100 bài toán hình học lớp 5

PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH ? Kí hiệu : Diện tích hình (P) dt (P) Cạnh đáy tam giác (Q) c.đáy (Q) Chiều cao tam giác (Q) c.cao (Q) Khi gặp toán khó diện tích (dt) hình, đặc biệt toán liên quan đến dt tam giác, thường lúng túng xoay sở nào, nên đâu Để giải tốt loại toán em cần nắm vững vận dụng linh hoạt kiến thức sau : Nếu hình (P) khơng thể tính trực tiếp diện tích để tính dt (P) ta làm theo cách sau : - Chia hình (P) thành hình dễ tính dt hơn, tính dt hình cộng lại - Bổ sung vào hình (P) số hình (dễ tính dt) để hình (Q) dễ tính dt hơn, lấy dt (Q) trừ dt hình bổ sung Nếu hai tam giác (P) (Q) có : - Chung c.đáy hai c.đáy c.cao (P) = k x c.cao (Q) dt (P) = k x dt (Q) - Chung c.đáy hai c.đáy dt (P) = k x dt (Q) c.cao (P) = k x c.cao (Q) - Chung c.cao hai c.cao c.đáy (P) = k x c.đáy (Q) dt (P) = k x dt (Q) - Chung c.cao hai c.cao dt (P) = k x dt (Q) c.đáy (P) = k x c.đáy (Q) Sau số ví dụ : Ví dụ : Cho hình chữ nhật ABCD, gọi M N điểm AB CD Nối DM, BN cắt AC I K Chứng tỏ AI = IK = KC Giải : (ở ta cần vận dụng mối quan hệ diện tích, c.đáy c.cao tam giác) Ta có : dt (ABC) = x dt (AMD) (vì AB = x AM AD = BC) ; dt (DCM) = dt (ABC) (vì AB = DC c.cao BC) Suy dt (DCM) = x dt (AMD) Gọi CH AE chiều cao tam giác DCM DAM xuống đáy DM, CH = x AE Nhưng CH AE chiều cao tam giác ICM IAM có chung cạnh đáy IM Vậy dt (ICM) = x dt (IAM) Mà tam giác IAM ICM chung chiều cao từ M, IC = x AI, suy AC = x AI hay AI = 1/3 AC Làm tương tự với cặp tam giác ABN CBN ; KCN KAN ta có KC = 1/3 AC Vậy AI = KC = 1/3 AC, suy IK = 1/3 AC Do AI = IK = KC Chú ý : để chứng tỏ đoạn thẳng ta phải chứng tỏ tam giác có chung chiều cao diện tích Ví dụ : Cho tam giác ABC, gọi điểm M, N nằm cạnh AB, AC cho : AB = x AM, AC = x AN Gọi I điểm cạnh BC a) Chứng tỏ tứ giác BMNC hình thang BC = x MN b) Chứng tỏ đoạn thẳng BN, CM, AI cắt điểm Giải : a) Vì AB = x AM, AC = x AN, nên MB = 2/3 x AB, NC = 2/3 x AC Từ suy : dt (MBC) = 2/3 x dt (ABC) (chung chiều cao từ C) dt (NCB) = 2/3 x dt (ABC) (chung chiều cao từ B) Vậy dt (MBC) = dt (NCB) mà tam giác MBC tam giác NCB có chung đáy BC, nên chiều cao từ M chiều cao từ N xuống đáy BC hay MN song song với BC Do BMNC hình thang Từ MB = 2/3 x AB, nên dt (MBN) = 2/3 x dt (ABN) (chung chiều cao từ N) hay dt (ABN) = 2/3 x dt (MBN) Hơn từ AC = x AN, nên NC = x AN, dt (NBC) = x dt (ABN) (chung chiều cao từ B) ; suy dt (NBC) = 3/2 x x dt (MBN) = x dt (MBN) Mà tam giác NBC tam giác MBN có chiều cao (cùng chiều cao hình thang BMNC) Vì đáy BC = x MN b) Gọi BN cắt CM O Ta chứng tỏ AI cắt BN O Muốn vậy, nối AO kéo dài cắt BC K, ta chứng tỏ K điểm BC (hay K trùng với I) Theo phần a) ta có dt (NBC) = x dt (ABN) Mà tam giác NBC tam giác ABN có chung đáy BN, nên chiều cao từ C gấp lần chiều cao từ A xuống đáy BN Nhưng chiều cao tương ứng hai tam giác BCO BAO có chung đáy BO, dt (BCO) = x dt (BAO) Tương tự ta có dt (BCO) = x dt (CAO) Do dt (BAO) = dt (CAO) Hai tam giác BAO CAO có chung đáy AO, nên chiều cao từ B chiều cao từ C xuống đáy AO Đó chiều cao tương ứng hai tam giác BOK COK có chung đáy OK, dt (BOK) = dt (COK) Mà hai tam giác BOK tam giác COK lại chung chiều cao từ O, nên hai đáy BK = CK hay K điểm cạnh BC Vậy điểm K trùng với điểm I hay BN, CM, AI cắt điểm O Bài tập thực hành : Cho tam giác ABC, gọi M điểm cạnh BC N nằm cạnh AC cho NC = x NA Kéo dài MN cắt cạnh BA kéo dài P a) Chứng tỏ AB = AP b) Gọi Q điểm PC Chứng tỏ ba điểm B, N, Q nằm đường thẳng c) Hãy so sánh : PN NM ; BN NQ DÙNG SƠ ĐỒ DIỆN TÍCH ĐỂ GIẢI TỐN BA ĐẠI LƯỢNG Sơ đồ diện tích dùng để giải tốn có nội dung đề cập đến ba đại lượng Giá trị ba đại lượng tích giá trị hai đại lượng Dùng sơ đồ diện tích giải nhanh tốn đưa tốn trực quan tốn diện tích hình chữ nhật Sau số thí dụ: Ví dụ 1: Một tơ từ A đến B với vận tốc 30km/giờ, sau từ B quay A với vận tốc 40km/giờ Thời gian từ B A thời gian từ A đến B 40 phút Tính độ dài qng đường AB Phân tích: Vì qng đường AB (s = v x t) không đổi, nên ta xem vận tốc (v) chiều dài hình chữ nhật thời gian (t) chiều rộng hình chữ nhật Vẽ sơ đồ: Giải: Ta có 40 phút = 2/3 Nếu tơ từ B A với vận tốc 30 km/giờ sau khoảng thời gian dự định từ B A, tơ cịn cách A qng đường là: 30 x 2/3 = 20 (km) Sở dĩ có khoảng cách vận tốc xe giảm đi: 40 - 30 = 10 (km/h) Thời gian ôtô dự định từ B A là: 20 : 10 = (giờ) Quãng đường AB dài là: 40 x = 80 (km) Đáp số: 80 km Chú ý s1 = s2 Ví dụ 2: Bạn Tốn đưa tiền dự định mua số loại 2500 đồng/ Nhưng đến cửa hàng loại 3000 đồng/quyển Tốn băn khoăn có nên mua loại khơng? Vì mua số dự định bị hụt hai Tính số tiền bạn Tốn mang đi? Phân tích: Vì số tiền bạn Tốn mang khơng đổi, nên ta xem giá tiền loại chiều dài hình chữ nhật số chiều rộng hình chữ nhật Vẽ sơ đồ: Giải: Nếu bạn Toán mua số loại 2500 đồng/quyển số định mua loại 3000 đồng/quyển số tiền cịn thừa là: x 2500 = 5000 (đồng) Sở dĩ có số tiền thừa giá giảm: 3000 - 2500 = 500 (đồng/quyển) Vậy số bạn Toán định mua loại 3000 đồng/quyển là: 5000 : 500 = 10 (quyển vở) Số tiền bạn Toán mang là: 3000 x 10 = 30000(đồng) Đáp số: 30000 đồng Các bạn thử dùng sơ đồ diện tích giải tốn sau: Bài 1: Một ơtơ từ Vinh đến Hà Nội dự định với vận tốc 30 km/h Nhưng trời mưa nên 25 km/h, nên đến Hà Nội muộn so với thời gian dự định Tính quãng đường Vinh - Hà Nội? Bài 2: Bố bạn An năm 30 tuổi Nếu lấy số tuổi bố bạn An cách năm số tuổi An cộng với nhân hai số với số tuổi bố bạn An nhân với số tuổi bạn An Tính tuổi bạn An bây giờ? Phan Duy Nghĩa HÌNH HỘP CHỮ NHẬT - HÌNH LẬP PHƯƠNG 1,Có khối đá trắng hình lập phương sơn đen tồn mặt ngồi Sau người ta xẻ thành 125 khối đá nhỏ hình lập phương Người ta nhận khối đá nhỏ mà : a, Có mặt sơn đen ? b, Có mặt sơn đen ? c, Có mặt sơn đen ? d,Không sơn mặt ? Giải: Vì 125 = × × nên đường chia cạnh hình lập phương thành phần Các hình lập phương nhỏ nằm góc hình lập phương to có mặt sơn đen nên số hình hình Các hình lập phương nhỏ có cạnh nằm cạnh hình lập phương khơng chứa đỉnh hình lập phương to có mặt sơn đen Do số hình : 12 × ( - ) = 36 ( hình ) Các hình lập phương nhỏ có mặt thuộc mặt hình lập phương lớn khơng chứa đỉnh cạnh hình lập phương to có mặt sơn đen Do số hình có × (3 × 3) = 54 ( hình ) Cịn lại số hình lập phương nhỏ khơng có mặt bị sơn đen : 125- ( + 36 + 54 ) = 27 ( hình ) 2, Xếp hình lập phương nhỏ cạnh cm thành hình hộp chữ nhật có chiều dài 1,6 dm, chiều rộng 1,1 d m chiều cao dm Tính số hình lập phương sơn mặt Gợi ý: + Hình hộp chữ nhật có cặp mặt ( mặt trước mặt sau , đáy đáy , mặt bên ) 3, Xếp hình lập phương nhỏ cạnh cm thành hình hộp chữ nhật có chiều dài 15 cm, chiều rộng 10 cm chiều cao m Số hình lập phương nhỏ dùng để xếp … 5, Xếp hình lập phương nhỏ cạnh cm thành hình hộp chữ nhật có kích thước 1,6 dm ; 1,2 dm ; cm Sau người ta sơn tất mặt vừa xếp Tính số hình lập phương nhỏ sơn mặt, mặt, mặt , không sơn mặt Giải: Tổng số hình lập phương dùng để xếp : 16 × 12 × = 1536 (hình ) Các hình lập phương nhỏ nằm góc hình lập phương to có mặt sơn đen nên số hình hình Các hình lập phương nhỏ có cạnh nằm cạnh hình lập phương khơng chứa đỉnh hình lập phương to có mặt sơn đen Do số hình : × (( 16 - ) + ( 12- ) + ( - )) = 120 ( hình ) Các hình lập phương nhỏ có mặt thuộc mặt hình lập phương lớn khơng chứa đỉnh cạnh hình lập phương to có mặt sơn đen Do số hình có × ( 14 × 10 + 14 × + 10 × ) = 568 ( hình ) Số hình lập phương nhỏ khơng sơn mặt : 14 × 10 × =840 (hình ) 6, Xếp hình lập phương nhỏ cạnh cm thành hình hộp chữ nhật có chiều dài 1,6 dm ; chiều rộng1,2m ; chiều cao cm Sau người ta sơn tất mặt vừa xếp Tính số hình lập phương nhỏ sơn mặt 7, Xếp hình lập phương nhỏ cạnh cm thành hình hộp chữ nhật có chiều dài 1,6 dm ; chiều rộng1,2m ; chiều cao cm Sau người ta sơn tất mặt vừa xếp Tính số hình lập phương nhỏ không sơn mặt 8,Xếp hình lập phương nhỏ cạnh cm thành hình lập phương cạnh 1,2 dm Sau người ta sơn tất mặt vừa xếp Tính số hình lập phương nhỏ khơng sơn mặt 9, Xếp hình lập phương nhỏ cạnh cm thành hình hộp chữ nhật có chiều dài 1,5 dm ; chiều rộng1 dm ; chiều cao cm Sau người ta sơn tất mặt vừa xếp Tính số hình lập phương nhỏ khơng sơn mặt 10, Người ta ghép khối lập phương nhỏ cạnh cm thành hình hộp chữ nhật có kích thước : dài 0,4 m ; rộng dm cao 20 cm sơn tất mặt hình hộp vừa gép Tìm : a, Số hình lập phương cần dùng để ghép hình hộp nói ? b,Số hình lập phương sơn mặt , mặt không sơn mặt ? Giải: Đổi 0,4 m = 40 cm ; dm = 30 cm Số hình lập phương xếp theo chiều dài : 40 : = 20 ( hình ) Số hình lập phương xếp theo chiều rộng : 30 : = 15 ( hình ) Số hình lập phương xếp theo chiều dài : 20 : = 10 ( hình ) Số hình lập phương cần dùng để ghép hình hộp nói : 20 × 15 × 10 = 3000 ( hình ) b, Có hình nằm đỉnh hình hộp sơn mặt nên số hình lập phương sơn mặt nằm dọc theo chiều cao : 10 × - = 32 ( hình ) Số hình lập phương sơn mặt nằm mặt đáy : 10 × - = 32 ( hình ) Số hình lập phương sơn mặt nằm mặt lại : ( 20 - ) × = 72 ( hình ) Tổng số hình sơn mặt : 32 + 72 + 52 = 156 ( hình ) Số hình lập phương sơn mặt mặt bên kích thước 40 × 20 : ( 20 - ) × ( 10 - ) × = 288 ( hình ) Số hình lập phương sơn mặt hai mặt đáy : ( 20 - ) × ( 15 - ) × = 468 ( hình ) Số hình lập phương sơn mặt hai mặt bên lại : ( 15 - ) × ( 10 - ) × = 208 ( hình ) Tổng số hình lập phương sơn mặt : 288 + 468 + 208 = 964 hình ) Tổng số hình lập phương sơn mặt , mặt mặt : + 156 + 964 = 1128 ( hình ) Số hình lập phương khơng sơn : 000 - 1128 = 1872 ( hình ) 11, Người ta ghép khối lập phương nhỏ cạnh cm thành hình lập phương lớn có cạnh 2,5 dm sơn xanh mặt đáy sơn đỏ mặt xung quanh Hỏi : a,Có hình lập phương nhỏ sơn màu xanh ? b, Có hình lập phương nhỏ sơn màu đỏ ? c,Có hình lập phương nhỏ sơn màu ? Giải: a, Số hình lập phương nhỏ sơn màu xanh nằm mặt đáy không nằm sát cạnh nên có tất : ( 25 - ) × ( 25 - ) × = 1058 ( hình ) b,Số hình lập phương sơn màu đỏ nằm mặt bên khơng nằm sát cạnh mặt đáy Số hình lập phương sơn màu đỏ : 25 × (25 -2) × 2+ (25 - 2) × ( 25 - 2) × ( 25 - 2) × = 2208 ( hình ) c, Số hình sơn màu : 25 × + ( 25 - ) × = 192 ( hình ) VẬN DỤNG KẾT QUẢ MỘT BÀI TỐN Trong q trình dạy học chúng tơi thấy em thường có thói quen giải xong tốn xem hồn thành cơng việc giao dừng lại đó, có em học sinh biết chủ động, khai thác, tìm tịi, suy nghĩ, vận dụng để giải số tốn khác Sau thử làm quen với toán sau vận dụng để giải số tốn khác Bài tốn: Cho hình thang ABCD Hai đường chéo AC BD cắt điểm O Hãy chứng tỏ rằng: SABD = SABC; SCDB = SCDA; SAOD = SBOC (ở ta kí hiệu: S diện tích; SABD: đọc diện tích tam giác ABD ) Giải: (hình 1) Ta có: a) SABD = SABC (vì chung đáy AB có đường cao đường cao hình thang) b) SCDB = SCDA (vì chung đáy CD có đường cao đường cao hình thang) c) Vì SABD = SABC nên ta có: SAOD + SAOB = SBOC + SAOB Suy ra: SAOD = SBOC (cùng bớt vế SAOB) Bây vận dụng ba cặp tam giác có diện tích nói để giải tốn sau: Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Gọi M điểm cạnh BC cho MB < MC Qua M kẻ đường thẳng chia diện tích tam giác ABC thành hai phần có diện tích Giải: Vì MB < MC, ta có SAMB < SAMC nên đường thẳng cần kẻ phải cắt cạnh AC tam giác ABC Cách 1: Gọi O điểm BC Nối AM, AO Qua O kẻ đường thẳng song song với AM cắt AC N Ta có đường thẳng qua M, N đường thẳng cần kẻ (hình 2) Thật vậy: Tứ giác ANOM hình thang nên SAIN = SMIO Mặt khác: SAOC = 1/2 SABC = SAIN + SCOIN = SMIO + SCOIN = SCMN Cách 2: Qua đỉnh B kẻ đường thẳng song song với AM cắt AC kéo dài D Gọi N điểm đoạn thẳng CD Đường thẳng qua M, N đường thẳng cần kẻ (hình 3) Thật vậy: Ta có tứ giác AMBD hình thang nên SABM = SADM suy SABC = SDMC = SAMC + SAMD M điểm CD nên SDMN = SCMN = 1/2 SABC Các bạn giải tốn sau khơng? Bài tốn 1: Cho tứ giác ABCD Hãy tìm điểm M cạnh tứ giác ABCD cho nối AM đoạn thẳng AM chia tứ giác ABCD thành hai phần có diện tích Bài tốn 2: Cho tam giác ABC Gọi M điểm BC, qua M kẻ đường thẳng chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích phần gấp lần phần Bài toán 3: Cho tứ giác ABCD Gọi M điểm AB Tìm điểm N cạnh tứ giác để nối M với N đoạn MN chia tứ giác ABCD thành hai phần có diện tích Lê Trọng Châu (Giáo viên Trường THCS Bình Lộc, Can Lộc, Hà Tĩnh) PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO QUA CÁC BÀI TOÁN CẮT - GHÉP HÌNH Bài tốn Hãy cắt hình vng thành bốn hình tam giác xếp bốn hình tam giác thành hai hình vng (Tốn trang 34) Giải Ta cắt hình vng lớn theo hai đường chéo ta bốn hình tam giác ghép hai hình tam giác lại ta hình vng nhỏ Bài tốn Vẽ hai hình bên giấy kẻ vng cắt hình thành hai mảnh để ghép mảnh lại hình vng (Tốn 3, trang 105) Giải Ta cắt hai hình theo đường khơng liền nét ghép theo hình bên cạnh ta hình vng (hình b) Bài tốn Cho hình vng Hãy cắt ghép chúng thành hình vng Giải + Khi dạy giải toán cho học sinh, cần làm cho học sinh thấy rõ toán kết hai toán (1) (2) + Từ tốn (2) ta thấy việc ghép hình vng lớn nhờ 10 hình vng nhỏ + Giả thiết cho hình vng để có 10 hình vng ta dùng kết tốn (1) Bước Từ hình vng, ta ghép thành 10 hình vng nhỏ (kết tốn 1) Bước Ghép 10 hình vng nhỏ thành hai hình chữ thập Bước Cắt ghép hai hình chữ thập toán (2) Các tập rèn luyện thêm : 1) Cắt hình thành mảnh để ghép lại hình vng 2) Một người có miếng ván hình chữ nhật, 1,5m, rộng 0,3m Người muốn cắt miếng ván thành nhiều mảnh cho ghép mảnh lại hình vng (Bài tốn : Giúp bác thợ mộc) Trần Văn Hạnh (Cao đẳng Sư phạm Quảng Ngãi ... theo hình bên cạnh ta hình vng (hình b) Bài tốn Cho hình vng Hãy cắt ghép chúng thành hình vng Giải + Khi dạy giải toán cho học sinh, cần làm cho học sinh thấy rõ toán kết hai toán (1) (2) + Từ toán. .. : ( 25 - ) × ( 25 - ) × = 1 058 ( hình ) b,Số hình lập phương sơn màu đỏ nằm mặt bên không nằm sát cạnh mặt đáy Số hình lập phương sơn màu đỏ : 25 × ( 25 -2) × 2+ ( 25 - 2) × ( 25 - 2) × ( 25 - 2)... 20 ( hình ) Số hình lập phương xếp theo chiều rộng : 30 : = 15 ( hình ) Số hình lập phương xếp theo chiều dài : 20 : = 10 ( hình ) Số hình lập phương cần dùng để ghép hình hộp nói : 20 × 15 ×