bo de thi hoc ki 2 lop 9 mon toan cac quan ha noi

1 UBND QUẬN THANH XUÂN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2018 – 2019 ĐỀ CHÍNH THỨC Đề số Thời gian làm bài: 90 phút Ngày kiểm tra: / x 8 B = x7 1) Tính giá trị biểu thức A x = 25 Bài (2 điểm) Cho hai biểu thức A = 2) Chứng minh B  MƠN: TỐN – LỚP /2019 x x  24 với x ≥ 0; x ≠  x9 x 3 x 8 x 3 B A Bài (2 điểm) Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình Đội sản xuất phải làm 1000 sản phẩm thời gian quy định Nhờ tăng suất lao động ,nên ngày đội làm thêm 30 sản phẩm so với kế hoạch Vì làm vượt mức kế hoạch 170 sản phẩm mà cịn hồn thành cơng việc sớm dự định ngày Tính số sản phẩm mà đội sản xuất phải làm ngày theo kế hoạch Bài (2 điểm)  5  3 x   y2  1) Giải hệ phương trình:    15 4  x  y2   3) Tìm GTNN P= 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: y= 6x +m2 -1 với m tham số parabol (P): y = x2 a) Chứng minh d cắt (P) hai điêm phân biệt với số thực m b) Gọi x1, x2 hoành độ giao điểm d (P) Tìm m để x12 – 6x2 +x1x2 =48 Bài (3,5 điểm) Cho điểm A nằm ngồi đường trịn (O;R) từ điểm A vẽ tiếp tuyến AB,AC với B,C tiếp điểm, cát tuyến AMN với đường trịn (O) ( với MN khơng qua tâm AM < AN) CHứng minh tứ giác ABOC nội tiếp Chứng minh AM.AN=AB2 Tiếp tuyến N (O) cắt đường thẳng BC điểm F chứng minh đường thẳng FM tiếp tuyến (O;R) Gọi P giao điểm dây BC dây MN, E giao điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNO đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC (E khác O) Chứng minh P,E,O thẳng hàng Bài (0,5 điểm) giải phương trình x  2017  2017  x -HẾT - HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2018 – 2019 MƠN: TỐN LỚP Bài Ý Nội dung I Điểm 2đ (0,5đ) Thay x=25 TMĐK vào A Tính 13 32 0,25đ B= x ( x  3) x  24  x9 x9 0,25đ B= x  11 x  24 ( x  3)( x  3) 0,25đ B= ( x  8)( x  3) ( x  3)( x  3) 0,25đ (1đ) A 0,25đ x 8 x 3 Suy B  Ta có P P B  A x 3 0,25đ x7 x  đk x>9 16 6  x 3 x  16   14 x 3 0,25đ  P  14 (0,5đ) Dấu = xảy   x 3 P  14     x  Vậy II Min P  14 16 x   x  49(TMDK ) x=49 Giải tốn cách lập phương trình Gọi số sản phẩm đội sản xuất phải làm ngày theo kế hoạch x sản phẩm ( x  N*) Nhờ tăng suất nên thực tế ngày đội làm x+30 sản phẩm 0,25đ 2đ 0,25đ 0,25đ Lập luận đến pt 1170 1000  1 x  30 x Giải pt ta x1 = 100 (Thỏa mãn điều kiện ); x2 = -300 (Loại) Vậy số sản phẩm đội sản xuất làm ngày theo kế hoạch 100 sản phẩm III 0,5đ 0,5đ 0,25đ 2đ ĐK: x  3; y > 0,25đ 0,25đ Đặt  x  a, (1đ) b y2  a  2b    4a  3b  15 với a  0, b>0 0,25đ Giải a=3 b=1 TMĐK  x  6   y  TMĐK Từ tìm  0,5đ Vậy nghiệm hệ phương trình (x;y) = (-6;3) Hồnh độ giao điểm d (P) nghiệm phương trình: 2a (0.5đ) x2 = 6x +m2 -1  x2 – 6x – m2 +1=0 (1) 0,25đ  '  m   0m Vật pt (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với m hay (d) cắt (P) hai 0,25đ điểm phân biệt với m Ta có x1, x2 hai nghiệm (1) suy 2b 0.5đ x1 + x2 = x1 x2 = - m2 +1 0,25đ x12 – 6x2 +x1x2=48  x1 (x1 +x2)-6x2 =48 x1 – x2 =8 (*) mà x1 + x2 = suy x1 =7, x2 = -1 vào x1 x2 =-m2 +1 vào (*) ta có 0,25đ m2 =8  m= 2 m= 2 IV Hình học 3,5đ Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp AB tiếp tuyến (O) nên AB vuông góc với BO suy góc ABO=900 0,25đ Vì  ABO   ACO  1800 nên tứ giác ABOC nội tiếp 0.5đ Chứng minh AM.AN=AB2 xét  ABM  ANB CĨ góc BAN chung, góc ABM= góc ANB suy  ABM ~  ANB Suy AM.AN=AB2 0,25đ Lập luận tương tự có góc ACO =900 Chứng minh góc ABM= góc ANB 0.75đ chứng minh đường thẳng FM tiếp tuyến (O;R) 1đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 1đ Cminh AB2 = AH.AO va AM.AN=AB2 suy AH.AO=AM.AN 0,25đ Chứng minh M,N,O,H thuộc đường tròn (I) 0,5đ  =900 nên FO đường kính (I) Mà FNO 0.25đ Lập luận tương tự có FM tiếp tuyến (O) 0,25đ Chứng minh K,D,E thẳng hàng 0,5đ Chứng minh A,E,F thẳng hàng 0,25đ Chứng minh EO,FH,AK đường cao tam giác OFA 0.25đ V Giải pt x  2017  2017  x 0,5đ 2017  x ĐK    x  2017  x  0,25đ đặt y  2017  x ( y  0)   x  2017  y (1) ta có   y  2017  x (2)  suy x  y  y  x   ( x  y )( x  y  1)  TH1: x 0,25đ y  x  y thay vào (1)   x  1  8069 (l )  1  8069 2 x  x  2017    x  ( x  )  1  8069 (TM )  x  TH2: x  y  1 y   x thay vào (1) x  x   2017   x  x  2016    x  1    1  x  8065 (TM ) 1  8065  2   x    8065   (l ) 2     8065  1  8069      Vậy tập nghiệm pt S    ;   2       0,25đ UBND HUYỆN THANH TRÌ ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II PHỊNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2018-2019 Đề số MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút Bài (2,0 điểm) Cho hai biểu thức: A= x −1 B = với x > − + x x +1 x +1 x − x +1 x Tính giá trị B x = Rút gọn biểu thức A Tìm giá trị lớn biểu thức A B Bài (2,0 điểm) Giải tốn sau cách lập phương trình Một ô tô quãng đường dài 400km Khi 180km tơ tăng vận tốc so với lúc trước thêm 10km/h hết quãng đường cịn lại Tính vận tốc lúc đầu tơ, biết thời gian hết quãng đường (Giả thiết vận tốc ô tô không đổi đoạn đường) Bài (2,0 điểm)   x −3+  Giải hệ phương trình:   −  x − 13 = y + 20 = y +1 − x2 Cho (P): y = đường thẳng (d): y = m(x – 1) – a) Chứng minh: (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B m thay đổi b) Gọi xA, xB hoành độ A B Tìm m để xA2xB + xB2xA đạt giá trị nhỏ tính giá trị đó? Bài (3,5 điểm) Cho đường trịn (O) với đường kính AC Trên đoạn OC lấy điểm B Gọi M trung điểm AB, từ M kẻ dây DE vng góc với AB Từ B kẻ BF vng góc với CD (F thuộc CD) Chứng minh: tứ giác BMDF nội tiếp Chứng minh: CB.CM = CF.CD Chứng minh: tứ giác ADBE hình thoi điểm B, E, F thẳng hàng Gọi S giao điểm BD MF, tia CS cắt AD, DE H K Chứng DA DB DE minh: + = DH DS DK Bài (0,5 điểm) Tìm cặp số (x,y) với y số nhỏ thỏa mãn điều kiện: x2 + 5y2 + 2y – 4xy – = HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2018 – 2019 MƠN TỐN – LỚP Bài Nội dung Điểm TS: 2.0 a) Thay x = b) A= ( )( )( )( x + 1) x + 1) ( x + 1)( x − x + 1) x − x +1 )( x +1 x − + ( x −1 x +1 = x − x +1 x +1 x − x +1 ) ( c) Chứng minh được: Suy − ) ( x +1 x − x +1 − x + x −1+ x −1 = x +1 x − x +1 ( 0.5 vào B tính đúng: B = ) )( B ≥ , dấu “=” x = A A ≤ , dấu “=” x = Kết luận B 0.5 0.5 0.25 0.25 TS: 2.0 Gọi vận tốc lúc đầu ô tô x (km/h) (x > 0) 0.25 Thời gian ô tô đoạn đường đầu 180 (h) x 0.25 Thời gian ô tô đoạn đường sau 220 (h) x + 10 0.5 Theo đề bài, thời gian ô tô quãng đường Ta 180 220 có PT + =8 x x + 10 0.25 Giải chi tiết phương trình tìm hai nghiệm: 45 – Giá trị x = 45 (tmđk), trả lời 0.5 0.25 TS: 2.0 1 Đặt= a= ; b Có HPT hai ẩn a, b x −3 y −1 0.25 0.5 Giải HPT tìm ra:= a 1 = ;b 0.25 Thay a, b tìm nghiệm hệ (x,y) = (64;9) Biến đổi có PT hồnh độ giao điểm: x2 + 4mx – 4m – = 0.25 (1) Tính: ∆’ = (2m + 1)2 + > với m => (d) cắt (P) hai 0.25 điểm A, B xA, xB hoành độ giao điểm A, B => xA, xB nghiệm PT (1) 0.25 Theo Viet ta có: xA + xB = - 4m; xA.xB = - 4m – xA2xB + xB2xA = xAxB(xA + xB) = 16m2 + 32m = (4m + 4)2 – 16 ≥ - 16 Vậy xA2xB + xB2xA = - 16 m = - 0.25 TS: 3.5 Vẽ hình đến câu a 0.25 D H F K S I A C M J O B E  900 (Do DE ⊥ AB ) 1.= Có DMB  900 (Do BF ⊥ AB ) Có DFB =  + DFB = Suy DMB 1800 Suy ra: tứ giác DMBF nội tiếp 0.25 0.25 0.25 Chứng minh: ∆CFB ∆CMD đồng dạng 0.5 CF CB = CM CD ⇒ CF CD = CM CB 0.25 Có AM = MB (M trung điểm AB) 0.25 Có DE ⊥ AC => MD = ME (Liên hệ đk dc) 0.25 ⇒ 0.25 Suy ra: ADBE hình bình hành (DHNB) 0.25 Mà DE ⊥ AB 0.25 Vậy ADBE hình thoi Kẻ AJ // HK (J thuộc DE); BI // HK (J thuộc DE) DA DJ DB DI Chỉ được: (Định lí Ta – let) = = ; DH DK DS DK ⇒ DA DB DI + DJ + = DH DS DK Chứng minh được: DI = EJ (∆AEJ = ∆BDI) ⇒ DA DB EJ + DJ DE += = DH DS DK DK 0.25 0.25 0.25 0.25 Xét PT bậc ẩn x: x2 – 4xy + 5y2 + 2y – = (*) Tính ∆’ = - y2 – 2y + = - (y – 1)(y + 3) Để PT (*) có nghiệm: ∆’ ≥  ≥ y ≥ - 0.25 y nhỏ = - => x = - 0.25 Trả lời 10 UBND QUẬN CẦU GIẤY PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC Đề số Bài (2 điểm) Cho hai biểu thức  1  x  A= ( ) :    x  x  x  x 1 x  1 ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2018 – 2019 MÔN: TOÁN – LỚP Thời gian làm bài: 90 phút Ngày kiểm tra: 18 tháng năm 2019 với x >0; x ≠ 4) Rút gọn biểu thức A 5) Tìm x biết A=2 6) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  ( A  4) x Bài (2 điểm) Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình Một tơ từ A đến B cách 90km với vận tốc dự định Khi từ B trở A, ô tô với vận tốc nhanh vận tốc lúc 5km/ Do thời gian thời gian 15 phút Tính vận tốc dự định ô tô từ A đến B Bài (2.5 điểm)   x   2( x  y )  3) Giải hệ phương trình:   2 x   5( x  y )  19 4) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y=mx-m-2 ( m tham số) parabol (P): y=-x2 a) với m = -2 Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng d parabol (P) b) tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 thỏa mãn x1  x2  20 Bài (3 điểm) Một hộp sữa hình trụ có đường kính đáy 12cm, chiều cao 10cm Tính diện tích vật liệu dùng để tạo nên vỏ hộp ( khơng tính phần mép nối) Cho đường trịn (O,R), từ điểm A nằm ngồi đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB,AC với (O) ( B,C tiếp điểm) a) Chứng minh tứ giác ABOC tứ giác nội tiếp b) Gọi D trung điểm AC, BD cắt đường tròn E, đường thẳng AE cắt đường tròn (O) điểm thứ hai F chứng minh AB2 = AE AF c) Chứng minh BC=CF Bài (0,5 điểm) Một viên gạch hinhg vng cạnh a(cm) có hoa văn hình vẽ M,N,P,Q trung điểm cạnh AD,AB,BC,CD Tìm độ dài a biết diện tích phần gạch chéo 200(4   )(cm ) 67 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II - MƠN TỐN Bài Điể Nội dung m ( 1) (0,5 điểm) Biến đổi x = + =+ Thay x= (1 + ) ) 0,25 (tmđk) vào biểu thức Q ta có: 0,25 Q= = − 2) (1 điểm) x +3 x +2 x +2 + + = x − 3− x x −5 x + P= P= P = I 2,0 đ ( ( )( x − )( x +3 )−( x − 3) ( x −3 x −9−x +4+ x +2 = x −2 x −3 ( )( ) )( x − )( x +2 x +3 x +2 − + x −2 x −3 )+ x − 3) ( x −2 x −3 = x −2 x −3 ( )( ) ( x +2 x −2 x +2 x −2 )( x −2 x −3 )( x −3 0,25 ) 0,25 x Q= 1− = x +1 x +1 T P= :Q = x +1 x −2 0,25 0,25 3) (0,5 điểm) x −2 = T x +1 1 : −2 ≤ < T T 1 1 Vì nguyên suy = −2 = −1 = T T T T Tìm x x = (TMĐK); x = (TMĐK); x = (KTMĐK) Chặn giá trị 0,25 0,25 68 Kết luận + Gọi số mét vuông tường bạn An định quét sơn x ( m ) ( x > 2) 0,25 Khi thời gian dự định hồn thành cơng việc II 2,0 đ Thực tế quét sơn x − ( m2 ) Thời gian thực tế hồn thành cơng việc 40 (h) x 40 (h) x−2 0,25 0,25 0,25 0,25 40 40 − = x−2 x + Giải pt được: x = −8 (không thỏa mãn), x = 10 (thỏa mãn) Theo đề ta có PT: + Kết luận thời gian dự định hồn thành cơng việc 0,5 0,25 1) (0,75đ) ĐKXĐ: 2x ≠ y Đặt 0,25 = a; x + 3y = b 2x − y  a + b = Ta có hệ:  4a − 5b = −3 = ;b a Giải hệ tìm được= III 2x − y = tìm = x 1;= y 0(TM)  x + 3y = Giải hệ  0,25 0,25 2) (1,25 điểm) a) (0,75 điểm) + Xét phương trình hoành độ giao điểm (P) (d) x = mx − 2m + 3(1) ⇔ x − mx + 2m − = ∆ = m − 8m + 12 = ( m − 4) −4 (P) cắt (d) hai điểm phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt 0,25 69 ∆ > ∆ > ⇔ ( m − 4) > m − > m > ⇔ ⇔  m − < −2 m < + Với m > m < 2, (P) cắt (d) hai điểm phân biệt x1 , x nghiệm 0,25 pt (1) m  x1 + x = = 2m −  x1.x Theo Vi-ét ta có:  x12 x + x 22 x1 = ⇔ x1x ( x1 + x ) = ⇔ m(2m − 3) = ⇔ 2m − 3m − = Tìm m = −1(TM) m = (KTM) 0,25 Vậy b) (0,5 điểm) (P) (d) khơng có điểm chung pt (1) vô nghiệm ∆ < ⇔ ( m − 4) − < ⇔ ( m − 4) < ⇔ < m < 2 0,25 Mà m số nguyên nên m ∈ {3;4;5} Vậy giá trị m nguyên nhỏ để d không cắt (P) m = 0,25 0,25 IV a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp đường trịn đường kính BC 0,75 70 b) Chứng minh ∆AHF đồng dạng với ∆ABD ⇒ AF.AB = AH.AD (1) Chứng minh ∆AEH đồgn dạng với ∆ADC Suy AE.AC = AH.AD (2) (1) (2) suy AF.AB = AE.AC (Hoặc chứng minh ∆AEF đồng dạng với ∆ABC ) 0,25 0,25 0,25 0,25 c)  = CAD  hay MAE  = EAH  suy AE trung + Chứng minh MAC 0,25 trực HM, suy E trung điểm HM 0,25 + Tương tự chứng minh F trung điểm HN 0,25 Suy FE // MN (đường trung bình) 0,25   ) (Hoặc chứng minh FCB = FEB = NMB = 2AE.EH ≤ AE + EH= AH d) 4S∆AEH 2 Chứng minh AH = 2OK, OK không đổi 0,25 Lập luận, kết luận S∆AEH lớn AE = EH hay 0,25  =450 ⇒ ACB  =450 , suy vị trí A HAE Với số dương x, y, z, t Biến đổi áp dụng bất đẳng thức Cô si chứng minh được: x2 x = − ≥ − ; Dấu "=" xảy ⇔ x = x2 + x2 + Chứng minh tương tự: y2 y =1− ≥ − ; Dấu "=" xảy ⇔ y = y +1 y +1 V z2 z =1− ≥ − ; Dấu "=" xảy ⇔ z = z +1 z +1 t2 t = − ≥ − ; Dấu "=" xảy ⇔ t = t2 + t2 + Mà x + y + z + t = Do A = 1 1 + + + ≥2 x + y2 + z2 + t + Vậy giá trị nhỏ A ⇔ x =y =z =t =1 71 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN HAI BÀ TRƯNG Đề số 14 KIỂM TRA HỌC KÌ II Năm học: 2017 - 2018 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 90 phút Bài I: (2 điểm) x +1 x x 3x + B = với x > 0; x ≠ + − x −3 x +3 x −3 x −9 a) Tính giá trị A x = 25 b) Rút gọn biểu thức P = B : A Cho biểu thức A = c) Tìm giá trị nhỏ P Câu II: (2 điểm) Giải tốn sau cách lập phương trình hệ phương trình Hai người làm chung cơng việc 48 phút xong Thời gian người thứ làm xong cơng việc nhiều thời gian để người thứ hai làm xong cơng việc Hỏi người làm hồn thành cơng việc? Câu III: (2 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol ( P ) : y = x đường thẳng ( d ) : y =x − m + 1) Tìm tọa độ giao điểm (d) (P) m = 2) Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt 3) Với giá trị m (d) cắt (P) hai điểm phân biệt M ( x1; y1 ) N ( x ; y ) cho y1 + y = ( x1 + x ) Câu IV: (3,5 điểm) Cho (O) đường kính AB = 2R, xy tiếp tuyến với (O) B CD đường kính ( AC < CB ) Gọi giao điểm AC, AD với xy theo thứ tự M N 1) Chứng minh tứ giác MCDN nội tiếp 2) Chứng minh AC.AM = AD.AN 3) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN H trung điểm MN Chứng minh tứ giác AOIH hình bình hành Khi đường kính CD quya xung quanh điểm O I di động đường nào? 4) Khi góc AHB 60 Tính diện tích xung quanh hình trụ tạo thành hình bình hành AHIO quay quanh cạnh AH theo R Câu V: (0,5 điểm) Cho x ≥ 0; y ≥ x + y = Tìm giá trị lớn biểu thức = A x y + y +1 x +1 72 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II - MƠN TỐN Câu Nội dung Điểm 2,0 1) 0,5 * Tại x = 25 25 + = = 25 − x = A= * Vậy x = 25 A = 2) 1,0 B= x x 3x − + + x +3 x −3 x −9 B= x x 3x − + + x +3 x −3 x −9 I = B −3 −3 x − = x +3 x −3 ( ( ) x +1 ) ( x + 3)( x − 3) −3 ( x + 1) x +1 −3 : = ( x + 3)( x − 3) x − x + )( = P B= :A 0,25 0,25 0,25 3) P= 0,5 −3 ( x ≥ 0;x ≠ ) x +3 Lập luận x ≥ ⇔ x ≥0⇔ x +3≥3⇔ −3 ≥ −1 ⇔ P ≥ −1 x +3 0,25 Dấu "=" xảy ⇔ x = (TMĐK) Vậy Min P = −1 x = 0,25 2,0 Đổi 48 phút = II 24 Gọi thời gian người thứ hai làm xong cơng việc x 24   x >    0,25 0,25 73 Thời gian người thứ làm xong cơng việc x + (giờ) công việc x Trong người thứ làm công việc x+4 Theo ra, ta có giờ, hai người làm công việc 24 1 + = Nên ta có phương trình x + x 24 −12 Giải phương trình tìm x1 = ( L ) ; x = (TM) Trong người thứ hai làm Vậy thời gian người thứ hai làm xong cơng việc 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Thời gian người thứ hai làm xong cơng việc 12 0,25 2,0 1) 0,75 Khi m = ta có y= x + Phương trình hồnh độ giao điểm x = x − ⇔ x − x − = 2 Giải (1) x1 = 2, x = −1 0,25 x1 =2 ⇒ y1 =4 ⇒ A ( 2;4 ) x =−1 ⇒ y =1 ⇒ B ( −1;1) III 0,25 Vậy ( d ) cắt (P) hai điểm A ( 2;4 ) , B ( −1;1) 2) 0,25 0,75 Xét PT hoành độ giao điểm (d) (P): x − x + m − = (*) Tính ∆= 13 − 4m (d) cắt (P) hai điểm phân biệt M, N phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > ⇒ m < 13 3) Áp dụng hệ thức Vi-ét có: y1 + y 2= ( x1 + x ) ⇔ ( x1 − m + 3) + ( x − m + 3)= ( x1 + x ) 0,5 74 ⇔ −2m = + ( x1 + x ) Tìm m = 3,5 0,5 IV 1) 0,75  = CM ∆AOC cân O ⇒ CAO OCA  ) ⇒ ACD  = ANB  (cùng phụ với AMB =  mà CAO ANM  + DCM  =1800 ⇒ DCM  + ANM  =1800 Ta có: ACD Chứng minh DCMN nội tiếp 2) 1,0 ∆ACD ∆ANM có:  : chung  MAN  ⇒ ∆ACD # ∆ANM (g - g)   ACD = ANM(cmt)  AC AD = (cạnh tương ứng tỉ lệ) AN AM ⇒ AC.AM = AD.AN ⇒ 3) Xác định I: I tâm đườn tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN 0,75 75 ⇒ I giao điểm đường trung trực CD trung trực MN ⇒ IH ⊥ MN IO ⊥ CD Do AB ⊥ MN;IH ⊥ MN ⇒ AO // IH Do H trung điểm MN ⇒ AH trung điể mcủa tam giác vuông AMN =  ⇒ ANM NAH  = BAM  = ACD(cmt)   = ACD  Mà ANM ⇒ DAH Gọi K giao điểm AH DO  + ACD  =⇒  + ADK = ADC 1v DAK 900 hay ∆AKD vuông K ⇒ AH ⊥ CD mà OI ⊥ CD ⇒ OI // AH Vậy AHIO hình bình hành Do AOIH hình bình hành ⇒ IH = AO = R không đổi ⇒ CD quay xung quanh O I nằm đường thẳng song song với xy cách xy khoảng R 4) Xét 0,5  = 600 ∆ABH vuông B, AHB ⇒= AH 2R sin= 600 ⇒ Sxqtru 4R 3 R R 4R 3πR = 2π AH = 2π = 2 3 76 KIỂM TRA HỌC KÌ II PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học: 2017 - 2018 QUẬN ĐỐNG ĐA Mơn: TỐN Đề số 15 Thời gian làm bài: 90 phút Bài I: (2,5 điểm) x +1 x −3 x +4 B với x > 0; x ≠ = − x − 22 x x −2 a) Tính giá trị A x = Cho biểu thức A = b) Rút gọn biểu thức B c) Cho P = B Tìm x để P > P A Câu II: (2,0 điểm) Giải tốn sau cách lập phương trình hệ phương trình Một xí nghiệp theo kế hoạch phải sản xuất 75 sản phẩm số ngày dự định Trong thực tế, cải tiến kĩ thuật nên ngày xí nghiệp làm vượt mức sản phẩm, khơng họ làm 80 sản phẩm mà cịn hồn thành sớm kế hoạch ngày Hỏi theo kế hoạch, ngày xí nghiệp sản xuất sản phẩm? Câu III: (2,5 điểm) Cho parabol ( P ) : y = x đường thẳng ( d ) : y = ( 2m + 1) x − 2m a) Xác định tọa độ giao điểm (d) (P) m = b) Tìm m để (d) (P) cắt hai điểm phân biệt M ( x1; y1 ) N ( x ; y ) cho y1 + y − x1x = Câu IV: (3,0 điểm) Cho điểm M cố định nằm bên ngồi đường trịn (O; R) Qua M vẽ tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O) (với A, B tiếp điểm) Gọi C điểm cung nhỏ AB đường trịn (O) Gọi D, E, F chân đường vng góc kẻ từ C đến AB, MA, MB 1) Chứng minh bốn điểm A, D, C, E thuộc đường tròn 2) AC cắt DE P; BC cắt DF Q Chứng minh ∆PAE # ∆PDC suy PA.PC = PD.PE 3) Chứng minh AB // PQ 4) Khi điểm C di động cung nhỏ AB đường trịn (O) trọng tâm G tam giác ABC di chuyển đường nào? Câu V: (0,5 điểm) Cho số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = 15 7, ab + bc + ca = Chứng minh rằng: a ≤ 11 77 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II - MƠN TỐN Câu Nội dung Điểm 2,5 a) 1,0 A x =3= * Khi x = * Vậy x = A = 2.3 + = 3 b) 1,0 = B x −3 x +4 − x − 22 x −2 x −3 x +4 = x x −2 ) x −3 x +4 = x = I ( ( = − x x ( x −2 ) ( x −2 ) x−4 x +4 x ( ( x −2 x = ) x −2 x −3 x +4− x x = x −2 − ( x −2 ) ) x −2 ) x −2 x c) Ta có: P = 0,5 x − 2 x +1 x −2 = : x x x +1 0,25 x −2 P⇔P nên x + > Để x −2 < x +1 x −2 ⇔ m ≠ * Áp dụng định lý Vi-ét cho pt (1) ta có:  x1 + x = 2m +   x1x = 2m  y1 = x1 * Vì M, M ∈ ( P ) nên   y = x Ta có: y1 + y − x1x = ⇔ x12 + x 2 − x1x = ⇔ ( x1 + x ) − 3x1x = ⇔ ( 2m + 1) − 6m = ⇔ 4m − 2m = ⇔ 2m ( 2m − 1) =  2m = ⇔  2m − =  m = 0(TM) ⇔  m = (KTM)  * Vậy m = giá trị cần tìm IV 3,0 80 0,25 1) 0,75  + CEA = Chứng minh CDA 1800 0,25 Xét tứ giác ADCE: 0,25  + CEA = CDA 1800  CEA  hai góc đối Mà CDA Suy tứ giác ADCE tứ giác nội tiếp (dhnb) 0,25 Vậy điểm A, D, C, E thuộc đường tròn 2) 1,0 Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADCE: 0,25  = CDE  (2 góc nội tiếp chắn cung EC) CAE Xét ∆PAE ∆PDC  = DPC  (hai góc đối đỉnh) APE  = CDE  (cmt) CAE 0,25 ⇒ ∆PAE # ∆PDC (g - g) ⇒ PA PE = (định nghĩa hai tam giác đồng dạng) PD PC 0,25 ⇒ PA.PC = PD.PE (đpcm) 0,25 3) 1,0 ( ) (  ABC   ;QDC    PDC = CAE = CAB = CBF Chứng minh = ) 0,25 81  + PCQ  = CAB  + CBA  + PCQ  = 1800 Suy PDQ 0,25 Chứng minh tứ giác CPDQ nội tiếp (  CAB   = = CDQ Suy CPQ ) 0,25 Mà hai góc vị trí đồng vị 0,25 ⇒ AB // PQ 4) 0,5 OM cắt AB I dựng trọng tâm G; lấy H, K thuốc AI BI cho 2 AI;BK= = BI 3 ⇒ H,K cố định AH= 0,25 AH CG = = ⇒ GH // CA; tương tự GK // CB AI CI    lớn = Suy HGK sđ AB = ACB = α không đổi 0,25 Mà H, K cố định Suy G thuộc cung chứa góc α dựng đoạn HK (thuộc nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm M) 0,5 b + c = − a b + c = − a a + b + c = ⇒ ⇒   15 bc = a − 7a + 15 15 bc + a ( b + c ) = ab + bc + ca = ⇒ b,c nghiệm phương trình x − (7 − a)x + a − 7x + 15 = ( ) Vì ≠ 0, ∀a ⇒ PT có nghiệm ⇔ ∆ =  − ( − a )  − 4.1 a − 7a + 15 ≥ ⇒ a − 14a + 49 − 4a + 28a − 60 ≥ V ⇔ −3a + 14a − 11 ≥ ⇔ 3a − 14a + 11 ≤ ⇔ ( a − 1)( 3a − 11) ≤ 11 11 * Vậy a ≤ ⇔1≤ a ≤ ... có: y1 = x 12; y2 = x 22 Khi đó: y1 + y2 = y1.y2  x 12 + x 22 = x 12. x 22  (x1 + x2 )2 – 2x1.x2 = (x1.x2 )2 (m – 1 )2 – 2( -4) = (-4 )2 0 ,25  (m – 1 )2 =  m – = ? ?2 ⇔ m =1 ± 2 0 ,25 Vậy m = ± 2 thỏa mãn... nghiệm phân biệt x1; x2 với m 0 ,25 đ −m  x1 + x2 = Theo định lí Vi – ét ta có:   x1 x2 = ? ?2 x12x2 + x22x1 = 20 19 x1x2(x1 + x2) = 20 19 0 ,25 đ 25 Tìm 2m = 20 19 ⇔ m = IV 20 19 kết luận Hình học 3,5đ... có: x 12 + x 22 + 3x1x2 = ⇔ (x1 + x2 )2 + x1x2 = Thay x1 + x2 = 2m x1x2 = - vào (2) ta được: (2m )2 – = ⇔ 4m = ⇔ m = ⇔ m = ±1 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 35 Vậy m = ±1 Vẽ hình đến câu a A K 0 ,25 O (1đ)