Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 113 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH I HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 1: a) Một hệ phương trình ẩn x, y gọi hệ phương trình đối xứng loại phương trình ta đổi vai trị x, y cho phương trình khơng đổi b) Tính chất Nếu ( x0 , y0 ) nghiệm hệ ( y0 , x0 ) nghiệm S = x + y c) Cách giải: Đặt điều kiện S ≥ P quy hệ phương P = x y S , trình ẩn P Chú ý: Trong số hệ phương trình đơi tính đối xứng thể phương trình Ta cần dựa vào phương trình để tìm quan hệ S , P từ suy qua hệ x, y Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: x + y + xy = a) 3 x + y = b) x + y = 19 ( x + y ) ( + xy ) = ( 2 ( x + y ) = c) x + y = x y + xy Giải: THCS.TOANMATH.com ) x + y − xy = d) x + + y + = S = x + y a) Đặt điều kiện S ≥ P hệ phương trình cho trở P = x y thành: 2−S P = S + P = 2 ⇔ S S − − 3S ÷ = S ( S − 3P ) = ⇒ 2S + 3S − 6S − 16 = ⇔ ( S − ) ( S + S + ) = ⇔ S = ⇒ P = Suy x, y hai nghiệm phương trình: X − X = ⇔ X = 0, X = x = x = ∨ y = y = S = x + y b) Đặt điều kiện S ≥ P hệ phương trình cho trở P = x y thành: S ( S − 3P ) = 19 SP = −8S S = SP = −8S ⇔ ⇔ ⇔ P = −6 S + 24S − 25 = S − ( − 8S ) = 19 S ( + P ) = Suy x, y hai nghiệm phương trình: X − X − = ⇔ X = 3; X = −2 Vậy hệ cho có hai cặp nghiệm ( x; y ) = ( −2;3) , ( 3; −2 ) c) Đặt a = x , b = y hệ cho trở thành: ( a + b3 ) = ( a 2b + b a ) a + b = THCS.TOANMATH.com S = a + b Đặt điều kiện S ≥ P hệ cho trở thành P = ab ( S − 3SP ) = 3SP S = 2 ( 36 − 3P ) = 3P ⇔ ⇔ S = P = S = Suy a, b nghiệm phương trình: a = ⇒ x = a = ⇒ x = 64 X − X + = ⇔ X = 2; X = ⇒ ∨ b = ⇒ y = 64 b = ⇒ y = Vậy hệ cho có hai cặp nghiệm ( x; y ) = ( 8;64 ) , ( 64;8 ) xy ≥ S = x + y d) Điều kiện: Đặt điều kiện S ≥ P hệ x , y ≥ − P = x y phương trình cho trở thành: S − P = S ≥ 3; P = ( S − 3) ⇔ 2 S + ( S − 3) + = 14 − S S + + S + P + = 16 3 ≤ S ≤ 14; P = ( S − 3) 3 ≤ S ≤ 14; P = ( S − 3) ⇔ ⇔ 2 4 ( S + 8S + 10 ) = 196 − 28S + S S + 30 S − 52 = S = ⇔ Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) = ( 3;3) P = ⇒ x = y = Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau: x + y + xy = a) x + y = THCS.TOANMATH.com xy 2 x + y + x + y = c) x + y = x2 − y ( x + y ) 1 + ÷ = xy b) x + y 1 + = ) x2 y2 ÷ ( d) x y ( + y ) + x y ( + y ) + xy − 30 = 2 x y + x ( + y + y ) + y − 11 = Giải: a) Đặt x = a, y = b điều kiện a, b ≥ a + b + 2ab = Hệ phương trình trở thành: Ta viết lại a + b = hệ phương trình thành: (a + b) − 4ab(a + b) + 2a 2b + 2ab = a + b = S ≥ 4P S = a + b Đặt điều kiện hệ cho trở thành P = ab S , P ≥ 256 − 64 P − P + P = ⇔ S = P=4⇔a=b=2⇔ x= y =4 S = Ngồi ta giải ngắn gọn sau: ( x + y ) + xy = 16 x + y + xy = 16 ⇔ ( x + y ) = x + y ⇔ ( x − y )2 = ⇔ x = y ⇔ x = ⇔ x = Vậy hệ có cặp nghiệm ( x; y ) = ( 4; ) THCS.TOANMATH.com b) Điều kiện: x + y > Biến đổi phương trình (1): x2 + y + xy xy = ⇔ ( x + y ) −1+ − xy = x+ y x+ y Đặt x + y = S , xy = P ta có phương trình: S + 2P − 2P −1 = S ⇔ S + P − 2SP − S = ⇔ S ( S − 1) − P ( S − 1) = ⇔ ( S − 1)( S + S − P ) = Vì S > P, S > suy S + S − P > Do S = Với x + y = thay vào (2) ta được: = ( − y ) − y ⇔ y = 0, y = 2 xy ⇔ x + y + = − x2 − y ⇔ x2 + y + x + y = x+ y (không thỏa mãn điều kiện) Xét x + y + = Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) = ( 1;0 ) , ( −2;3) c) Điều kiện: xy ≠ Hệ cho tương đương: 1 1 1 x + ÷+ y + ÷ = x + y + + = x y x y ⇔ 2 1 1 x2 + y2 + + = + y+ ÷ =9 x + x ÷ x2 y y THCS.TOANMATH.com 1 1 x + ÷+ y + ÷ = S x y Đặt x + y + = P ÷ ÷ x y Hệ trở thành: S S 1 x + = 2; y + = x y − 2P = ⇔ S = 5, P = ⇔ 1 =5 x + x = 3; y + y = 3± x = 1; y = ⇔ Vậy hệ cho có nghiệm: 3± ; y =1 x = 3± 3± ÷ ÷, ;1÷ ÷ ( x; y ) = 1; xy ( x + y ) ( x + y + xy ) = 30 d) Hệ tương đương với : xy ( x + y ) + x + y + xy = 11 Đặt xy ( x + y ) = a; xy + x + y = b Ta thu hệ: xy ( x + y ) = ab = 30 a = 5; b = xy + x + y = ⇔ ⇔ a + b = 11 a = 6; b = xy ( x + y ) = xy + x + y = xy = x = 2; y = xy ( x + y ) = x + y = ⇔ ⇔ TH1: xy = x = 1; y = xy + x + y = ( L) x + y = THCS.TOANMATH.com xy = − 21 + 21 ( L) ;y= x = x + y = xy ( x + y ) = 2 ⇔ ⇔ TH2: xy = xy + x + y = + 21 − 21 ;y= x = 2 x + y = ± 21 m 21 ; Vậy hệ có nghiệm: ( x; y ) = ( 1; ) , ( 2;1) , ÷ ÷ 2 II) HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI Một hệ phương trình ẩn x, y gọi đối xứng loại hệ phương trình ta đổi vai trị x, y cho phương trình trở thành phương trình + Tính chất.: Nếu ( x0 ; y0 ) nghiệm hệ ( y0 ; x0 ) nghiệm + Phương pháp giải: Trừ vế với vế hai phương trình hệ ta phương x − y = trình có dạng ( x − y ) f ( x; y ) = ⇔ f ( x; y ) = Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: x + x = y a) y + y = x b) ( x − 1) ( y + ) = y ( x + 1) 2 ( y − 1) ( x + ) = x ( y + 1) x + x − + x + = y c) y + y − + y + = x Giải: THCS.TOANMATH.com d) a) Điều kiện: x, y ≥ Trừ hai phương trình hệ cho ta thu được: ( ) x2 + x − y + y = ( y − x ) ⇔ ( x− y )( Vì ( x+ y x+ y ) ( x + y ) +1+ ( ) ( x + y ) +1+ 2( ) x+ y =0 ) x+ y >0 nên phương trình cho tương đương với: x = y Hay x2 − 2x + x = ⇔ x2 + x = 2x ⇔ x ( x = x −1 x + x −1 = ⇔ x = x = − )( ) 3− 3− ; Vậy hệ có cặp nghiệm: ( x; y ) = ( 0;0 ) , ( 1;1) , ÷ ÷ 2 xy + x − y − = yx + y b) Hệ cho ⇔ 2 yx + y − x − = xy + x Trừ vế theo vế hai phương trình hệ ta được: xy ( y − x ) + ( x − y ) + ( x − y ) ( x + y ) = ⇔ ( x − y ) ( x + y − xy + ) = x = y ⇔ x + y − xy + = x = y = 2 + Nếu x = y thay vào hệ ta có: x − x + = ⇔ x = y = + Nếu x + y − xy + = ⇔ ( − x ) ( − y ) = 15 THCS.TOANMATH.com Mặt khác cộng hai phương trình hệ cho ta được: x + y − x − x + 12 = ⇔ ( x − ) + ( y − ) = Đặt 2 a = x − 5, b = y − a + b = a + b = ( a + b ) − 2ab = ab = −1 ⇔ ⇔ Ta có: ( a + ) ( b + ) = 15 ab + ( a + b ) = −1 a + b = −8 ab = 31 2 a + b = ⇔ ( x; y ) = ( 3; ) , ( 2;3) Trường hợp 1: ab = −1 a + b = −8 Trường hợp 2: vô nghiệm ab = 31 Vậy nghiệm hệ cho là: ( x; y ) = ( 2; ) , ( 3;3 ) , ( 2;3 ) , ( 3; ) c) 1 Điều kiện: x ≥ − ; y ≥ − 2 Để ý x = y = − nghiệm Ta xét trường hợp x + y ≠ −1 Trừ hai phương trình hệ cho ta thu được: ( ) x + 3x − + x + − y + y − + y + = y − x ⇔ ( x − y ) x + xy + y + 4( x − y ) + 2( x − y) 2x +1 + y +1 =0 ⇔ ( x − y ) x + xy + y + + =0⇔ x= y x + + y + THCS.TOANMATH.com Khi x = y xét phương trình: x3 + x − + x + = ⇔ x3 + x + x + − = x( x + 1) + 2x =0⇔ 2x +1 +1 x x2 + + =0⇔ x=0 x + + 1 Tóm lại hệ phương trình có nghiệm nhất: x = y = HỆ CÓ YẾU TỐ ĐẲNG CẤP ĐẲNG CẤP + Là hệ chứa phương trình đẳng cấp + Hoặc phương trình hệ nhân chia cho tạo phương trình đẳng cấp Ta thường gặp dạng hệ hình thức như: ax + bxy + cy = d + , ex + gxy + hy = k ax + bxy + cy = dx + ey , + 2 gx + hxy + ky = lx + my 2 ax + bxy + cy = d + … 2 gx + hx y + kxy + ly = mx + ny Một số hệ phương trình tính đẳng cấp giấu biểu thức chứa đòi hỏi người giải cần tinh ý để phát hiện: Phương pháp chung để giải hệ dạng là: Từ phương trình hệ ta nhân chia cho để tạo phương trình đẳng cấp bậc n : THCS.TOANMATH.com Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là: 49 − 213 17 + 213 49 + 213 17 − 213 ( x; y ) = ; ; ÷ ÷ ÷, ÷ 38 38 40) Điều kiện: y ≠ Với y ≠ ta biến đổi hệ phương trình thành x2 y − xy = xy x − xy + y = y Đặt a = x2 ; b = xy hệ phương trình trở thành y 2a − b = b 2ab − b = (3) ⇔ 2 2a − 2ab + b = 2a (4) 2a − 2b + b = a Cộng (3) (4) theo vế thu gọn ta a = −1 a2 − a − = ⇔ a = TH 1: a = −1 ⇒ b + 2b + = ( VN) x2 = x = ⇒ TH : a = ⇒ b = ta có hệ phương trình y y = xy = Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = ( 4; ) THCS.TOANMATH.com −1 ≤ x ≤ 1 − x ≥ ⇒ 41) Điều kiện: y − y ≥ 0 ≤ y ≤ Đặt t = x + 1, ≤ t ≤ Lúc hệ pt thành: Cách 1: t − 3t + = y − y + t − 3t = y − y ⇒ 2 2 2 x + − x − y − y = −2 x + − x − y − y = −2 Từ phương trình (1) ta suy ra: ( t − y ) ( t + ty + y − 3(t + y ) ) = Vì t + ty + y − 3(t + y ) = ⇔ t + ( y − 3) t + y − y = có ∆ = ( y − 3) − ( y − y ) = ( y − 3) ( y − − y ) = −3 ( y − 3) ( y + 1) < nên phương trình vơ nghiệm Vậy t = y ⇒ x + = y Thay x + = y vào phương trình (2) có: x − − x = −2 ⇔ − x + − x − = ⇔ ( )( − x2 −1 − x2 = ⇔ ⇒ x = ⇒ y =1 − x = −3 Vậy hệ pt có nghiệm ( x; y ) = ( 0;1) Cách 2: Phương trình (2) ⇔ x2 + − x2 + = y − y ⇔ f ( x ) = g ( y ) Xét f ( x ) miền [ −1;1] ta có ≤ f ( x ) ≤ Ta lại có: g ( y ) = y ( − y ) ≤ 13 y+2− y = y =1 Vậy f ( x ) ≥ g ( y ) Dấu xảy x = ±1, x = THCS.TOANMATH.com ) − x2 + = Thay vào phương trình (1) có nghiệm ( x; y ) = ( 0;1) (thỏa mãn) Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = ( 0;1) 42) Vì x = khơng phải nghiệm hệ chia phương trình (1) cho x ta thu được: x3 − x + x − = x3 ( − y ) − y 1 1 ⇔ 1 − ÷ + 1 − ÷ = x x Đặt a = − ( 3− 2y) + 3− 2y , b = − y suy y a + a = b3 + b ⇔ ( a − b ) ( a + ab + b + 1) = ⇔ a = b Thay vào pt thứ ta được: ( ) ( x + −3 − ) 15 − x − = ⇔ ⇔ x=7⇒ y= x−7 + x+2 +3 x−7 ( 15 − x ) + 15 − x + =0 111 98 43) Dễ thấy xy = không thỏa mãn hệ 1 x − ÷ y − ÷ = x y Với xy ≠ viết lại hệ dạng: 2 x + y + xy − x − y + 14 = Điều kiện để phương trình x + y + xy − x − y + 14 = (ẩn x) 7 có nghiệm ∆1 = ( y − ) − y + 24 y − 56 ≥ ⇔ y ∈ 1; 3 Điều kiện để phương trình x + y + xy − x − y + 14 = (ẩn y) 10 có nghiệm là: ∆ = ( x − ) − x + 28 x − 56 ≥ ⇔ x ∈ 2; 3 THCS.TOANMATH.com đồng biến ( 0; +∞ ) nên t ⇒ f ( x ) f ( y ) ≥ f ( ) f ( 1) = Xét hàm số f ( t ) = 2t − x = Kết hợp với phương trình thứ ta được: y =1 nghiệm hệ “Để chứng minh hàm số f ( x ) đồng biến miền xác định D ta làm sau: Xét hai giá trị x1 ≠ x2 ∈D Chứng minh: f ( x1 ) − f ( x2 ) > 0” x1 − x2 Ngược lại để chứng minh hàm số f ( x ) nghịch biến miền xác định D ta làm sau: Xét hai giá trị x1 ≠ x2 ∈D Chứng minh: f ( x1 ) − f ( x2 ) Ta có (1) tương đương ( x+ )( x2 + y + y + )( ) y2 +1 − y = y2 +1 − y ⇔ x + x + = − y + y + Từ ta rút x = − y Thay vào (2) ta được: y + y y2 −1 = 35 12 Bình phương hai vế (điều kiện y > ) Khi ta có: y + Đặt 2 y2 y4 − y2 + y2 y2 35 35 + = ÷ ⇔ + = ÷ 2 y −1 y − y − 12 y − 12 y2 y2 y2 −1 = t > Phương trình tương đương: THCS.TOANMATH.com 49 t = − ( L) 35 12 t + 2t − ÷ = ⇔ ⇔ 12 t = 25 12 y = ± 25 = ⇔ y − 12 y = ± y2 Đối chiếu điều kiện lấy giá trị dương 5 5 Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = − ; ÷, − ; ÷ 4 3 49) Triển khai phương trình (1) (1) ⇔ x y + xy + + x + xy + y = ⇔ x y + x + y + = −8 xy ⇔ ( x + 1) ( y + 1) = −8 xy Nhận thấy x = 0, y = không nghiệm hệ Phương trình (1) là: Đặt x2 + y2 + = −8 x y x y = a; = b Hệ cho tương đương: x +1 y +1 x =− a = − x +1 2 x = −1 y = 1 b= y + a + b = − y = ± ⇔ ⇔ ⇔ x x = + ± a = = −8 x + = ab y = −1 y 1 b = − =− y + 2 Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = ( −1; − )( )( )( ) , −1; + , − 3; −1 , + 3; −1 THCS.TOANMATH.com 50) Ta có: ( x + y ) ≤ ( + 1) ( x + y 2 ) (x ⇒ + y2 ) x2 + y2 ) x + y ( ( x + y)2 ≥ ⇔ ≥ 2 Mặt khác ta có: ( x + 2y) x + xy + y ( x + y ) + ( x − y ) = ≥ 12 ⇒ x + 2y x + xy + y ≥ Từ suy x2 + y2 x + xy + y + ≥ x + 2y ≥ x + 2y Dấu xảy x = y ≥ Thay vào phương trình cịn lại ta thu được: x − x3 + x − x − = ⇔ ( x − 1) ( x + x + 1) = ⇔ x = ⇒ y = 1 Hệ có cặp nghiệm: ( x; y ) = 1; ÷ 2 51) Cộng theo vế pt hệ ta được: 3 ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = (*) Từ suy số hạng tổng phải có số hạng khơng âm, khơng tính tổng quát ta giả sử: ( z − 4) ≥ ⇒ z ≥ Thế phương trình thứ hệ tương đương: x − 16 = 12 ( z − ) ≥ 12.2 ⇒ x ≥ Thế phương trình thứ hai hệ tương đương: THCS.TOANMATH.com y − 16 = 12 ( x − ) ≥ 12.22 ⇒ y ≥ Do từ ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = ( *) ⇒ x = y = z = thử lại thỏa mãn 3 Vậy ( x; y; z ) = ( 4; 4; ) nghiệm hệ 52) Phương trình (1) hệ có dạng: ( x2 + − y )( ) x2 + + y2 −1 = Do x + + y − > nên suy x + − y = ⇔ y = x + thay vào phương trình (2) ta có: ( x + 2) + ( x + 2) ( x + 2) + = − x − x ( −x) +2 ⇒ x + = − x ⇔ x = −1 ⇒ y = ( Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = −1; ) 53) Theo bất đẳng thức si ta có: x x x+ y 1 x x+ y = ≤ + ÷ x + y x + 3y x + y x + 3y x + 3y ⇒ y 2y 11 2y x + 3y = x + 3y ≤ + x + 3y ÷ x+ y 1 x 3 ≤ + ÷ x + 3y x + y x+ y 1 x 3 ≤ + ÷ y + 3x x + y Tương tự ta có: 1 x+ y + ÷ ≤ Dấu xảy x + 3y 3x + y ÷ x = y thay vào phương trình thứ ta được: x= y=4 Từ suy ( THCS.TOANMATH.com ) y − ( x + 4) y + y + x − x = 1− x + x + y + = 4( x − 1) + y − 1 − x ≥ 54) Điều kiện: x + y + ≥ Phương trình thứ hệ viết lại thành: x − ( y + 4) x + y − y + y = ⇒ ∆ = ( y + 4) − 4(2 y − y + y ) = ( y − y + ) x = 2y Từ ta tính được: x = y − 2y + Vì x = y − y + = ( y − 1) + > nên không thỏa mãn Thay x = y vào phương trình thứ hai ta được: 1− x + x + = 4x2 − x + 2 Ta có: x − x + 5 = (2 x − 1) + ≥ ; 2 1− x 1 + 2x + = − x + x + ≤ + 1÷( − x + x + 3) = 2 4 Vậy hệ có nghiệm dấu đồng thời xảy 1 Suy x = ; y = THCS.TOANMATH.com 55) Từ phương trình (2) ta suy x > Phương trình (1) viết lại sau: x + ( y − y − 1) x − y − y = ⇒ ∆ = ( y − y − 1) + ( y + y ) = ( y + y + 1) x = − y2 < Từ tính được: x = y +1 Thay y = x − vào phương trình ta thu được: x ( x + 4) = x + + x Chia phương trình cho x + ta có: x 2x = 1+ x +4 x +4 Đặt t = t = x t − t + = ⇔ > ta có t = x2 + Với t = ⇔ x − x + = vô nghiệm Với t = ⇔ x = ⇒ y =1 Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = ( 2;1) 56) Điều kiện: x ≥ Ta viết lại phương trình (1) thành: x + ( y + 2) x − y − y − y = Tính 2 x = 2y ∆ = ( y + ) + y + 16 y + 16 y = ( y + y + ) ⇒ x = −y − 2y − < THCS.TOANMATH.com Thay y = ( x vào phương trình ta thu được: ) x − + x + = x − x + 9(*) Theo bất đẳng thức Cosi ta có: ( ) 3 x − + x + = 1.( x − 1) ≤ ( + x − 1) = x 2 33 2x + = 33 x + 10 4.4.( x + 2) ≤ ( + + x + ) = 2 Từ suy ( ) x −1 + 2x + ≤ x + 10 x+ = 2x + 2 Mặt khác ta có: x − x + − (2 x + 5) = ( x − ) ≥ Từ suy phương trình (*) có nghiệm dấu đồng thời xảy x = Suy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 2;1) Mặt khác ta thấy x = 2; y = nghiệm hệ Vậy ( x; y ) = ( 2;3) nghiệm hệ 57) Đặt a = x + y + ,b = x − y ⇔ x+ y + 3( x − y ) = 13 5 ( x + y ) + 2 ( x + y) Hệ nên ta có: ( x + y + ) + x − y = x+ y 5(a − 2) + 3b2 = 13 5a + 3b = 23 ⇔ a + b = a + b = THCS.TOANMATH.com a = − a = Giải hệ ta tìm b = −3 b = Từ ta tìm nghiệm hệ: −1 ± ± 11 ; , ; − ÷, ; −2 ÷ ( x; y ) = ÷ ÷ 4 2 58) Từ phương trình (2) ta suy xy ≥ ⇔ x, y dấu Từ phương trình (1) ta suy x, y ≥ Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: x − y + y − x2 ≤ x2 + − y y + − x2 + = Dấu xảy 2 x + y = Bài toán trở thành: Giải hệ phương trình: 2 x + y = ( x + y ) − 12( x − 1)( y − 1) + xy = Ta có: ( x + y )3 − 12( x − 1)( y − 1) + xy − = ( x + y ) + 12( x + y ) − 21 − 12 xy + xy Đặt t = x + y ⇒ t ≤ ( x + y ) = ta thu ( x + y) − xy = ⇔ x + y = ( t + 1) Ta có: ( x + y )3 + 12( x + y ) − 21 − 12 xy + xy ≤ ( x + y ) + 12( x + y ) − 21 − 12 ( x + y) − ( x2 + y ) + ( x + y) = t − 6t + 12t − Ta có t − 6t + 12t − = ( t − ) ≤ Khi t = ⇒ x = y = nghiệm hệ THCS.TOANMATH.com 59) Từ phương trình hệ ta suy x, y ≥ Xét phương trình: x + y + ( x + y ) xy = xy ( x + y ) Ta có: x + y + ( x + y ) xy = ( x + y ) ( x + y + xy ) = ( x + y ) ( x + y ) + xy Theo bất đẳng thức Cơ si ta có: ( x + y ) + xy ≥ 2 Suy x + y + ( x + y ) xy ≥ xy ( x + y ) có ( x + y ) = ( x + y ) + xy ≥ 2 (x ( x + y) ( x + y) xy = xy ( x + y ) Ta + y ) xy Suy x + y + ( x + y ) xy ≥ xy ( x + y ) Dấu xảy x = y Thay vào phương trình (2) ta thu được: x − x − = − x ⇔ x − − x = ( x − 3) ⇔ Suy x = hoặc: x − + x = 2x − + x = ( x − 3) Do x ≥ nên pt vơ 2 nghiệm Tóm lại: Hệ có nghiệm: x = y = THCS.TOANMATH.com ( x − 3) ... = 2 Ta có ∆ = ( y + ) + ( y + 13 y + ) = 25 y + 100 y + 100 = ( y + 10 ) 2 y + − (5 y + 10) = − y −1 x = Từ tính được: x = y + + (5 y + 10) = y + Phần việc lại đơn giản b) Lấy phương... ta có: t = x + + − x ⇒ t = + ( x + 1)(4 − x) ⇒ t ≥ Mặt khác theo bất đẳng thức Cơ si ta có ( x + 1)(4 − x) ≤ ⇒ t ≤ 10 ⇔ t ∈ 5; 10 THCS.TOANMATH.com x − 12 x = ( y − 2)3 − 12( y − 2) b)... 1) ( x + y − ) = Vậy nghiệm hệ −1 − 14 + 14 14 − − 14 10 17 ; ; , ( 1;1) , ( 1; −1) , ( −2; − ÷ ÷ ÷, ÷, − 11 ; 10 ÷ 5 ( x; y ) = Ví dụ 7) Giải hệ phương trình với