(SKKN HAY NHẤT) một số GIẢI PHÁP GIÚP học SINH lớp 10 cơ bản DÙNG PHƯƠNG PHÁP đặt ẩn PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH vô tỷ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH LỚP 10 CƠ BẢN DÙNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ Người thực hiện: Lê Thị Bích Chức vụ: Giáo viên SKKN (thuộc lĩnh vực mơn): Tốn THANH HÓA, NĂM 2021 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM .2 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm .4 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề .4 2.3.1 Trang bị cho học sinh kiến thức cần thiết 2.3.2 Phân tích cách đặt ẩn phụ hướng dẫn giải qua số toán 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm……………………………… ….15 2.5 Bài học kinh nghiệm…………………………………………………… 15 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 16 3.1 Kết luận 16 3.2 Kiến nghị 16 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Giải phương trình nội dung kiến thức quan trọng, học sinh trung học phổ thông, đặc biệt học sinh khối 10 Đối với phương trình bậc nhất, bậc hai phương trình quy bậc nhất, bậc hai đơn giản hầu hết học sinh nắm cách giải Tuy nhiên gặp phương trình vơ tỷ phần lớn học sinh bị lúng túng, khơng tìm hướng giải Thực tế cho thấy năm gần đây, đề thi cao đẳng, đại học, câu hỏi trắc nghiệm có liên quan, lồng ghép phương trình vơ tỷ vào câu hỏi trắc nghiệm Trong chương trình học sách giáo khoa lại khơng đề cập đến dạng phương trình có dừng lại mức độ q đơn giản, khơng đáp ứng kì thi cao đẳng, đại học Vậy làm để giúp em học sinh lớp 10 tiếp cận với phương trình dần đến giải phương trình nêu Cùng với xu hướng nhà trường cho học sinh chọn khối thi đại học từ đầu năm lớp 10 kết hợp với khả học sinh trường THPT Hàm Rồng, muốn cung cấp, bổ sung thêm cho em số cách giải phương trình dạng cách dùng ẩn phụ Đây cách giải địi hỏi phải có tư chặt chẽ, lơgic có hiệu cao Ở tơi khơng tham vọng em giải hết phương trình nhiên phần học sinh biết cách định hướng, nhận biết, để đặt ẩn phụ giải số dạng tương đối đơn giản Chính tơi chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp 10 dùng phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình vơ tỷ” làm đề tài nghiên cứu 1.2 Mục đích nghiên cứu Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ giúp học sinh phát mối quan hệ biểu thức phương trình, từ biết cách đặt ẩn phụ thích hợp để đưa giải phương trình hệ phương trình quen thuộc UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài học sinh khối 10 qua năm giảng dạy từ trước đến 1.4 Phương pháp nghiên cứu Hệ thống lí thuyết, tổng hợp kinh nghiệm trình giảng dạy, quan sát sai lầm, khó khăn học sinh q trình học tập, kiểm tra thống kê tham khảo sách báo đưa dạng tập NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Ở chương trình lớp 10 chủ yếu phương trình chứa bậc hai, bậc ba Với phương trình chứa bản, đơn giản học sinh nắm cách giải Bên cạnh đó, em cịn gặp nhiều phương trình vơ tỷ mà khơng có phương pháp giải cụ thể, mẫu mực, phương trình thường giải cách đặt ẩn phụ Ẩn phụ hiểu ẩn khác với ẩn cho tốn, ẩn phụ hiểu theo từ phụ (khơng ẩn chính) Quy trình để giải tốn phương pháp đặt ẩn phụ tiến hành sau: Bước 1: Xuất phát từ toán cho đặt ẩn phụ thích hợp chuyển tốn cho thành tốn ẩn phụ Bước 2: Tìm ẩn phụ quay tìm ẩn ban đầu Tuy nhiên khó tốn đơi mối liên hệ đại lượng tham gia phương trình khơng dễ thấy, có chúng lại “ẩn nấp” kín đáo làm cho người giải tốn tưởng chừng chúng khơng liên quan với Chính địi hỏi người làm tốn phải có cách nhìn sáng tạo, logic tìm mối liên hệ yếu tố để đặt ẩn phụ giải phương trình 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Sách giáo khoa đơn đưa ví dụ giải phương trình bậc hai, phương trình chứa bậc hai, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối đơn giản Ngay phương trình chứa bậc hai, chứa dấu giá trị tuyệt đối UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com không đề cập đến cách giải tổng quát, học sinh gặp nhiều khó khăn đối mặt với phương trình vơ tỷ Trong q trình giảng dạy mơn tốn lớp 10, tơi nhận thấy, dạy giải phương trình bậc nhất, bậc hai phương trình quy bậc hai đơn giản, phương trình bản, học sinh nắm cách giải Tuy nhiên, gặp phương trình vơ tỷ khác lạ phạm vi lớp 10 học sinh bị bế tắc, không định hướng cách giải Các phương trình dạng này, phần lớn phức tạp không giải theo cách phổ thông mà phương trình biểu thức có mối liên hệ đặc biệt, đòi hỏi học sinh phải phát đặt ẩn phụ thích hợp để đưa giải hệ phương trình quen thc Thực tế có khoảng 5% - 10% học sinh biết cách giải theo cách đặt ẩn phụ đưa phương trình hệ phương trình quen thuộc để giải, hầu hết em khơng nghĩ toán giải theo cách không định hướng cách giải Với sức ép chương trình, qui chế chun mơn, thời lượng thực chương trình sát sao, làm cho giáo viên đủ thời gian chuyển tải nội dung sách giáo khoa, có thời gian mở rộng kiến thức cho học sinh, phần mở rộng chủ yếu tiết phụ đạo, bồi dưỡng Trong đề tài này, tơi tơi xin trình bày : *) kiến thức cớ phương trình hệ phương trình *) dạng toán : Dạng 1: Giải phương trình vơ tỷ cách đặt ẩn phụ Dạng 2: Giải phương trình vơ tỷ cách đặt nhiều ẩn phụ(hai, ba …ẩn) đưa giải hệ phương trình 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Trang bị cho học sinh kiến thức cần thiết Giáo viên trang bị cho học sinh dạng bảng hệ thống kiến thức để học dễ nhớ, dễ vận dụng 2.3.2 Phân tích cách đặt ẩn phụ hướng dẫn giải qua số toán UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phần giới thiệu dạng toán : Dạng 1: Giải phương trình vơ tỷ cách đặt ẩn phụ Dạng 2: Giải phương trình vơ tỷ cách đặt nhiều ẩn phụ(hai, ba …ẩn) đưa giải hệ phương trình NỘI DUNG 2.3.1 Trang bị cho học sinh kiến thức cần thiết 2.3.1.1 Các kiến thức giải phương trình chứa bậc hai Chú ý: Trong nhiều trường hợp ta cần đặt ẩn phụ để giải 2.3.1.2 Các kiến thức giải hệ phương trình Hệ phương trình bậc ẩn: Cách 1: Dùng phương pháp cộng đại sô Cách 2: Dùng phương pháp Cách 3: Dùng định thức: D = a1b2 – a2b1; Dx = c1b2 – c2b1: Dy = a1c2 – a2c1 Giải hệ phương trình bậc ẩn Nguyên tắc chung khử bớt ẩn số, đưa hệ có ẩn số hơn, từ ta dễ dàng tìm nghiệm hệ Muốn khử bớt ẩn ta dùng phương pháp phương pháp cộng đại số Hệ gồm phương trình bậc phương trình bậc hai - phương pháp thế, từ phương trình bậc ta tính ẩn theo ẩn - Thế vào phương trình cịn lại, tính giá trị ẩn - Suy giá trị ẩn lại UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Hệ đối xứng loại I Dạng: (I) đó: f(x, y) = f(y,x) ; g(x, y) = g(y,x) Cách giải: Đặt S = x + y; P = xy Đưa hệ (I) dạng: (II) Giải hệ (II) tính S, P Với cặp nghiệm (S0; P0) (II) x; y nghiệm phương trình: X2–S0X+P0=0 Điều kiện tồn x, y là: S02 – 4P0 Chú ý: Tính chất nghiệm đối xứng Nếu (x0; y0) nghiệm (y0; x0) nghiệm hệ Do hệ có nghiệm nhất(x0; y0) nghiệm nghiệm (y0; x0) suy ra: x0 = y0 Hệ đối xứng loại 2: cho hệ đó: f(x, y) = f(y,x) ; g(x, y) = g(y,x) Trừ vế theo vế hai phương trình hệ ta phương trình có dạng: (x -y) h(x; y) = Hệ cho tương đương với hệ: 2.3.2 Phân tích cách đặt ẩn phụ hướng dẫn giải qua số toán 2.3.2.1 Đặt ẩn phụ để giải phương trình vơ tỷ 2.3.2.1.1 Phương trình có chứa UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Khi đặt (với điều kiện tối thiểu ) Ví dụ Giải phương trình Nhận xét : Để ý : - x2 + 4x – = -(x2 - 4x + 5) – ta biểu diễn - x2 + 4x – theo t (với Giải ) Điều kiện Đặt , Thay vào phương trình cho ta phương trình Giải phương trình (*) ta Với (*) , ta có: Vậy phương trình cho có hai nghiệm 2.3.2.1.2 Phương trình có chứa Khi đặt và (với điều kiện tối thiểu Ví dụ Giải phương trình Giải Đặt , Thay vào phương trình cho ta phương trình Với (*) , ta có: Vậy phương trình có hai nghiệm 2.3.2.1.2 Phương trình có chứa UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Khi đặt: Ví dụ Giải phương trình Giải suy Điều kiện Đặt với Thay vào phương trình cho ta phương trình Với , ta có: Với , ta có: Vậy phương trình có bốn nghiệm (*) 2.3.2.1.3 Phương trình dạng: Cách giải Biến đổi đưa phương trình bậc hai UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Như phương trình giải phương pháp với Một số đẳng thức cần nhớ: Để tạo phương trình dạng phải chọn hệ số phương trình bậc hai cho có nghiệm “ nghiệm đẹp” Ví dụ Giải phương trình: Giải (1) Đặt với Phương trình trở thành: Với , ta có: (Phương trình vơ nghiệm) Với , ta có: Vậy phương trình có hai nghiệm Ví dụ Giải phương trình : Giải Điều kiện: UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Do hai vế khơng âm, bình phương hai vế biến đổi, thu gọn ta được: 2x2 - 5x + = Do 2x2 - 5x + đồng biến (*) nên 2x2 - 5x + 27 > Nếu bình phương lần ta thu phương trình tương đương có bậc nên việc giải bị khó khăn Để khắc phục điều đó, ta phân tích phát mối liên hệ biểu thức có mặt hai vế (*) Ta có: x2 – x – 20 = (x+4)(x - 5) Và Việc phát mối liên hệ cho phép ta thu được: Mà dạng tổng qt phương trình có dạng : au + bv =c Khi nên x + > 0, chia vế phương trình cho x + ta được: Đến ẩn phụ xuất hiện, là: , phương trình theo ẩn u là: 2u2 -5u + = +) u = => UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com +) u = => Kết hợp điều kiện ta nghiệm phương trình: x = 8; x 2.3.2.2 Đặt nhiều ẩn phụ đưa giải hệ phương trình nhiều ẩn Ví dụ 1: Giải hệ phương trình Nhận xét: Tổng hai biểu thức dấu không phụ thuộc vào x (x2 + + 10 – x2 = 0) nên toán giải sau Giải Điều kiện: 10 – x2 Đặt Khi đó, (1) trở thành hệ: (2) (2) (cả hai nghiệm thoả mãn *) Trường hợp 1: => Trường hợp 2: => Chú ý: Bài tốn giải theo cách bình phương hai vế, nhiên cách giải khơng hiệu lực lời giải phức tạp, học sinh phải bình phương hai lần đưa giải phương trình bậc (may mắn phương trình trùng phương, học sinh biết cách giải) Như nhận biết mối quan hệ UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com biểu thức phương trình đặt ẩn phụ trình bày trên, toán trở nên rõ ràng đơn giản nhiều Ví dụ 2: Giải phương trình Chú ý: Rõ ràng tốn khơng thể giải theo cách lập phương hai vế Ta đặt ẩn phụ sau: Đặt (*) Từ phương trình (1) ta có: u = v3 + Từ cơng thức (*) ta có: u3 = x – = x -3 -6 = v – => u3 + = v Vậy phương trình (1) trở thành hệ: (Đây hệ phương trình đối xứng loại 2) (2) Do = Thay vào (*) ta x = nghiệm phương trình Ví dụ 3: Giải phương trình Nhận xét: Lập phương biểu thức thứ cộng với bình phương biểu thức thứ hai số không đổi (khơng phụ thuộc vào x) Do ta đặt: Từ ta có hệ: (2) UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com (2) a) => x = -24 b) x = -88 Ví dụ 4: Giải phương trình: (1) Hướng dẫn: Bài tốn tương tự toán Ta đặt: Ta thu hệ sau: (2) Bằng phương pháp ta (2) Ví dụ 5: Giải phương trình: (1) Nhận xét : Tổng hai biểu thức dấu (x + – x = 1) không phụ thuộc vào x nên ta đặt ẩn phụ đưa hệ sau(Chú ý điều kiện) Giải: Điều kiện: Đặt Từ (*) => u4 + v4 = (1) => u2 + v2 – 2u2v2 – 2uv = -1 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Do ta có hệ : Thay vào (*) ta : x= Ví dụ 6: Giải phương trình: Nhận xét: (8x + 1)2 - (3x -5)2 = (7x +4)2 – (2x -2)2 Do ta đặt ẩn phụ sau: u = ;v= ;z= ;t= Với điều kiện u; v; t; z ta thu hệ : Từ phương trình hai hệ ta có: (u +v)(u-v) = (z + t)(z-t) Mặt khác u + v > u; v u; v không đồng thời nên: u – v= z- t (*) Từ phương trình thứ hệ (*) ta suy ra: u = z => x = (thoả điều kiện u; v; t; z 0) Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ 7: Giải phương trình: Đặt: u = Từ phương trình ta thu x3 = 3u + UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Từ (*) ta có: u3 = 3x + Vậy ta có hệ: (2) Vì x2 + ux + x2 + > với x, y Từ hệ cuối ta có : x3 – 3x – = Vậy nghiệm phương trình là: S = {-1; 2} Ví dụ 8: Giải phương trình: (1) Giải Cách 1: Điều kiện: (1) Điều kiện có nghiệm: Vậy điều kiện để giải phương trình là: Cách 2: Điều kiện: UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Đặt u = => Ta có hệ: a) b) Nhận xét: Cách giải phổ thơng rõ ràng hiệu lực thay phương trình (1) phương trình: phương trình bậc hữu tỉ thu có dạng: x4 -2ax2 – x + a2 – a = Trong với cách giải thứ ta thu hệ: Cách giải tương tự giải hệ nêu 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Khi chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Lớp 10C11 Tổ Số Khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Tổ Lớp Số 10C11 2.5 Bài học kinh nghiệm UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Từ thực tế giảng dạy chuyên đề này, rút kinh nghiệm bước đầu học sinh phải nắm kiến thức bản, thành thạo vận dụng kiến thức thực kĩ giải tốn bản, từ dạy chuyên đề mở rộng, khắc sâu kiến thức cách hợp ly với đối tượng học sinh nhằm rèn kỹ cho học sinh 3.KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Chuyên đê thực giảng dạy tham gia dạy khối 10, khối luyện thi đại học ba năm gân Trong trình học chuyên đê này, học sinh thực thấy vững vàng hơn, tự tin biết vận dụng linh hoạt gặp toán liên quan, tạo cho học sinh niềm đam mê, u thích mơn tốn, tạo tang cho học sinh tự học, tự nghiên cứu Sau thời gian nghiên cứu, thực lớp dạy khối 10 qua năm đóng góp ý kiến đồng nghiệp đề tài hoàn thành đạt yêu cầu đặt phần đặt vấn đề Tìm hiểu đưa hệ thống lí thuyết tập tương đối đầy đủ có lời giải chi tiết Phần lớn tập đưa phù hợp với trình độ nhận thức học sinh THPT Đa số học sinh tỏ tự tin giải tập giải phương trình tiếp cận với phương pháp đặt ẩn phụ nêu sáng kiến kinh nghiệm 3.2 Kiến nghị Sáng kiến kinh nghiệm trình bày cách khái quát lý thuyết hai dạng tập đặt ẩn phụ đặt nhiều ẩn phụ để giải phương trình vô tỷ Với cách phân loại trên, cố gắng giới thiệu cách cụ thể phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình vơ tỷ qua ví dụ minh họa phần giúp thầy giáo em học sinh tham khảo để giải tốt toán thuộc loại qua trình học tập, đề thi Đại học, cao UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com đẳng Xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo tổ Tốn trường THPT Hàm RồngThanh Hóa giúp đỡ tơi, đóng góp ý kiến q báu Do kinh nghiệm hạn chế nên viết chắn cịn nhiều thiếu sót, mong nhận đóng góp bạn đọc đồng nghiệp để viết hoàn thiện XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 07 tháng 05 năm 2021 Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm viết, khơng chép nội dung người khác Người viết SKKN Lê Thị Bích UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Toán nâng cao Đại số 10(NXBGD) Tác giả: Nguyễn Huy Đoan [2] Phương pháp giải toán Đại số 10(NXB TP Hồ chí Minh) [3] Bồi đưỡng Đại số 10(NXB Đại học quốc gia Hà Nội) Tác giả Phạm Quốc Phong [4] Dùng ẩn phụ để giải toán(NXBGD) Tác giả: Nguyễn Thái Hoè UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC TỈNH XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Lê Thị Bích Chức vụ đơn vị cơng tác: Trường THPT Hàm Rồng TT Tên đề tài SKKN Một số phương pháp hướng dẫn học sinh lớp 12 trường THPT quảng Xương I trả lời nhanh câu hỏi trắc nghiệm nhận dạng đồ thị hàm số UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... trình vơ tỷ mà khơng có phương pháp giải cụ thể, mẫu mực, phương trình thường giải cách đặt ẩn phụ Ẩn phụ hiểu ẩn khác với ẩn cho toán, ẩn phụ hiểu theo từ phụ (không ẩn chính) Quy trình để giải. .. toán : Dạng 1: Giải phương trình vơ tỷ cách đặt ẩn phụ Dạng 2: Giải phương trình vơ tỷ cách đặt nhiều ẩn phụ( hai, ba ? ?ẩn) đưa giải hệ phương trình NỘI DUNG 2.3.1 Trang bị cho học sinh kiến thức... đòi hỏi học sinh phải phát đặt ẩn phụ thích hợp để đưa giải hệ phương trình quen thc Thực tế có khoảng 5% - 10% học sinh biết cách giải theo cách đặt ẩn phụ đưa phương trình hệ phương trình quen