Lý thuyết, các dạng toán và bài tập vectơ

Tài liệu Lý thuyết, các dạng toán và bài tập vectơ tóm tắt lý thuyết, phân dạng và hướng dẫn giải các dạng toán, tuyển chọn các bài tập từ cơ bản đến nâng cao chuyên đề vectơ, giúp học sinh lớp 10 tham khảo khi học chương trình Hình học 10 chương 1 (Toán 10). Mời các em cùng tham khảo tài liệu.

Chương VECTƠ §1 CÁC ĐỊNH NGHĨA → − F Hình 1.1 I Tóm tắt lí thuyết Định nghĩa, xác định véc-tơ Định nghĩa (Véc-tơ) Véc-tơ đoạn thẳng có hướng − → Véc-tơ có điểm đầu (gốc) A, điểm cuối (ngọn) B kí hiệu AB → − − → − Véc-tơ kí hiệu → a, b,→ x,− y , không cần rõ điểm đầu điểm cuối Một véc-tơ hồn tồn xác định biết điểm đầu điểm cuối Với hai điểm phân biệt A B ta có đoạn thẳng (AB − → − → BA), có hai véc-tơ khác AB BA ! A a) B → − a → − x b) Hình 1.2 − → Định nghĩa (Độ dài véc-tơ) Độ dài đoạn thẳng AB độ dài (hay mơ-đun) véc-tơ AB, kí hiệu − → − → AB Tức AB = AB − → − → Đương nhiên AB = BA CHƯƠNG VECTƠ Định nghĩa (Véc-tơ-không) Véc-tơ-không véc-tơ có điểm đầu điểm cuối trùng Véc-tơ-khơng → − kí hiệu → − → − − → Ta có = AA = BB = Hai véc-tơ phương, hướng → − Định nghĩa (Giá véc-tơ) Giá véc-tơ khác đường thẳng chứa điểm đầu điểm cuối véc-tơ Định nghĩa (Phương, hướng véc-tơ) Hai véc-tơ gọi phương giá chúng song song trùng − → −→ −→ − → −−→ Trên hình 1.3a) ta có véc-tơ AB, CD, EF phương Trên hình 1.3b) ta có AB MN phương, − → −→ cịn AB MP khơng phương − → −→ − → Hai véc-tơ phương hướng ngược hướng Chẳng hạn AB CD hướng, AB −→ EF ngược hướng (hình 1.3a) E P B B F A D N A M C Hình 1.3b) − → − → Ba điểm phân biệt A, B,C thẳng hàng hai véc-tơ AB AC phương Hình 1.3a) → − Khi nói hai véc-tơ hướng hay ngược hướng chúng phương Véc-tơ phương, hướng với véc-tơ ! Hai véc-tơ Định nghĩa (Véc-tơ nhau) Hai véc-tơ gọi chúng có hướng độ dài C D − → −→ Chẳng hạn, ABCD hình bình hành AB = DC −→ − → AD = BC A B −→ − − Khi cho trước véc-tơ → a điểm O, ta ln tìm điểm A cho OA = → a → − → − Nếu I trung điểm đoạn thẳng AB AI = IB ! II Các dạng toán Dạng Xác định véc-tơ, phương hướng véc-tơ, độ dài véc-tơ • Xác định véc-tơ xác định phương, hướng hai véc-tơ theo định nghĩa • Dựa vào tình chất hình học hình cho biết để tính độ dài véc-tơ CÁC ĐỊNH NGHĨA Ví dụ Trong hình 1.4, véc-tơ phương, hướng, ngược hướng véc-tơ → − w → − x → − a → − y → − b → − v → −z → − u Hình 1.4 Lời giải → − − − − − − −z → − + Các véc-tơ phương: → a b ; → u → v;→ x,→ y,→ w → − → → − − → − → − + Các véc-tơ hướng: a b ; x , y z − − − − − − − −z + Các véc-tơ ngược hướng: → u → v;→ w → x;→ w → y;→ w → − − + Các véc-tơ nhau: → x =→ y Ví dụ Cho tam giác ABC Gọi M, N, P trung điểm BC, CA, AB → − −−→ a) Liệt kê tất véc-tơ khác véc-tơ , phương với MN có điểm đầu, điểm cuối lấy điểm cho − → → − b) Liệt kê véc-tơ khác véc-tơ , hướng với AB có điểm đầu, điểm cuối lấy điểm cho −→ c) Vẽ véc-tơ véc-tơ NP mà có điểm đầu A B Lời giải → − −−→ a) Các véc-tơ khác véc-tơ , phương với MN →− →− →− →− −−→ − →− → NM, AB, BA, AP, PA, BP, PB − → → − b) Các véc-tơ khác véc-tơ , hướng với AB − →− → −−→ AP, PB, NM A A P N B M C B c) Trên tia CB lấy điểm B cho BB = NP −→ −→ Khi ta có BB véc-tơ có điểm đầu B véc-tơ NP −→ Qua A dựng đường thẳng song song với đường thẳng NP Trên đường thẳng lấy điểm A cho AA −→ hướng với NP AA = NP −→ −→ Khi ta có AA véc-tơ có điểm đầu A véc-tơ NP Ví dụ Cho hình vng ABCD cạnh a Gọi M trung điểm AB, N điểm đối xứng với C qua −−→ −−→ D Hãy tính độ dài véc-tơ MD MN Lời giải 10 CHƯƠNG VECTƠ Áp dụng định lý Pythagoras tam giác vuông MAD ta có √ 2 a 5a a DM = AM + AD2 = + a2 = ⇒ DM = √ a −−→ Suy MD = MD = Qua N kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB P a 3a Khi tứ giác ADNP hình vng PM = PA + AM = a + = 2 Áp dụng định lý Pythagoras tam giác vng NPM ta có √ Å ã2 13a2 a 13 3a 2 2 MN = NP + PM = a + = ⇒ MN = √ a 13 −−→ Suy MN = MN = P N A D M B C BÀI TẬP TỰ LUYỆN → − Bài Cho ngũ giác ABCDE Có véc-tơ khác véc-tơ , có điểm đầu điểm cuối đỉnh ngũ giác − → − → Lời giải Từ hai điểm phân biệt, chẳng hạn A, B, ta xác định hai véc-tơ khác véc-tơ-không AB, BA Mà từ năm đỉnh A, B, C, D, E ngũ giác ta có 10 cặp điểm phân biệt, có 20 véc-tơ thỏa mãn yêu cầu toán Bài Cho hình bình hành ABCD có tâm O Tìm véc-tơ từ điểm A, B, C, D, O − → −→ a) Bằng véc-tơ AB; OB −→ b) Có độ dài OB Lời giải − → −→ −→ −→ a) AB = DC; OB = DO −→ −→ −→ b) BO, DO, OD Bài Cho ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng − → − → a) Khi hai véc-tơ AB AC hướng? − → − → b) Khi hai véc-tơ AB AC ngược hướng? Lời giải a) A nằm đoạn BC b) A nằm đoạn BC Bài Cho bốn điểm A, B,C, D phân biệt − → − → a) Nếu AB = BC ba điểm A, B,C có đặc điểm gì? − → −→ b) Nếu AB = DC bốn điểm A, B,C, D có đặc điểm gì? Lời giải CÁC ĐỊNH NGHĨA 11 a) B trung điểm AC b) A, B,C, D thẳng hàng ABCD hình bình hành Bài Cho tam giác ABC cạnh a G trọng tâm Gọi I trung điểm AG Tính độ dài −→ → − véc-tơ AG, BI Lời giải Sử dụng√ tính chất trọng √ tâm định lý Pythagoras a 21 a −→ → − Đáp án: AG = BI = Dạng Chứng minh hai véc-tơ Để chứng minh hai véc-tơ ta chứng minh chúng có độ dài hướng dựa − → −→ −→ − → vào nhận xét tứ giác ABCD hình bình hành AB = DC AD = BC Ví dụ Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA Chứng minh −−→ −→ MN = QP Lời giải Do M, N trung điểm AB BC nên MN đường trung bình tam giác ABC suy MN AC MN = AC (1) Tương tự, QP đường trung bình tam giác ADC suy QP AC QP = AC (2) M −−→ −→ Từ (1) (2) kết hợp hình vẽ suy MN = QP A Q D P B N C Ví dụ Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi I trung điểm BC Dựng điểm B cho −→ −→ BB = GA → → − − a) Chứng minh BI = IC → − → − b) Gọi J trung điểm BB Chứng minh BJ = IG Lời giải → − a) Vì I trung điểm BC nên BI = CI BI hướng − → → → − − với IC BI = IC B −→ −→ → − →− b) Ta có BB = AG suy BB = AG BB AG Do BJ, JG hướng (1) J Vì G trọng tâm tam giác ABC nên IG = AG, J trung điểm BB suy BJ = BB Vì BJ = IG (2) → − → 2− Từ (1) (2) ta có BJ = IG A G B I C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Cho hình bình hành ABCD Gọi M, N trung điểm DC, AB; P giao điểm AM −→ −→ −→ DB; Q giao điểm CN DB Chứng minh DP = PQ = QB Lời giải 12 CHƯƠNG VECTƠ Chứng minh DP = PQ dựa vào tính chất đường trung bình tam giác DQC PQ = QB dựa vào tính chất đường trung bình tam giác ABP Suy DP = PQ = QB D A P N M Q B C − → −→ Bài Cho hình thang ABCD có hai đáy AB CD với AB = 2CD Từ C vẽ CI = DA Chứng minh rằng: → − → − a) DI = CB → − → − −→ b) AI = IB = DC Lời giải C D a) Chứng minh BICD hình bình hành b) Chứng minh I trung điểm AB kiện tứ giác BICD hình bình hành chứng minh câu a I A B Bài Cho hình bình hành ABCD Hai điểm M N trung điểm BC AD Điểm I giao −→ → − điểm AM BN, K giao điểm DM CN Chứng minh DK = IB Lời giải Theo giả thiết M N trung điểm BC AD nên AN = AD N A D BM = BC Mà AD = BC ABCD hình bình hành Suy ANMB hình bình hành I K Ta có Điểm I giao điểm hai đường chéo AM BN hình bình hành ANMB nên I trung điểm BN Tương tự, ta chứng minh K trung điểm DM Từ dễ dàng B M C −→ → − chứng minh DKBI hình bình hành, suy DK = IB −→ − → −−→ −→ −→ −→ −→ − → −→ → − Bài Cho hình bình hành ABCD Dựng AM = BA, MN = DA, NP = DC, PQ = BC Chứng minh AQ = Lời giải Chứng minh AMNP QMNP hình bình hành, suy A ≡ Q, N M −→ → − suy AQ = D P A B C Bài 10 Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Trên cạnh AC lấy hai điểm E F cho AE = EF = FC; −→ −−→ BE cắt AM N Chứng minh NA = MN Lời giải CÁC ĐỊNH NGHĨA 13 FM BE FM đường trung bình tam giác CEB Ta có EA = EF Vậy EN đường trung bình tam giác AFM Suy N −→ −−→ trung điểm AM Vậy NA = MN A E N F B M C BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 11 Cho hình bình hành ABCD Gọi E, F, M N trung điểm cạnh AB, BC,CD DA → −−→ −→ − a) Chứng tỏ vectơ EF, AC, MN phương; −→ −−→ b) Chứng tỏ EF = NM Suy tứ giác EFMN hình bình hành Lời giải N A a) Dựa vào tính chất đường trung bình, ta suy EF → −−→ −→ − MN ⇒ EF, AC, MN phương; D AC b) Dựa vào tính chất đường trung bình, ta suy EF = MN = −→ −−→ AC kết hợp với câu a) ⇒ EF = NM Suy tứ giác EFMN hình bình hành M E B F C −→ −→ −→ Bài 12 Cho hai bình bình hành ABCD ABEF Dựng EH FG AD Chứng minh CDGH hình bình hành Lời giải −→ −→ −→ Ta có EH = FG = AD nên tứ giác EFGH hình bình hành, suy GH G F FE AB DC GH = FE = AB = DC hay tứ giác CDGH hình bình D A hành H E B C Bài 13 Cho tam giác ABC có M trung điểm đoạn BC, phân giác ngồi góc A cắt BC D Giả sử giao điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM với AB, AC E, F (khác A) Gọi N trung điểm −−→ −→ đoạn EF Chứng minh hai véc-tơ MN AD phương Lời giải 14 Kẻ đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC Gọi P điểm cung BC khơng chứa A, PA ⊥ DA Q điểm cung BC chứa A Ta có A, D, Q thẳng hàng P, M, O, Q thẳng hàng Dễ nhận thấy DP đường kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ADM Tam giác PEF cân P từ có DP trung trực EF nên DP ⊥ EF N Hai tam giác PED PCQ đồng dạng, EN CM đường PN PM = ⇒ MN DQ cao nên suy PD PQ −−→ −→ Vậy, MN AD phương CHƯƠNG VECTƠ F D A B M C N E Bài 14 Cho tam giác ABC có O nằm tam giác Các tia AO, BO, CO cắt cạnh đối diện −→ −→ M, N, P Qua O kẻ đường thẳng song song với BC cắt MN, MP H, K Chứng minh rằng: OH = KO Lời giải OH ON ON OK Do HK BC nên ta có: = ⇒ OH = BM, = A BM BN BN CM OP OP ⇒ OK = CM (1) CP CP ON SAON SCON SAON + SCON SAOC N Mặt khác, ta lại có = = = = , BN SABN SCBN SABN + SCBN SABC P OP SAOB ON CP SAOC SABC SAOC CM O = = (2) ⇒ = = K H CP SABC BN OP SABC SAOB SAOB BM −→ −→ Từ (1) (2) suy OK = OH Vì vậy, OH = KO B M C TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ §2 15 TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ I Tóm tắt lí thuyết Định nghĩa tổng hiệu hai véc-tơ → − − − → − − → → − Định nghĩa (Phép cộng) Cho hai véc-tơ → a b Với điểm A bất kỳ, dựng AB = → a , dựng BC = b Khi → − − → − đó, véc-tơ AC gọi véc-tơ tổng → a b → − → − − → − → − → − − Ta ký hiệu: → a + b , tức là: → a + b = AB + BC = AC B −b → A −b → → − a → − a → − − a+→ b C Phép tốn tìm tổng hai véc-tơ gọi phép cộng véc-tơ − − Định nghĩa (Véc-tơ đối) Cho véc-tơ → a , véc-tơ có độ dài ngược hướng với → a gọi véc-tơ − − đối → a , ký hiệu −→ a − −→ a → − a → − → − − − Định nghĩa (Phép trừ) Cho hai véc-tơ → a b Phép phép trừ → a với b định nghĩa phép → − − cộng → a với − b → − − → − − Ký hiệu → a − b =→ a + (− b ) Quy tắc hình bình hành Cho hình bình hành ABCD, − → − → −→ • AC = AB + AD − → −→ −→ • AB − AD = DB B A Các tính chất phép cộng, trừ hai véc-tơ Tính chất (giao hốn kết hợp) C D 16 CHƯƠNG VECTƠ → − → − − − a) → a + b = b +→ a, → − − → − − − − b) → a +( b +→ c ) = (→ a + b )+→ c Tính chất (véc-tơ đối) → − → − a) − = → − → − − − b) → a − b = −( b − → a ), − → − → c) −AB = BA → − − → − → − − → Tính chất (cộng với véc-tơ ) → a + = +→ a =− a Tính chất Cho điểm A, B,C ta có: − → − → − → a) AB + BC = AC (quy tắc điểm), Tính chất → − → − − → a) (quy tắc trung điểm) I trung điểm AB ⇔ IA + IB = , b) (quy tắc trọng tâm) G trọng tâm II − → − → − → b) AB − AC = CB (quy tắc trừ) −→ −→ −→ → − ABC ⇔ GA + GB + GC = Các dạng toán Dạng Xác định véc-tơ Dựa vào quy tắc cộng, trừ, quy tắc điểm, hình bình hành, ta biến đổi dựng hình để xác định véc-tơ Chú ý quy tắc sau − → − → a) −AB = BA − → − → − → c) AB − AC = CB (quy tắc trừ) − → − → − → b) AB + BC = AC (quy tắc điểm) − → −→ − → d) AB + AD = AC (ABCD hình bình hành) Ví dụ Cho tam giác ABC − → − → − a) Xác định véc-tơ → a = AB + BC → − − → − → b) Xác định véc-tơ b = AB − AC − → − → − c) Xác định véc-tơ → c = AB + AC Lời giải Ta có B − → − → − → − a) → a = AB + BC = AC → − − → − → − → b) b = AB − AC = CB − → − → −→ − c) → c = AB + AC = AD, với ABDC hình bình hành → − b A → − c → − a C Ví dụ Cho hình bình hành ABCD, có tâm O Hãy xác định véc-tơ sau đây: − → −→ − a) → x = AB + AD −→ −→ − b) → y = AO + CD −→ − → −z = CD c) → − AC → − −→ −→ d) t = OA − BD D 84 CHƯƠNG VECTƠ Bài 36 Cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D Gọi I J trung điểm đoạn thẳng AB CD; P Q trung điểm đoạn thẳng AC BD; M N trung điểm đoạn thẳng AD BC Chứng minh ba đoạn thẳng IJ, PQ MN có trung điểm Lời giải B C N Q I J P A M D Xét mặt phẳng tọa độ Oxy Giả sử A(a1 ; a2 ), B(b1 ; b2 ), C(c1 ; c2 ) D(d1 ; d2 ) Ta có: ã Å ã Å Å c1 + d1 c2 + d2 a1 + b1 + c1 + d a1 + b1 a2 + b2 ; ,J ; Suy trung điểm đoạn thẳng IJ có tọa độ • I 2 2 (1) Å ã a1 + c1 a2 + c2 b1 + d1 b2 + d2 • P ; , Q ; Suy trung điểm đoạn thẳng PQ có tọa độ 2 Å ã2 a1 + b1 + c1 + d1 a2 + b2 + c2 + d2 ; (2) 4 Å ã Å ã a1 + d1 a2 + d2 b1 + c1 b2 + c2 • M ; ,N ; Suy trung điểm đoạn thẳng MN có tọa độ 2 Å ã2 a1 + b1 + c1 + d1 a2 + b2 + c2 + d2 ; (3) 4 Từ (1), (2) (3) suy ba đoạn thẳng IJ, PQ MN có trung điểm ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG I 85 §5 I ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG I Đề số 1a Câu (1 điểm) Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC,CD, DA (hình vẽ) D C P Q O N M A B − → a) Từ hình vẽ, tất véc-tơ đối véc-tơ AB −→ b) Từ hình vẽ, tất véc-tơ véc-tơ OA Lời giải − → − → −→ −→ a) Các véc-tơ đối véc-tơ AB BA, NQ, CD 0,5 điểm −→ −→ −→ −−→ b) Các véc-tơ véc-tơ OA CO, PQ, NM 0,5 điểm Câu (1 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có AB = cm, BC = cm − → −→ −→ − → a) Chứng minh rằng, với điểm M, ta ln có AC + BM = AM + BC − → −→ − → − b) Tính độ dài véc-tơ → u = AC + AD − BC Lời giải Hình vẽ C D O A B − → −→ −→ − → − → −→ − → −→ −→ −→ a) Vì AC + BM = AM + BC ⇔ AC − AM = BC − BM ⇔ MC = MC (đúng với M) nên ta có đẳng thức cần chứng minh 0,5 điểm −→ − → − → −→ − → − → − b) Vì AD = BC nên → u = AC + AD − BC = AC 0,25 điểm √ − → − Do |→ u | = AC = AB2 + BC2 = 10 cm 0,25 điểm Câu (2 điểm) Cho tam giác ABC Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn điều kiện −→ −→ −→ −→ MA = 2MA − MB − MC 86 CHƯƠNG VECTƠ −→ −→ − → Lời giải Gọi I trung điểm BC, ta có MB + MC = 2MI 0,5 điểm −→ −→ −→ −→ → − − → Suy 2MA − MB − MC = 2MA − 2MI = IA 0,5 điểm −→ −→ −→ −→ Do MA = 2MA − MB − MC ⇔ AM = AI 0,5 điểm Vậy, quỹ tích điểm M đường trịn tâm A, bán kính r = AI 0,5 điểm − → → → → − − → − − → − Câu (2 điểm) Cho tam giác ABC Gọi I J điểm cho IB+5IC = JB−3JC = → − − → − →− → Hãy phân tích véc-tơ AI AJ theo hai véc-tơ AB, AC Lời giải Hình vẽ A B I C J Ä→ Ä→ 1− − → → − − →ä − − →ä → → − → 5− → − − → − Ta có IB + 5IC = ⇔ IA + AB + IA + AC = ⇔ AI = AB + AC điểm 6 Ä− Ä− 1− − → → → − →ä → − →ä → − → → 3− → − − − → JB − 3JC = ⇔ JA + AB − JA + AC = ⇔ AJ = − AB + AC điểm 2 −→ → − → − Câu (4 điểm) Trong hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(−3; 4), P(1; 1) điểm N cho ON = i − j a) Chứng minh M, N, P không thẳng hàng Xác định điểm Q cho MPNQ hình bình hành − → → − − → b) Xác định điểm I trục Oy cho IN + IP + 4IM đạt giá trị nhỏ Lời giải −→ → − → − a) Từ ON = i − j suy N(2; −1) 0,25 điểm −5 −−→ −→ nên M, N, P không thẳng hàng 0,5 điểm Ta có MN = (5; −5), MP = (4; −3) = −3 − → −→ Giả sử Q(x; y) Ta có MP = (4; −3) QN = ®(2 − x; −1 − y) .® 0,5 điểm = 2−x x = −2 −→ −→ MPNQ hình bình hành MP = QN ⇔ ⇔ 0,5 điểm −3 = −1 − y y=2 Vậy Q(−2; 2) 0,25 điểm − −→ −→ −−→ → b) Gọi K(a; b) điểm cho KN + KP + 4KM = 0,5 điểm −→ −→ −−→ Ta có KN = (2 − a; −1 − b), KP =(1 − a; − b), KM = (−3 − a; − b) 0,5 điểm  Å ã a = − − −→ −→ −−→ → Suy K − ; Do KN + KP + 4KM = ⇔ 0,5 điểm  b = − → → − − → − → Vì I ∈ Oy nên IN + IP + 4IM = 6IK = 6.IK đạt giá trị nhỏ I hình chiếu Å ã vng góc K lên Oy Suy I 0; 0,5 điểm ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG I II 87 Đề số 1b Câu (1 điểm) Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC,CD, DA (hình vẽ) D C P Q O N M A B − → a) Từ hình vẽ, tất véc-tơ đối véc-tơ BC −→ b) Từ hình vẽ, tất véc-tơ véc-tơ OB Lời giải − → − → −→ −→ a) Các véc-tơ đối véc-tơ BC CB, DA, PM 0,5 điểm −→ −→ −−→ −→ b) Các véc-tơ véc-tơ OB DO, QM, PN 0,5 điểm ‘ = 60◦ Câu (1 điểm) Cho hình thoi ABCD có AB = cm, BAD − → −→ −→ − → a) Chứng minh rằng, với điểm M, ta ln có AC + BM = AM + BC − → −→ − → − b) Tính độ dài véc-tơ → u = AC + AD − BC Lời giải Hình vẽ C D O B A − → −→ −→ − → − → −→ − → −→ −→ −→ a) Vì AC + BM = AM + BC ⇔ AC − AM = BC − BM ⇔ MC = MC (đúng với M) nên ta có đẳng thức cần chứng minh 0,5 điểm −→ − → − → −→ − → − → − b) Vì AD = BC nên → u = AC + AD − BC = AC 0,25 điểm √ − → − Do |→ u | = AC = 2AO = cm 0,25 điểm Câu (2 điểm) Cho tam giác ABC Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn điều kiện −→ −→ −→ −→ MB = MA + MB − 2MC −→ −→ − → Lời giải Gọi I trung điểm AB Ta có MA + MB = 2MI 0,5 điểm −→ −→ −→ −→ − → Suy MA + MB − 2MC = 2MI − 2MC = |CI| 0,5 điểm −→ −→ −→ −→ Do MB = MA + MB − 2MC ⇔ BM = 2IC 0,5 điểm Vậy, quỹ tích điểm M đường trịn tâm B, bán kính r = 2IC 0,5 điểm 88 CHƯƠNG VECTƠ −→ → − −→ −→ Câu (2 điểm) Cho tam giác ABC Gọi K H điểm cho KB + 5KC = HB − −→ → −→ −→ − →− → − 3HC = Hãy phân tích véc-tơ AK AH theo hai véc-tơ AB, AC Lời giải Hình vẽ A B K C H Ä−→ − Ä−→ − −→ → →ä →ä → −→ − → 5− → − − −→ Ta có KB + 5KC = ⇔ KA + AB + KA + AC = ⇔ AK = AB + AC điểm 6 Ä−→ − Ä−→ − 1− −→ → →ä →ä → −→ → 3− → − − −→ Ta có HB − 3HC = ⇔ HA + AB − HA + AC = ⇔ AH = − AB + AC điểm 2 −−→ → − → − Câu (4 điểm) Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm N(2; −1), P(1; 1) điểm M cho OM = −3 i +4 j a) Chứng minh M, N, P không thẳng hàng Xác định điểm Q cho MNQP hình bình hành − → → − − → b) Xác định điểm I trục Ox cho IN + IP + 4IM đạt giá trị nhỏ Lời giải −−→ → − → − a) Từ OM = −3 i + j suy M(−3; 4) 0,25 điểm −5 −−→ −→ nên M, N, P không thẳng hàng 0,5 điểm Ta có MN = (5; −5), MP = (4; −3) = −3 −→ −→ Giả sử Q(x; y) Ta có MP = (4; −3) QN = ®(x − 2; y + 1) .® 0,5 điểm = x−2 x=6 − → −→ MNQP hình bình hành MP = NQ ⇔ ⇔ 0,5 điểm −3 = y + y = −4 Vậy Q(6; −4) 0,25 điểm − −→ −→ −−→ → b) Gọi K(a; b) điểm cho KN + KP + 4KM = 0,5 điểm −→ −→ −−→ Ta có KN = (2 − a; −1 − b), KP =(1 − a; − b), KM = (−3 − a; − b) 0,5 điểm  Å ã  a = − − −→ −→ −−→ → Suy K − ; 0,5 điểm Do KN + KP + 4KM = ⇔  b = − → → − − → − → Vì I ∈ Ox nên IN + IP + 4IM = 6IK = 6.IK đạt giá trị nhỏ I hình chiếu Å ã vng góc K lên Ox Suy I − ; 0,5 điểm ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG I III 89 Đề số 2a Câu (2 điểm) Cho hình bình hành MNPQ có I giao điểm hai đường chéo Xét véc-tơ có điểm đầu, điểm cuối điểm M, N, P, Q, I − → a) Tìm véc-tơ MI − → b) Tìm tất các véc-tơ đối QI → → − − → − → → − − c) Chứng minh: MI + NI + PI + QI = Lời giải − → → − a) Véc-tơ MI IP 0, − → − →− → b) Tất véc-tơ đối QI IQ, NI 0, → − → → − − → − c) Vì tứ giác ABCD hình bình hành nên MI = IP, NI = IQ 0, M Do đó: − → − → − → → − − → − → → − → − → − MI + NI + PI + QI = IP + IQ + PI + QI = 0, N P I Q Câu (2 điểm) Cho tam giác ABC có M, N, P trung điểm AB, AC BC Gọi G trọng tâm tam giác ABC − → −→ − → −−→ a) Tìm x, y biết MN = xBC AG = yAP −→ − → − → b) Phân tích AG theo AB AC Lời giải a) Do MN đường trung bình tan giác ABC nên BC = 2MN → −−→ − Suy ra: MN = BC Vậy x = 0, M Do G trọng tâm tam giác ABC nên AG = AP −→ − → Suy ra: AG = AP Vậy y = 0, A B G P N − → 1− → 1− → b) Do P trung điểm BC nên AP = AB + AC 0, 2 −→ − → Mà AG = AP −→ − → 1− → Do đó: AG = AB + AC 0, 3 Câu (2 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(1; 2), B(5; 2) C(2; 3) a) Chứng minh điểm A, B, C tạo thành đỉnh tam giác b) Tìm điểm D cho tứ giác ABDC hình bình hành Lời giải C 90 CHƯƠNG VECTƠ − → − → a) Ta có AB = (4; 0), AC = (1; 1) 0, C D − → − → Suy ra: AB = kAC, ∀k ∈ R − → − → Do đó, hai véc-tơ AB AC khơng phương B Suy ra, điểm A, B, C không thẳng hàng A Vậy, điểm A, B, C tạo thành đỉnh tam giác 0, −→ b) Gọi D(x; y) Ta có CD = (x − 2; y − 3) − → −→ Tứ ® giác ABDC hình ® bình hành ⇔ AB = CD 0, x=6 x−2 = ⇔ ⇔ y=3 y−3 = Vậy D = (6; 3) 0, −→ − −→ −→ → Câu (2 điểm) Cho tam giác ABC Tìm điểm M cho 2MA + 2MB + MC = Lời giải Gọi I trung điểm AB −→ − −→ −→ → Ta cóÄ 2MA + 2MB + MC = ä −→ −→ −→ → − ⇔ MA + MB + MC = − − → −→ → ⇔ 4MI + MC = 1, −→ − → ⇔ MC = −4MI Vậy, điểm M nằm điểm C I cho MC = 4MI 1, B I M A C Câu (2 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(1; 2) B(3; 1) Tìm điểm M thuộc Ox cho −→ −→ MA + MB nhỏ Lời giải Gọi A điểm đối xứng với điểm A qua trục Ox Suy A (1; −2) y A AM = A M −−→ −→ Gọi M(x; 0) Khi đó: A M = (x − 1; 2), A B = (2; 3) 0, B −→ −→ Ta có MA + MB = MA + MB = MA + MB ≥ A B −→ −→ x M O Do đó, MA + MB nhỏ chi điểm A , M, B thẳng hàng 0, ® −−→ −→ x − = 2k ∗ ⇔ ∃k ∈ R , A M = kA B ⇔ 0, = 3k A   k = ⇔  x = 3Å ã Vậy M = ; 0, 5 ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG I IV 91 Đề số 2b Câu (2 điểm) Cho hình bình hành ABCD có O giao điểm hai đường chéo Xét véc-tơ có điểm đầu, điểm cuối điểm A, B, C, D, O −→ a) Tìm véc-tơ CO −→ b) Tìm tất các véc-tơ đối OA − → − → −→ − → c) Chứng minh: AB + 2AC + AD = 3AC Lời giải −→ −→ a) Véc-tơ CO OA 0, −→ −→ −→ b) Tất véc-tơ đối OA AO, OC 0, − → −→ − → c) Vì tứ giác ABCD hình bình hành nên AB + AD = AC 0, A Do đó: − → − → −→ − → − → − → AB + 2AC + AD = AC + 2AC = 3AC 0, C B O D Câu (2 điểm) Cho tam giác ABC có M, N, P trung điểm AB, AC BC Gọi G trọng tâm tam giác ABC − → −−→ −→ −→ a) Tìm x, y biết AC = xPM CG = yMG −→ − → − → b) Phân tích BG theo AB BC Lời giải a) Do MP đường trung bình tan giác ABC nên AC = 2MP − → −→ Suy ra: AC = −2PM Vậy x = −2 0, Do G trọng tâm tam giác ABC nên CG = 2MG M −→ −−→ Suy ra: CG = −2MG Vậy y = −2 0, A B G P N → 1− → −→ − b) Do N trung điểm AC nên BN = BA + BC 2 1− → 1− → −→ ⇒ BN = − AB + BC 0, 2 −→ −→ Mà BG = BN 1− −→ → 1− → Do đó: BG = − AB + BC 0, 3 Câu (2 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(1; 3), B(3; 4) C(0; 3) a) Chứng minh điểm A, B, C tạo thành đỉnh tam giác b) Tìm điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành Lời giải C 92 CHƯƠNG VECTƠ − → − → a) Ta có AB = (2; 1), AC = (−1; 0) 0, D B − → − → Suy ra: AB = kAC, ∀k ∈ R − → − → Do đó, hai véc-tơ AB AC khơng phương C A Suy ra, điểm A, B, C không thẳng hàng Vậy, điểm A, B, C tạo thành đỉnh tam giác 0, −→ b) Gọi D(x; y) Ta có CD = (x; y − 3) − → −→ Tứ ® giác ABDC hình ® bình hành ⇔ AB = CD 0, x=2 x=2 ⇔ ⇔ y−3 = y=4 Vậy D = (2; 4) 0, −→ −→ −→ → − Câu (2 điểm) Cho tam giác ABC Tìm điểm M cho MA + MB + 2MC = Lời giải Gọi I trung điểm AB −→ −→ −→ → − Ta có MA + MB + 2MC = −→ → − − → ⇔ 2MI + 2MC = 1, −→ − → ⇔ MC = −MI Vậy, điểm M trung điểm đoạn thẳng MI 1, B I M A C Câu (2 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(1; 2) B(3; 1) Tìm điểm M thuộc Oy cho −→ −→ MA + MB nhỏ Lời giải Gọi A điểm đối xứng với điểm A qua trục Oy Suy A (−1; 2) y AM = A M −−→ −→ A Gọi M(0; y) Khi đó: A M = (1; y − 2), A B = (4; −1) 0, A M −→ −→ Ta có MA + MB = MA + MB = MA + MB ≥ A B B −→ −→ Do đó, MA + MB nhỏ chi điểm A , M, B thẳng hàng ® 0, x O − − → − → 4k = ⇔ ∃k ∈ R∗ , A M = kA B ⇔ 0, y − = −k   k = ⇔  y = 4Å ã Vậy M = 0; 0, 5 ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG I V 93 Đề số 3a Câu (2 điểm) Cho hình bình hành ABCD Chỉ xét véc-tơ có điểm đầu điểm cuối đỉnh hình bình hành ABCD − → a) Hãy véc-tơ phương với véc-tơ AB −→ − → − → −→ b) Chứng minh AD + BC = AC + BD Lời giải C D B A − → −→ −→ − → a) AB phương với CD, DC, BA 1,0 −→ − → − → −→ −→ −→ − → −→ b) AD + BC = AC + CD + BD + DC = AC + BD 1,0 −→ −→ → − −→ − −→ → Câu (1 điểm) Cho tam giác ABC Gọi M, N điểm thoả mãn MA + MB = , NC + 3NB = − → − → −−→ Phân tích véc-tơ MN theo hai véc-tơ AB, AC Lời giải C N A M B → 1− → 1− → 1− → −−→ −→ −→ − MN = MB + BN = AB + BC = AB + AC 1,0 4 → − − − Câu Cho ba véc-tơ → a = (1; 2), b = (−3; 3), → c = (5; −2) → − − − − a) Tìm tọa độ véc-tơ → x = 2→ a − b + 2→ c → − − − b) Phân tích véc-tơ → a theo hai véc-tơ b → c Lời giải → − − − − a) Ta có: 2→ a = (2; 4), b = (−9; 9), 2→ c = (10; −4) Vậy → x = (21; −9) 1,0 94 CHƯƠNG VECTƠ → − − − b) Giả sử → a®= m b + n→ c −3m + 5n = Giải hệ ta m = , n = Ta có hệ 3m − 2n = → − − − Vậy → a = b +→ c 1,0 Câu (3 điểm) Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho ba điểm A(1; 3), B(2; −3), C(−2; 1) a) Chứng minh ba điểm A, B, C tạo thành ba đỉnh tam giác b) Tìm tạo độ điểm D cho C trọng tâm tam giác ABD c) Tìm tọa độ điểm I trục Ox cho ba điểm A, I, B thẳng hàng Lời giải y A C −2 −3 x B − → − → − → − → a) Ta có: AB = (1; −6), AC = (−3; −2), AB AC khơng phương Vì vậy, ba điểm A, B, C không thẳng hàng hay ba điểm tạo thành đỉnh tam giác 1,0 b) Gọi D(a,  b) điểm cho C trọng tâm tam giác ABD a+1+2 ®  −2 = a = −9 Ta có: ⇔ Vậy D(−9; 3) 1,0  b=3  = b+3−3 c) Giả sử đường thẳng qua®A B có phương ® trình dạng y = ax + b = a·1+b a = −6 Ta có hệ phương trình ⇔ Do đó, phương trình đường thẳng qua A B −3 = a · + b b=9 y = −6x +  ® Å ã x = y=0 Vậy, I Giao điểm đường thẳng AB với trục Ox nghiệm hệ ⇔ ;0 y = −6x +  y = 1,0 Câu (2 điểm) Cho tứ giác ABCD → − → − → → − − a) Xác định điểm I thỏa mãn điều kiện IA + IB + 3IC = ; −→ −→ −→ −−→ b) Tìm tập hợp điểm M cho MA + MB + 3MC = MD Lời giải ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG I 95 x D C y A I P B → − → − → − a) Gọi P trung điểm AB Lúc này, với điểm I ta có: IA + IB = 2IP Từ giả thiết suy 3− → → − IP = − IC, điểm I nằm hai điểm P, C lấy sau: chia đoạn PC thành phần 2 lấy I cho IC = PC 1,0 − → −−→ b) Từ giả thiết ta có MI = MD (với I điểm xác định câu a) Vậy, tập hợp điểm M nằm đường trung trực x y đoạn thẳng ID 1,0 96 CHƯƠNG VECTƠ VI Đề số 3b Câu (2 điểm) Cho hình bình hành ABCD.Chỉ xét véc-tơ có điểm đầu điểm cuối đỉnh hình bình hành ABCD −→ a) Hãy véc-tơ phương với véc-tơ AD − → −→ − → −→ b) Chứng minh AB + DC = AC + DB Lời giải C D B A −→ − → − → −→ a) AD phương với CB, BC, DA 1,0 − → −→ − → − → −→ − → − → −→ b) AB + DC = AC + CB + DB + BC = AC + DB 1,0 −→ −→ → → − − − − → → Câu (1 điểm) Cho tam giác ABC Gọi P, Q điểm thoả mãn QC − 3QA = , PC + 3PB = Phân −→ − → − → tích véc-tơ PQ theo hai véc-tơ AB, AC Lời giải C P A B Q 3− −→ − → −→ − → 1− → → 3− → → − PQ = PA + AQ = PB + BA − AC = − AB − AC 1,0 4 → − → − − Câu (2 điểm) Cho ba véc-tơ a = (−1; 2), b = (3; −3), → c = (5; −2) → − − − − a) Tìm tọa độ véc-tơ → x = 2→ a + b − 2→ c → − − − b) Phân tích véc-tơ → a theo hai véc-tơ b → c ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG I 97 Lời giải → − − − − a) Ta có: 2→ a = (−2; 4), b = (9; −9), 2→ c = (10; −4) Vậy, → x = (−3; −1) 1,0 ® 3m + 5n = −1 → − → − → − Giải hệ ta m = − , n = b) Giả sử a = m b + n c Ta có hệ −3m − 2n = → − − − Vậy → a =− b + → c 1,0 Câu (3 điểm) Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho ba điểm A(−1; 3), B(−2; −3), C(2; 1) a) Chứng minh ba điểm A, B, C tạo thành ba đỉnh tam giác b) Tìm tạo độ điểm D cho C trọng tâm tam giác ABD c) Tìm tọa độ điểm I trục Ox cho ba điểm A, I, B thẳng hàng Lời giải y A −2 B C −1 x −3 − → − → − → − → a) Ta có: AB = (−1; −6), AC = (3; −2), AB AC khơng phương Vì vậy, ba điểm A, B, C khơng thẳng hàng hay ba điểm tạo thành đỉnh tam giác 1,0  a−1−2 ®  2 = a=9 b) Gọi D(a, b) điểm cho C trọng tâm tam giác ABD Ta có: ⇔ Vậy  b=3 1 = b + − 3 D(9; 3) 1,0 c) Giả sử đường ® thẳng qua A B®có phương trình dạng y = ax + b = −a · + b a=6 Ta có hệ ⇔ Do đó, phương trình đường thẳng qua A B y = 6x + −3 = −a · + b b=9  ® x = − y=0 Giao điểm đường thẳng AB với trục Ox nghiệm hệ ⇔  y = 6x + y=0 ã Å Vậy, I − ; 1,0 Câu (2 điểm) Cho tứ giác ABCD → − → − → → − − a) Xác định điểm I thỏa mãn điều kiện IA + IB + 2IC = ; −→ −→ −→ −−→ b) Tìm tập hợp điểm M cho MA + MB + 2MC = MD Lời giải 98 CHƯƠNG VECTƠ x D C y I A P B → − → − → − a) Gọi P trung điểm AB Lúc này, với điểm I ta có: IA + IB = 2IP Từ giả thiết suy − → → − IP = −IC, điểm I trung điểm đoạn thẳng PC 1,0 − → −−→ b) Từ giả thiết ta có MI = MD Vậy, tập hợp điểm M nằm đường trung trực đoạn thẳng ID 1,0 ... 36 II CHƯƠNG VECTƠ Các dạng toán Dạng Các tốn sử dụng định nghĩa tính chất phép nhân véc-tơ với số Phương pháp giải: Áp dụng định nghĩa tính chất phép nhân véc-tơ với số để giải tập → − − − −... − → − → − → b) AB − AC = CB (quy tắc trừ) −→ −→ −→ → − ABC ⇔ GA + GB + GC = Các dạng toán Dạng Xác định véc-tơ Dựa vào quy tắc cộng, trừ, quy tắc điểm, hình bình hành, ta biến đổi dựng hình để... đoạn thẳng AB AI = IB ! II Các dạng toán Dạng Xác định véc-tơ, phương hướng véc-tơ, độ dài véc-tơ • Xác định véc-tơ xác định phương, hướng hai véc-tơ theo định nghĩa • Dựa vào tình chất hình học