de hoc sinh gioi huyen toan 9 nam 2013 2014 phong gddt nho quan ninh binh

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP THCS Năm học 2013 – 2014 MƠN: TỐN UBND HUYỆN NHO QUAN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 06 câu, 01 trang Câu (3 điểm) a) Rút gọn biểu thức: 1  3 3 b) Cho biết a =  b =  Tính giá trị biểu thức: P = a + b – ab c) Rút gọn biểu thức : Q  2 3 6 84 2 3 Câu (4 im) a) Giải phơng trình: x x  b) So sánh  13  1 c) Tìm số tự nhiên n cho số sau số phương: n(n+3) Câu (4 điểm) Cho hai đường thẳng y = + 2x y = - x a Tìm toạ độ giao điểm M hai đường thẳng b Gọi giao điểm hai đường thẳng với trục hoành theo thứ tự A B Tính diện tích tam giác MAB Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 3x + 5y = 345 Câu (3,5 điểm) Cho biểu thức P = x x 3 ( x  1)( x  3)  2( x  3) x 1  x3 x 3 (với x0; x 9) a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị P x = 14 - c) Tìm giá trị nhỏ P Câu (4,0 điểm) Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R tia tiếp tuyến Ax phía với nửa đường trịn AB Từ điểm M Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C tiếp điểm) AC cắt OM E; MB cắt nửa đường tròn (O) D (D khác B) a) Chứng minh: AMDE tứ giác nội tiếp đường tròn b) Chứng minh: MA2 = MD.MB c) Vẽ CH vng góc với AB (H  AB) Chứng minh MB qua trung điểm CH Câu (1,5 điểm) Cho số thực a , b , c ,d thỏa mãn điều kiện: ac  2.(b+d) Chứng minh có bất đẳng thức sau sai: a  4b , c  4d & PHÒNG GD&ĐT NHO QUAN HDC ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP THCS Năm học 2013 – 2014 MƠN: TỐN (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Câu Đáp án a (1.0 điểm)     Điểm  0.5 3  3 1     3 3 3 3   0.5 b (1 điểm) Ta có: a + b = (  ) + (  ) = (3.0 điểm) 0.5 a.b = (  )(  = Suy P = c (1 điểm) Q   2.3  2.4   2 3  0.5  2 3   2 3 2 3   1 a (1.5 điểm)  2x    x  2x    x  2x    5  x  2 x     x  x    11 4 x  27 x  44   x  4; x     11 x (4.0 điểm) 0.5 0.75 0.25 b (1.0 điểm)  13    (2  1)     0.75 Vậy hai số 0.25 c (1.5 điểm) Đặt n(n+3) = a2 (n  N)  n2 + 3n = a2  4n2 + 12n = 4a2  (4n2 + 12n + 9) – = 4a2  (2n + 3) - 4a2 =  (2n + + 2a)(2n + – 2a)= Nhận xét thấy 2n + + 2a > 2n + – 2a chúng số nguyên dương, nên ta viết (2n + + 2a)(2n + – 2a) = 9.1  2n + + 2a =  n=1 a=2 2n + – 2a =  0.75 0.25 0.5 (2.5 điểm) a Toạ độ giao điểm hai đờng thẳng l nghiƯm cđa hƯ: 2 x  y  6   x  y   x  1 y 0.75 Toạ độ điểm M(-1; 4) 0.25 b Vẽ hai đờng thẳng 2x-y=-6 v x+y=3 hệ trục toạ độ S MAB MH AB (đơn vị di) MH  0.5 M AB    (đơn vị di) (4,0 im) A S MAB 4.6 12 (đơn vị diện tích) -3 H -2 -1 O 1 B 0.5 0.5 (1.5 điểm) Ta có 3x2 = -5y2 + 345 3x2 = 5(69 – y2) Ta thấy vế phải chia hết cho vế trái chia hết cho  3x chia hết cho => x2 chia hết cho => x chia hết cho Mà x  10 nên x= x= 10 * Nếu x = ta có 52 = -5y2+345  5y2 = 270 =>y = 54 không thỏa mãn * Nếu x = 10 => 3.102 +5y2 = 345 5y2 = 45 => y = thỏa mãn Vậy x = 10 ; y = nghiệm hệ phương trình 5 a) P = x x 3  ( x  1)( x  3) 2( x  3) x 1 x 3  x 3 = = x x   2( x  3)  ( x  3)( x  1) x x   x  12 x  18  x  x  x  0,5 ( x  3)( x  1) = (3.5 điểm) 0,5 ( x  3)( x  1) x x  x  x  24 x( x  8)  3( x  8) = ( x  3)( x  1) ( x  3)( x  1) b) x = 14 - = ( )2 - 2.3 + = ( - 3)2  Khi ®ã P = c) P = 14   x8 x 1 3 1  x 1 x 1 =  22  = 4 x ( áp dụng BĐT CôSi cho số dơng Dấu"=" xảy x x 1 x =3- x8 x 1 58  11 x 1 =  0,5 0,5 x 1 x  1; 0,5 x 1 x 1 22 924 0,5 )  x = ( tháa m·n ®iỊu kiƯn) VËy P = 4, đạt đợc x = 0,5 x N C M (4.0 điểm) D E A I H O B a) (1,5 điểm) AB  ADB  900 C  (O; )   ADM  900 (1) Lại có: OA = OC = R; MA = MC (tính chất tiếp tuyến) 0.5  Suy OM đường trung trực AC  AEM  900 (2) Từ (1) (2) suy MADE tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính MA 0,5 0,5 b) (1.0 điểm) Xét ∆MAB vng A có AD  MB, suy ra: MA2 = MB.MD (hệ thức lượng tam giác vuông) c) (1.5 điểm) Kéo dài BC cắt Ax N, ta có C  (O; AB )   ACN  900 , suy ∆ACN vng C Lại có MC = MA nên suy MC = MN, MA = MN (5) 0.5 Mặt khác ta có CH // NA (cùng vng góc với AB) nên theo định lí Ta-lét IC IH  BI     (6) với I giao điểm CH MB MN MA  BM  Từ (5) (6) suy IC = IH hay MB qua trung điểm CH 0,5 0,5 (1.5 điểm) (1.5 điểm) Giả sử bất đẳng thức : a  4b , c  4d cộng vế ta a  c  4(b  d ) (1) 0,25đ 0,25đ Theo giả thiết ta có 4(b+d)  2ac (2) 2 Từ (1) (2)  a  c  2ac hay a  c   (vô lý) 0,5đ 2 Vậy bất đẳng thức a  4b c  4d có bất đẳng thức sai 0,5đ Chú ý: Học sinh làm đến đâu giám khảo cho điểm đến đó, tương ứng với thang điểm HS trình bày theo cách khác mà giám khảo cho điểm tương ứng với thang điểm Trong trường hợp mà hướng làm HS kết đến cuối sai sót thi giám khảo trao đổi với tổ chấm để giải Tổng điểm thi không làm tròn -Hết - ...PHÒNG GD&ĐT NHO QUAN HDC ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP THCS Năm học 2013 – 2014 MƠN: TỐN (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Câu Đáp án a (1.0 điểm) ... 1; 0,5 x 1 x 1 22 9? ??24 0,5 )  x = ( tháa m·n ®iỊu kiƯn) VËy P = 4, đạt đợc x = 0,5 x N C M (4.0 điểm) D E A I H O B a) (1,5 điểm) AB  ADB  90 0 C  (O; )   ADM  90 0 (1) Lại có: OA =... 4a2  (4n2 + 12n + 9) – = 4a2  (2n + 3) - 4a2 =  (2n + + 2a)(2n + – 2a)= Nhận xét thấy 2n + + 2a > 2n + – 2a chúng số nguyên dương, nên ta viết (2n + + 2a)(2n + – 2a) = 9. 1  2n + + 2a = 