ®iĨm S nằm (ABC ) cho tứ diện SABC , gọi I, K trung điểm cạnh AC SB , Trên đờng thẳng AS CK ta chọn điểm P,Q cho PQ// BI Tính độ dài PQ biết cạnh tứ diện có độ dài 1 đáp án đề thi học sinh Sở giáo dục - đào tạo hảI phòng giỏi Trờng thpt trần nguyên hÃn Bài Bài (4đ ) Môn to¸n líp 11- nh:2008-2009 Néi dung 2x + − 2 x = 1, Giải phơng trình Điều kiƯn −2 ≤ x ≤ Khi ®ã : 6x − x2 + ®iĨm 2.0 ® (1) 6x − 6x − = 2x + + 2 − x x2 +  x=  ⇔  x + + 2 − x = x +   0,5®  (1) ⇔ 0,5® (2)  x = ⇔   2(2 + x)(2 − x) + (2 − x)( x + 4) =  x=  ⇔   − x (4 2(2 + x) + ( x + 4) − x ) =  x=  ⇔ x = 2, Giải phơng trình Ta cã 2009 π − x) tan y = cos x + tan y + cos( π   x ≠ + kπ §k  ( k, m ∈ Z ) π  y ≠ + mπ  2009 π cos( π − x) = cos(1004π + − x) = sin x 2 tan y = sin y Vµ + tan y 0,5® 0,5® 2,0 ® (2)      0,5®     VËy (2) ⇔ + sin x = sin y cos x ⇔ sin y cos x − sin x = (3) 2 * NÕu sin y < ⇒ ( sin y ) + < nên phơng trình v« nghiƯm π * NÕu sin y = ⇔ y = + nπ , n ∈ Z π π th× ta cã pt (3) ⇔ cos( x + ) = ⇔ x = − + 2n ' π , n ' ∈ Z 6 π * NÕu sin y = −1 ⇔ y = − + nπ , n ∈ Z π 5π + 2n ' π , n ' ∈ Z th× ta cã pt (3) ⇔ cos( x + ) = x = 6 Phơng trình có nghiƯm lµ π 5π    x = − + 2n ' π  x = + 2n ' π hc    y = π + nπ  y = − π + nπ  4 Bài (4đ ) Cho hàm số f ( x) = x + ax + bx + cx + d , (a, b, c, d ∈ R) f (2) = 20 , BiÕt f (1) = 10 ,    0,5®      0,5®          0,5®     4® f (3) = 30 H·y tÝnh f (12) + f (−8) + 25 10 Đặt g ( x) = f ( x) − 10 x Ta cã g (1) = g (2) = g (3) = Nªn g ( x) = ( x − 1)( x − 2)( x − 2)( x − x0 ) VËy f ( x ) = ( x − 1)( x − 2)( x − 3)( x − x0 ) + 10 x f (12) + f (−8) ⇒ + 25 = 2009 10 1® 1đ 1đ 1đ Bài (4đ ) Cho dÃy số (un ) đợc xác định 2đ nh sau u1 =   un +1 = un + 2009 un 1,2,3,4,…) (n = 0,5® 0,5® un = +∞ 1, Chøng minh lim n →∞ Ta cã = u1 < u2 < u3 < < un < (un) dÃy tăng , giả sử bị chặn ta có lim un = a > n →∞ Suy lim un +1 = lim( n →∞ n →∞ un2 a2 + un ) ⇒ a = + a ⇒ a = (kh«ng 2009 2009 0,5® 0,5® ®óng) un = +∞ VËy lim n Cho dÃy số (un ) đợc xác định nh sau u1 =   un +1 = un + 2009 un (n = 1,2,3,4,…) 2, T×m lim( n →∞ Ta cã un +1 − un = u u1 u2 u3 + + + + n ) u2 u3 u4 un +1 un2 u 1 ⇔ n = 2009( − ) 2009 un +1 un un +1 0,5® VËy ta cã u u1 u2 u3 1 + + + + n = 2009( − ) u2 u3 u4 un +1 u1 un +1 = 2009(1 − un +1 ) 0,5® ⇒ lim( n Bài (4,0 đ) 0,5đ u u1 u2 u3 + + + + n ) = lim 2009(1 − ) = 2009 n →∞ u2 u3 u4 un +1 un +1 Cho ba sè d¬ng x,y,z tho¶ m·n 1 + + = x y z Tìm giá trị lớn P = xyz (1) 0,5® 4,0 ® x y z −1 + + 1+ x 1+ y z +1 Ta cã A, B, C ∈ (0; π ), A + B + C = π th× A B B C C A tan tan + tan tan + tan tan = 2 2 2 Theo gi¶ thiÕt (1) ⇔ x y + y z + z x = A B C x = tan , y = tan , z = tan ta đặt với 2 A, B, C ∈ (0; π ), A + B + C = π Ta cã P = sin A + sin B cos C Bài (4,0 đ) C A B C = cos cos − cos + 2 C A− B A− B = −2(cos − cos ) + + cos ≤ 2 2 2 2π  C=   VËy Ma x P = Khi  A = B = π   2− π =  x = y = tan ⇔ 12 + z = Cho tam giác ABC , 1, M điểm nằm tam giác cho MA2 = MB + MC · H·y tÝnh gãc BMC Dïng phÐp quay t©m C gãc quay − π th× ta cã C →C B→A M →M' · · 'A VËy ∆CMB → ∆CM ' A ⇒ ∆CMB = ∆CM ' A ⇒ CMB = CM Ta cã MB = M’A, MC = M’C = MM’, VËy MB2 + MC2 = MA2 · ' M = 600 Suy M’A2 + MM’2 = MA2 ⇒ ·AM ' M = 900 , CM · ⇒ BMC = 1500   0,5®  0,5® 0,5® 0,5® 0,5® 0,5® 0,5® 0,5® 2,0 ®    0,5®   0,5® 0,5đ 0,5đ 2, Một điểm S nằm (ABC ) cho tø diƯn SABC ®Ịu , gäi I, K trung điểm cạnh AC SB , Trên đờng thẳng AS CK ta chọn ®iĨm P,Q cho PQ// BI TÝnh ®é dµi PQ biết cạnh tứ diện có độ dài 2,0 đ Ta có PQ giao tuyến hai mặt phẳng : Mặt phẳng chứa CK song song với BI mặt phẳng chứa SA song song với BI Trong mặt phẳng (SBI) kẻ KE / / BI, CE cắt SA P Qua A kẻ A F // BI (F thuéc BC) , CK c¾t S F t¹i Q VËy PQ // BI SP = Ta có I, E trung điểm AC vµ SI ⇒ SA PQ SP 1 = = ⇔ PQ = AF Mµ AF SA 3 Ta cã AF = BI = 0,5®   0,5®     0,5®   VËy PQ =   0,5®  3 Chó ý : -Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa phần - Có sơ xuất mong thầy cô sửa dùm Xin cảm ơn - Ngời đề : Mai Thị Thìn ...®¸p ¸n ®Ị thi häc sinh Së gi¸o dơc - đào tạo hảI phòng giỏi Trờng thpt trần nguyên hÃn Bài Bài (4đ ) Môn toán lớp 1 1- nh:200 8-2 009 Néi dung 2x + − 2 − x = 1, Giải phơng trình... 0,5®     0,5®   VËy PQ =   0,5đ 3 Chú ý : -Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa phần - Có sơ xuất mong thầy cô sửa dùm Xin cảm ơn - Ngời đề : Mai Thị Thìn