SKKN khắc phục một số sai lầm cho học sinh lớp 10 khi giải phương trình và bất phương trình

1 Sáng kiến kinh nghiệm I.ĐỀ TÀI: KHẮC PHỤC MỘT SỐ SAI LẦM CHO HỌC SINH LỚP 10 KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH II.ĐẶT VẤN ĐỀ Trong dạy học Toán việc vận dụng lý thuyết học để giải tốn học sinh cịn gặp số khó khăn sai lầm.Chính giáo viên cần hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp để giúp học sinh giải tốn mà khơng mắc phải sai lầm cần thiết phù hợp Mặt khác đứng trước toán phương trình hay bất phương trình học sinh thường giải theo thói quen mà khơng biết bị sai không nắm vững lý thuyết vừa học.Việc giải hay sai học sinh lớp 10 giải phương trình bất phương trình rút gọn bỏ mẫu mà khơng ghi thêm điều kiện nào.Những sai sót trước THCS học sinh giải phương trình bất phương trình mà mẫu thường số nên học sinh rút gọn bỏ mẫu Vì lí tơi chọn đề tài : Khắc phục số sai lầm cho học sinh lớp 10 giải phương trình bất phương trình III CƠ SỞ LÝ LUẬN Ở trường phổ thơng,dạy Tốn dạy hoạt động toán học Đối với học sinh xem việc giải tốn hình thức chủ yếu hoạt động toán học Trong dạy học toán, tập toán sử dụng với dụng ý khác nhau, tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm việc với nội dung mới, để củng cố kiểm tra … Ở thời điểm cụ thể đó, tập chứa đựng tường minh hay ẩn tàng chức khác (chức dạy học, chức giáo dục, chức phát triển, chức kiểm tra), chức hướng tới việc thực mục đích dạy học Yêu cầu lời giải toán + Lời giải khơng có sai lầm; + Lập luận phải có xác; + Lời giải phải đầy đủ Ngồi ba u cầu nói trên,trong dạy học tập,cần yêu cầu lời giải ngắn gọn, đơn giản nhất, cách trình bày rõ ràng hợp lí Tìm lời giải hay toán tức khai thác đặc điểm riêng tốn,điều làm cho học sinh “có thể biết quyến rũ sáng tạo niềm vui thắng lợi” (G Polya – 1975) Phương pháp tìm tịi lời giải tốn - Tìm hiểu nội dung tốn: + Giả thiết ? Kết luận ? Sử dụng kí hiệu ? + Dạng toán ? (toán chứng minh hay tốn tìm tịi ) Sáng kiến kinh nghiệm + Kiến thức cần có ? (các khái niệm, định lí, điều kiện tương đương, phương pháp chứng minh, …) - Xây dựng chương trình giải (tức rõ bước tiến hành): Bước ? Bước giải vấn đề ? … - Thực chương trình giải: Trình bày làm theo bước Chú ý sai lầm thường gặp tính tốn, biến đổi, … - Kiểm tra nghiên cứu lời giải: xét xem có sai lầm khơng ? Có biện luận kết tìm khơng ? Nếu tốn có nội dung thực tiễn kết tìm có phù hợp với thực tiễn khơng ? Một điều quan trọng cần luyện tập cho học sinh thói quen đọc lại yêu cầu toán sau giải xong tốn đó, để học sinh lần hiểu rõ chương trình giải đề xuất, hiểu sâu sắc kiến thức ngầm cho giả thiết Trình tự dạy học tập tốn Trình tự dạy học tập tốn thường bao gồm bước sau: Hoạt động 1: Tìm hiểu nội dung toán Hoạt động 2: Xây dựng chương trình giải Hoạt động 3: Thực chương trình giải Hoạt động 4: Kiểm tra nghiên cứu lời giải Quan niệm tiến trình giải tốn Giải tốn việc thực hệ thống hành động phức tạp, tốn kết hợp đa dạng nhiều khái niệm, nhiều quan hệ tốn học, cần có chọn lọc sáng tạo phương pháp giải vấn đề Như giải tốn tìm kiếm cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt mục đích tập Đó q trình tìm tịi sáng tạo, huy động kiến thức, kỹ năng, thủ thuật phẩm chất trí tuệ để giải vấn đề cho Theo Howard Gardner, G Polya, … tiến trình lao động học sinh giải tốn theo hướng sau: - Hướng tổng quát hóa: Hướng dựa quan điểm tổng hợp, chuyển từ tập hợp đối tượng toán sang tập hợp khác lớn chứa đựng tập hợp ban đầu - Hướng cụ thể hóa: Hướng dựa quan điểm phân tích, chuyển tốn ban đầu thành tốn thành phần có quan hệ logic với Chuyển tập hợp đối tượng toán ban đầu sang tập hợp nó, từ tập tìm lời giải tốn tình hữu ích cho việc giải toán cho - Hướng chuyển toán toán trung gian: Khi gặp toán phức tạp, học sinh giải tốn trung gian để đạt đến điểm một, giải tốn cho giả định điều đối lập với tốn tìm cách giải xác định hệ điều khẳng định hay đưa toán liên quan dễ hơn, toán tương tự phần tốn, từ rút điều hữu ích để giải tốn cho Sáng kiến kinh nghiệm Theo G Polya, việc giải toán xem thực hệ thống hành động: hiểu rõ tốn, xây dựng chương trình giải, thực chương trình khảo sát lời giải tìm Theo ơng điều quan trọng q trình giải tốn qua học sinh nảy sinh lịng say mê, khát vọng giải tốn, thu nhận hình thành tri thức mới, đặc biệt tiếp cận, phát sáng tạo IV CƠ SỞ THỰC TIỂN Trong q trình giảng dạy lớp 10 tơi thấy học sinh giải tốn phương trình bất phương trình học sinh vận dụng thường biến đổi tương đương mà không ý đến điều kiện xác định Từ thực trạng nên q trình dạy tơi hình thành phương pháp cách trước tiên học sinh cần nắm vững lý thuyết phương trình tương đương bất phương trình tương đương từ áp dụng vào tốn đến tốn mức độ khó Do giảng dạy khố dạy bồi dưỡng, thường trang bị đầy đủ kiến thức phổ thơng phương pháp giải tốn đại số cho học sinh.Như giải tốn phương trình hay bất phương trình học sinh tự tin lựa chọn phương pháp để giải phù hợp mà không mắc sai lầm V NỘI DUNG NGHIÊN CỨU: CÁC SAI LẦM THƯỜNG GẶP TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Ở LỚP 10 I.SAI LẦM THƯỜNG GẶP TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Ở LỚP 10: 1.DẠNG: f ( x)   f ( x)  g ( x) Ví dụ: Giải phương trình: ? x2  x  0 x  3x  (1) Sai lầm thường gặp :  x  2 x2  x   x  x     x  x  3x   Nguyên nhân sai: x=-2 2x2+3x-2=0 nên loại nghiệm x=-2 Lời giải đúng:  x    x  x    x  2(loai ) x  x6    x3 0  2 x  3x  2 x  x     x  2; x   f ( x)  f ( x) 0 KẾT LUẬN: g ( x)  g ( x)  Bài tập tương tự: Giải phương trình: 2.DẠNG:  f ( x)  f(x).g(x)=0    g ( x)  x2  x  5 x6 ? Sáng kiến kinh nghiệm Ví dụ: Giải phương trình: x  2( x  x  6)  (2) Sai lầm thường gặp: x   x2 0   x  2 Pt(2)    x  x    x  Nguyên nhân sai lầm:với x=-2 x  vô nghĩa x   x2 0    x  2  x   Lời giải đúng: pt(2)    x  x        x  x  x       x   f ( x)  KẾT LUẬN: f(x).g(x)=0   với x thuộc tập xác định phương  g ( x)  trình f(x).g(x)=0 Bài tâp tương tự: Giải phương trình (x+1) x  x   x  3.DẠNG : f ( x )  g ( x )  f ( x ).h( x )  g ( x ).h( x ) Ví dụ: ? Giải phương trình: x  3x   x  x   x  (3) Sai lầm thường gặp: Pt(3)  ( x  3x  2)2 + ( x  x  ) =(4x-3)( x  3x   x  x  )  (x 3x  ) - (x  x  )=(4x-3)( x  x   x  x  )  4x-3=(4x-3)( x  x   x  x  )  4 x    x     x  3x     2  x  3x   x  x   1(*)  x  3x   x  x    Pt(*)  x  3x   ( x  x   1)  x  3x   x  x   x  x    x  x   x2  x    x    (vn) x   x  x   ( x ) Vậy phương trình (3)có nghiệm: x= Nguyên nhân sai lầm: Sáng kiến kinh nghiệm Thử lại : x= Lời giải dúng: Pt(3)    khơng thỏa mãn phương trình (3) 4x  x  3x   x  x  ( x  x  2)  ( x  x  1) x  3x   x  x  1 1 ( x  3x  2)  ( x  x  1) x  3x   x  x  1  x  3x   x  x    x  3x   x2  x    x  x   ( x  x   1)  x  3x   x  x   x  x    x  x   x2  x    x    (vn)  x   x  x   ( x) Vậy pt(3) vô nghiệm  f ( x ).h( x )  g ( x ).h( x )  h( x )  KẾT LUẬN: f ( x)  g ( x)   Bài tập tương tự: Giải phương trình: a ( x   1)( x  10  4)  x 4.DẠNG: A.B  A B ; b ( x   1)( x   x  x  7)  x A  B A B ? Ví dụ: Giải phương trình ( x  1)( x  x  2)  x  (4) Sai lầm thường gặp: Pt (3)  ( x  1)[(x+1)(x+2)]  x   ( x  1) ( x  2)  x   x 1 x   x 1  x     x       x     x    x     x3  x  1 Nguyên nhân sai lầm: x=-1 nghiệm phương trình Lời giải đúng: Sáng kiến kinh nghiệm Pt(4)  ( x  1)[(x+1)(x+2)]  x   ( x  1) ( x  2)  x  x 1      x  x   x   x      x  1  x  1     x     x    x  1  2.Giải phương trình: x   ( x  5) x3 x3 (5) Sai lầm thường gặp: x3 x 3 x3  x  x   ( x  5) x3 x5  x  3(2 x   )0 x 3 pt (5)  ( x  3)( x  3)  ( x  5)  x3 (2( x  3)  ( x  5)  x3 x3 ( x  11)  x3 x   x       x  11     x  11  x  11  x     x  3    Nguyên nhân sai lầm:x=-3 nghiệm pt(5) cách giải làm nghiệm x=-3 Lời giải đúng: pt (5)  ( x  3)( x  3)  ( x  5) 2  x3 ( x  3)  ( x  5) x 3 x3 x 3 x3 x3 2 x   ( x  5) x 3 x 3 x3 (2 x   ( x  5))  x 3  2 x   ( x  5)    x      x 3  x3   x     2( x  3)  ( x  5)  0; x      2(3  x)  ( x  5)  0; x    x      x  3  x   x3 x 3 Sáng kiến kinh nghiệm    x  11  0; x    1  x  0; x   x  11    x      x  3    x  3   x  3  A nêuA  0, B    A BnêuA, B  A  B ;  KẾT LUẬN: A.B     A  BnêuA, B  B   A nêuA  0, B    B Các tập tương tự: Giải phương trình sau: a x  25  (2 x  1) x 5 x5 b x  x   ( x  5) c (3 x  1)(3 x  x  1)  x  5.DẠNG: x2 x 3 d (2 x  3)(2 x  x  3)  x   A C A.B  A.C   A  ? Ví dụ: Giải phương trình sau: x3  3x  x  x (6) Sai lầm thường gặp: Pt(6)  x(2 x  3)  x( x  2)  x x   x x   x ( x   x  2)   x 0 x     x   x    x   x  x    x   x  x  x      x    x   2 x   x   x  x     x    x      x   x    x      Nguyên nhân sai lầm: Phép biến đổi phương trình sau phép biến đổi tương đương x(2 x  3)  x( x  2)  x x   x x  Sáng kiến kinh nghiệm Lời giải đúng: pt(6)  x(2 x  3)  x( x  2) x  x   x  2 x  x       2 x   x      x   x       x( x  2)        x  KẾT LUẬN: A   A.B  A.C    B  C   A  0; A.B  II.SAI LẦM THƯỜNG GẶP TRONG GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ LỚP 10  g ( x)  f ( x) a   g ( x) b b f ( x )  a.g ( x) 1.DẠNG: Ví dụ: Giải bất phương trình: ; x 1  x  x  12 2  f ( x)  0; g ( x)  1   f ( x) g ( x )  f ( x)  g ( x ) ? (7)  x  x  12   x  4; x    Sai lầm thường gặp:Bpt(7)   2 2( x  1)  ( x  x  12)  x  3x  10   x  4; x    x       x  5   x   x    x  5 Nguyên nhân sai lầm: Với x  (-4;3) x2+x-120>4x-6 bất phương trình nghiệm đúng.Cách giải làm nghiệm Lời giải đúng: x   ( x  3) 3( x  3) Bpt(8)  x   x    ( x  3)(4 x  6)   ( x  3)(4 x  6)  Lập bảng xét dấu: x - -3 3/2 + x-3 + x+3 + + + 4x-6 + + P P VT + + Dựa vào bảng xét dấu ta chọn nghiệm bất phương trình là: S=(-3;3/2)  [3;  ) f ( x) a f ( x) a      b.g ( x)[bf(x)-ag(x)]>0 g ( x) b g ( x) b KẾT LUẬN: 1   f ( x ).g ( x)[g ( x)  f ( x)]  f ( x) g ( x) 2.DẠNG: f ( x) g ( x)   g ( x)  0; f ( x) g ( x)   g ( x)  ? Ví dụ: Giải bất phương trình:x2(2x2-3x+1)  (9) x 1 Sai lầm thường gặp:Bpt(9)  x  3x     x  2 Nguyên nhân sai lầm: Với x=0 x2(2x2-3x+1)=0 nên (9) thỏa mãn.Cách giải làm nghiệm x   x  (; ]  [1; )  {0} 2 x  3x   Lời giải đúng: Bpt(9)    f ( x)   f ( x)  ; f ( x) g ( x )    KẾT LUẬN: f ( x) g ( x)     g ( x)   g ( x)  Bài tập tương tự: Giải bất phương trình: Sáng kiến kinh nghiệm 10 (2 x  1) (4 x  3) (3x  x  2)  3.DẠNG f (x)  f (x)  f (x).g(x)    ; f (x).g(x)    g(x)  g(x)  ? Ví dụ: Giải bất trình : ( x  3x) x  3x   (10) Sai lầm thường gặp:  x   x  2 x  x     x     2 Bpt(10)   x    x  x   x      x  Nguyên nhân sai lầm: x=2 nghiệm bất phương trình(10)    x  3x     ( x  x ) x  3x    x  3x    Lời giải đúng:Bpt(10)    x  3x   ( x  x) x  3x     2 x  x      x  3x  x    x   x      x3   x  3   x  x     x     KẾT LUẬN:  f ( x ) g ( x)       f ( x)  0; x  D g (x)   f ( x) g ( x)   g ( x)      f ( x)  f ( x) g ( x)     f ( x)    g ( x)  Bài tập tương tự:Giải bất phương trình: (2 x  5) x  x   4.DẠNG: f ( x )  g ( x )  f ( x)  h( x )  g ( x )  h ( x ) f ( x )  h ( x )  g ( x )  h( x )  f ( x )  g ( x ) ? Sáng kiến kinh nghiệm 11 Ví dụ: 2 Giải bất phương trình sau: x  x    x  x2   x2 (11) Sai lầm thường gặp: Bpt(11)  x  x    x2  x (2   x ) x2  x   2  x  x    x    x x  x    2  x  x  x   Nguyên nhân sai lầm: Phép biến đổi x  x    x    x thành x  x   không tương đương Lời giải đúng: ĐKXĐ:  x  0; 2  x  2 Bpt(11)  x  x    x  x (2   x ) x2  x   2  x  x    x    x x  x  x     4  x   2  x     2  x   x2  x     2  x   KẾT LUẬN: f ( x)  g ( x)  f ( x)  h( x)  g ( x)  h( x) ;h(x)  D với D tập xác định f ( x)  g ( x) f ( x)  h( x)  g ( x)  h( x)  f ( x)  g ( x) ;với x thuộc tập xác định f ( x)  h( x)  g ( x)  h( x) Bài tập tương tự:Giải bất phương trình: x  x   25  x  x2  25  x VI.KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Sau dạy số tiết lớp số buổi bồi dưỡng tơi cho tiến hành kiểm tra khả tiếp thu kiến thức học sinh lớp tơi dạy thu kết sau: Lớp Năm học Số học sinh đạt yêu cầu 10C1 2009-2010 38/51 (74,5 %) 10C2 2009-2010 41/52 (78,8%) 10A3 2009-2010 41/50 (82,0%) 12 Sáng kiến kinh nghiệm VI KẾT LUẬN: Được giảng dạy lớp 10 nên nhận thấy số khuyết điểm, sai lầm mà học sinh thường mắc phải giải tập,nhất tốn phương trình bất phương trình có chứa ẩn mẫu có chứa ẩn dấu thức bậc hai Khi hướng dẫn học sinh sửa tập gặp toán phương trình bất phương trình có chứa ẩn mẫu có chứa ẩn dấu thức bậc hai thường trăn trở phải cho em thấu suốt cách triệt để,biết phân loại tốn,phân tích loại tìm phương pháp vận dụng lý thuyết vào loại bài.Trên sở tơi ln tích luỹ kinh nghiệm sau tiết dạy ,tìm tịi đổi đưa tập áp dụng vào tiết học giải tập,luyện tập ôn tập chương nên phần em hiểu đựơc Qua em phần tự tin giải tốn mà khơng sợ mắc phải sai làm Trong viết , tơi giới thiệu số dạng tốn mà em thường mắc sai lầm giải em nắm cách chắn Mong có ý kiến chia sẻ đóng góp kinh nghiệm đồng nghiệp để viết hồn thiện 13 Sáng kiến kinh nghiệm TÀI LIỆU THAM KHẢO Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng, Trần Văn Vuông (2006), Đại số 10 nâng cao, NXBGD 2.Trần văn Hạo, Vũ Tuấn, Doãn Minh Cường,Đỗ Mạnh Hùng,Nguyễn Tiến Tài (2006), Đại số 10 bản, NXBGD 3.Nguyễn Huy Đoan,Phạm Thị Bạch Ngọc,Đoàn Quỳnh,Đặng Hùng Thắng, Lưu Xuân Tình.(2006),Bài Tập Đại số 10 nâng cao, NXBGD 4.Nguyễn Thái Hòe (1998), Rèn luyện tư qua việc giải tập toán, NXBGD 5.G.Polia (1975), Giải toán nào, NXBGD 6.Trần Phương, Nguyễn Đức Tấn (2004), Sai lầm thường gặp sáng tạo giải toán, NXB Hà Nội 14 Sáng kiến kinh nghiệm MỤC LỤC Trang I.Đặt vấn đề II.Cơ sở lí luận III.Cơ sở thực tiễn IV.Nội dung nghiên cứu 1.Sai lầm thường gặp giải phương trình lớp 10 2.Sai lầm thường gặp giải bất phương trình lớp10 V.Kết nghiên cứu VI.Kết luận VII.Tài liệu tham khảo 1-3 3-8 8-11 11 12 13 ... CÁC SAI LẦM THƯỜNG GẶP TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Ở LỚP 10 I .SAI LẦM THƯỜNG GẶP TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Ở LỚP 10: 1.DẠNG: f ( x)   f ( x)  g ( x) Ví dụ: Giải phương trình: ... phương pháp giải toán đại số cho học sinh. Như giải tốn phương trình hay bất phương trình học sinh tự tin lựa chọn phương pháp để giải phù hợp mà không mắc sai lầm V NỘI DUNG NGHIÊN CỨU: CÁC SAI. .. thấy số khuyết điểm, sai lầm mà học sinh thường mắc phải giải tập,nhất tốn phương trình bất phương trình có chứa ẩn mẫu có chứa ẩn dấu thức bậc hai Khi hướng dẫn học sinh sửa tập gặp tốn phương trình