PHÒNG GD&ĐT PHONG ĐIỀN ĐỀ THI HỌC GIỎI HUYỆN NĂM 2015 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHONG ĐIỀN KỲ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2015 – 2016 MÔN TOÁN LỚP 8 Thời gian 150 phút (Không kể thời gian giao đề)[.]
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHONG ĐIỀN KỲ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2015 – 2016 MÔN: TỐN - LỚP Thời gian: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Câu 1: (2,0 điểm) (x − 1)2 − 2x + 4x 2x P = − + : Cho biểu thức: 3x + (x − 1) x −1 x − x + x a) Rút gọn P b) Tìm x để P < Câu 2: (2,0 điểm) a) Tìm GTNN GTLN: A = 4x + x2 + b) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thỏa mãn a + b + c = Chứng minh: a2 + b2 + c2 < Câu 3: (2,0 điểm) a) Giải phương trình: (x-2)(x+2)(x2-10) =72 b) Tìm giá trị nguyên (x;y) thỏa mãn phương trình: x2 – xy = 6x – 5y – Câu 4: (4,0 điểm) Cho hình thang ABCD (AB//CD), gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD BC M N a) Chứng minh OM=ON 1 + = AB CD MN = a ; S COD = b Tính S ABCD ? b) Chứng minh c) Biết S AOB · d) Nếu ·ADC < BCD < 900 Chứng minh BD > AC Hết - PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHONG ĐIỀN Câu KỲ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2015 – 2016 HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM MƠN: TỐN - LỚP Đáp án a) Phân thức P xác định khi: x ≠ 1, x ≠ (x − 1) − 2x + 4x 2x P= − + : x3 − x − x + x 3x + (x − 1) x − 2x + 1 − 2x + 4x 2x = − + : 2 x + x + (x − 1)(x + x + 1) x − x(x + 1) Câu (2,0 điểm) 0,25 = (x − 1)(x − 2x + 1) − (1 − 2x + 4x) + x + x + : (x − 1)(x + x + 1) x +1 0,25 = x3 −1 x2 +1 (x − 1)(x + x + 1) 0,25 x2 +1 = 0,25 x2 +1 b−c ≥ b > a−c ≥ 0,25 c > a−b ≥ Do : a > ( b − c ) ⇒ a > b + c − 2bc 2 2 b > ( a − c ) ⇒ b > a + c − 2ac ⇒ a + b + c > 2a + 2b + 2c − ( ab + ac + bc ) Vậy: c > ( a − b ) ⇒ c > a + b − 2ab 0,25 a + b + c < ( ab + bc + ca ) (1) 2 2 Ta có: a+b+c =1 ⇒ ( a + b + c ) = ⇔ a + b + c + ( ab + bc + ca ) = ⇔ ( ab + bc + ca ) = − ( a + b + c ) (2) 0,25 2 2 2 Từ (1) ,(2) suy : a + b + c < − ( a + b + c ) Vậy : : a2 + b2 + c2 < (đpcm) 0,25 a) Giải phương trình: (x-2)(x+2)(x2-10) =72 ⇔ ( x − ) ( x + ) ( x − 10 ) = 72 ⇔ (x − 4)(x − 10) = 72 Câu (2,0 điểm) Đặt x2 - = y, phương trình trở thành (y - )(y + 3)=72 ⇔ y2 - = 72 ⇔ y2 = 81 ⇔ y = y = -9 Với y = ⇔ x2 - = ⇔ x = x = -4 Với y = -9 ⇔ x2 - = -9 ⇔ x2 = -2, vơ nghiệm Vậy phương trình có hai nghiệm x =4, x= - b) Ta có x2 – xy = 6x – 5y - ⇔ x2 – 6x + = y (x – 5) (1) 0,25 x2 − x + (vì x =5 khơng nghiệm phương trình (1)) x −5 ⇔ y=x–1+ Vì x, y nguyên nên x – ước x−5 ⇒ x – ∈ { - 1, 1, -3 , 3} ⇒ x ∈ { 4, , , 8} 0,25 ⇔ y= Câu (4,0 điểm) Khi x = y = ; Khi x =4 y = Khi x = y = ; Khi x= y =8 Vậy phương trình có nghiệm ngun ( x, y) (2, 0) ,(4 , 0) ,(6, 8) ,(8, 8) Hình vẽ 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 a) Chứng minh OM = ON: OA OB = (Theo hệ định lí Talet) OC OD OA OB OA OB (1) ⇒ = ⇒ = OA + OC OB + OD AC BD OM OA = Do MO//DC ⇒ (2) (Theo hệ định lí Talet) CD AC ON OB = Do ON//DC ⇒ (3) (Theo hệ định lí Talet) DC BD OM ON ⇒ OM=ON = Từ (1), (2), (3) suy DC DC Ta có MN//DC ⇒ 1 + = AB CD MN OM AM = Do MO//CD ⇒ CD AD OM DM = Và MO//CD ⇒ AB AD 0,25 0,25 0,25 0,25 b) Chứng minh Do đó: 0,25 OM OM AM + MD AD + = = = (a) DC AB AD AD ON ON + = (b) DC AB MN MN + =2 Từ (a) (b) ⇒ DC AB 1 + = ⇒ DC AB MN Tương tự: 0,25 0,25 0,25 c) Biết S AOB = a ; S COD = b Tính S ABCD ? Kẻ OH vng góc với BD (H thuộc BD), ta có: 1 AH OB; S AOD = AH OD 2 S AOB OB ⇒ = S AOD OD S AOD OA = Tương tự ta có S COD OC S S OB OA = ⇒ AOB = AOD Mặt khác S AOD S COD OD OC S AOB = ⇒ S AOD = S AOB S COD = a b nên S AOD = ab Chứng minh tương tự, ta có S BOC = ab 0,25 0,25 0,25 S ABCD = S AOB + S AOD + S BOC + S DOC Vậy S ABCD = ( a + b ) · d) Nếu ·ADC < BCD < 900 Chứng minh BD > AC 0,25 Từ A kẻ AE//BC (E thuộc DC) Kẻ AI, BK vng góc với CD I K, ta có AI = BK µ AE (góc cạnh đối diện tam giác) ⇒ DI > EI (quan hệ đường xiên hình chiếu).(c) · Ta có: BC = AE (Vì BCEA hình bình hành ) ·AED = BCD nên ∆ AIE = ∆ BKC (Cạnh huyền – góc nhọn) ⇒ IE = KC (d) Từ (c) (d) ⇒ DI > KC ⇒ DI +IK > KC + IK Hay DK > CI Áp dụng định lý pitago cho hai tam giác vuông BKD ACI, ta có : DB = BK + DK > AI + CI = AC (Do AI = BK ) ⇒ BD > AC 0,25 0,25 0,25 0,25 ...PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHONG ĐIỀN Câu KỲ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2015 – 2016 HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM MƠN: TỐN - LỚP Đáp... < Kết hợp với điều kiện : ta có −3 < x < x ≠ 1, x ≠ P < 4x + a) Tìm GTNN GTLN: A = x +1 b) Theo đề P < ⇔ Câu (2,0 điểm) Điểm Ta có : 4x +3 = x2 +4x+4 - x2 -1 = (x+ 2)2 - ( x2 +1) x + ( x + 2)... AI = BK µ AE (góc cạnh đối diện tam giác) ⇒ DI > EI (quan hệ đường xiên hình chiếu).(c)