Ứng dụng của định lý Vi-ét trong việc giải một số bài toán thường gặp ở cấp THCS

Ứng dụng của định lý Vi-ét trong việc giải một số bài toán thường gặp ở cấp THCS

SKKN: Ứng dụng định lý Vi-ét việc giải số toán thường gặp cấp THCS _ ĐỀ TÀI: ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VI – ÉT TRONG VIỆC GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP Ở CẤP THCS - MỞ ĐẦU 1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình Tốn lớp THCS, học sinh làm quen với phương trình bậc hai, cơng thức nghiệm phương trình bậc hai, đặc biệt định lý Vi-ét ứng dụng định lý Vi-ét việc giải toán vô phong phú, đa dạng Song qua việc giảng dạy Tốn trường TH&THCS Đơng Phú tơi nhận thấy em vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán chưa thật linh hoạt, chưa thục việc khai thác sử dụng hệ thức Vi-ét vào giải nhiều loại tốn, hệ thức Vi-ét có tính ứng dụng rộng rãi việc giải tốn Một vài năm trở lại đây, đề thi vào lớp 10 THPT, tốn phương trình bậc hai có sử dụng tới hệ thức Vi-ét xuất phổ biến Tuy nhiên phân phối chương trình hành có tiết ( 59 60), đa số học sinh thường lúng túng đứng trước tốn có liên quan đến định lý Vi-ét ứng dụng định lý này, em cần có tài liệu hướng dẫn cụ thể, chi tiết, dễ học, dễ hiểu Trước thực tế đó, nhằm giúp em nắm cách có hệ thống có khả giải tập phần sâu vào nghiên cứu đề tài: “Ứng dụng định lý Vi-ét việc giải số toán thường gặp cấp THCS” với mong muốn giúp cho học sinh nắm vững sử dụng thành thạo định lý Vi-ét, đồng thời làm tăng khả năng, lực học tốn kích thích hứng thú học tập học sinh 1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Xuất phát từ nhu cầu thực tế vận dụng học sinh, đặc điểm lớp học gồm nhiều đối tượng học sinh với trình độ lực tiếp thu khác nhau, thấy cần phân loại dạng toán từ đơn giản để em nắm kiến thức bản, đến phức tạp phong phú dần giúp em nâng cao kiến thức, phát huy khả suy luận, óc phán đốn, linh hoạt giải toán - Xuất phát từ nhu cầu thân muốn trau dồi kiến thức muốn soạn tài liệu tham khảo phục vụ cho việc giảng dạy đạt hiệu 1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Trong đề tài này, đưa nghiên cứu số ứng dụng định lý Vi-ét việc giải số toán thường gặp cấp THCS Do đề cập đến số loại tốn là: Giáo viên: Đỗ Thị Thắm Trường TH & THCS Đông Phú SKKN: Ứng dụng định lý Vi-ét việc giải số toán thường gặp cấp THCS _ 1- Khơng giải phương trình, tính tổng tích nghiệm 2- Ứng dụng định lý Vi-ét tốn giải phương trình cách nhẩm nghiệm 3-Ứng dụng định lý Vi-ét tốn tìm hai số biết tổng tích chúng 4- Ứng dụng định lý Vi-ét tốn có biểu thức đối xứng nghiệm x1, x2 phương trình bậc hai 5- Ứng dụng định lý Vi-ét tốn tìm hệ thức nghiệm x1,x2 phương trình bậc hai khơng phụ thuộc vào tham số 6- Ứng dụng định lý Vi-ét giải tốn tìm điều kiện tham số để toán thoả mãn yêu cầu đặt 7- Ứng dụng định lý giải toán lập phương trình bậc hai ẩn biết hai nghiệm 8- Ứng dụng định lý Vi-ét giải toán chứng minh 9- Áp dụng định lý Vi-ét giải phương trình hệ phương trình 10- Định lý Vi-ét với toán cực trị 11- Ứng dụng định lý Vi-ét giải toán dấu nghiệm số phương trình bậc hai 1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: Khi tiến hành xây dựng đề tài này, sử dụng phương pháp sau: - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết dựa tài liệu hướng dẫn kinh nghiệm giảng dạy thân + Nghiên cứu vấn đề lý thuyết phương trình bậc hai, định lý Viét chương trình đại số + Nghiên cứu tài liệu tham khảo, chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, sáng kiến kinh nghiệm đồng nghiệp, đề thi THPT năm + Qua thực tế giảng dạy, đặc biệt từ kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn tập cho học sinh thi vào THPT + Qua trao đổi, học hỏi kinh nghiệm bạn bè, đồng nghiệp, đồng chí có nhiều năm cơng tác, có bề dày kinh nghiệm - Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: + Thống kê, phân loại dạng tập + Nêu phương pháp giải cho dạng tập + Đưa số ví dụ điển hình cách giải + Một số tập vận dụng cho dạng - Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin - néi dung 2.1 CƠ SỞ LÝ LUẬN: Giáo viên: Đỗ Thị Thắm Trường TH & THCS Đông Phú SKKN: Ứng dụng định lý Vi-ét việc giải số toán thường gặp cấp THCS _ - Định lý mệnh đề đúng, kiến thức có giá trị phương diện suy luận ứng dụng chương trình tốn nói chung tốn THCS nói riêng.[5] - Định lý Vi-ét chương trình đại số lớp THCS nêu rõ mối quan hệ nghiệm số phương trình bậc hai với hệ số Định lý có giá trị đặc biệt nêu lên nhiều ứng dụng quan trọng tốn có liên quan đến phương trình bậc hai -Vì định lý Vi-ét ứng dụng có vai trị quan trọng, mở hướng giải cho nhiều toán có liên quan đến nghiệm phương trình bậc hai cách phong phú, đa dạng.[5] - Việc dạy định lý Vi-ét nêu ứng dụng chương trình đại có ý nghĩa đặc biệt làm cho học sinh hiểu sâu sắc nghiệm số phương trình bậc hai [6] - Những ứng dụng phong phú định lý Vi-ét góp phần làm giàu dạng tập phương trình bậc hai, tốn có liên quan đến nghiệm phương trình bậc hai, kỹ thuật giải phương trình, hệ phương trình độc đáo nhờ hệ thức Vi-ét [6] - Việc vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán gây hứng thú giải tập cho học sinh, hình thành cho học sinh ý tưởng phong phú, trau dồi tư óc sáng tạo cho em giải tốn có liên quan đến phương trình bậc hai [4] 2.2 THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ: - Đặc điểm: Đơn vị công tác trường TH&THCS Đông Phú – Là xã vùng nông thôn cách xa trung tâm huyện Ở có nhiều gia đình học sinh bố mẹ làm ăn xa, để em tự chăm sóc với ông bà hay anh em họ hàng nên phong trào học tập nhiều hạn chế - Những mặt đạt được: + Giáo viên nhiệt tình, có trách nhiệm, truyền đạt đầy đủ kiến thức chương trình + Đa số học sinh nắm kiến thức sách giáo khoa - Những mặt hạn chế: + Do nhiều em sống xa bố mẹ, nhà với ông bà anh em họ hàng nên phong trào học tập nhiều hạn chế, điều kiện học tập nhiều thiếu thốn + Số học sinh tự học thêm kiến thức, tự mua thêm tài liệu tham khảo để nâng cao kiến thức chưa nhiều + Một số em ham học gia đình lại khơng có điều kiện mua thêm tài liệu tham khảo em chưa biết cách tự hoc, tự đọc tài liệu Giáo viên: Đỗ Thị Thắm Trường TH & THCS Đông Phú SKKN: Ứng dụng định lý Vi-ét việc giải số toán thường gặp cấp THCS _ Trong đề thi vào lớp 10 THPT năm gần làm dạng tốn sách giáo khoa khơng đủ để em đạt điểm cao, toán phương trình bậc hai có sử dụng tới hệ thứcVi-ét xuất phổ biến Năm học 2017 – 2018, tiến hành khảo sát 38 học sinh lớp trường TH&THCS Đông Phú sau học xong hệ thức Vi-et ứng dụng với câu hỏi sau: Câu 1: Khơng giải phương trình tính tổng tích nghiệm có phương trình sau: ( Bài 29 trang 54- SGK) a) 4x2 + 2x – = b) 9x2 – 12x + = Câu 2: Dùng điều kiện a + b + c = a – b + c = để tính nhẩm nghiệm phương trình sau: ( Bài 26 trang 53- SGK) a) 35x2 - 37x + = b) x2 – 49x - 50 = Câu 3: Cho phương trình x2 – 2mx + 2m -3 = a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với m b) Tìm GTNN biểu thức A = x12 + x22, x1, x2 hai nghiệm phương trình ( Sách đề kiểm tra toán – Tập NXB Đại học sư phạm)  Kết khảo sát: STT Câu Số học sinh làm Số học sinh làm sai 1a 28 10 1b 30 2a 27 11 2b 25 13 3a 33 3b 36 Qua kết khảo sát nhận thấy với kiến thức sách giáo khoa phần lớn em nắm Song câu phải vận dụng định lý Vi-ét vào toán mở rộng hầu hết em cịn lúng túng Xuất phát từ thực trạng trên, giáo viên trực tiếp giảng dạy mơn tốn lớp trường, tơi nhận thấy cần phải có đầu tư, tìm tịi đổi phương pháp dạy học học nói chung đặc biệt ứng dụng định lý Viét vào giải tốn nói riêng Cần có tài liêu tham khảo có tính hệ thống, dễ học, dễ hiểu cho học sinh giáo viên nên lựa chọn đề tài 2.3 CÁC GIẢI PHÁP: *Trước hết giáo viên dạy cho học sinh nắm kiến thức hệ thức Vi-et ứng dụng chương trình đại số lớp H thng kin thc c bn Định lý ViÐt: Giáo viên: Đỗ Thị Thắm Trường TH & THCS Đông Phú SKKN: Ứng dụng định lý Vi-ét việc giải số toán thường gặp cấp THCS _ NÕu x1, x2 hai nghiệm phơng trình ax2 + bx + c = (a  0) th×: b   x1  x  a   x x  c  a * HÖ quả: (trờng hợp đặc biệt) a) Nếu phơng trình ax2 + bx + c = (a  0) cã a + b + c = phơng trình có nghiệm là: x1 = là: x2 = c a nghiệm b) Nếu phơng trình ax2 + bx + c = (a  )cã a - b + c = phơng trình có nghiệm là: x1 = - c a nghiệm là: x2 = c) Nếu phơng tr×nh ax2 + bx + c = (a  0) cã nghiệm x1, x2 mà b   x1  x2  a m  n    x x  c m.n  a  Thì x1 = m; x2 = n x1 = n; x2 = m  u  v S  u.v P * Nếu có hai số u v thoả mãn điều kiện:  u, v hai nghiệm phương trình: x2- Sx + P = điều kiện để có hai số u, v là: S2 – 4P  *Sau giáo viên soạn dạng toán ứng dụng hệ thức Vi-et để giải Trong đề tài tơi trình bày 11 dạng tốn sau: DẠNG 1: KHƠNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, TÍNH TỔNG VÀ TÍCH CÁC NGHIỆM SỐ 1) Phương pháp giải: - Tính  chứng tỏ  0 để phương trình có nghiệm Giáo viên: Đỗ Thị Thắm Trường TH & THCS Đông Phú SKKN: Ứng dụng định lý Vi-ét việc giải số toán thường gặp cấp THCS _ - Áp dụng định lí Vi-et: b a S = x + x2 = - ; P = x1x2 = c a 2) Các ví dụ: Ví dụ 1: Khơng giải phương trình, tính tổng tích nghiệm ( có) phương trình sau: a) 4x2 + 2x – = b) 9x2 – 12x + = c) 5x2 + x + = d) 159x2 – 2x – = Bài giải: a) Phương trình 4x2 + 2x – = có a,c trái dấu nên  > suy phương trình có hai nghiệm phân biệt Áp dụng định lí Vi-et ta có: x1 + x2 = b 1 = a ; x1x2 = c 5 = a b)  , = 62 – 9.4 = Suy phương trình có nghiệm kép Áp dụng định lí Vi-et Ta có: x1 + x2 = 12  ; x1x2 = c)  = – 4.5.2 = -39 < 0: Phương trình vơ nghiệm d) Phương trình 4x2 + 2x – = có a,c trái dấu nên  ,>0 suy phương trình có hai nghiệm phân biệt Áp dụng định lí Vi-et ta có: x1 + x2 = 159 ; x1x2 = 159 Ví dụ 2:Tìm m để phương trình x2 – 2(m-1)x + m + = có nghiệm tính tổng tích nghiệm theo m Bài giải: Ta có: ' = (m - 1)2 - (m+ 5) = m2 - 2m + - m - = m2 -3m - = (m+1)(m- 4) Để phương trình có nghiệm ' ≥  (m+1)(m- 4) 0  m  m  -1 Áp dụng định lí Vi-et ta có: x1 + x2 = 2(m-1) ; x1x2 = m + Bài tập: Bài 1: Cho phương trình x2 - (m + 3)x + 2(m + 1) = (1) Tìm giá trị tham số m để phương trình có (1) có nghiệm tính tổng tích nghiệm theo m Bài 2: Cho phương trình mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = Giáo viên: Đỗ Thị Thắm Trường TH & THCS Đông Phú SKKN: Ứng dụng định lý Vi-ét việc giải số toán thường gặp cấp THCS _ Tìm giá trị tham số m để phương trình có (1) có nghiệm tính tổng tích nghiệm theo m DẠNG 2: ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VIÉT TRONG CÁC BÀI TỐN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH NHẨM NGHIỆM 1) Phương pháp giải: -Áp dụng định lí Vi-et ta có: b a x + x2 = - ; x1x2 = c a - Nhẩm x1 + x2 = m + n; x1x2 = m.n phương trình có nghiệm x1 = m; x2 = n Hoặc x1 = n; x2 = m c a - Nếu a + b + c = x1 = 1; x2 = - Nếu a - b + c = x1 = -1; x2 = - c a 2) Các ví dụ: VÝ dơ 1: Dùng điều kiện a + b + c = a - b + c = để tính nhẩm nghiệm phương trình sau: a) – 5x2 + 3x + = b) 2004x2 + 2005x + = c) (m+1)x2 + 3mx +2m – = d) (2m – 1)x2 – mx – m + = Bài giải: a) Ta có: a + b + c = -5 + + = nên phương trình có nghiệm: x1 = 1; x2 = - b) Ta có: a - b + c = 2004 – 2005 + = nên phương trình có nghiệm: x1 = -1; x2 = - 2004 c)Ta có: a - b + c = m + – 3m + 2m - = nên phương trình có nghiệm x1 = -1; x2 =  2m 2m  d) Ta có: a + b + c = 2m - - m – m + = nên phương trình có nghiệm x1 = 1; x2 = 1 m 2m  Ví dụ 2: Dùng hệ thức Vi-et để tính nhẩm nghiệm phương trình: a) x2 – 10x + 16 = b) x2 – 3x - = Bài giải: a) Áp dụng định lí Vi-et ta có: x1 + x2 = 10 = + ; x1x2 = 16 = 2.8 Nên phương trình có nghiệm x1 = 2; x2 = b) Áp dụng định lí Vi-et ta có: x1 + x2 = = -1 + ; x1x2 = -4 = -1.4 Giáo viên: Đỗ Thị Thắm Trường TH & THCS Đông Phú SKKN: Ứng dụng định lý Vi-ét việc giải số toán thường gặp cấp THCS _ Nên phương trình có nghiệm x1 = -1; x2 = Ví dụ 3: Phương trình x2 + 7x + m = có nghiệm Xác định số m tìm nghiệm cịn lại Bài giải: Vì phương trình x2 + 7x + m = có nghiệm x1 = Nên + + m =  m = - 10 Áp dụng định lí Vi-et ta có: x1x2 = m  10  10  x2 =  x2 = 3 3 Bài tập: Bài 1: Dùng điều kiện a + b + c = a - b + c = để tính nhẩm nghiệm phương trình sau: a) – 35x2 + 37x - = b) 9x2 + 200x + 191 = c) (2m+3)x2 + 3mx - 5m – = d) (3m – 1)x2 – mx – 2m + = Bài 2: Dùng hệ thức Vi-et để tính nhẩm nghiệm phương trình: a) x2 – 15x + 50 = b) x2 – x - 20 = Bài 3: Phương trình 0,1x2 - x + k = có nghiệm -1 Xác định số k tìm nghiệm lại DẠNG 3: ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VIÉT TRONG GIẢI TỐn TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG 1) Phương pháp giải: - Từ hệ thức cho trước x, y tìm tổng S = x + y, tích P = xy - x, y nghiệm phương trình X2 – SX + P = 2) Các ví dụ: Ví dụ 1: Tìm hai số u v trường hợp sau: a) u + v = 32, uv = 231 b) u + v = -8, uv = -105 c) u + v = , uv = d) u + v = 42 , uv = 441 Bài giải: a) u, v nghiệm phương trình X2 – 32X + 231 = Ta có: ' = 162 – 231 = 25>0; X1 = 16 + = 21; X2 = 16 – = 11 Vây u = 21; v = 11 u = 11; v = 21 b) u, v nghiệm phương trình X2 + 8X - 105 = Ta có: ' = 16+105 = 121 >0; X1 = -4 + 11 = 7; X2 = - – 11 = -15 Vây u = 7; v = -15 u = -15; v = c) u, v nghiệm phương trình X2 – X +9 = Giáo viên: Đỗ Thị Thắm Trường TH & THCS Đông Phú SKKN: Ứng dụng định lý Vi-ét việc giải số toán thường gặp cấp THCS _ Ta có:  = – 36 = - 35 < nên khơng có giá trị u v thoả mãn điều kiện cho d) u, v nghiệm phương trình X2 – 42X + 441 = Ta có: ' = (-21)2 – 441 = ; X1 = X2 = 21 Vậy u = v = 21 3) Bài tập: Tìm hai số a b trường hợp sau: a) a + b = -42, ab = -400 b) a – b = , ab = 24 c) a+ b = , ab = 15 d) a + b = 14 , ab = 49 DẠNG 4: ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VIÉT TRONG GIẢI TỐN CĨ BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG GIỮA CÁC NGHIỆM X 1,X2 CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1) Phương pháp giải: * Biểu thức x1, x2 gọi đối xứng ta thay x1bởi x2 x2 x1 biểu thức khơng đổi * Biểu diễn biểu thức đối xứng qua S P (Tổng tích nghiệm số) Chẳng hạn: x12 + x22 = ( x1 + x2)2 - 2x1 x2 = S2 – 2P x13 + x23 = ( x1 + x2)3 - 3x1 x2 ( x1 + x2) = S3 – 3PS 1 x1  x S    x1 x x1 x P 2 x1 x x1  x S  2P    x2 x1 x1 x2 P * Từ hệ thức Vi-et tính S P thay vào biểu thức đối xứng 2) Ví dụ: Giả sử x1, x2 nghiệm phương trình : x2 +mx +1 = Tính giá trị biểu thức sau: a) x + x 2 x x b)  22 x2 x1 Bài giải: Ta có:  m  Để phương trình có nghiệm  0  m  0  m 2 Theo hệ thức Vi - et ta có: S = x1 + x2 = -m; P = x1x2 = a) Ta có: x13 + x23 = (x1 + x2)3 - 3x1 x2(x1 + x2) = S3 – 3PS = (-m)3 +3m Giáo viên: Đỗ Thị Thắm Trường TH & THCS Đông Phú SKKN: Ứng dụng định lý Vi-ét việc giải số toán thường gặp cấp THCS _ 2 2 x1 x  x  x2  x1 x2 x   x     S  P   b)  =    - x x =    x2 x1 P  x1    x2  x1 x2  = m4 - 4m2 + 3) Bài tập: Bài 1: Giả sử x1, x2 nghiệm phương trình: x2 - 2m x - =0 Tìm m để x12  x2  x1 x2 7 Bài 2: Tìm m để phương trình: x2 - (2m - 3)x + m2 - 2m + = có hai nghiệm x1, x2 x12 + x22 đạt giá trị nhỏ Bài 3: Giả sử x1, x2 nghiệm phương trình: x2 +2m x +4 =0 Xác định m cho x14  x2 32 DẠNG 5: ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VIÉT TRONG GIẢI TỐN TÌM HỆ THỨC GIỮA CÁC NGHIỆM X1, X2 CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI KHƠNG PHỤ THUỘC THAM SỐ 1) Phương pháp giải: - Tính  tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm:  0 - Từ hệ thức Vi-et tìm S, P theo tham số m; - Khử tham số m từ S, P ( tức hệ thức x 1, x2 ) không phụ thuộc tham số m 2) Các ví dụ: Ví dụ: Giả sử x1, x2 nghiệm phương trình: x2 - 2(m - 1)x + m2 - = Tìm hệ thức x1, x2 không phụ thuộc vào m Bài giải: 2 Ta có: ' = [-(m - 1)] - (m - 1) = -2 m + Để phương trình có nghiệm '   -2m +2  m  Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: Từ S = 2(m -1) suy m =  S 2( m  1)   P m  S 2 Thay vào P = m2 - ta có :  S 2 P=     4P = S2 + 4S   Vậy hệ thức cần tìm là:  x1  x2   4 x1  x2   x1 x2 0 3) Bài tập: Bài 1: Giả sử x1, x2 nghiệm phương trình: 10 Giáo viên: Đỗ Thị Thắm Trường TH & THCS Đông Phú SKKN: Ứng dụng định lý Vi-ét việc giải số toán thường gặp cấp THCS _ x2 - (m - 3)x + 2m +1 = Tìm hệ thức x1, x2 khơng phụ thuộc vào m Bài 2: Cho phương trình x2 - (m + 1)x + 2m - = (1) a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm x1, x2 phương trình, cho hệ thức khơng phụ thuộc vào m ( đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT tỉnh Thanh Hoá năm 2004 – 2005) c) DẠNG 6: ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VIÉT TRONG GIẢI TỐN TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ BÀI TOÁN THOẢ MÃN CÁC YÊU CẦU ĐẶT RA 1) Phương pháp giải: - Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm:   ( Hoặc  , 0 ) - Từ hệ thức cho hệ thức Vi-et giải nghiệm nghiệm x1, x2 thay vào phương trình thứ ba hệ để tìm tham số m; - Kiểm tra lại xem m có thoả mãn điều kiện có nghiệm khơng kết luận 2) Các ví dụ: Ví dụ1: Tìm giá trị m để nghiệm x1, x2 phương trình mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = thoả mãn điều kiện x12  x22 1 Bài giải: Điều kiện để phương trình có hai nghiệm (phân biệt nghiệm kép): m  ; ' ≥ ' = [-(m - 2)]2 - m(m - 3) = - m + '   m  Với  m  4, theo định lý Viét, nghiệm x ; x phương trình có liên hệ: x1 + x2 = m 2( m  2) ; x1.x2 = m m Do đó: = x12  x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 2(m  3) 4(m  2) 2 m m  m2 = 4m2 - 16m + 16 - 2m2 + 6m  m2 - 10m + 16 =  m = m = Giá trị m = không thoả mãn điều kiện  m  Vậy với m = x12  x22 = 11 Giáo viên: Đỗ Thị Thắm Trường TH & THCS Đông Phú SKKN: Ứng dụng định lý Vi-ét việc giải số toán thường gặp cấp THCS _ Ví dụ 2: Cho phương trình x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = Tìm m để 1 x  x2 phương trình có nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mãn x  x  Bài giải:   Δ '   (m 2)   (m2  2m 3)  0(1)  (2) Ta phải có:  x1.x2 0  1 x1  x2 (3)     x1 x2 (1)  ' = m2 - 4m + - m2 - 2m + = - 6m + >  m < (2)  m2 + 2m -   (m - 1)(m + 3)   m  1; m  - (3)  x1  x2 x1  x2   ( x1  x2 )(5  x1.x2 ) 0 x1 x2  Trường hợp: x1 + x2 =  x1 = - x2  m = không thoả mãn điều kiện (1)  Trường hợp: - x1.x2 =  x1.x2 = Cho ta: m2 + 2m - =  (m - 2)(m + 4) =  m (loại) m (thoảmÃnĐ K) Vậy với m = - phương trình cho có nghiệm x 1, x2 phân biệt thoả mãn 1 x  x2   x1 x Bài tập: Bài 1: Cho phương trình x2 - (m + 3)x + 2(m + 1) = (1) Tìm giá trị tham số m để phương trình có (1) có nghiệm x1 = 2x2 Bài 2: Cho phương trình mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = a) Tìm m để phương trình có nghiệm b) Tìm m để phương trình có nghiệm trái dấu Khi hai nghiệm, nghiệm có giá trị tuyệt đối lớn hơn? c) Xác định m để nghiệm x1; x2 phương trình thoả mãn: x1 + 4x2 = DẠNG 7: ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VIÉT TRONG BÀI TOÁN LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN KHI BIẾT HAI NGHIỆM CỦA NĨ 1) Phương pháp giải: - Tính tổng hai nghiệm S = x1 + x2 tích hai nghiệm P = x1x2 12 Giáo viên: Đỗ Thị Thắm Trường TH & THCS Đông Phú SKKN: Ứng dụng định lý Vi-ét việc giải số toán thường gặp cấp THCS _ - Phương trình có hai nghiệm x1 , x2 : X2 – SX + P = 2) C¸c vÝ dơ: Ví dụ 1: Cho x1 = 1 ; x2 = 1 Lập phương trình bậc hai có nghiệm là: x1; x2 1 Ta có: x1 = ; x2 = = 1 1 1  1    3 1 1 = 1 2 Nên x1.x2 = x1 + x2 = 1 + = 1 3 Vậy phương trình bậc hai có nghiệm: x1; x2 x2 - x+ =0 Hay 2x2 - x + = Ví dụ 2: Cho phương trình: x2 + 5x - = (1) Khơng giải phương trình (1), lập phương trình bậc hai có nghiệm luỹ thừa bậc bốn nghiệm phương trình (1) Cách giải: Gọi x1; x2 nghiệm phương trình cho theo hệ thức viét, ta có: x1 + x2 = -5; x1.x2 = - Gọi y1; y2 nghiệm phương trình phải lập, ta có: y1 + y2 = x14  x24 y1 y2 = x14 x24 Ta có: x14  x24 = (x12 + x22)2 - 2x12.x22 = 729 – = 727 x14.x24 = (x1.x2)4 = (- 1)4 = Vậy phương trình cần lập là: y2 - 727y + = Ví dụ 3: Tìm hệ số p q phương trình: x + px + q = cho  x1  x2 5 hai nghiệm x1; x2 phương trình thoả mãn hệ:  x3 x3 35 Các giải: iu kin  = p2 - 4q  (*) ta có: x1 + x2 = -p; x1.x2 = q Từ điều kiện:   x1  x2  25  x1  x2 5   3 2  x1  x2 35   x1  x2  x1  x1 x  x 35   13 Giáo viên: Đỗ Thị Thắm Trường TH & THCS Đông Phú SKKN: Ứng dụng định lý Vi-ét việc giải số toán thường gặp cấp THCS _   x1  x2   4x1x2 25     x1  x2   x1 x2  x1 x 35    p1  q 25   p  q 7 Giải hệ tìm được: p = 1; q = - p = - 1; q = - Cả hai cặp giá trị thoả mãn (*) 3) Bài tập: 3 Bài 1: Lập phương trình bậc hai có nghiệm + Bài 2: Lập phương trình bậc hai thoả mãn điều kiện: x1 x2 k2  Có tích hai nghiệm: x1.x2 = x  + x  = k 4 DẠNG 8: ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VIÉT TRONG GIẢI TỐN CHỨNG MINH 1) Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho a, b nghiệm phương trình: x + px + = b, c nghiệm phương trình x2 + qx + = Chứng minh: (b - a)(b - c) = pq - Cách giải: a,b nghiệm phương trình: x2 + px + = b,c nghiệm phương trình: x2 + qx + = Theo định lý viét ta có:  a b - p  b  c - q    a.b1  b.c2 Do đó: (b – a)(b – c) = b2 + ac - pq = (- p)(- q) = (a + b)(b + c) = b2 + ac + Suy ra: pq - = b2 + ac +3 – = b2 + ac - Từ (1) (2) suy (b - a)(b - c) = pq - (đpcm) Vídụ 2: Cho số a,b,c thoả mãn điều kiện: a + b + c = - (1); a2 + b2 + c2 = Chứng số a, b, c thuộc đoạn     ;0 (1) (2) (2) biểu diễn trục số: Cách giải: Bình phương hai vế (1) được: a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = Do (2) nên: ab + bc + ca = (4 - 2): =  bc = - a(b + c) = - a(- - a) = a2 + 2a + Ta lại có: b + c = - (a + 2), b, c nghiệm phương trình: 14 Giáo viên: Đỗ Thị Thắm Trường TH & THCS Đông Phú SKKN: Ứng dụng định lý Vi-ét việc giải số toán thường gặp cấp THCS _ X2 + (a + 2)X + (a2 + 2a + 1) = (*) Để (*) có nghiệm ta phải có:  = (a+2)2 - 4(a2+2a+1)  a0 4 Chứng minh tương tự ta được: -  b  0; -  c  3  a(3a + 4)   - 2) Bài tập: Bài 1: Gọi a, b hai nghiệm phương trình bậc hai: x + px + = Gọi c, d hai nghiệm phương trình: y2 + qy + = Chứng minh hệ thức: (c-a)(a-b)(b-c)(b-d) = (p-q)2 Bài 2: Chứng minh viết số x = () 200 dạng thập phân, ta chữ số liền trước dấu phẩy 1, chữ số liền sau dấu phẩy DẠNG 9: ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ VIÉT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1) Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình: 5 x  5 x   x  =6  x x 1   x 1   Hướng dẫn: ĐKXĐ: {xR  x  - 1} 5 x   u  x x   5 x   x  x 1  Đặt:  u  ?   u. ? Tính: u, v, từ tính x Bài giải: ĐKXĐ: {x  R  x  - 1} 5 x   u  x x  Đặt:   x (*)   x  x 1   5 x  5 x   u   x x     x  x    u  5         u.  x  x . x   x   u. 6  x 1   x 1   u, v nghiệm phương trình:  = 25 - 24 = 1, x1 = 1 = 3, x2 - 5x + = x2 = 5 =2 u = v = u = v =  u 3 (*) trở thành:  2 Nếu:  x2 - 2x + = ' = - = - < 15 Giáo viên: Đỗ Thị Thắm Trường TH & THCS Đông Phú SKKN: Ứng dụng định lý Vi-ét việc giải số toán thường gặp cấp THCS _ Phương trình vơ nghiệm:  u 2 (*) trở thành: x2 - 3x + = 0, Suy ra: x1 = 1; x2 =    Nếu:  Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 1; x2 = Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:  x  y 11  x  y  yx 7 a)  b)  2  xy 31  xy  x y 12 Bài giải: a) x,y nghiệm phương trình: x2 - 11x +31 = =(-11)2 - 4.1.31 = 121 – 124 = - < Phương trình vơ nghiệm Vậy hệ phương trình cho vơ nghiệm b) Đặt x + y = S xy = P  S  P 7 Ta có hệ:   S.P12 Khi S P hai nghiệm phương trình: t2 - 7t + 12 = Giải phương trình t = t = + Nếu S = P = x, y nghiệm phương trình: u2 - 4u + =  u = u = Suy (x = 1; y = 3) (x = 3; y = 1) + Nếu S = P = x, y nghiệm phương trình: v2 -3v + = Phương trình vơ nghiệm  = - 16 = - < Vậy hệ cho có hai nghiệm số là: (x = 1; y = 3) (x = 3; y =1) 2) Bài tập: Bài 1: Giải phương trình: x3 + 9x2 + 18 + 28 = Bài2: Giải hệ phương trình sau:  x  y 3  x  y 9 a) b)  4  2  x  y 4  x  y 17 DẠNG 10: ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VIÉT VỚI BÀI TOÁN CỰC TRỊ: 1) Phương pháp giải: Áp dụng tính chất sau bất đẳng thức: Trong trường hợp ta ln phân tích C = A + m C = k – B ( Trong A,B biểu thức khơng âm) ta thấy: 16 Giáo viên: Đỗ Thị Thắm Trường TH & THCS Đông Phú SKKN: Ứng dụng định lý Vi-ét việc giải số toán thường gặp cấp THCS _ C m (Vỡ A 0 )  C = m  A 0 C k (Vỡ B 0 )  max C = k  B = Các ví dụ: Ví dụ 1: Gọi x1, x2 nghiệm phương trình: x2 - (2m - 1)x + m – = Tìm m để x12  x22 có giá trị nhỏ Bài giải: Xét:  = 4m2 - 4m + - 4m + = 4m2 - 8m + = 4(m - 1)2 + > Nên phương trình cho có hai nghiệm với m Theo định lý Viét ta có: x1 + x2 = 2m - 1; x1.x2 = m - 2  x12  x22 =  x1  x2   x1 x2 = (2m - 1)2 - 2(m - 2) 11 11 ) +  4 11 Dấu “=” xảy m = Vậy Min(x12 + x22) = m = 4 = 4m2 – 6m + = (2m - Ví dụ 2: Gọi x1; x2 nghiệm phương trình: 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + = Tìm giá trị lớn biểu thức: A =x1x2 - 2x1 - 2x2 Cách giải: Để phương trình cho có nghiệm thì: ' = (m + 1)2 - 2(m2 + 4m + 3) = - (m + 1)(m + 5)   -  m  - (*) Khi theo hệ thức Viét ta có: x1 + x2 = - m - x1 x2 = Do đó: A =  m  4m  m  8m   Ta có: m2+8m+7=(m + 1)(m + 7) với điều kiện (*) thì: (m + 1)(m + 7)  m  8m   (m  4) Suy ra: A = =  2 Dấu xảy (m + 4)2 = hay m = - Vậy A đạt giá trị lớn là: m = - (thoả mãn điều kiện (*)) 2 Bài tập: Bài 1: Gọi x1, x2 nghiệm phương trình x2 + 2(m - 2)x - 2m + = Tìm m để x12  x22 có giá trị nhỏ nhất? Bài 2: Cho phương trình: x2 - m + (m - 2)2 = 17 Giáo viên: Đỗ Thị Thắm Trường TH & THCS Đông Phú SKKN: Ứng dụng định lý Vi-ét việc giải số toán thường gặp cấp THCS _ Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: A = x1x2 + 2x1 + 2x2 DẠNG 11: ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VIÉT TRONG GIẢI TOÁN DẤU NGHIỆM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1) Phương pháp giải: Cho phương trình bâc hai: ax2 +bx + c = 0, (a 0) * Phương trình có hai nghiệm trái dấu  P P 0  m 1    3) Bài tập:Cho phương trình: x2 - 2(m - 1)x + m2 -3m = (m tham số) Định m để phương trình : a) Có hai nghiệm trái dấu; b) Có nghiệm âm; c) Có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại; 2.4 HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỐI VỚI HOẠT ĐỘNG GIÁO DỤC Qua thực tế giảng dạy mơn Tốn lớp năm qua, thân vận dụng ứng dụng hệ thức Vi-et giải toán để giảng 18 Giáo viên: Đỗ Thị Thắm Trường TH & THCS Đông Phú SKKN: Ứng dụng định lý Vi-ét việc giải số toán thường gặp cấp THCS _ dạy học sinh khối ôn thi vào lớp 10 THPT Đặc biệt qua nghiên cứu sâu vào đề tài nhận thấy đạt đạt số kết quả: Đối với chất lượng giảng dạy giáo dục thân, đồng nghiệp, việc vận dụng ứng dụng Định lý Viet việc giải toán nâng cao hiệu giáo dục cho HS lớp 9, giúp em thi khảo sát cuối năm thi vào lớp 10 THPT đạt kết tốt Đối với học sinh, Sau hướng dẫn tỉ mỉ cách làm dạng toán, em tỏ hứng thú học mơn Tốn hơn, em hăng hái luyện tập,tìm hiểu cách làm tập nghiêm túc học tập cách có hiệu Phần lớn em nắm vững nội dung học, có ý thức học tập; khắc sâu kiến thức cách giải dạng toán giáo viên hướng dẫn, lớp học sôi học sinh chủ động lĩnh hội kiến thức - KẾT KUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận: Ứng dụng định lý Viét việc giải toán vấn đề lớn, đòi hỏi người học phải có tính sáng tạo, có tư tốt kỹ vận dụng lý thuyết cách linh hoạt Chính lẽ đó, q trình giảng dạy, người giáo viên cần chuẩn bị chu đáo, tỉ mỉ, rõ ràng thể loại tập cụ thể để học sinh hiểu sâu chất cách vận dụng Xây dựng cho em niềm đam mê, hứng thú học tập, tôn trọng suy nghĩ, ý kiến sáng tạo em Cần thường xuyên kiểm tra, đánh giá kết học tập, bổ sung thiếu sót kịp thời, dạy sâu, dạy kết hợp nhuần nhuyễn, lôgic khác Đa số em học sinh giỏi muốn mở rộng, nâng cao kiến thức em cách nào, đọc sách tốt sách tham khảo có nhiều loại.Vì giáo viên cần nghiên cứu tìm cách hướng dẫn học sinh cách tự học nhà, cách chọn sách tham khảo,… Nghiên cứu đề tài “ Ứng dụng định lý Viét việc giải số toán thường gặp cấp THCS” khơng giúp cho học sinh u thích học mơn tốn, giúp em có thêm kiến thức, biết ứng dụng hệ thức Vi-et vào giải toán bậc hai, để em thêm tự tin kỳ thi, mà sở giúp cho thân có thêm kinh nghiệm giảng dạy 3.2 Kiến nghị: Để đảm bảo cho việc dạy hệ thức Vi-et mơn Tốn lớp đạt hiệu cao, tơi xin có số kiến nghị với đồng nghiệp, với Ban giám hiệu nhà trường TH & THCS Đông Phú, Phịng GDĐT Đơng Sơn sau: - Giáo viên giảng dạy mơn Tốn cần sâu nghiên cứu tìm hiểu ứng dụng định lý Vi-et giải tốn, trang bị cho kiến thức chắn để chủ động việc ôn tập, ôn thi cho học sinh, bồi dưỡng học sinh giỏi 19 Giáo viên: Đỗ Thị Thắm Trường TH & THCS Đông Phú SKKN: Ứng dụng định lý Vi-ét việc giải số toán thường gặp cấp THCS _ - Phân loại dạng toán biết lựa chọn dạng phù hợp với đối tượng học sinh phù hợp với kỳ thi để giảng dạy cho em - Tổ tự nhiên nhà trường nên đưa chuyên đề vào sinh hoạt chuyên môn để giáo viên giúp đỡ lẫn giảng dạy - Các giáo viên dạy Toán hướng dẫn học sinh cách chọn mua sách tham khảo phù hơp - Nhà trường, Phòng GD&ĐT tạo điều kiện để giáo viên bôi dưỡng, nâng cao kiến thức cho học sinh Trên số kinh nghiệm dạy hệ thức Vi-ét lớp Mặc dù cố gắng thực đề tài, song khơng thể tránh khỏi thiếu sót cấu trúc, ngôn ngữ kiến thức khoa học Vì vậy, tơi mong quan tâm đồng chí, đồng nghiệp góp ý kiến chân thành để đề tài hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 10 tháng năm 2019 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép người khác (Ký ghi rõ họ tên) Đỗ Thị Thắm 20 Giáo viên: Đỗ Thị Thắm Trường TH & THCS Đông Phú SKKN: Ứng dụng định lý Vi-ét việc giải số toán thường gặp cấp THCS _ c a TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.SGK Toán tập 2 Sách giáo viên Toán tập 3.Sách tập Toán tập 4.Các dạng toán phương pháp giải Toán tập NXB giáo dục ( Tác giả: Tơn thân – Vũ Hữu Bình - Nguyễn Vũ Thanh – Bùi Văn Tuyên) SKKN.Org Toán học 247 com Đề kiểm tra Toán - Tập NXB Đại học sư phạm ( Tác giả: Trần Xuân Tiếp - Phạm Hoàng – Phan Hoàng Ngân) Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT mơn Tốn Năm học 2004 – 2005 Sở GD ĐT Thanh Hoá *** Đề tài SKKN Hội đồng Cấp phòng GD&ĐT Cấp Sở GD&ĐT cấp cao đánh giá đạt từ loại C trở lên: TT Tên đề tài SKKN Giải tốn cực trị hình học Một số ứng dụng định lý Vi-ét việc giải toán lớp Cấp đánh giá xếp loại (Phòng, Sở, Tỉnh ) Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) Năm học đánh giá xếp loại Sở GD& ĐT Thanh Hố Phịng GD&ĐT Đơng Sơn C 2001-2002 C 2017 - 2018 21 Giáo viên: Đỗ Thị Thắm Trường TH & THCS Đông Phú SKKN: Ứng dụng định lý Vi-ét việc giải số toán thường gặp cấp THCS _ 22 Giáo viên: Đỗ Thị Thắm Trường TH & THCS Đông Phú ... ngày 10 tháng năm 2019 Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép người khác (Ký ghi rõ họ tên) Đỗ Thị Thắm 20 Giáo viên: Đỗ Thị Thắm Trường TH & THCS Đông Phú SKKN: Ứng dụng định lý Vi-ét việc giải... Năm học 2004 – 2005 Sở GD ĐT Thanh Hoá *** Đề tài SKKN Hội đồng Cấp phòng GD&ĐT Cấp Sở GD&ĐT cấp cao đánh giá đạt từ loại C trở lên: TT Tên đề tài SKKN Giải tốn cực trị hình học Một số ứng dụng... khảo em chưa biết cách tự hoc, tự đọc tài liệu Giáo viên: Đỗ Thị Thắm Trường TH & THCS Đông Phú SKKN: Ứng dụng định lý Vi-ét việc giải số toán thường gặp cấp THCS