THÔNG TIN TÀI LIỆU
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THỊ LÝ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MƠ HÌNH PHẢN ỨNG BELOUSOV-ZHABOTINSKII VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN NEUMANN Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS LÊ HUY CHUẨN Hà Nội – Năm 2014 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mục lục MỞ ĐẦU Kiến thức chuẩn bị 1.1 Những không gian hàm 1.1.1 Khụng gian Hăolder 1.1.2 Không gian Sobolev 1.1.3 Bộ ba không gian 1.2 Toán tử quạt 1.2.1 Các định nghĩa 1.2.2 Toán tử tuyến tính liên kết với dạng nửa song tuyến tính 1.2.3 Toán tử quạt liên kết với dạng nửa song tuyến tính 1.2.4 Tốn tử quạt khơng gian L2 1.2.5 Toán tử quạt khơng gian tích 1.3 Bài toán Cauchy 1.3.1 Phương trình tiến hóa tuyến tính 1.3.2 Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính Mơ hình Field-Noyes 2.1 Nghiệm địa phương 2.1.1 Sự tồn nghiệm địa phương 2.1.2 Nghiệm địa phương không âm 2.2 Nghiệm toàn cục 2.2.1 Đánh giá tiên nghiệm 2.2.2 Sự tồn nghiệm tồn cục Mơ hình Keener-Tyson 3.1 Nghiệm địa phương 3.1.1 Sự tồn nghiệm địa phương 3.1.2 Nghiệm địa phương không âm 3.2 Nghiệm toàn cục 3.2.1 Đánh giá tiên nghiệm 3.2.2 Sự tồn nghiệm toàn cục KẾT LUẬN Tài liệu tham khảo 6 10 10 13 14 15 18 18 18 19 28 29 29 32 35 35 37 38 39 39 42 44 44 46 47 48 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỞ ĐẦU Vào năm 1968, lần giới biết phản ứng hóa học kỳ lạ biểu tính tự tổ chức hai nhà khoa học Nga, Belousov Zhabotinsky thực Đây thí nghiệm hóa học thú vị, hấp dẫn đầy thách thức khơng dẫn đến cân hóa chất Khi trộn lẫn số hóa chất bao gồm axit malonic CH2 (CO2 H)2 (công thức cấu tạo HOOC-CH2 -COOH), kali bromat KBrO3 chất oxi hóa mạnh, kali bromua KBr (hoặc natri bromat NaBrO3 , natri bromua NaBr), cerium amonium nitrate (NH4 )2 Ce(NO3 )6 , axit sulfuric H2 SO4 axit vô manh, chất thị màu Ferroin nước bình chứa Lúc nhiệt độ tăng cao tới mức đó, xuất cấu trúc gồm dao động tuần hồn di chuyển theo vịng đồng tâm hay xoắn ốc, tồn bền vững phản ứng khơng ngừng tác động, cịn tiếp tục phát sinh nhiều dao động thêm Vào năm 1974, Field-Noyes trình bày mơ hình tốn học mơ tả phản ứng Belousov-Zhabotinskii sau ∂u = a∆u + (qw − uw + u − u2 ) Ω × (0, ∞), ε ∂t ∂v = b∆v + u − v Ω × (0, ∞), ∂t ∂w = d∆w + (−qw − uw + cv) Ω × (0, ∞), ∂t δ u mật độ HBrO2 , v mật độ Ce4+ w mật độ Br− bình miêu tả Ω Với a, b, d số khuếch tán dương Các số dương δ, ε, q, c tham số, đặc biệt δ, ε, q xét nhỏ Phát triển từ mơ hình Field-Noyes, Keener-Tyson đưa mơ hình tốn đơn giản cách giả sử δ đủ nhỏ so với ω sử dụng vài tỉ lệ thích hợp Trong luận văn, ta nghiên cứu mơ hình Field-Noyes mơ hình KeenerTyson với điều kiện biên Neumann LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỞ ĐẦU Luận văn chia thành ba chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương cung cấp lý thuyết sở cho hai chương sau Bao gồm không gian bản, định nghĩa toán tử quạt, cách chuyển dạng nửa song tuyến tính tốn tử quạt, cuối tốn Cauchy cho phương trình tiến hóa nửa tuyến tính Chương Mơ hình Field-Noyes Chương trình bày mơ hình tốn học mà Field-Noyes đưa để mô tả phản ứng Belousov - Zhabotinskii Ta chứng minh tồn địa phương, xây dựng đánh giá tiên nghiệm chứng minh tồn nghiệm tồn cục tốn Chương Mơ hình Keener-Tyson Tương tự Chương 2, nội dung Chương chứng minh tồn nghiệm toàn cục mơ hình KeenerTyson Các kết luận văn trình bày dựa tài liệu tham khảo [5] Trong có dựa đóng góp tác giả tài liệu [1], [2], [3] [4] LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình TS Lê Huy Chuẩn Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt trình làm luận văn Tơi muốn bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Qua đây, xin gửi tới q thầy Khoa Tốn-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2012- 2014, lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ suốt trình học tập tơi Nhà trường Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè bạn đồng nghiệp thân mến quan tâm, tạo điều kiện cổ vũ, động viên tơi để tơi hồn thành tốt nhiệm vụ Hà Nội, tháng 11 năm 2014 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Lý LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bảng kí hiệu Rn = x = (x1 , x2 , , xn ) : xi ∈ R, i = 1, n , Rn+ = x = (x1 , x2 , , xn ) : xi ∈ R, i = 1, n − 1, xn > , C([a, b]; X) = f : [a, b] → X, f liên tục [a, b] , C m ([a, b]; X) = f : [a, b] → X, f khả vi liên tục đến cấp m , L(X, Y ) = f : X → Y : f tuyến tính liên tục , |f (x)|p dx < +∞ , p ≥ 1, f đo Ω : Lp (Ω) = Ω L∞ (Ω) = f đo Ω : ess sup|f | < +∞ Ω với ess sup|f | = inf {k : µ {x ∈ Ω : f (x) > k} = 0} , µ độ đo Lebesgue Ω, Ω Lploc (Ω) = f đo Ω : f ∈ Lp (Ω ), ∀Ωcompact ⊂ Ω LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Những không gian hàm 1.1.1 Khụng gian Hă older nh ngha 1.1 Cho mở Ω ⊂ Rn < γ ≤ a) Hàm số u : Ω → R gọi l liờn tc Hă older bc nu tn ti số C > cho |u(x) − u(y)| ≤ C|x − y|γ , x, y ∈ Ω Khi γ = 1, hàm số u gọi liên tục Lipschitz b) Nếu u : Ω → R bị chặn liên tục, ta định nghĩa u C(Ω) = sup |u(x)| x c) Na chun Hăolder bc u : Ω → R [u]C 0,γ (Ω) = sup x=y |u(x) − u(y)| |x − y|γ x,y∈Ω v chun Hăolder bc l u C 0, () = u C(Ω) + [u]C 0,γ (Ω) Định nghĩa 1.2 Khụng gian Hă older C k, () gm tt hàm số u ∈ C k (Ω), mà chuẩn u C k,γ (Ω) Dα u = C(Ω) |α|≤k [Dα u]C 0,γ (Ω) + |α|=k hữu hạn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương Kiến thức chuẩn bị Như vậy, không gian C k,γ (Ω) gồm tất hàm số u cho đạo hàm riêng cấp k bị chặn v liờn tc Hăolder bc Hn na, khụng gian Hăolder C k, () l khụng gian Banach vi chuẩn C k,γ (Ω) Không gian hàm liên tc Hă older cú trng F , ((a, b]; X) Cho X không gian Banach, với hai số mũ < σ < β ≤ 1, định nghĩa không gian hàm F β,σ ((a, b]; X) gồm hàm F (t) : (a, b] → X liên tục (a, b] (tương ứng [a, b]) < β < (tương ứng β = 1) thỏa mãn ba tính chất sau: Khi β < 1, (t − a)1−β F (t) có giới hạn hữu hạn t a F l liờn tc Hăolder vi s mũ σ với trọng (s − a)1−β+σ , nghĩa (s − a)1−β+σ F (t) − F (s) (t − s)σ a≤s 0, ta thu bất đẳng thức u2 + ξv + w2 dx + µ Ω u2 + ξv + w2 dx ≤ C, C ≥ Ω 36 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương Mơ hình Field-Noyes Giải bất đẳng thức vi phân ta u20 + ξv02 + w02 dx + Cµ−1 u2 + ξv + w2 dx ≤ e−µt Ω Ω Suy u(t) L2 + ξ v(t) L2 + w(t) L2 ≤ e−µt u0 L2 + ξ v0 L2 + w0 L2 + Cµ−1 với ≤ t ≤ TU Khi U (t) L2 ≤ e−µt U0 L2 + Cµ−1 , ≤ t < TU (2.7) Từ ta có U (t) 2.2.2 X ≤ C( U0 X + 1), ≤ t ≤ TU Sự tồn nghiệm toàn cục Định lý 2.3 (Tồn nghiệm tồn cục) Với U0 ∈ X , tốn (2.2) tồn nghiệm tồn cục khơng gian ≤ U ∈ C((0, ∞); H2N (Ω)) ∩ C([0, ∞); L2 (Ω)) ∩ C ((0, ∞); L2 (Ω)), thỏa mãn đánh giá U (t) L2 ≤ e−µt U0 L2 + Cµ−1 , ≤ t < ∞, U0 ∈ K, (2.8) với số mũ µ > số C > Chứng minh Theo Định lý 2.1 tồn U nghiệm địa phương toán (2.2) [0, TU0 ] Với < T1 < TU0 , xét phương trình dV + AV = F (V ), < t < ∞, dt V (0) = U (T1 ) Theo Định lý 2.1 phương trình tồn nghiệm địa phương [0, δ), δ phụ thuộc U (T1 ) Từ Định lý 2.2 U (t) ≤ C U0 suy δ số phụ thuộc vào U0 Đặt U (t) với t ∈ [0, T1 ] U˜ (t) = V (t − T ) với t ∈ [T1 , T1 + δ] U˜ (t) nghiệm toán (3.2) khoảng [0, T1 + δ] Thay T1 T1 + δ , lặp lại trình ta có điều phải chứng minh Ngồi ra, đánh giá (2.8) suy trực tiếp từ (2.7) 37 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương Mơ hình Keener-Tyson Năm 1986 Keener-Tyson đơn giản mơ hình tốn Field-noyes cv sử dụng vài tỉ lệ u+q không gian tham số cho tán xạ u, v tương ứng εa εb Khi cách giả sử δ đủ nhỏ so với w, nghĩa w = mơ hình cho ∂u = εa∆u + [u(1 − u) − cv u − q ] Ω × (0, ∞) ∂t ε ∂v = εb∆v + u − v ∂t u+q Ω × (0, ∞) kí hiệu u mật độ HBrO2 v mật độ Ce4+ bình miêu tả Ω Với a, b hệ số khuếch tán dương Các số dương ε, q, c tham số, đặc biệt ε, q xét nhỏ Xét toán giá trị biên ban đầu ∂u u−q = a∆u + [u(1 − u) − cv ] Ω × (0, ∞), ∂t ε u+q ∂v = b∆v + (u − v) Ω × (0, ∞), ∂t ε ∂u ∂v = =0 ∂n ∂n u(x, 0) = u (x) ; v(x, 0) = v (x) 0 (3.1) ∂Ω × (0, ∞), Ω, miền Ω bị chặn, ba chiều C lồi Cố định a > 0, b > 0, c > 0, < q < < ε ≤ Ta viết lại toán (3.1) toán với u v mơ hình ngun Kener-Tyson Sau đó, tương tự mơ hình Field-Noyes,để chứng minh nghiệm tốn (3.1), ta cững đưa toán dạng toán Cauchy gồm hai toán tử: tốn tử tuyến tính A tốn tử quạt 38 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương Mơ hình Keener-Tyson tốn tử khơng tuyến tính F thỏa mãn điều kiện Lipschitz Khi sử dụng Định lý 1.9 nghiệm địa phương toán Cauchy Chương ta tồn nghiệm địa phương (0, T ] Tiếp theo chứng minh nghiệm địa phương không âm Cuối ta tồn nghiệm tồn cục tốn đưa đánh giá chuẩn nghiệm tồn cục Bằng cách đặt t = εT , dt = εdT ta có ∂u u−q = a∆u + [u(1 − u) − cv ] Ω × (0, ∞), ε∂T ε u+q ∂v = b∆v + (u − v) Ω × (0, ∞), ε∂T ε ∂u ∂v = =0 ∂n ∂n u(x, 0) = u (x) ; v(x, 0) = v (x) 0 u−q ∂u = εa∆u + [u(1 − u) − cv ] ∂T ε u+q ∂v = εb∆v + u − v ⇔ ∂T ∂u ∂v = =0 ∂n ∂n ∂Ω × (0, ∞), Ω, Ω × (0, ∞), Ω × (0, ∞), ∂Ω × (0, ∞), u(x, 0) = u (x) ; v(x, 0) = v (x) 0 Ω Thay T t đưa phương trình mơ hình ngun Keener-Tyson 3.1 3.1.1 Nghiệm địa phương Sự tồn nghiệm địa phương Viết lại hệ (3.1) dạng ∂u u−q − a∆u + u = u + [u(1 − u) − cv ] Ω × (0, ∞), ∂t ε u+q ∂v − b∆v + v = u + (1 − )v Ω × (0, ∞), ∂t ε ε ∂u ∂v = =0 ∂n ∂n ∂Ω × (0, ∞), u(x, 0) = u0 (x) ; v(x, 0) = v0 (x) Ω Đặt X = L2 (Ω) = f g : f, g ∈ L2 (Ω) 39 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương Mơ hình Keener-Tyson Tốn tử ma trận đường chéo X A= A1 0 A2 A1 , A2 toán tử liên kết với −a∆ + 1, −b∆ + L2 (Ω) thỏa mãn điều kiện biên Neumann ∂Ω Khi A1 , A2 toán tử quạt tự liên hợp xác định dương L2 (Ω) với miền xác định (Ω) D(A1 ) = D(A2 ) = HN Hơn theo Định lý 1.6 ta có D(Aθ1 ) = D(Aθ2 ) = H 2θ (Ω) H 2θ (Ω) N 0≤θ< , < θ ≤ Do A tốn tử quạt tự liên hợp xác định dương X D(A) = H2N (Ω) = [HN (Ω)]2 , D(Aθ ) = Với η cố định cho H2θ (Ω) H2θ (Ω) N 0≤θ< , < θ ≤ < η < 1, toán tử F : D(Aη ) → X xác định u−q u + ε2 u(1 − u) − cv |u| + q F (U ) = 1 u + (1 − )v ε ε , U ∈ D(Aη ) Từ (1.4) ta có HN2η (Ω) ⊂ H 2η (Ω) ⊂ C(Ω) suy D(Aη ) ⊂ C(Ω) Đặt K= u0 v0 : ≤ uo , v0 , ∈ L2 (Ω) Khi tốn biên giá trị ban đầu (3.1) có dạng tốn Cauchy X với phương trình dU + AU = F (U ), < t < ∞, dt U (0) = U0 (3.2) 40 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương Mơ hình Keener-Tyson Định lý 3.1 (Tồn nghiệm địa phương) Với giá trị ban đầu U0 ∈ K , toán (3.2) tồn nghiệm địa phương U không gian U ∈ C((0, TU0 ]; D(A)) ∩ C([0, TU0 ]; X) ∩ C ((0, TU0 ]; X), TU0 > phụ thuộc vào U0 X Chứng minh Ta có A tốn tử quạt Để áp dụng Định lý 1.9, ta cần kiểm tra hàm F thỏa mãn điều kiện Lipschitz Ta có u2 − u˜2 L2 = (u + u˜)(u − u˜) ≤( u + u˜ H 2η L2 u − u˜ H 2η ) 2η u, u˜ ∈ HN (Ω) , L2 Và có uv u˜v˜ − |u| + q |˜ u| + q q(uv − u˜v˜) + uv|˜ u| − |u|˜ uv˜ (|u| + q)(|˜ u| + q) = L2 u(v − v˜) + (u − u˜)˜ v (|u| + q)(|˜ u| + q) ≤q ≤C v − v˜ L2 + v H2η + L2 + v˜ uv|˜ u| − |u|˜ uv˜ (|u| + q)(|˜ u| + q) H2η u − u˜ L2 L2 2η u, v, u˜, v˜ ∈ HN (Ω) Vì D Aη1 = D Aη2 = HN2η (Ω) nên F (U ) − F (U˜ ) X u˜ − q ) + cv u − q − c˜ (u − u ˜ ) − (u − u ˜ v + ε2 ε2 |u| + q |˜ u| + q = 1 (u − u˜) + − (v − v˜) ε ε X u − q u ˜ − q − c˜ v = + (u − u˜) − (u − u˜2 ) + cv ε ε |u| + q |˜ u| + q L2 1 + (u − u˜) + − (v − v˜) ε ε L2 ≤ Cε ( u H 2η + v ≤ Cε ( U H 2η + U˜ ≤ Cε ( Aη U X H 2η + u˜ H 2η + Aη U˜ H 2η + v˜ + 1) U − U˜ X H 2η + 1)( u − u˜ L2 + v − v˜ L2 ) X + 1) U − U˜ X Suy F (U ) − F (U˜ ) X ≤ Cε ( Aη U X + Aη U˜ X + 1) U − U˜ X Như F thỏa mãn điều kiện Lipschitz (1.29) 41 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương Mơ hình Keener-Tyson Áp dụng Định lý 1.9 (với G(t) = 0) ta với giá trị ban đầu U0 ∈ K , tốn Cauchy (3.2) có nghiệm địa phương không gian U ∈ C((0, TU0 ]; D(A)) ∩ C([0, TU0 ]; X) ∩ C ((0, TU0 ]; X), với TU0 > phụ thuộc vào U0 3.1.2 X Nghiệm địa phương không âm Với U0 ∈ K , cho U = u nghiệm địa phương toán (3.2) với v < t ≤ TU0 Ta chứng minh U khơng âm Xét tốn phụ dU˜ + AU˜ = F˜ (U˜ ), < t < ∞, dt U˜ (0) = U , F˜ xác định u−q u + ε2 |u|(1 − u) − c|v| |u| + q F˜ (U ) = 1 |u| + (1 − )v ε ε , U ∈ D(Aη ) Tương tự trước, ta chứng minh tồn nghiệm địa phương U˜ = u˜ v˜ phương trình [0, T˜U0 ] Nghiệm U˜ (t) giá trị thực, liên hợp phức U˜ (t) U˜ (t) nghiệm địa phương toán phụ với giá trị ban đầu Theo tính nghiệm suy U˜ (t) = U˜ (t) Ta chứng minh u˜(t) ≥ v˜(t) ≥ với < t ≤ T˜U0 Trước tiên chứng minh v˜(t) ≥ Xét hàm cắt H(˜v ) thuộc C 1,1 v˜2 với − ∞ < v˜ < H(˜ v) = 0 với ≤ v˜ < ∞ 42 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương Mơ hình Keener-Tyson Khi hàm ϕ(t) = Ω H(˜ v (t))dx khả vi liên tục với đạo hàm ϕ (t) = H (˜ v (t)).˜ v (t)dx Ω 1 u| − v˜ dx H (˜ v (t)) b∆˜ v + |˜ ε ε Ω H (˜ v )∆˜ v dx + H (˜ v )(|˜ u| − v˜)dx =b ε Ω Ω = Theo cơng thức Green ta có H (˜ v )∆˜ v dx = − ∇H (˜ v )∇˜ v dx Ω Ω =− ∇H (˜ v ) dx ≤ Ω Ta có v˜2 H (˜ v) = 0 = v˜ với − ∞ < v˜ < 0, với ≤ v˜ < ∞, suy H (˜v ) ≤ Và có H (˜ v )˜ v= v˜2 với − ∞ < v˜ < 0, 0 với ≤ v˜ < ∞, H (˜v )˜v ≥ Khi ϕ (t) ≤ hay ϕ(t) ≤ ϕ(0) với < t ≤ T˜U0 Ta có ϕ(0) = H(˜ v (0))dx = Ω H(˜ v0 )dx = (do v˜0 ≥ 0) Ω Do ϕ(t) hàm không âm, điều ϕ(t) ≡ với ≤ t ≤ T˜U0 Từ suy H(˜ v (t))dx = hay H(˜ v (0)) = Ω Để có điều v˜(t) ≥ với ≤ t ≤ T˜U0 Tiếp theo chứng minh u˜(t) ≥ Ta đặt φ(t) = H(˜ u(t))dx Ω 43 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương Mơ hình Keener-Tyson Tương tự ta có φ (t) = H (˜ u(t))˜ u (t)dx Ω = H (˜ u(t)) a∆˜ u+ Ω =a ε2 H (˜ u(t))∆˜ udx + Ω |˜ u|(1 − u˜) − c|˜ v| ε2 u˜ − q |˜ u| + q H (˜ u) |˜ u|(1 − u˜) − c|˜ v| Ω dx u˜ − q dx |˜ u| + q Và H (˜ u)∆˜ udx ≤ 0, H (˜ u) ≤ 0, H (˜ u)˜ u ≥ Ω Suy φ (t) ≤ hay φ(t) ≤ φ(0) với < t ≤ T˜U0 Do φ(0) = φ(t) ≡ 0, u˜(t) ≥ với ≤ t ≤ T˜U0 Ta u˜(t) ≥ 0, v˜(t) ≥ 0, với ≤ t ≤ T˜U0 Theo thành phần không âm U˜ (t) suy F˜ (U˜ (t)) = F (U˜ (t)) với ≤ t ≤ T˜U0 Nghĩa U˜ (t) nghiệm địa phương tốn (3.2) Bởi tính nghiệm (3.2) suy U˜ (t) = U (t) với ≤ t ≤ TU0 , , TU0 = TU0 , T˜U0 Do U (t) ≥ với ≤ t ≤ TU0 Vì u(t) ≥ nên |u(t)| = u(t), điều có nghĩa nghiệm địa phương U toán (3.2) nghiệm địa phương tốn (3.1) 3.2 Nghiệm tồn cục 3.2.1 Đánh giá tiên nghiệm u Định lý 3.2 Giả sử U0 ∈ K U = nghiệm địa phương toán v (3.2) [0, TU ] không gian ≤ U ∈ C((0, TU ], H2N (Ω)) ∩ C([0, TU ], L2 (Ω)) ∩ C ((0, TU ], L2 (Ω)) Khi ta có đánh giá sau U (t) ≤ C U0 , ≤ t ≤ TU , số C > không phụ thuộc vào TU Chứng minh Ta có 1 u−q ∂u − a∆u + u = u + u(1 − u) − c v ∂t 2 ε u+q Nhân hai vế với u lấy tích phân u Ω ∂u − au∆u + u2 ∂t dx = Ω u−q u + u2 (1 − u) − cuv ε u+q dx 44 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương Mơ hình Keener-Tyson Suy 1d dt |∇u|2 dx + u2 dx + a Ω Ω u2 dx Ω 1 1 + u2 − u3 dx − c ε ε ε = Ω uv Ω u−q dx u+q Nếu u > q − u−q ≤ cuv ε u+q Nếu ≤ u ≤ q − 1 u−q ≤ cuv ≤ cqv cuv ε u+q ε ε Nên ta có 1d dt u2 dx + Ω 1 1 + u2 − u3 dx + cq ε ε ε u2 dx ≤ Ω Ω vdx Ω Mặt khác 1 ∂v − b∆v + v = (u − v) + v ∂t ε Nhân hai vế với v lấy tích phân ta v Ω 1 uv + − v dx ε ε dx = Ω u2 v u2 v ≤ + nên ε2 ε2 ε Vì uv = 1d dt ∂v − bv∆ + v ∂t |∇v|2 dx + v dx + b Ω Ω v dx ≤ Ω Ω u + − v dx ε2 ε Suy 1d dt v dx + Ω 2 u + − v dx ε ε v dx ≤ Ω Ω Từ ta có đánh giá sau 1d dt u2 + v dx + Ω u2 + v dx Ω ≤ Ω 1 + u2 − u3 + cqv + − v ε ε ε ε dx Với ≤ u < ∞ ta có u3 u3 + u =3 ε2 2ε2 2ε2 27 u3 u3 ≤ 2+ 2+ 2ε 2ε 27 ε2 +2 ε2 +2 ε2 u3 = + 2 ε ε 27 ε2 +2 ε2 45 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương Mơ hình Keener-Tyson Và − 3ε 1 v c2 q ≤ 4ε − 3ε ε cqv = ε 1 − v + c2 q ε 4 − 3ε ε Ta nhận bất dẳng thức sau 1d dt u2 + v dx+ Ω u2 + v dx Ω ε2 2+ 27 ≤ Ω · 1 c2 q dx + ε 4−3 ε Hay d dt u2 + v dx ≤ Cε−3 u2 + v dx + Ω Ω Giải bất đẳng thức vi phân ta có u2 + v ≤ e−t u20 + v02 dx + Cε−3 Ω Suy u(t) L2 + v(t) −t L2 ≤ e U (t) L2 u0 L2 + v0 L2 + Cε−3 , ≤ t ≤ TU Khi ≤ e−t U0 L2 ≤ X + Cε−3 , ≤ t < TU , từ ta có U (t) 3.2.2 X U0 + Cε−3 , ≤ t ≤ TU Sự tồn nghiệm toàn cục Định lý 3.3 Với U0 ∈ X , toán (3.2) tồn nghiệm tồn cục khơng gian ≤ U ∈ C((0, ∞); H2N (Ω)) ∩ C([0, ∞); L2 (Ω)) ∩ C ((0, ∞); L2 (Ω)), thỏa mãn đánh giá U (t, U0 ) X ≤ e−t U0 X + Cε−3 , ≤ t < ∞, U0 ∈ K số C > Chứng minh Định lý tương tự chứng minh Định lý 2.3 46 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com KẾT LUẬN Luận văn trình bày số vấn đề sau: - Sự tồn nghiệm tốn Cauchy phương trình tiến hóa nửa tuyến tính - Sự tồn nghiệm mơ hình mơ tả phản ứng Belousov-Zhabotinskii Mặc dù cố gắng hết mình, khả thời gian có hạn, luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót phương diện kiến thức lỗi tả soạn thảo LaTex Tác giả luận văn mong nhận đóng góp ý kiến q thầy bạn đồng nghiệp để luận văn ngày hoàn chỉnh Tác giả xin chân thành cảm ơn! 47 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tài liệu tham khảo [1] M Aida, M Efendiev and A Yagi (2005), Quasilinear abstract parabolic and exponential attractor, Osaka J Math., 42, p 101-132 [2] J.P Keener and J.J Tyson (1986), Spiral waves in the Belousov-Zhabotinskii reaction, Physica D., 21, p 307-324 [3] K Osaki and A Yagi (2002), Global existence for a chemotaxis-growth system in R2 , Adv Math Sci Appl 12, p 587-606 [4] M.X Wang, S.L Xiong, Q.X Ye (1994), Explicit wave front solution of Noyes-Field systems for the Belousov-Zhabotinskii reaction, J Math Anal Appl 182, p 705-717 [5] Atsushi Yagi (2010), Abstract parabolic evolution equations and their applications, Springer, Berlin 48 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... Mơ hình Field-Noyes Chương trình bày mơ hình tốn học mà Field-Noyes đưa để mô tả phản ứng Belousov - Zhabotinskii Ta chứng minh tồn địa phương, xây dựng đánh giá tiên nghiệm chứng minh tồn nghiệm. .. thích hợp Trong luận văn, ta nghiên cứu mơ hình Field-Noyes mơ hình KeenerTyson với điều kiện biên Neumann LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỞ ĐẦU Luận văn chia thành... chứng minh tồn nghiệm địa phương (0, T ] việc sử dụng Định lý 1.9 Chương ta nghiệm địa phương không âm Cuối ta chứng minh tồn nghiệm tồn cục tốn đưa đánh giá chuẩn nghiệm tồn cục 2.1 2.1.1 Nghiệm
Ngày đăng: 15/12/2022, 10:01
Xem thêm: