chuyen de he phuong trinh on thi vao lop 10

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH I HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 1: a) Một hệ phương trình ẩn x, y gọi hệ phương trình đối xứng loại phương trình ta đổi vai trị x, y cho phương trình khơng đổi b) Tính chất Nếu ( x0 , y0 ) nghiệm hệ ( y0 , x0 ) nghiệm S = x + y c) Cách giải: Đặt  điều kiện S ≥ P quy hệ phương P = x y  S , trình ẩn P Chú ý: Trong số hệ phương trình đơi tính đối xứng thể phương trình Ta cần dựa vào phương trình để tìm quan hệ S , P từ suy qua hệ x, y Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:  x + y + xy = a)  3 x + y = b)  x + y = 19  ( x + y ) ( + xy ) = ( 2 ( x + y ) =  c)   x + y = x y + xy Giải: THCS.TOANMATH.com )  x + y − xy = d)   x + + y + = S = x + y a) Đặt  điều kiện S ≥ P hệ phương trình cho trở P = x y  thành: 2−S  P =   S + P = 2  ⇔   S  S − − 3S ÷ =  S ( S − 3P ) =    ⇒ 2S + 3S − 6S − 16 = ⇔ ( S − ) ( S + S + ) = ⇔ S = ⇒ P = Suy x, y hai nghiệm phương trình: X − X = ⇔ X = 0, X = x = x = ∨  y = y = S = x + y b) Đặt  điều kiện S ≥ P hệ phương trình cho trở P = x y  thành:  S ( S − 3P ) = 19  SP = −8S S =  SP = −8S ⇔ ⇔ ⇔   P = −6  S + 24S − 25 =  S − ( − 8S ) = 19  S ( + P ) = Suy x, y hai nghiệm phương trình: X − X − = ⇔ X = 3; X = −2 Vậy hệ cho có hai cặp nghiệm ( x; y ) = ( −2;3) , ( 3; −2 ) c) Đặt a = x , b = y hệ cho trở thành:  ( a + b3 ) = ( a 2b + b a )   a + b = THCS.TOANMATH.com S = a + b Đặt  điều kiện S ≥ P hệ cho trở thành P = ab   ( S − 3SP ) = 3SP S = 2 ( 36 − 3P ) = 3P ⇔ ⇔   S = P =  S = Suy a, b nghiệm phương trình: a = ⇒ x = a = ⇒ x = 64 X − X + = ⇔ X = 2; X = ⇒  ∨ b = ⇒ y = 64 b = ⇒ y = Vậy hệ cho có hai cặp nghiệm ( x; y ) = ( 8;64 ) , ( 64;8 )  xy ≥ S = x + y d) Điều kiện:  Đặt  điều kiện S ≥ P hệ x , y ≥ − P = x y   phương trình cho trở thành:   S − P =  S ≥ 3; P = ( S − 3) ⇔  2 S + ( S − 3) + = 14 − S  S + + S + P + = 16 3 ≤ S ≤ 14; P = ( S − 3) 3 ≤ S ≤ 14; P = ( S − 3) ⇔ ⇔  2 4 ( S + 8S + 10 ) = 196 − 28S + S  S + 30 S − 52 = S = ⇔ Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) = ( 3;3) P = ⇒ x = y = Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau:  x + y + xy = a)   x + y = THCS.TOANMATH.com xy  2 x + y + x + y = c)   x + y = x2 − y     ( x + y ) 1 + ÷ =   xy  b)   x + y 1 +  = )  x2 y2 ÷ (    d)  x y ( + y ) + x y ( + y ) + xy − 30 =  2  x y + x ( + y + y ) + y − 11 = Giải: a) Đặt x = a, y = b điều kiện a, b ≥  a + b + 2ab = Hệ phương trình trở thành:  Ta viết lại  a + b = hệ phương trình thành:  (a + b) − 4ab(a + b) + 2a 2b + 2ab =   a + b = S ≥ 4P S = a + b Đặt  điều kiện  hệ cho trở thành  P = ab S , P ≥  256 − 64 P − P + P = ⇔ S = P=4⇔a=b=2⇔ x= y =4   S = Ngồi ta giải ngắn gọn sau:  ( x + y ) + xy = 16    x + y + xy = 16 ⇔ ( x + y ) = x + y ⇔ ( x − y )2 = ⇔ x = y ⇔ x = ⇔ x = Vậy hệ có cặp nghiệm ( x; y ) = ( 4; ) THCS.TOANMATH.com b) Điều kiện: x + y > Biến đổi phương trình (1): x2 + y + xy xy = ⇔ ( x + y ) −1+ − xy = x+ y x+ y Đặt x + y = S , xy = P ta có phương trình: S + 2P − 2P −1 = S ⇔ S + P − 2SP − S = ⇔ S ( S − 1) − P ( S − 1) = ⇔ ( S − 1)( S + S − P ) = Vì S > P, S > suy S + S − P > Do S = Với x + y = thay vào (2) ta được: = ( − y ) − y ⇔ y = 0, y = 2 xy ⇔ x + y + = − x2 − y ⇔ x2 + y + x + y = x+ y (không thỏa mãn điều kiện) Xét x + y + = Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) = ( 1;0 ) , ( −2;3) c) Điều kiện: xy ≠ Hệ cho tương đương:  1  1 1  x + ÷+  y + ÷ = x + y + + =    x  y x y   ⇔  2 1  1  x2 + y2 + + =  + y+ ÷ =9   x + x ÷ x2 y y    THCS.TOANMATH.com  1  1  x + ÷+  y + ÷ = S x  y  Đặt   x +   y +  = P ÷ ÷  x  y  Hệ trở thành: S  S 1  x + = 2; y + =  x y − 2P = ⇔ S = 5, P = ⇔  1 =5   x + x = 3; y + y =   3±  x = 1; y = ⇔ Vậy hệ cho có nghiệm:  3± ; y =1 x =   3±   3±  ÷ ÷,  ;1÷ ÷     ( x; y ) = 1;  xy ( x + y ) ( x + y + xy ) = 30 d) Hệ tương đương với :   xy ( x + y ) + x + y + xy = 11 Đặt xy ( x + y ) = a; xy + x + y = b Ta thu hệ:   xy ( x + y ) =   ab = 30  a = 5; b =  xy + x + y = ⇔ ⇔   a + b = 11  a = 6; b =   xy ( x + y ) =   xy + x + y =    xy =   x = 2; y =  xy ( x + y ) = x + y = ⇔ ⇔ TH1:    xy =  x = 1; y =  xy + x + y =  ( L)   x + y = THCS.TOANMATH.com   xy =  − 21 + 21 ( L)  ;y= x = x + y =  xy ( x + y ) =  2 ⇔ ⇔ TH2:     xy =  xy + x + y = + 21 − 21  ;y= x =  2   x + y =  ± 21 m 21  ; Vậy hệ có nghiệm: ( x; y ) = ( 1; ) , ( 2;1) ,  ÷ ÷ 2   II) HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI Một hệ phương trình ẩn x, y gọi đối xứng loại hệ phương trình ta đổi vai trị x, y cho phương trình trở thành phương trình + Tính chất.: Nếu ( x0 ; y0 ) nghiệm hệ ( y0 ; x0 ) nghiệm + Phương pháp giải: Trừ vế với vế hai phương trình hệ ta phương x − y = trình có dạng ( x − y )  f ( x; y )  = ⇔   f ( x; y ) = Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:  x + x = y a)   y + y = x b) ( x − 1) ( y + ) = y ( x + 1)   2 ( y − 1) ( x + ) = x ( y + 1)  x + x − + x + = y c)   y + y − + y + = x Giải: THCS.TOANMATH.com d) a) Điều kiện: x, y ≥ Trừ hai phương trình hệ cho ta thu được: ( ) x2 + x − y + y = ( y − x ) ⇔ ( x− y   )( Vì ( x+ y x+ y ) ( x + y ) +1+ ( ) ( x + y ) +1+ 2( ) x+ y =0  ) x+ y >0 nên phương trình cho tương đương với: x = y Hay x2 − 2x + x = ⇔ x2 + x = 2x ⇔ x (  x =  x −1 x + x −1 = ⇔ x =  x = −  )( )  3− 3−  ; Vậy hệ có cặp nghiệm: ( x; y ) = ( 0;0 ) , ( 1;1) ,  ÷ ÷   2  xy + x − y − = yx + y b) Hệ cho ⇔  2  yx + y − x − = xy + x Trừ vế theo vế hai phương trình hệ ta được: xy ( y − x ) + ( x − y ) + ( x − y ) ( x + y ) = ⇔ ( x − y ) ( x + y − xy + ) = x = y ⇔  x + y − xy + = x = y = 2 + Nếu x = y thay vào hệ ta có: x − x + = ⇔  x = y = + Nếu x + y − xy + = ⇔ ( − x ) ( − y ) = 15 THCS.TOANMATH.com Mặt khác cộng hai phương trình hệ cho ta được: x + y − x − x + 12 = ⇔ ( x − ) + ( y − ) = Đặt 2 a = x − 5, b = y −  a + b =   a + b = ( a + b ) − 2ab = ab = −1 ⇔ ⇔ Ta có:   ( a + ) ( b + ) = 15 ab + ( a + b ) = −1  a + b = −8   ab = 31 2 a + b = ⇔ ( x; y ) = ( 3; ) , ( 2;3) Trường hợp 1:   ab = −1  a + b = −8 Trường hợp 2:  vô nghiệm  ab = 31 Vậy nghiệm hệ cho là: ( x; y ) = ( 2; ) , ( 3;3 ) , ( 2;3 ) , ( 3; ) c) 1 Điều kiện: x ≥ − ; y ≥ − 2 Để ý x = y = − nghiệm Ta xét trường hợp x + y ≠ −1 Trừ hai phương trình hệ cho ta thu được: ( ) x + 3x − + x + − y + y − + y + = y − x ⇔ ( x − y )  x + xy + y  + 4( x − y ) + 2( x − y) 2x +1 + y +1 =0   ⇔ ( x − y )  x + xy + y + + =0⇔ x= y x + + y +   THCS.TOANMATH.com Khi x = y xét phương trình: x3 + x − + x + = ⇔ x3 + x + x + − = x( x + 1) + 2x =0⇔ 2x +1 +1   x  x2 + + =0⇔ x=0 x + + 1  Tóm lại hệ phương trình có nghiệm nhất: x = y = HỆ CÓ YẾU TỐ ĐẲNG CẤP ĐẲNG CẤP + Là hệ chứa phương trình đẳng cấp + Hoặc phương trình hệ nhân chia cho tạo phương trình đẳng cấp Ta thường gặp dạng hệ hình thức như: ax + bxy + cy = d +  , ex + gxy + hy = k ax + bxy + cy = dx + ey , +  2 gx + hxy + ky = lx + my 2 ax + bxy + cy = d +  … 2 gx + hx y + kxy + ly = mx + ny Một số hệ phương trình tính đẳng cấp giấu biểu thức chứa đòi hỏi người giải cần tinh ý để phát hiện: Phương pháp chung để giải hệ dạng là: Từ phương trình hệ ta nhân chia cho để tạo phương trình đẳng cấp bậc n : THCS.TOANMATH.com Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là:  49 − 213 17 + 213   49 + 213 17 − 213  ( x; y ) =  ; ; ÷ ÷ ÷,  ÷ 38 38     40) Điều kiện: y ≠ Với y ≠ ta biến đổi hệ phương trình thành  x2  y − xy = xy    x − xy + y =  y Đặt a = x2 ; b = xy hệ phương trình trở thành y   2a − b = b 2ab − b = (3) ⇔  2 2a − 2ab + b = 2a (4)  2a − 2b + b =  a Cộng (3) (4) theo vế thu gọn ta  a = −1 a2 − a − = ⇔  a = TH 1: a = −1 ⇒ b + 2b + = ( VN)  x2  =  x = ⇒ TH : a = ⇒ b = ta có hệ phương trình  y  y =  xy =  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = ( 4; ) THCS.TOANMATH.com −1 ≤ x ≤ 1 − x ≥ ⇒ 41) Điều kiện:   y − y ≥ 0 ≤ y ≤ Đặt t = x + 1, ≤ t ≤ Lúc hệ pt thành: Cách 1: t − 3t + = y − y + t − 3t = y − y ⇒  2 2 2  x + − x − y − y = −2  x + − x − y − y = −2 Từ phương trình (1) ta suy ra: ( t − y ) ( t + ty + y − 3(t + y ) ) = Vì t + ty + y − 3(t + y ) = ⇔ t + ( y − 3) t + y − y = có ∆ = ( y − 3) − ( y − y ) = ( y − 3) ( y − − y ) = −3 ( y − 3) ( y + 1) < nên phương trình vơ nghiệm Vậy t = y ⇒ x + = y Thay x + = y vào phương trình (2) có: x − − x = −2 ⇔ − x + − x − = ⇔ ( )( − x2 −1  − x2 = ⇔ ⇒ x = ⇒ y =1  − x = −3 Vậy hệ pt có nghiệm ( x; y ) = ( 0;1) Cách 2: Phương trình (2) ⇔ x2 + − x2 + = y − y ⇔ f ( x ) = g ( y ) Xét f ( x ) miền [ −1;1] ta có ≤ f ( x ) ≤ Ta lại có: g ( y ) = y ( − y ) ≤ 13 y+2− y = y =1 Vậy f ( x ) ≥ g ( y ) Dấu xảy   x = ±1, x = THCS.TOANMATH.com ) − x2 + = Thay vào phương trình (1) có nghiệm ( x; y ) = ( 0;1) (thỏa mãn) Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = ( 0;1) 42) Vì x = khơng phải nghiệm hệ chia phương trình (1) cho x ta thu được: x3 − x + x − = x3 ( − y ) − y  1  1 ⇔ 1 − ÷ + 1 − ÷ =  x  x Đặt a = − ( 3− 2y) + 3− 2y , b = − y suy y a + a = b3 + b ⇔ ( a − b ) ( a + ab + b + 1) = ⇔ a = b Thay vào pt thứ ta được: ( ) ( x + −3 − ) 15 − x − = ⇔ ⇔ x=7⇒ y= x−7 + x+2 +3 x−7 ( 15 − x ) + 15 − x + =0 111 98 43) Dễ thấy xy = không thỏa mãn hệ   1  x − ÷ y − ÷ = x  y Với xy ≠ viết lại hệ dạng:   2  x + y + xy − x − y + 14 = Điều kiện để phương trình x + y + xy − x − y + 14 = (ẩn x)  7 có nghiệm ∆1 = ( y − ) − y + 24 y − 56 ≥ ⇔ y ∈ 1;   3 Điều kiện để phương trình x + y + xy − x − y + 14 = (ẩn y)  10  có nghiệm là: ∆ = ( x − ) − x + 28 x − 56 ≥ ⇔ x ∈  2;   3 THCS.TOANMATH.com đồng biến ( 0; +∞ ) nên t ⇒ f ( x ) f ( y ) ≥ f ( ) f ( 1) = Xét hàm số f ( t ) = 2t − x = Kết hợp với phương trình thứ ta được:  y =1 nghiệm hệ “Để chứng minh hàm số f ( x ) đồng biến miền xác định D ta làm sau: Xét hai giá trị x1 ≠ x2 ∈D Chứng minh: f ( x1 ) − f ( x2 ) > 0” x1 − x2 Ngược lại để chứng minh hàm số f ( x ) nghịch biến miền xác định D ta làm sau: Xét hai giá trị x1 ≠ x2 ∈D Chứng minh: f ( x1 ) − f ( x2 ) Ta có (1) tương đương ( x+ )( x2 + y + y + )( ) y2 +1 − y = y2 +1 − y ⇔ x + x + = − y + y + Từ ta rút x = − y Thay vào (2) ta được: y + y y2 −1 = 35 12 Bình phương hai vế (điều kiện y > ) Khi ta có: y + Đặt 2 y2 y4 − y2 + y2 y2  35   35  + = ÷ ⇔ + = ÷ 2 y −1 y − y −  12  y −  12  y2 y2 y2 −1 = t > Phương trình tương đương: THCS.TOANMATH.com 49  t = − ( L)  35   12 t + 2t −  ÷ = ⇔  ⇔  12  t = 25  12  y = ± 25 = ⇔ y − 12 y = ±  y2 Đối chiếu điều kiện lấy giá trị dương  5  5 Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) =  − ; ÷,  − ; ÷  4  3 49) Triển khai phương trình (1) (1) ⇔ x y + xy + + x + xy + y = ⇔ x y + x + y + = −8 xy ⇔ ( x + 1) ( y + 1) = −8 xy Nhận thấy x = 0, y = không nghiệm hệ Phương trình (1) là: Đặt x2 + y2 + = −8 x y x y = a; = b Hệ cho tương đương: x +1 y +1  x  =− a = −     x +1 2      x = −1  y = 1     b=   y +  a + b = −     y = ± ⇔ ⇔ ⇔   x  x = + ±  a =   = −8    x + =    ab   y = −1     y 1   b = −  =−   y +   2  Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = ( −1; − )( )( )( ) , −1; + , − 3; −1 , + 3; −1 THCS.TOANMATH.com 50) Ta có: ( x + y ) ≤ ( + 1) ( x + y 2 ) (x ⇒ + y2 ) x2 + y2 ) x + y ( ( x + y)2 ≥ ⇔ ≥ 2 Mặt khác ta có: ( x + 2y) x + xy + y ( x + y ) + ( x − y ) = ≥ 12 ⇒ x + 2y x + xy + y ≥ Từ suy x2 + y2 x + xy + y + ≥ x + 2y ≥ x + 2y Dấu xảy x = y ≥ Thay vào phương trình cịn lại ta thu được: x − x3 + x − x − = ⇔ ( x − 1) ( x + x + 1) = ⇔ x = ⇒ y =  1 Hệ có cặp nghiệm: ( x; y ) = 1; ÷  2 51) Cộng theo vế pt hệ ta được: 3 ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = (*) Từ suy số hạng tổng phải có số hạng khơng âm, khơng tính tổng quát ta giả sử: ( z − 4) ≥ ⇒ z ≥ Thế phương trình thứ hệ tương đương: x − 16 = 12 ( z − ) ≥ 12.2 ⇒ x ≥ Thế phương trình thứ hai hệ tương đương: THCS.TOANMATH.com y − 16 = 12 ( x − ) ≥ 12.22 ⇒ y ≥ Do từ ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = ( *) ⇒ x = y = z = thử lại thỏa mãn 3 Vậy ( x; y; z ) = ( 4; 4; ) nghiệm hệ 52) Phương trình (1) hệ có dạng: ( x2 + − y )( ) x2 + + y2 −1 = Do x + + y − > nên suy x + − y = ⇔ y = x + thay vào phương trình (2) ta có: ( x + 2) + ( x + 2) ( x + 2) + = − x − x ( −x) +2 ⇒ x + = − x ⇔ x = −1 ⇒ y = ( Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = −1; ) 53) Theo bất đẳng thức si ta có:  x x x+ y 1 x x+ y  = ≤  +  ÷ x + y x + 3y  x + y x + 3y   x + 3y ⇒  y 2y 11 2y    x + 3y = x + 3y ≤  + x + 3y ÷    x+ y 1 x 3 ≤  + ÷ x + 3y  x + y  x+ y 1 x 3 ≤  + ÷ y + 3x  x + y  Tương tự ta có:   1 x+ y  + ÷ ≤ Dấu xảy  x + 3y 3x + y ÷   x = y thay vào phương trình thứ ta được: x= y=4 Từ suy ( THCS.TOANMATH.com )  y − ( x + 4) y + y + x − x =   1− x + x + y + = 4( x − 1) + y −   1 − x ≥ 54) Điều kiện:  x + y + ≥ Phương trình thứ hệ viết lại thành: x − ( y + 4) x + y − y + y = ⇒ ∆ = ( y + 4) − 4(2 y − y + y ) = ( y − y + ) x = 2y Từ ta tính được:  x = y − 2y + Vì x = y − y + = ( y − 1) + > nên không thỏa mãn Thay x = y vào phương trình thứ hai ta được: 1− x + x + = 4x2 − x + 2 Ta có: x − x + 5 = (2 x − 1) + ≥ ; 2 1− x 1  + 2x + = − x + x + ≤  + 1÷( − x + x + 3) = 2 4  Vậy hệ có nghiệm dấu đồng thời xảy 1 Suy x = ; y = THCS.TOANMATH.com 55) Từ phương trình (2) ta suy x > Phương trình (1) viết lại sau: x + ( y − y − 1) x − y − y = ⇒ ∆ = ( y − y − 1) + ( y + y ) = ( y + y + 1)  x = − y2 < Từ tính được:  x = y +1 Thay y = x − vào phương trình ta thu được: x ( x + 4) = x + + x Chia phương trình cho x + ta có: x 2x = 1+ x +4 x +4 Đặt t = t = x  t − t + = ⇔ > ta có t = x2 +  Với t = ⇔ x − x + = vô nghiệm Với t = ⇔ x = ⇒ y =1 Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = ( 2;1) 56) Điều kiện: x ≥ Ta viết lại phương trình (1) thành: x + ( y + 2) x − y − y − y = Tính 2 x = 2y ∆ = ( y + ) + y + 16 y + 16 y = ( y + y + ) ⇒  x = −y − 2y − < THCS.TOANMATH.com Thay y = ( x vào phương trình ta thu được: ) x − + x + = x − x + 9(*) Theo bất đẳng thức Cosi ta có: ( ) 3 x − + x + = 1.( x − 1) ≤ ( + x − 1) = x 2 33 2x + = 33 x + 10 4.4.( x + 2) ≤ ( + + x + ) = 2 Từ suy ( ) x −1 + 2x + ≤ x + 10 x+ = 2x + 2 Mặt khác ta có: x − x + − (2 x + 5) = ( x − ) ≥ Từ suy phương trình (*) có nghiệm dấu đồng thời xảy x = Suy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 2;1) Mặt khác ta thấy x = 2; y = nghiệm hệ Vậy ( x; y ) = ( 2;3) nghiệm hệ 57) Đặt a = x + y + ,b = x − y ⇔ x+ y    + 3( x − y ) = 13 5 ( x + y ) + 2 ( x + y)    Hệ  nên ta có: ( x + y + ) + x − y =  x+ y 5(a − 2) + 3b2 = 13 5a + 3b = 23 ⇔  a + b = a + b = THCS.TOANMATH.com   a = − a = Giải hệ ta tìm   b = −3 b =  Từ ta tìm nghiệm hệ:  −1 ± ±   11    ; ,  ; − ÷,  ; −2 ÷ ( x; y ) =  ÷ ÷  4  2   58) Từ phương trình (2) ta suy xy ≥ ⇔ x, y dấu Từ phương trình (1) ta suy x, y ≥ Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: x − y + y − x2 ≤ x2 + − y y + − x2 + = Dấu xảy 2 x + y = Bài toán trở thành: Giải hệ phương trình: 2  x + y =  ( x + y ) − 12( x − 1)( y − 1) + xy = Ta có: ( x + y )3 − 12( x − 1)( y − 1) + xy − = ( x + y ) + 12( x + y ) − 21 − 12 xy + xy Đặt t = x + y ⇒ t ≤ ( x + y ) = ta thu ( x + y) − xy = ⇔ x + y = ( t + 1) Ta có: ( x + y )3 + 12( x + y ) − 21 − 12 xy + xy ≤ ( x + y ) + 12( x + y ) − 21 − 12 ( x + y) − ( x2 + y ) + ( x + y) = t − 6t + 12t − Ta có t − 6t + 12t − = ( t − ) ≤ Khi t = ⇒ x = y = nghiệm hệ THCS.TOANMATH.com 59) Từ phương trình hệ ta suy x, y ≥ Xét phương trình: x + y + ( x + y ) xy = xy ( x + y ) Ta có: x + y + ( x + y ) xy = ( x + y ) ( x + y + xy ) = ( x + y ) ( x + y ) + xy    Theo bất đẳng thức Cơ si ta có: ( x + y ) + xy ≥ 2 Suy x + y + ( x + y ) xy ≥ xy ( x + y ) có ( x + y ) = ( x + y ) + xy ≥ 2 (x ( x + y) ( x + y) xy = xy ( x + y ) Ta + y ) xy Suy x + y + ( x + y ) xy ≥ xy ( x + y ) Dấu xảy x = y Thay vào phương trình (2) ta thu được: x − x − = − x ⇔ x − − x = ( x − 3) ⇔ Suy x = hoặc: x − + x = 2x − + x = ( x − 3) Do x ≥ nên pt vơ 2 nghiệm Tóm lại: Hệ có nghiệm: x = y = THCS.TOANMATH.com ( x − 3) ... = 2 Ta có ∆ = ( y + ) + ( y + 13 y + ) = 25 y + 100 y + 100 = ( y + 10 ) 2 y + − (5 y + 10)  = − y −1 x = Từ tính được:   x = y + + (5 y + 10) = y +  Phần việc lại đơn giản b) Lấy phương... ta có: t = x + + − x ⇒ t = + ( x + 1)(4 − x) ⇒ t ≥ Mặt khác theo bất đẳng thức Cơ si ta có ( x + 1)(4 − x) ≤ ⇒ t ≤ 10 ⇔ t ∈  5; 10  THCS.TOANMATH.com  x − 12 x = ( y − 2)3 − 12( y − 2) b)... 1) ( x + y − ) = Vậy nghiệm hệ  −1 − 14 + 14   14 − − 14   10 17  ; ; , ( 1;1) , ( 1; −1) , ( −2; − ÷ ÷ ÷,  ÷,  − 11 ; 10 ÷ 5      ( x; y ) =  Ví dụ 7) Giải hệ phương trình với