BÀI tập HÌNH học VI PHÂN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HCM KHOA TOÁN – TIN HỌC BÀI TẬP HÌNH HỌC VI PHÂN NHĨM GVHD: TS NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2021 Bài tập hình học vi phân Nhóm Danh sách thành viên STT HỌ VÀ TÊN MSSV Chu Văn Phương 45.01.101.082 Nguyễn Hải Bắc 45.01.101.007 Phan Nguyễn Gia Huy 45.01.101.033 Trần Phước An 45.01.101.003 Võ Tấn Đạt 42.01.101.027 Lê Minh Gia Nguyên 43.01.101.066 Cil Hoàng Khánh 45.01.101.039 Lê Đức Duy 45.01.101.010 Bài tập nhóm Bài tập Cho véc-tơ , , Tìm giá véc-tơ sau: với với với Xét trường hợp phương với Giải Trong mặt phẳng E chọn điểm O, M , M cho OM = r (t ), OM = r0 Ở điểm M di động, điểm O, M cố định Ta có r (t ) = r0 + t  r1 + t  r2 , tương đương r (t ) − r0 = t  r1 + t  r2 Khi M M = t  r1 + t  r2 , t  • Trường hợp 1: r1 không phương với r2 nên thuộc mặt phẳng qua M ( P) :  VTCP r r    Trên ( P ) chọn mục tiêu M , r1 , r2 Bài tập hình học vi phân Nhóm x = t M ( x, y) :   y = x2 y = t Vậy ( P ) điểm M chạy Parabol y = x • Trường hợp 2: r1 phương với r2 Suy tồn k  cho r1 = k  r2 , ta có M M = t  r1 + t  r2 = (t + k  t )  r2 qua M Suy M thuộc đường thẳng (  ) :   VTCP r2 Đặt f (t ) = t + k  t  k0 Suy điểm M chạy nửa đường thẳng ( ) Ta có r (t ) = r0 + cos t  r1 + sin t  r2 , t  • Trường hợp 1: r1 không phương với r2 , suy M thuộc mặt phẳng  qua M (P ) :   VTCP laø r2 Trên ( P ) chọn mục tiêu {M , r1 , r2 }  x = cos t M ( x, y ) :  y = sin t  Suy x + y = Vậy ( P ) điểm M chạy elip x + y = • Trường hợp 2: r1 phương với r2 Suy tồn k  cho r2 = k  r1 nên M M = cos t  r1 + sin t  r2 = (cos t + k sin t )  r1 Suy M thuộc đường thẳng  qua M ( ) :   VTCP r1 Đặt f (t ) = cos t + k sin t  − + k  f (t )  + k Suy điểm M chạy đoạn thẳng thuộc đường thẳng ( ) Ta có r (t ) = r0 + cosh t  r1 + sinh t  r2 , t  , tương đương M M = cosh t  r1 + sinh t  r2 , t  • Trường hợp 1: r1 khơng phương với r2 Bài tập hình học vi phân Nhóm Suy M thuộc mặt phẳng qua M ( P) :   VTCP r2 Trên ( P ) chọn mục tiêu {M , r1 , r }  x = cosh t M ( x, y ) :  y = sinh t  2 2 Suy x − y = cosh t − sinh t = Vậy ( P ) điểm M chạy hyperbol x − y = • Trường hợp 2: r1 phương r2 Nên tồn k  cho r2 = k  r1 , suy M M = cosh t  r1 + sinh t  r2 = (cosh t + k  sinh t )  r1 Suy M thuộc đường thẳng Qua M () :  VTCP r  độc lập tuyến tính Tìm giá hàm véc-tơ sau đây: Bài tập Cho ; ; ; Giải Chọn O cố định Đặt OM = r OM = r0 Ta có r = r0 + ur1 + u r2 + vr3 , tương đương Chọn ( M , r , r , r ) M M = u  r1 + u r2 + v  r3 x = u  y = x2  M ( x, y , z ) :  y = u   z = v  z = v  Suy M chạy Parabol y = x nằm mặt phẳng z = v Ta có r (t ) = r0 + cos u  r1 + sin u  r2 + v  r3 , tương đương Bài tập hình học vi phân ( ) Nhóm M M = cos u  r1 + sin u  r2 + v  r3 Chọn M0 , r1 , r2 , r3  x = cos u  x2 + y2 =  M ( x , y, z) :  y = sin u   z = v  z = v  Suy M chạy elip x + y = nằm mặt phẳng z = v   1 1 Ta có r = r0 +  u +  r1 +  u −  r2 + v  r3 , tương đương u u   ( )   1 1 M M =  u +  r1 +  u −  r2 + v  r3 u u   Chọn M , r1 , r2 , r3 mục tiêu  x = u +   x2 y2 u  x2 − y2 =  − =  M ( x , y , z) :    y = u − u z = v z = v   z = v x2 y2 − = nằm mặt phẳng z = v Suy M chạy Hyperbol 4 Ta có r = r0 + u cos v  r1 + u sin v  r2 + u  r3 , tương đương ( ) M M = u cos v  r1 + u sin v  r2 + u  r3 Chọn M , r1 , r2 , r3 mục tiêu  x = u cos v  M ( x , y , z) :  y = u sin v  x + y = z  x + y − z =  z = u2  Suy M chạy mặt paraboloid eliptic x + y − z = Bài tập Cho đường thẳng tham số với , Chứng minh khơng qui Bài tập hình học vi phân Nhóm Giải Ta có x(t ) = 2t  x(0) = , lại có y(t ) = Suy r (0) = (0,0,0) r (t ) khơng qui t = Vậy r (t ) không đường tham số qui t = Bài tập Hai đường tham số sau tương đương không? Giải Giả sử r1 r2 hai đường tham số tương đương Khi tồn vi phơi  cho r1 (t ) = ( r2  )(t ) = r2 ( (t ))  (t ,0,0) = ( ,0,0)  t =  (t )   (t ) = t Dễ thấy hàm  (t ) = t không khả vi t=0 nên  không vi phôi Vậy r1 r2 hai đường tham số không tương đương Bài tập Tìm độ dài cung sau: ; gốc tọa độ điểm Giải Đầu tiên, ta cần tìm giao điểm cung trục hoành  a2 =0 t − t  t = a  t 2 a ln =  a Vậy tốn đưa dạng tìm độ dài cung từ điểm t = a sang t = t0 a2 a2 t  Ta có r (t ) =  t + , t − , 2a ln  , nên t t a  a2 a   a2 r (t ) =  − , + ,  t t t  Bài tập hình học vi phân Nhóm Suy 2 a2   a  a2  a2   a2     r (t ) =  −  +  +  +   =  +  =  +  t   t   t t  t     Áp dụng cơng thức, ta có l[ a ,t ] = a2    +  dt = t   t0  a Vậy l a ,t  =  0  a  t0 t −  = t a   a2   t0 −  t0    a2   t0 −  t0   Ta có x2   y = 2a (C ) :  x z =  6a  t2 t3  Ta chọn t = x , suy r (t ) =  t , ,  Ta có gốc tọa độ O (0,0,0)  2a 6a  t1 = P0 ( x0 , y0 , z0 ) t2 = x0 Vậy tốn đưa dạng tìm độ dài cung hai điểm t1 = t2 = x0  t2 t3   t t2  Ta có r (t ) =  t , ,  , nên r (t ) =  1, ,   2a 6a   a 2a  Suy 2  1 t   t2 1 +    = +  2 a  2a    t   t4  r(t ) = +   +   =  a   4a    Áp dụng công thức ta có l[0, x  t2  t3 = + d t = t + 0  2a  ] 6a2   x0 x0 x 03 = x + = x + z0 6a Vậy l0,x  = x0 + z0  0 Bài tập Tìm dạng tồn phương thứ mặt sau a) b) Giải ; , Bài tập hình học vi phân Nhóm a) Ta có ru = (− a sin u cos v, − a sin u sin v, c cos u); rv = (− a cos u sin v, a cos u cos v, 0) Suy ( ) E = ru = (− a sin u cos v)2 + ( − a sin u sin v)2 + (c cos u)2 = a sin u + c cos u; F = (− a sin u cos v)( − a cos u sin v) + ( − a sin u sin v)( a cos u cos v) = 0; ( ) G = rv = (− a cos u sin v)2 + (a cos u cos v)2 = a cos u Do ds2 = Edu + Fdudv + Gdv = (a sin u + c cos2 u )du + a cos2 udv b) Ta có ru = (cos v, sin v, h); rv = (−u sin v, u cos v, 0) Suy ( ) E = ru = cos2 v + sin v + h = + h ; F = ru  rv = (cos v)(−u sin v) + sin v(u cos v) = 0; ( ) G = rv = (−u sin v )2 + (u cos v)2 = u Do ds2 = Edu + Fdudv + Gdv = (1 + h )du + u dv Bài tập Các dạng tồn phương sau khơng thể dạng thứ mặt quy a) ; b) ; c) ; d) Lý thuyết Dạng toàn phương thứ mặt quy có dạng , Bài tập hình học vi phân ; Đặt Nhóm ; Khi Ta xét trường hợp sau • Nếu , điều vơ lý Vậy khơng phải dạng tồn phương thứ mặt quy • Nếu hay Đây khơng phải mặt quy Vậy khơng phải dạng toàn phương thứ mặt quy • Nếu hay Vậy dạng toàn phương thứ mặt quy Giải Áp dụng lý thuyết trình bày trên, ta lời giải sau a) Ta có  = EG − F = −3  Vậy dạng tồn phương thứ mặt quy b) Ta có  = EG − F = Vậy khơng phải dạng tồn phương thứ mặt quy c) Ta có  = EG − F =  Đây dạng toàn phương thứ mặt quy d) Ta có  = EG − F = −4  Vậy khơng phải dạng tồn phương thứ mặt quy Bài tập Trên mặt cầu đường Tìm góc , Xem đường với các đường tương ứng Xét trường hợp đặt biệt điểm xích đạo điểm cực Giải Ta có Bài tập hình học vi phân Nhóm ru = (− k sin u cos v, − k sin u sin v, k cos u); rv = (− k cos u sin v, − k cos u cos v, 0) Suy ( ) E = ru F = 0; = k2 ; G = k cos2 u Đường u = v có phương trình tham số 1 :u = v = t Đường v = const có phương trình tham số  : u = t, v = v0 Đường tham số u = const có phương trình tham số  : u3 = u0 , v3 = t Ta có cos = = Eu1u2 + F (u1v2 + v1u2 ) + Gv1v2 E (u1 )2 + Fu1v1 + G (v1 )2  E (u2 )2 + Fu2 v2 + G (v2 )2 k2 k + k cos2 u  k = 1 + cos2 u ; Eu1u3 + F (u1v3 + v1u3 ) + Gv1v3 cos  = E (u1 )2 + Fu1v1 + G (v1 )2  E (u3 )2 + Fu3 v3 + G (v3 )2 k cos2 u = 2 2 k + k cos u  k cos u cos  = cos + cos = Đường xích đạo có phương trình v = mà u = v nên u = thay vào biểu thức ta cos = + cos2 cos cos  = Tại cực ta có v =   u =  + cos  = = 2   = 45 ;   = 45 Thế vào biểu thức ta   cos     2 =   = 90 cos = =   = ; cos  =     + cos2    + cos2     2  2 10 Bài tập hình học vi phân Nhóm Bài tập Tìm quỹ đạo trực giao với đường toạ độ mặt Giải Đối với đường u = const u1 = u0 u1 = p1   ; v1 = v1 = t u = u (t ) u 2 = u (t ) p1    v = v (t ) v2 = v(t ) Ta có: p1 ⊥ p2  cos =  Eu1u2 + F (u1v2 + v1u 2 ) + Gv1v2 =  Edu1du2 + F (du1dv2 + du2 dv1 ) + Gdv1dv2 =  Fdu2 + Gdu2 = Đối với đường v = const u1 = t u2 = u (t ) u 2 = u (t ) u1 = p1    p2     v = v v = v ( t ) v v = v = ( t )     Ta có: p1 ⊥ p2  cos  =  Eu1u2 + F (u1v2 + v1u 2 ) + Gv1v2 =  Edu1du + F ( du1dv2 + du dv1 ) + Gdv1dv2 =  Edu + Fdu = Trở lại toán, ta có ru = (cos v,sin v,1), rv = ( −u cos v, u sin v,1) Suy ( ) E = ru ( ) = 2, F = ru  rv = 1, G = rv = u +1 Theo chứng minh trên, ta có: Đối với đường u = const quỹ đạo trực giao Fdu + Gdv =  du + (u + 1)dv =  dv = − du  v = − arctan u + c u2 + Đối với đường v = const quỹ đạo trực giao Edu + Fdv =  2du + dv =  dv = −2du  v = −2u + c Bài tập hình học vi phân 11 Nhóm Bài tập 10 Cho dạng tồn phương thứ Tính góc hai đường cong Giải Vì ds = du + (u + a )dv nên E = 1, F = 0, G = u + a Ta có ( C ) : u − v2 = (C1 ) : u1 + v1 = u1 = t u1 =   v1 = −t v1 = −1 u2 = t u2 =    v2 = t v2 = Gọi  góc (C1 ),(C2 ) Ta có: cos  = − (u + a ) + (u + a ) + (u + a ) , − a2 (C1 )  (C2 ) = O(0,0) Do cos = + a2 Bài tập 11 Tìm diện tích tam giác cong mặt có dạng tồn phương thứ giới hạn đường Giải Từ giả thiết ta có E = 1, F = 0, G = u2 + a2 Suy diện tích tam giác cong mặt giới hạn đường u =  av, v = av − av S =  EG − F du.dv =  u + a du.dv =  dv 2 D D  u  av a =  u + a + ln u + u + a  dv 2 − av 0  1 a2 v2 + + v  2 dv =   a v v + + ln  v + − v   a2 ln =  a v v + 1.dv +  2 a2 = Ta tính:  a2 ln v + 1d (v + 1) +  2 ( ) v + + v dv ( ) v + + v dv u + a du 12 Bài tập hình học vi phân Nhóm 1 •  (v + 1) v + 1d (v + 1) = 2 • Ta có  ln ( ) = 2 (v + 1)3 = (2 − 1) 3 ( v + + v dv =  ln ) v + + v dv Đặt t = ln v + + v  dt = ( v2 + + v ) dv =  dv v +1 + v Suy v +1 1 vdv 2 0 ln ( v + + v) dv = v ln ( v + + v) − 0 v + 2 = ln = ln ( ( ) −1 −  d ( v2 + ) ) − − + Vậy ( ) a2 a2 S=  2 − +    ln  2  = a2  − + ln +  3  ( ) ( ) + − + 1  ... z = u2  Suy M chạy mặt paraboloid eliptic x + y − z = Bài tập Cho đường thẳng tham số với , Chứng minh khơng qui Bài tập hình học vi phân Nhóm Giải Ta có x(t ) = 2t  x(0) = , lại có y(t... x0 x0 x 03 = x + = x + z0 6a Vậy l0,x  = x0 + z0  0 Bài tập Tìm dạng toàn phương thứ mặt sau a) b) Giải ; , Bài tập hình học vi phân Nhóm a) Ta có ru = (− a sin u cos v, − a sin u sin... Gdv = (1 + h )du + u dv Bài tập Các dạng tồn phương sau khơng thể dạng thứ mặt quy a) ; b) ; c) ; d) Lý thuyết Dạng toàn phương thứ mặt quy có dạng , Bài tập hình học vi phân ; Đặt Nhóm ; Khi