LUẬN văn THẠC sĩ HAY về bất đẳng thức ostrowski và trapezoid

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - ĐỖ THỊ THU GIANG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC OSTROWSKI VÀ TRAPEZOID LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - ĐỖ THỊ THU GIANG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC OSTROWSKI VÀ TRAPEZOID Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trần Xuân Quý THÁI NGUYÊN - 2019 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com i Mục lục Bảng ký hiệu viết tắt Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm số, biến phân biến phân toàn phần 1.2 Bt ng thc Hăolder 1.3 Bất đẳng thức Ostrowski trapezoid 5 Chương Về bất đẳng thức Ostrowski Trapezoid 2.1 Về bất đẳng thức Ostrowski 2.1.1 Bất đẳng thức Ostrowski với hàm liên tục tuyệt đối 2.1.2 Bất đẳng thức Ostrowski với hàm có biến phân bị chặn 2.2 Về bất đẳng thức trapezoid 2.2.1 Bất đẳng thức trapezoid hàm có biến phân bị chặn 2.2.2 Bất đẳng thức trapezoid hàm đơn điệu 2.2.3 Bất đẳng thức trapezoid hàm liên tục tuyệt đối 2.2.4 Bất đẳng thức trapezoid hàm có đạo hàm cấp hai 2.3 Làm chặt bất đẳng thức Ostrowski hàm Chebysev 9 12 14 14 16 19 21 23 Chương Bất đẳng thức kiểu Ostrowski trapezoid liên hệ với định lý giá trị trung bình Pompeiu với trọng số mũ phức 28 3.1 Bất đẳng thức kiểu Ostrowski 30 3.2 Bất đẳng thức kiểu trapezoid 32 3.3 Một bất đẳng thức kiểu Ostrowski trapezoid 34 3.3.1 Làm chặt bất đẳng thức Ostrowski 34 3.3.2 Bất đẳng thức kiểu Ostrowski 35 3.3.3 Làm chặt bất đẳng thức trapezoid 36 3.3.4 Bất đẳng thức kiểu trapezoid 36 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bảng ký hiệu viết tắt b (f ) biến phân toàn phần hàm số f đoạn [a, b]; a n := a1 + a2 + · · · + an ; i=1 max{a, b} phần tử lớn tập hai phần tử a, b; b f s s | f (t) | dt := s với s ∈ [1; ∞), hay chuẩn cấp s a f ∞ hàm số f đoạn [a, b]; := sup | f (t) |; t∈(a;b) n−1 σ(f, ξ, In ) f (ξi )hi , (tổng Riemann hàm f [a, b]); := i=0 f [u,v],s chuẩn cấp s hàm số f đoạn [u, v] LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mở đầu Chúng ta biết mơn Tốn coi mơn "thể thao trí tuệ" giúp người học có nhiều hội rèn luyện, phát triển tư bồi dưỡng lực thẩm mỹ nghiên cứu nét đẹp cơng thức giải tốn độc đáo mẻ Trong nhiều năm qua, hầu hết kỳ thi quan trọng thi học sinh giỏi Toán cấp tỉnh, cấp Quốc gia, Quốc tế, toán liên quan đến bất đẳng thức chiếm vị trí đáng kể Đối với lớp bất đẳng thức rời rạc khai thác triệt để chương trinh phổ thơng, chí cấp THCS Vì toán so sánh, nên kỳ thi học sinh giỏi thường xuất toán cực trị bất đẳng thức Tuy vậy, lượng lớn toán bất đẳng thức hàm lại khai thác bậc trung học, dạng toán thường xuất dạng đơn giản tốn bất phương trình, xuất khó kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp Quốc gia, chọn đổi tuyển Quốc tế Vì lý mà tơi lựa chọn đề tài bất đẳng thức hàm làm chủ đề cho luận văn thạc sĩ mình, cụ thể với đề tài: “Về bất đẳng thức Ostrowski Trapezoid’ Đây loại bất đẳng thức trung bình tích phân Năm 1938, Ostrowski chứng minh ước lượng trung bình tích phân sau Định lý 0.1 Giả sử f : [a, b] → R hàm liên tục [a, b] khả vi (a, b) với |f (t)| M < ∞ với t ∈ (a, b) Khi đó, với x ∈ [a, b], ta có   2  a + b b 1 x −    + f (t)dt (0.1) f (x) −  4  M (b − a) b−a b−a a Hằng số đánh giá tốt nhất, thay số bé Bất đẳng thức (0.1) coi bất đẳng thức Ostrowski Các kế tổng quát liên quan trình bày Chương Một ước lượng khác cho trung bình tích phân cho quy tắc trapezoid (hay quy tắc hình thang) sau Định lý 0.2 (Cerone Dragomir [7]) Giả sử f : [a, b] → R hàm liên tục [a, b] khả vi (a, b) với |f (t)| M < ∞ với t ∈ (a, b) Khi đó, với bất LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com kỳ x ∈ [a, b], ta có  b (x − a)f (a) + (b − x)f (b) − b−a b−a f (t)dt a 1  4  a+b x−    +   M (b − a), b−a  (0.2) với x ∈ [a, b] Hằng số đánh giá tốt Năm 1946, Pompeiu đưa dạng khác định lý giá trị trung bình Lagrange, kết biết đến định lý giá trị trung bình Pompeiu, kết phát biểu định lý đây: Định lý 0.3 Với hàm thực f khả vi [a, b] khoảng không chứa với cặp x1 = x2 [a, b], tồn ξ x1 x2 cho x1 f (x2 ) − x2 f (x1 ) = f (ξ) − ξf (ξ) x1 − x2 Định lý giá trị trung bình Pompeiu vận dụng để đưa cách xấp xỉ khác trung bình tích phân, chẳng hạn kết Định lý 0.4 (Dragomir, 2005 [9]) Giả sử hàm f : [a, b] → R liên tục [a, b] khả vi (a, b) với [a, b] khơng chứa Khi với x ∈ [a, b], ta có bất đẳng thức sau   2  a + b b a + b f (x) b−a x −    f (t)dt − +    f − f ∞, 2 b−a |x| b−a a (t) = t, t ∈ [a, b] Hằng số đánh giá tốt Nội dung luận văn trình bày ba chương, cụ thể: Chương Trình bày sơ lược hàm s, bin phõn ca hm s, bt ng thc Hăolder Bất đẳng thức Ostrowski trapezoid Chương Trình bày bất đẳng thức kiểu Ostrowski, trapezoid lớp hàm có biến phân bị chăn, hàm đơn điệu, hàm liên tục tuyệt đối Làm chặt bất đẳng thức Ostrowski hàm Chebyshev Nội dung chương trình bày từ tài liệu [2] Chương Trình bày bất đẳng thức kiểu Ostrowski trapezoid liên hệ với định lý giá trị trung bình Pompeiu với trọng số mũ phức Một bất đẳng thức kiểu Ostrowski trapezoid số kết làm chặt bất đẳng thức kiểu Ostrowski trapezoid Nội dung chương trình bày lại số kết LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com báo “Ostrowski and Trapezoid type inequalities related to pompeiu’s mean value theorem with complex exponential weight” Cerone P., Dragomir S S., Kikianty E công bố năm 2017 (xem [3]) Trong trình học tập nghiên cứu trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, em nhận quan tâm giúp đỡ động viên thầy Ban Giám hiệu, phịng Đào tạo, Khoa Toán – Tin, Trường Đại học Khoa học, ĐH Thái Nguyên Với luận văn này, em mong muốn góp phần nhỏ cơng sức vào việc gìn giữ phát huy vẻ đẹp, hấp dẫn cho định lý toán học đẹp Đây hội cho em gửi lời tri ân tới tập thể thầy cô giảng viên trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Ngun nói chung Khoa Tốn – Tin nói riêng, truyền thụ cho em nhiều kiến thức khoa học quý báu thời gian em học viên trường Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Phổ thông Dân tộc Nội trú tỉnh Quảng Ninh toàn thể anh chị em đồng nghiệp tạo điều kiện tốt cho tác giả thời gian học Cao học; cảm ơn anh chị em học viên lớp Cao học Toán K11 bạn bè đồng nghiệp trao đổi, động viên khích lệ tác giả q trình học tập làm luận văn trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo chủ nhiệm lớp Toán K11, TS Trần Xuân Quý ln quan tâm ân cần bảo, động viên khích lệ, giúp đỡ tận tình góp ý sâu sắc cho em suốt trình học tập thực đề tài Chặng đường vừa qua kỉ niệm đáng nhớ đầy ý nghĩa anh chị em học viên lớp K11 nói chung với thân em nói riêng Dấu ấn hiển nhiên thiếu hỗ trợ, sẻ chia đầy yêu thương cha mẹ hai bên anh chị em cháu gia đình Xin chân thành cảm ơn tất người thân yêu giúp đỡ, đồng hành em chặng đường vừa qua Một lần nữa, em xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 15 tháng năm 2019 Học viên Đỗ Thị Thu Giang LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi, trình bày số kiến thức khái niệm tính chất hàm số liên tục tuyệt đối, biến phân biến phân ton phn ca hm s Bt ng thc Hăolder dng đại số dạng giải tích, Bất đẳng thức Ostrowski traped Các kết sử dụng cho chứng minh Chương Chương 1.1 Hàm số, biến phân biến phân toàn phần Định nghĩa 1.1 (a) Hàm số f : [a, b] → R gọi liên tục tuyệt đối [a, b] với ε > tồn số dương δ thỏa mãn n |f (xi ) − f (yi )| < ε, i=1 với họ hữu hạn khoảng rời {[xi , yi ] : i = 1, 2, , n} [a, b] với ni=1 |xi − yi | < δ (b) Hàm số f : [a, b] → R gọi có biến phân bị chặn [a, b] tồn số M > thỏa mãn n |f (xi ) − f (xi−1 )| ≤ M, i=1 với phân hoạch P = {x0 , x1 , · · · , xn } [a, b] (c) Nếu hàm số f : [a, b] → R có biến phân bị chặn [a, b], biến phân tồn phần f [a, b] xác định sau b n (f ) = a |f (xi ) − f (xi−1 ) | sup P={x0 ,x1 ,··· ,xn } phân hoạch của[a,b] i=1 Nhận xét 1.1 Một hàm liên tục tuyệt đối [a, b] liên tục có biến phân bị chặn [a, b] LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ví dụ 1.1 Nếu f : [a, b] → R hàm đơn điệu tăng với phân hoạch P = {x0 , x1 , · · · , xn } [a, b] ta có n n |f (xi ) − f (xi−1 )| = i=1 {f (xi ) − f (xi−1 )} i=1 = f (xn ) − f (x0 ) = f (b) − f (a) b (f ) = f (b) − f (a) Vì vậy, hàm f có biến phân bị chặn a Ví dụ 1.2 Nếu hàm f : [a, b] → R liên tục [a, b] khả vi (a, b) với sup |f (x)| ≥ M , với phân hoạch P = {x0 , x1 , · · · , xn } [a, b] theo a ta có bất đẳng thức sau 1 + = =⇒ uv p q p q u + v p q (1.2) Bất đẳng thức gọi bất đẳng thức Young Kết gọi bất đẳng thức Hăolder nh lý 1.2 (Bt ng thc Hăolder) Cho a = (a1 , a2 , , an ) b = (b1 , b2 , , bn ) 1 hai n số thực dương p > 1, + = Khi ta có bất đẳng thức sau p q n p n api bi ≤ i=1 q n bqi i=1 (1.3) i=1 Dấu xảy api = kbqi với i ∈ {1, 2, , , n} Kt qu tip theo l bt ng thc Hăolder dạng giải tích, chúng tơi trình bày kết mà không chứng minh Định lý 1.3 (Bất đẳng thức Hăolder dng gii tớch) Gi s (p, q) l cp số mũ liên 1 hợp, tức thỏa mãn điều kiện p, q > với + = 1, f g hai hàm số liên p q tục đoạn [a, b], b b |f (x)g(x)| dx ≤ a p b p |f (x)| dx a q q |g(x)| dx (1.4) a Dấu “=” xảy tồn hai số thực A B không đồng thời không cho A |f (x)|p = B |g(x)|q ∀x ∈ [a, b] LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 25 đánh giá tốt nhất, ta giả sử bất đẳng thức (2.40) với số C > đó, nghĩa Để chứng minh số b x Γ−γ a a C x−a h(t)dt − b−a b−a b h(u)du dx a b b Γ− b−a h(u)du − γ a h(u)du a b−a Γ−γ (2.47) Xét hàm số h : [a, b] → R, xác định   −1 t ∈ [a, a + b ], h(t) := a + b  1 , b] t∈( b a h(u)du Hiển nhiên γ = −1, Γ = 1, b a x a = Ta có a+b h(t)dt = b−a x a x h(t)dt dx + a a+b = b−a h(t)dt dx a+b a a a (x − a)dx + (b − x)dx = a+b a b−a , từ bất đẳng thức (2.47) ta thu b−a hay C Dễ dàng có số C b−a , xấp xỉ tốt Kế tiếp theo, ta trình bày đánh giá biên hàm Chebyshev T (f, g) (xem [5]) Kết Dragomir năm 2003 Định lý 2.7 (Định lý 1, [5]) Xét hàm f, g : [a, b] → R, với g hàm liên tục tuyệt đối [a, b] g ∈ L∞ [a, b] f hàm khả tích Lebesgue cho tồn m, M ∈ R thỏa mãn −∞ < m f (x) M < ∞ với x ∈ [a, b] (2.48) Khi có bất đẳng thức |T (f, g)| g ∞ ( b−a b a f (x)dx − m)(M − M −m b−a b a f (x)dx) (b − a) (2.49) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 26 (b − a)(M − m) g số ∞ đánh giá tốt bất đẳng thức Chứng minh Tích phân phần ta b x b−a f (t)dt − a a x = b−a a x−a b−a b f (u)du g (x)dx a x−a f (t)dt − b−a b f (u)du g(x)|ba a b b g(x) f (x) − − b−a a b 1 =− g(x)f (x)dx + b−a a b−a = −T (f, g) f (u)du d(x) a b a g(x)dx b−a b f (x)dx a Áp dụng bất đẳng thức trị tuyệt đối ta có |T (f, g)| − b b−a g ∞ g x x−a b f (u)du |g (x)|dx b−a a b x−a b f (u)du dx f (t)dt − b−a a a f (t)dt − a b−a b−a a b a b a f (x)dx −m ∞ M− b−a b a f (x)dx M −m (b − a) đánh giá tốt nhất, ta giả sử bất đẳng thức (2.49) thỏa mãn với số D > Nghĩa Để chứng minh số |T (f, g)| D g b a f (x)dx b−a ∞ −m M− f (x) = b −1 a+b , (b − a) (2.50) f : [a.b] → R, x ∈ [a, a+b ], x ∈ ( a+b , b] b f (x)dx = a b a f (x)dx M −m Xét hàm g f xác định sau g(x) = x − b−a g(x)dx = 0, g ∞ = 1, m = −1, M = a LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 27 T (f, g) = b b−a x− a b−a a+b dx = vậy, từ bất đẳng thức (2.50) ta có b−a D b−a , Tương tự ta có số đánh giá tốt bất đẳng thức (2.49) suy D Nhận xét 2.7 Từ bất đẳng thức (2.46), đẳng thức xảy bất đẳng thức (2.49) α = β, b−a b f (x)dx = a m+M LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 28 Chương Bất đẳng thức kiểu Ostrowski trapezoid liên hệ với định lý giá trị trung bình Pompeiu với trọng số mũ phức Trong chương này, chúng tơi trình bày bất đẳng thức kiểu Ostrowski trapezoid với trọng số mũ giá trị phức, hàm liên tục tuyệt đối giá trị phức Các bất đẳng thức liên quan tới định lý giá trị trung bình Pompeiu Đặc biệt từ bất đẳng thức thu số kết vận dụng, chẳng hạn như: • Làm chặt bất đẳng thức kiểu Ostrowski bất đẳng thức trapezoid; • Bất đẳng thức kiểu Ostrowski bất đẳng thức trapezoid Năm 1946, Pompeiu đưa dạng khác định lý giá trị trung bình Lagrange, kết biết đến định lý giá trị trung bình Pompeiu, kết phát biểu định lý đây: Định lý 3.1 Với hàm thực f khả vi [a, b] khoảng không chứa với cặp x1 = x2 [a, b], tồn ξ x1 x2 cho x1 f (x2 ) − x2 f (x1 ) = f (ξ) − ξf (ξ) x1 − x2 Định lý giá trị trung bình Pompeiu vận dụng để đưa cách xấp xỉ khác trung bình tích phân, chẳng hạn kết Định lý 3.2 (Dragomir, 2005 [9]) Giả sử hàm f : [a, b] → R liên tục [a, b] khả vi (a, b) với [a, b] không chứa Khi với x ∈ [a, b], ta có bất LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 29 đẳng thức sau  b a + b f (x) − 2 b−a f (t)dt a (t) = t, t ∈ [a, b] Hằng số  a+b x−    +   f− f b−a  b−a 1 |x|  ∞ đánh giá tốt Một số bất đẳng thức kiểu Pompeiu mũ với hàm phức liên tục tuyệt đối chứng minh Dragomir với vận dụng thu số bất đẳng thức kiểu Ostrowski Định lý 3.3 Giả sử f : [a, b] → C hàm liên tục tuyệt đối trên [a, b] α = β + iγ ∈ C với β > Khi với x ∈ [a, b] ta có αb f (x) e −e α b αa − eαx f (t)dt a   |β|B1 (a, b, x, α) f − αf ∞ , f − αf ∈ L∞ [a, b],      q 1/q |β|1/q (b − a)1/p |bq (a, b, x, α)|1/q f − αf p , f − αf ∈ Lp [a, b], ≤ 1  p > 1, + = 1,   p q    B (a, b, x, α) f − αf ∞ xqβ Bq (a, b, x, α) = e với q a+b x− + qβ ebqβ + eaqβ − exqβ , B∞ (a, b, x, α) := exβ (x − a) + β −1 [ebβ − exβ ] Nếu β = 0, với x ∈ [a, b] ta có b eiγb − eiγa f (x) − eiγx iγ f (t)dt a LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 30 ≤   2  a + b    1 x −      +     4  (b − a) f − iγf  b − a       q+1 q + 1  b−x q + x−a q      b−a b−a        f − iγf ∈ Lp [a, b],    (b − a) f − iγf f − iγf ∈ L∞ [a, b], ∞, q+1  q f − iγf p , (b − a) q  q+1 Mục đích mục trình bày kết bất đẳng thức kiểu Ostrowski trapezoid có trọng số lũy thừa giá trị phức 3.1 Bất đẳng thức kiểu Ostrowski Trong phần ta sử dụng hàm Gamma hàm Gamma không đầy đủ ∞ ∞ e−t dt xt−1 e−x dx, Γ (s, x) = Γ (t) = x Trong mục này, ta ký hiệu số phức α = β + iγ ∈ C cá ký hiệu − sβ Ψ+ q,α (s, t) = e (qβ) q+1 q −tβ Ψ− (−qβ)− q,α (s, t) = e q < ∞, sử dụng [Γ(q + 1) − Γ(q + 1, qβ(t − s))] q ; q+1 q [Γ(q + 1) − Γ(q + 1, −qβ(t − s))] q , f [u,v],p chuẩn cấp p f đoạn [u, v] với < p ∞ Định lý 3.4 Xét hàm f : [a, b] → C liên tục tuyệt đối [a, b], α = β + iγ ∈ C < p ∞ Xét q < ∞ thỏa mãn 1/p + 1/q = Nếu β = ta có bất đẳng thức b f (t) dt eαt f (x) (b − a) − eax (3.1) a Ψ+ q,α (a, x) f − αf ≤ [Ψ+ q,α (a, x) + [a,x],p Ψ− q,α (x, b)] + Ψ− q,α (x, b) f − αf f − αf [x,b],p [a,b],p với x ∈ [a, b] LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 31 Nếu β = ta có bất đẳng thức b f (t) dt eitγ f (x) (b − a) − eαx (3.2) a (x − a) q+1 q f − iγf (q + 1) q (x − a) q+1 q + (b − x) (q + 1) q [a,x],p + (b − x) q+1 q f − iγf (q + 1) q [x,b],p q+1 q f − iγf [a,b],p , với x ∈ [a, b] Đặc biệt, p = ∞, (q = 1) Định lý 3.4, bất đẳng thức (3.1) (3.2) có dạng đơn giản sau: Hệ 3.1 Xét hàm f : [a, b] → C liên tục tuyệt đối [a, b] α = β +iγ ∈ C Nếu β = 0, ta có b f (x)(b − a) − eαx f (t) dt eαt (3.3) a −aβ e β2 − [(x − a)β + 1]e−xβ f − αf [a,x],∞ β2 e−bβ − [(b − x)β + 1]e−xβ + f − αf [x,b],∞ β2 a+b e−aβ + e−bβ + − x β − e−xβ f − αf [a,b],∞ , với x ∈ [a, b] Nếu β = 0, ta có b f (x)(b − a) − eαx f (t) dt eαt (3.4) a (x − a)2 f − iγf [a,x],∞ + (b − x)2 f − iγf a+b (b − a)2 + x − f − αf [a,b],∞ , [x,b],∞ với x ∈ [a, b] Hằng số 1/2 1/4 bất đẳng thức (3.4) đánh giá tốt Trong trường hợp 1-chuẩn ta có khẳng định sau LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 32 Định lý 3.5 Xét hàm f : [a, b] ∈ C liên tục tuyệt đối [a, b], α = β + iγ ∈ C = 0, ta có b f (t) f (x) (b − a) − dt αx e eαt a  −(aβ+1)   e f − αf    β x, β 1 −bβ+1 e f − αf [x,b],1 , β < 0, b + ≥ x, f − αf [a,x],1 + −β β −xβ f −αf [x,b],1 f − αf [a,x],1 + (b − x)e , ngược lại, [a,x],1 + (b − x)e−xβ f − αf [x,b],1 , β > 0, a + (x − a)e−xβ      (x − a)e−xβ  −(aβ+1)  (−xβ)  e + (b − x)e f − αf , β > 0, a + x,  [a,b],1  β β  −(bβ)+1 −xβ e ≥ x, (x − a)e + f − αf , β < 0, b +  [a,b],1  −β β    (b − a)e−xβ f − αf [x,b],1 , ngược lại, với x ∈ [a, b] Nếu β = ta có b f (t) dt ≤ (x − a) f − iγf eitγ f (x) (b − a) − eixγ [a,x],1 a + (b − x) f − iγf [x,b],1 (b − a) f − iγf [a,b],1 với x ∈ [a, b] 3.2 Bất đẳng thức kiểu trapezoid Chứng minh Định lý 3.6, 3.7 Hệ 3.2 chứng minh tương tự Định lý 3.4, 3.5 Hệ 3.1 Ta sử dụng đẳng thức trapezoid hàm liên tục tuyệt đối g : [a, b] → C b g(b)(b − x) + g(a)(x − a) − b (t − x)g (t)dt, x ∈ [a, b] g(t)dt = a (3.5) a thay cho đẳng thức Montgomery Định lý 3.6 Xét f : [a, b] → C hàm liên tục tuyệt đối [a, b], α = β + iγ ∈ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 33 ∞ Xét C < p q < ∞ số thực thỏa mãn 1 + = Nếu β = 0, p q b f (a) f (b) (b − a) + (x − a) − ebα eaα f (t) dt eαt (3.6) a Ψ− a,α (a, x) f − αf [ a, x], p + Ψ+ q,α (x, b) f − αf [Ψq,α− (a,x) + Ψ+ q,α (x, b)] f − αf [x,b],p (3.7) [x,b],p (3.8) [a,b],p , với x ∈ [a, b] Nếu β = 0, b f (t) dt eitγ f (a) f (b) (b − x) + (x − a) − eibγ eiaγ a (x − a) q+1 q f − iγf (q + 1) q (x − a) q+1 q [a,x],p q+1 + (b − x) q (q + 1) q + (b − x) q+1 q f − iγf (q + 1) q f − iγf [a,b],p , với x ∈ [a, b] Hệ 3.2 Xét f : [a, b] → C liên tục tuyệt đối [a, b] α = β + iγ ∈ C Nếu β = 0, ta có b f (a) f (b) (b − a) + (x − a) − ebα eaα e −xβ f (t) dt eαt a −aβ + [(x − a)β − 1]e f − αf [a,x],∞ β2 e−xβ − [(b − x)β + 1]e−bβ + f − αf [x,b],∞ β2 2e−xβ + [(x − a)β − 1]e−aβ − [(b − x)β + 1]e−bβ β f − αf [a,b],∞ , với x ∈ [a, b] Nếu β = 0, ta có b f (b) f (a) (b − x) + (x − a) − eibγ eiaγ f (t) dt eitγ a (x − a)2 f − iγf [a,x],∞ + (b − x)2 f − iγf [x,b],∞ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 34 a+b (b − a)2 + x − 2 f − iγf [a,b],∞ , với x ∈ [a, b] Định lý 3.7 Xét hàm f : [a, b] → C liên tục tuyệt đối [a, b], α = β + iγ ∈ C Nếu β = 0, ta có b f (t) f (b) f (a) (b − x) + (x − a) − dt ebα eaα eαt a  −aβ  f − αf [a,x],1 + β1 e−(xβ+1) f − αf [x,b],1 , β > 0, x + β1 a,  (x − a)e −(xβ+1) −bβ f − αf [a,x],1 + b−a f − αf [x,b],1 , β < 0, x + β1 b, ≤ −β e e   −bβ (x − a) e−aβ f − αf f − αf [x,b],1 , ngược lại, [a,x],1 + e  −aβ + β1 e−(xβ+1) ] f − αf [a,b],1 , β > 0, x + β1 a,  [(x − a)e −(bβ+1) ≤ [ −β e + (b − x)e−bβ ] f − αf [a,b],1 , β < 0, x + β1 b,   [(x − a)e−aβ + (b − x)e−bβ ] f − αf [a,b],1 , ngược lại 3.3 3.3.1 Một bất đẳng thức kiểu Ostrowski trapezoid Làm chặt bất đẳng thức Ostrowski Nếu α = Hệ 3.1, Định lý 3.4 Định lý 3.5 ta có kết chặt bất đẳng thức Ostrowski sau: b f (x)(b − a) − f (t)dt a 1 [(x − a)2 f [a,x],∞ + (b − x)2 f [x,b],∞ ],    q+1 q+1 (x−a) q (b−x) q 1 + f + f , p > 1, 1 [a,x],p [x,b],p p q = 1,  (q+1) q (q+1) q   (x − a) f [a,x],1 + (b − x) f [x,b],1 ,  a+b 2  f [a,b],∞ ,  (b − a) + x −   q+1 q+1  (x − a) q + (b − x) q f [a,b],p , p > 1, p1 + 1q = 1,   (q + 1) q    (b − a) f [a,b],1 , (3.9) (3.10) với x ∈ [a, b] Các số bất đẳng thức (3.9) (3.10) đánh giá tốt LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 35 3.3.2 Bất đẳng thức kiểu Ostrowski Xét hàm hα (t) = eαt với t ∈ [a, b] Nếu hàm f (t) = g(t)hα (t) = g(t)eαt Định lý 3.4, Hệ 3.1, Định lý 3.5, ta thu bất đẳng thức Ostrowski: Nếu β = 0, ta có b g(x)(b − a) − g(t)dt Ψ+ q,α (a, x) g hα [a,x],p a + Ψ− q,α (x, b) g hα p > p + q [x,b],p , = 1, b g(x)(b − a) − g(t)dt e−aβ − [(x − a)β + 1]e−xβ g hα β2 [a,x],∞ a β2 e−bβ − [(b − x)β − 1]e−xβ g hα [x,b],∞ + β2 a+b e−aβ + e−bβ + − x β − e−xβ g hα [a,b],∞ , b g(x)(b − a) − g(t)dt a 1 (−aβ+1) g hα [a,x],1 + (b − x)e−xβ g hα [x,b],1 , β > 0, a + β1 x,  β e −(bβ+1) (x − a)e−xβ g hα [a,x],1 + −β e g hα [x,b],1 , β < 0, b + β1 ≥ x,   (x − a)e−xβ g hα [a,x],1 + (b − x)e−xβ g hα [x,b],1 , ngược lại  (−aβ+1)  + (b − x)e−xβ g hα [a,b],1 , β > 0, a + β1 x,   βe −(bβ+1) (x − a)e−xβ + −β e g hα    (b − a)e−xβ g hα [a,b],1 , ngược lại [a,b],1 , β < 0, b + β ≥ x, với x ∈ [a, b] Nếu β = 0, ta có b g(x)(b − a) − f (t)dt a 1 [(x − a)2 g hα [a,x],∞ + (b − x)2 g hα [x,b],∞ ],    q+1 q+1 (x−a) q (b−x) q g hα [a,x],p + g hα [x,b],p , p > 1, p1 + 1 q q  (q+1) (q+1)   (x − a) g hα [a,x],1 + (b − x) g hα [x,b],1 , q = 1, LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 36  a+b 2  g hα [a,b],∞ ,  (b − a) + x −   q+1 q+1  (x − a) q + (b − x) q g hα [a,b],p , p > 1, p1 +   (q + 1) q    (b − a) g hα [a,b],1 , 3.3.3 q = 1, Làm chặt bất đẳng thức trapezoid Nếu α = Hệ 3.2, Định lý 3.6 Định lý 3.7 ta thu kết chặt bất đẳng thức trapezoid sau: b f (a)(x − a) + f (b)(b − x) − f (t)dt a 1 [(x − a)2 f [a,x],∞ + (b − x)2 f [x,b],∞ ],   2 q+1 q+1 (b−x) q (x−a) q f + f [x,b],p , p > 1, p1 + 1q = 1, 1 [a,x],p q q  (q+1) (q+1)   (x − a) f [a,x],1 + (b − x) f [x,b],1 ,  a+b 2  (b − a) + x − f [a,b],∞ ,    q+1 q+1  (x − a) q + (b − x) q f [a,b],p , p > 1, p1 + 1q = 1,   (q + 1) q    (b − a) f [a,b],1 , với x ∈ [a, b] 3.3.4 Bất đẳng thức kiểu trapezoid Xét hàm hα (t) = eαt với t ∈ [a, b] Nếu hàm f (t) = g(t)hα (t) = g(t)eαt Định lý 3.6, Hệ 3.2 Định lý 3.7 ta có bất đẳng thức trapezoid: Nếu β = 0, ta có b g(a)(x − a) + g(b)(b − x) − Ψ− q,α (a, x) g hα [a,x],p + + Ψ− q,α (a, x) + Ψq,α (x, b) p > p + q g(t)dt a + Ψq,α (x, b) g hα g hα [x,b],p [a,b],p , = 1, b g(a)(x − a) + g(b)(b − x) − g(t)dt a LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 37 e−xβ − [(x − a)β − 1]e−aβ g hα [a,x],∞ + β2 e−xβ − [(b − x)β + 1]e−bβ g hα [x,b],∞ + β2 2e−xβ + [(x − a)β − 1]e−aβ − [(b − x)β + 1]e−bβ β2 g hα [a,b],∞ b g(a)(x − a) + g(b)(b − x) − g(t)dt a  −aβ g hα [a,x],1 + β1 e−(xβ+1) g hα [x,b],1 , β > 0, x + β1 ≥ a,  (x − a)e −(xβ+1) g hα [a,x],1 + (b − x)e−bβ g hα [x,b],1 , β < 0, x + β1 b, −β e   (x − a)e−aβ g hα [a,x],1 + (b − x)e−bβ g hα [x,b],1 , ngược lại,  −aβ  + β1 e−(xβ+1) g hα [a,b],1 , β > 0, x + β1 ≥ a,   (x − a)e (−xβ+1) + (b − x)e−bβ g hα [a,b],1 , β < 0, x + β1 b, −β e    [(x − a)e−aβ + (b − x)e−bβ ] g hα [a,b],1 , ngược lại, với x ∈ [a, b] Nếu β = 0, ta có b g(a)(x − a) + g(b)(b − x) − g(t)dt a 1 [(x − a)2 g hα [a,x],∞ + (b − x)2 g hα [x,b],∞ ],    q+1 q+1 (b−x) q (x−a) q g hα [a,x],p + g hα [x,b],p , p > 1, p1 + 1q = 1, 1 q q  (q+1) (q+1)   (x − a) g hα [a,x],1 + (b − x) g hα [x,b],1 ,  a+b 2  (b − a) + x − g hα [a,b],∞ ,    q+1 q+1  (x − a) q + (b − x) q g hα [a,b],p , p > 1, p1 + 1q = 1,   (q + 1) q    (b − a) g hα [a,b],1 , với x ∈ [a, b] LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 38 Kết luận Luận văn trình bày vấn đề sau: • Sơ lược hàm số, biến phân hm s, bt ng thc Hăolder Bt ng thc Ostrowski trapezoid • Trình bày bất đẳng thức kiểu Ostrowski, trapezoid lớp hàm có biến phân bị chăn, hàm đơn điệu, hàm liên tục tuyệt đối Làm chặt bất đẳng thức Ostrowski hàm Chebyshev • Trình bày bất đẳng thức kiểu Ostrowski trapezoid liên hệ với định lý giá trị trung bình Pompeiu với trọng số mũ phức Một bất đẳng thức kiểu Ostrowski trapezoid số kết làm chặt bất đẳng thức kiểu Ostrowski trapezoid LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 39 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Mậu (1997), Bất đẳng thức áp dụng, NXB Giáo dục Tiếng Anh [2] Cerone P., Dragomir S S (2011), Mathematical Inequalities: A perspective, CRS Press, Taylor and Francis Group, LLC, USA [3] Cerone P., Dragomir S S., Kikianty E (2017), “Ostrowski and Trapezoid type inequalities related to pompeiu’s mean value theorem with complex exponential weight”, Journal of Mathematical Inequalities, 11(4), pp 047–964 [4] Cvetkovski Z (2012), Inequalities: Theorem, Techniques and Selected problems, Springer [5] Dragomir S S (2003), “Refinement of ostrowski’s inequality for the ˇcebyˇsev functional and applications", Analysis, 23(4), pp.287–297 [6] Steele M J (2004), An in troduction to the art of Mathematical Inequalities: The Cauchy – Swcharz Master Class, Cambridge LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... Chương Về bất đẳng thức Ostrowski Trapezoid 2.1 Về bất đẳng thức Ostrowski 2.1.1 Bất đẳng thức Ostrowski với hàm liên tục tuyệt đối 2.1.2 Bất đẳng thức Ostrowski với... chặn 2.2 Về bất đẳng thức trapezoid 2.2.1 Bất đẳng thức trapezoid hàm có biến phân bị chặn 2.2.2 Bất đẳng thức trapezoid hàm đơn điệu 2.2.3 Bất đẳng thức trapezoid. .. chọn đề tài bất đẳng thức hàm làm chủ đề cho luận văn thạc sĩ mình, cụ thể với đề tài: ? ?Về bất đẳng thức Ostrowski Trapezoid? ?? Đây loại bất đẳng thức trung bình tích phân Năm 1938, Ostrowski chứng