(SKKN HAY NHẤT) một số kinh nghiệm về dạy tính chất dãy tỉ số bằng nhau cho học sinh giỏi lớp 7 ở trường THCS hoằng thắng

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài: Tốn học mơn khoa học tự nhiên rèn luyện trí tuệ Học tốn ngồi việc giúp cho người nâng cao hiểu biết, tăng cường nhận thức phát triển khả tư duy, sáng tạo, tự suy luận, suy đốn Đối với học sinh nói chung học sinh trung học sở nói riêng học tốn giúp em phát triển khả tư tưởng tượng, lập luận logic chặt chẽ Học toán giúp em rèn khả phân tích, tổng hợp, khả đặc biệt hóa, khái quát hóa, trừu tượng hóa đặc biệt học tốn giúp em có kiến thức vận dụng vào môn học khác, vận dụng vào sống góp phần làm cho sống ngày tốt đẹp Là giáo viên dạy tốn THCS tơi ln tìm tịi học hỏi để có kiến thức, phương pháp giúp đỡ, hướng dẫn em khám phá, tìm kiếm nắm kiến thức vận dụng vào giải tập tốn nói chung giải tốn có nội dung thực tế cho hiệu Trong chương trình tốn lớp tốn tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số đề cập sách giáo khoa từ đầu năm lớp có yêu cầu khác nên làm cho người học người dạy vất vả học sinh lớp Với Trường THCS Hoằng Thắng, công tác bồi dưỡng học sinh giỏi đặt lên hàng đầu nhiệm vụ trọng tâm nhà trường tất năm học Bồi dưỡng học sinh giỏi toán nhiệm vụ quan trọng đặc biệt tốn tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số tảng cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp lớp dự thi học sinh giỏi cấp tỉnh Từ yếu tố khách quan chủ quan Tơi tìm tịi nghiên cứu đề tài “Một số kinh nghiệm dạy tính chất dãy tỉ số cho học sinh giỏi lớp trường THCS Hoằng Thắng” Nhằm tìm biện pháp hữu hiệu, để có phương án thích hợp giúp học sinh tiếp cận với toán tỉ lệ thức cách chủ động, sáng tạo, hứng thú q trình học Các tốn tỉ lệ thức phong phú dạng toán, nội dung sáng kiến nghiên cứu số dạng tốn điển hình số phương pháp giải cho dạng tốn 1.2 Mục đích nghiên cứu: - Tìm phương pháp giải dạng toán tỉ lệ thức - Xây dựng hệ thống tập theo dạng toán cụ thể, đảm bảo tính xác, khoa học, phù hợp với đối tượng học sinh - Góp phần nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi toán - Để thân rút số phương pháp, biện pháp thích hợp giúp học sinh lớp giải dạng toán tỉ lệ thức tốt 1.3 Đối tượng nghiên cứu Hướng dẫn học sinh giải dạng toán tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số để bồi dưỡng học sinh giỏi lớp đạt hiệu trường THCS Hoằng Thắng 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp điều tra, thực nghiệm, phân tích - tổng hợp, gợi mở, vấn đáp LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com - Nghiên cứu lý luận: Đọc tài liệu, sách giáo khoa, sách tham khảo có liên quan NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm: Tốn học mơn khoa học nghiên cứu số, cấu trúc, không gian phép biến đổi Nói cách khác, người ta cho mơn học "hình số." Theo quan điểm thống, mơn học nghiên cứu cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ tiên đề, cách sử dụng Luận lý học (lôgic) ký hiệu tốn học.  Mơn Tốn mơn học địi hỏi phải có kĩ giải tốn ứng dụng dạng tốn, mơn khoa học địi hỏi tư cao người dạy người học Thông qua việc giảng dạy mơn Tốn nhằm rèn luyện cho người học lực phân tích, tổng hợp, tư linh hoạt, khả sáng tạo nhằm hình thành nhân cách cho người lao động tương lai Học sinh muốn có kiến thức tốn sâu phải luyện tập thực hành nhiều để tích luỹ vốn kiến thức tốn học Đây vấn đề khó người học, địi hỏi người dạy cần truyền đạt cho em ham thích học tốn cách phân dạng tốn tỉ lệ thức cách khoa học Trong toán học, tỉ lệ thức đẳng thức hai a c = b d tỉ số dạng tổng quát Các số hạng a d gọi ngoại tỉ; b c gọi trung tỉ Hiện công tác bồi dưỡng học sinh giỏi nhà trường THCS quan tâm đặc biệt, vấn đề đánh giá chất lượng nhà trường Nghị Trung ương khóa VIII yêu cầu nhiệm vụ bồi dưỡng tạo dựng đội ngũ nhân tài cho tương lai phải xác định rõ hơn, kết học sinh giỏi kết phong trào "hai tốt" nhà trường, gắn liền với việc nâng cao chất lượng đại trà, giáo dục tồn diện học sinh Chính vậy, nhà trường THCS cần xác định mục tiêu nhằm cung cấp cho em học sinh kiến thức phổ thông thiết thực, hình thành rèn luyện cho em kĩ giải toán ứng dụng vào thực tiễn, rèn luyện kĩ suy luận hợp lí, sử dụng ngơn ngữ xác, bồi dưỡng phẩm chất tư linh hoạt, độc lập, sáng tạo Xuất phát từ mục tiêu phương pháp dạy học tích cực hố hoạt động học sinh, rèn luyện khả tự học, tự giải vấn đề học sinh nhằm hình thành phát triển học sinh tư cần thiết 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm a.Thực trạng Ưu điểm: Trường THCS Hoằng Thắng có số học sinh có tư chất thơng minh, có thiên hướng học môn khoa học tự nhiên, nhiều em u thích mơn Tốn Nhược điểm: Về học sinh: Khơng biết cách giải toán tỉ lệ thức Khơng biết cách trình bày Khơng nắm dạng toán tỉ lệ thức cách cụ thể LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Về giáo viên: Giáo viên chưa bao quát hết dạng toán tỉ lệ thức Nhiều giáo viên chưa trọng đến mảng kiến thức này, chưa quan tâm mức đến tất dạng toán tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số Nguyên nhân: - Nguyên nhân khách quan: +Thời lượng dành cho đơn vị kiến thức theo PPCT cịn + SGK chưa đưa nhiều toán nâng cao dạng toán tỉ lệ thức - Nguyên nhân chủ quan: + Học sinh chưa nắm vững kiến thức bản, kiến thức bổ trợ nâng cao tỉ lệ thức Kĩ trình bày học sinh dạng toán chưa rèn luyện nhiều Giáo viên chưa tìm giải pháp hữu hiệu dạy phần kiến thức tỉ lệ thức Qua số năm phân công tham gia bồi dưỡng học sinh khá, giỏi thường trực tiếp tham khảo nhiều tài liệu viết nội dung tơi thấy việc cần thiết phải có phân loại, phương pháp giải thích hợp giúp học sinh phần có sở để tìm tịi giải toán tỉ lệ thức Ở trường trung học sở dạng tốn có liên quan đến tỉ lệ thức xuất nhiều lớp đặc biệt đề học sinh giỏi b Kết thực trạng Từ thực trạng với mục đích khảo sát cụ thể để đánh giá từ có biện pháp giảng dạy có hiệu tơi đã tham khảo nhiều tài liệu, tham gia giải học sinh toán tiến hành khảo sát em đội tuyển lớp gồm em mà tơi đảm nhận Cụ thể ba tốn sau: Bài tốn 1: Tìm x, y, z biết a) b) x y z = = [ 1] Bài toán 2: Cho số x ,y, z ¿ thỏa mãn điều kiện : Hãy tính giá trị biểu thức: [4] Bài toán 3: Cho [ 9] Chứng minh Kết thu sau em làm tập sau: Giỏi Khá Trung bình Yếu SL TL% SL TL% SL TL% SL TL% 0 50,0 50,0 0 Trên bảng tổng hợp kết mà thân khảo sát trước thực với công việc phân loại tập tỉ lệ thức LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề [ ] ; Bài toán tham khảo từ TLTK số [ ] ; Bài toán tham khảo từ TLTK số Trong trang này: Bài toán tham khảo từ TLTK số [ 9] * Hướng dẫn học sinh nắm vững kiến thức bản: - Bằng cách cung cấp lý thuyết tiết dạy lý thuyết - Củng cố tiết luyện tập Nội dung kiến thức tính chất tỉ lệ thức: Tỉ lệ thức đẳng thức hai hai tỉ số hạng a, d ngoại tỉ; b,c trung tỉ a c = b d , a, b, c, d số Tính chất bản: Tính chất hốn vị: Từ tỉ lệ thức suy ba tỉ lệ thức khác cách: Đổi chỗ ngoại tỉ cho nhau; Đổi chỗ trung tỉ cho nhau; Đổi chỗ ngoại tỉ cho đổi chỗ trung tỉ cho nhau; Tính chất dãy tỉ số nhau: e a±c±e a c = Nếu b d = f = k b±d±f = k (Giả thiết tỉ số có nghĩa) Chú ý: Các số x, y, z tỉ lệ với a, b, c Ta cịn viết x y z = = a b c ⇔ a1 a2 a3 an Kiến thức nâng cao: Cho n tỉ số nhau: b1 = b2 = b3 = = bn i ¿ ak a1 + a2 +a + + an x a + x a2 + x3 a3 + .+ x n an bk = b1 +b +b + +b n = x b + x b2 + x3 b3 + .+ xn bn 0, i,k ∈ { 1;2;3 n } Kiến thức bổ sung: 1) Luỹ thừa thương: n 2) Một số tính chất khác: * * * ∈ N, n ¿ 2, x n x x = n y y Với n () n N, x Với m Với n Với n x, y Q 0 N LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ứng dụng tính chất dãy tỉ số để hướng dẫn học sinh giải dạng toán tỉ lệ thức phong phú đa dạng mức độ khác Quá trình giảng dạy tơi xin phân thành dạng trình bày sau đây: DẠNG 1: VẬN DỤNG TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU ĐỂ TÌM CÁC GIÁ TRỊ Phương pháp chung: Dạng toán nhiều, phong phú đa dạng Đề cho thường có kiện, có có kiện Từ mối quan hệ ta tìm kết quả, có phải biến đổi tìm Quá trình làm nên ý đến dấu số cần tìm trường hợp số mũ chẵn tích số, nhằm tránh tìm số không thoả mãn đề Đồng thời phải ý đến trường hợp xảy khơng bỏ xót giá trị cần tìm Bài tốn 1.1: Cho x, y, z thoả mãn [ 1] a) b) Tìm x, y, z trường hợp: [ 2] Giải a) Cách 1: Đặt Thay vào ta Do Cách 2: Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: Do Đặt b) Cách 1: Thay vào * Với * Với ta , suy : , suy : Vậy cặp Cách 2: Từ ⇒ Suy * Với , suy * Với , suy Nhận xét: Trong phần a), phần b) cách đặt dãy tỉ số k, rút x, y, z theo k Sau thay vào đề Trong cách sử dụng tính chất dãy tỉ số nhanh LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com - Các tập tương tự: BT 61 trang 20 TLTK [ ] [ 9]  ; BT 63,67,68 trang 26 TLTK x +3 y−8 x+ y−21 = = 8x Bài tốn 1.2: Tìm cặp số x; y thoả mãn: [ 9] Giải Cách 1: * Xét , thoả mãn đề * Xét , Theo tính chất dãy tỉ số nhau: x +3 y−8 y−24 x +9 y−21 x+ y−21 = = = = 15 24 8x [ ] ; Bài toán 1.1b dựa vào TLTK số [ ] ; BT 1.2 dựa vào TLTK số [ ] Trong trang này: Bài toán 1.1a dựa vào TLTK số Suy ra: Vậy cặp Cách 2: Đặt Suy ; Với = ( −35 ; 83 ) Với ( −35 ; 83 ) Vậy cặp , Nhận xét: Trong cách giải 1, ta áp dụng tính chất dãy tỉ số để xảy sai sót xét thiếu trường hợp Trong cách giải khắc phục khả xét thiếu trường hợp - Bài tập tương tự : BT62 trang 21 TLTK [ ]  ; BT2.20 trang 55 TLTK [ ] [4] Bài tốn 1.3 Tìm x, y, z biết: Giải *Xét *Xét , từ đề Bộ ba số thoả mãn , theo tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: Thay kết vào dãy tỉ số ban đầu ta được : Vậy : LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nhận xét : Trong lời giải xét trường hợp x = 0, từ tìm giá trị (x, y, z) Sau xét trường hợp x ¿ Trong q trình giải 1.3, số em xét thiếu trường hợp x = - Bài tập tương tự : VD10 trang 20 TLTK [ ]  ; VD 2.13 trang 46 TLTK [ ] 1 + + =3 Bài tốn 1.4: Cho x y z Tìm [ 5] Giải −3 2−3+4 = = = =1 1 1 1 + + x y z = x y z ⇔ Cách 1: Từ Suy ra: Vậy = Cách 2: Đặt Trong trang này: Bài toán 1.3 dựa vào TLTK số [ ] ; Bài toán 1.4 tham khảo từ TLTK số [ ] ; ⇔ Suy Vậy Nhận xét: Trong cách giải cần xuất dãy tỉ số phù hợp để kết hợp với điều kiện đề Từ vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải k , từ biểu diễn x,y,z tốn Cách giải đặt dãy tỉ số theo k để giải toán - BT tương tự: BT64 trang 26 TLTK [ ] Bài toán 1.5: Tìm số [ 7] 2 xy yz zx x + y +z = = = 2 biết: y + x z+ y x +2 z +4 +6 Giải Xét , từ đề suy Suy (vô lí ) 2 2 y + x y + z z+ x +4 +6 = = = 2 xy zy xz x + y +z Do , từ đề suy 2 2 6 = +4 +6 + = + = + x y z y x z x2+ y2+ z2 ⇔ (1) = = = = Suy ra: x y z ⇔ x y z =2 =2 y z Từ (1) suy x 2 +2 +3 x 2+ y 2+ z2 (2) 2 2 (1 + +3 ) = 2 x + y +z ⇔ = = x y z = LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com = 2 +2 +3 x 2+ y 2+ z2 Đặt Thay vào (2) suy ra: (do ) Suy : Nhận xét: Trong lời giải toán cần xét trường hợp , từ xuất dãy tỉ số đơn giản Vận dụng tính chất dãy tỉ số Dạng toàn tương đối phức tạp, trình bày khơng cẩn thận dễ bị nhầm lẫn Kiến thức khơng phải khó cần đến khả quan sát kĩ biến đổi Khi làm cần vận dụng khéo léo để đưa toán dạng quen thuộc DẠNG 2: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC VỚI MỘT SỐ ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Bài toán 2.1: Cho tỉ lệ thức Tính M = [ 10 ] Giải Từ tỉ lệ thức k = ⇒ Trong trang này: Bài toán 1.5 dựa vào TLTK số [ ] ; Bài toán 2.1 dựa vào TLTK số [ 10 ] ; Do M = Nhận xét: Trong tốn ta áp dụng tính chất dãy tỉ số để b = c, thay tính M việc so sánh M với Bài toán 2.2: Cho ba số thực a, b, c khác thoả mãn: [ 10 ] Tính giá trị biểu thức P = ab bc ca = = a+b b+ c c +a Ta có Vì ⇒ nên suy ab+bc=ab+ac ab+ac=cb+ab { Vậy P = 2 ab bc ca = = a+b b+ c c +a a2 b+ b2 c +c a a +b +c Giải abc abc cab = = ac+ bc ab+ ac cb +ab ⇒ 1 = = ac+ bc ab+ ac cb +ab ⇒ ⇒ bc=ac ac=cb { ⇒ a b+ b c +c a a +b +c = LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bài toán 2.3: Cho thoả mãn Tính A = + Từ + Giải = [ 5] + (vì ) Suy Thay vào biểu thức A ta được: A= =2 + + 1 = + + + + Nhận xét: Từ điều kiện ban đầu ta biến đổi cách đưa tỉ số trở tỉ số có tử số abc toán 2.2 làm xuất tử mẫu tốn 2.3, sau vận dụng tính chất dãy tỉ số để (Bài 2.2) (Bài 2.3) từ thay vào biểu thức tính giá trị a+b b+ c c +a = = a b Bài toán 2.4: Cho x = c [ 7] Tính giá trị Giải * Xét Suy Do * Xét , theo tính chất dãy tỉ số ta có: Trong trang này: Bài toán 2.2 dựa vào TLTK số ; Bài toán 2.3 dựa vào TLTK số ;BT 2.4 dựa vào TLTK số x= Suy Vậy trường hợp ta có A = 59049 Nhận xét: Trong toán áp dụng dãy tỉ số ta phải xét đủ trường hợp Trong toán nhiều học sinh giải hay làm thiếu trường hợp a+b+c = 0, nên dạy cần hướng dẫn học sinh trường hợp Bài toán 2.5: Cho x, y, z số thực thỏa mãn Tính giá trị biểu thức: [ 8] Giải Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com = = = = = Khi ta có: Vậy với x, y, z số thực thỏa mãn giá trị biểu thức 2021 Nhận xét: Bài tốn đưa dạng với yêu cầu tìm x, y, z (Giống toán 1.3) y +z−x z+x− y x + y− z = = x y z Bài toán 2.6: Cho [ 9] Tính Giải y +z−x z +x− y x + y− z x +2 y +2 z = = x y z x+ y+ z = Từ giả thiết, ta có: y +3 z z+3 x x+3 y x+ y = x+z = y+ z = ⇒ { y+3 z=2 x +2 y x +3 y=2 x+2 z z+3 x=2 y+2 z ⇔ y=3 z−2 x x=3 y−2z z=3 x−2 y { ⇔ = 2x=3 z− y y=3x−z z=3 y−x { Khi z x y xyz = y z.2 x = 8xyz Trong trang này: Bài toán Bài toán 2.5 tham khảo từ TLTK số = ; Bài toán 2.6 tham khảo từ TLTK số ; Nhận xét: Trong q trình giải tốn cần vận dụng tính chất dãy tỉ số cách phù hợp kết hợp tỉ số Bài toán 2.7: Cho số x , y , z, t khác thỏa mãn điều kiện : (n ∈ N ¿ ) 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com [4] Tính giá trị biểu thức Giải Theo tính chất dãy tỉ số ta có: Suy Tương tự Vậy Nhận xét: Bài toán đưa dạng tốn tìm x,y,z,t Bài tốn 2.8: Tìm số tự nhiên M nhỏ có chữ số thỏa mãn điều kiện: Biết a, b, c, d, e, f thuộc tập N* Ta có: ⇒ ; Giải a b = 11 = k ⇒ = 11 c d = 11 13 = m ⇒ e f = 13 17 = n ⇒ [ 5] ; Với ⇒ Do ⇒ ⇒ 3k 60 = 4m 60 ⇒ = ⇒ 5n 60 ⇒ k 20 = m n 15 = 12 = ⇒ Vì M số tự nhiên nhỏ có chữ số suy p = 3, lúc M = 1080 Nhận xét: Đây tốn mà ta vận dụng tính chất dãy tỉ số sau tìm tìm BCNN chúng x z t y Bài toán 2.9: Cho y +z+t = z +t + x = t +x + y = x + y +z [4] Tính giá trị Giải * Nếu ; ⇒ ⇒ * Nếu Ta có : Trong trang này: Bài tốn 2.7 dựa vào TLTK số 2.8 dựa vào TLTK số ; Bài toán 2.9 tham khảo từ TLTK số 11 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com x y + z+t ⇒ ⇒ = z y z +t + x = t +x + y = = x + y + z +t x + y + z +t y + z +t = z+ t + x t = x + y +z = x+ y +z +t = ( x+ y +z +t ) = = x + y + z+t t+x + y = x + y + z+t x+ y+z ⇒ Vậy = Bài toán 2.10: Cho dãy số x + y + z+ t x+ y + z +t x + y +2 z+t x+ y + z +2 t = = = x y z t [ 3] Tính giá trị biểu thức Giải Cách 1: Từ giả thiết, ta có: x + y +z+t x +2 y+z +t x+ y+2 z +t x+ y + z +2 t −1= −1= −1= −1 x y z t x + y + z +t x + y + z+ t x+ y+ z+t x+ y + z +t = = = x y z t Suy * Nếu , * Nếu Khi P = , x + y y + z z +t t+ x −( z+ t ) −(t + x ) −( x+ y ) −( y+ z ) + + + + + + z +t t+ x x + y y + z = z+ t t +x x+ y y +z Cách 2: Đặt Suy ra: ; Cộng đẳng thức ta có: ⇔ *Nếu suy , Khi * Nếu ; 12 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Khi Bài toán 2.11: Cho dãy số Trong trang này: Bài tốn 2.10 dựa vào TLTK số = Tính M= = = a+b b+c c +d d +a + + + c+ d d +a a+b b+c [ 1] Giải = Ta có: = = Trường hợp 1: Nếu nên suy Trường hợp 2: Nếu = ⇒ = ⇒ = ⇒ = b+c +d=3 a a+c +d=3 b a+b+d=3 c a+b+c=3 d { ⇒ a+b+ c+ d=4 a a+b+ c+ d=4 b a+b +c +d=4 c a+b+c +d=4 d { ⇒ Vậy M = Nhận xét: Bài toán 2.9; 2.10; 2.11 dạng toán Trong cách giải vận dụng tính chất dãy tỉ số nhau, cần ý xét đủ trường hợp Từ tốn ta đề xuất tốn: Cho dãy tỉ số nhau: = = a+b b+c c +d d +a M= + + + c+ d d +a a+b b+c = Tính Tổng quát tốn: Cho dãy tỉ số Tính na+b+c + d a+nb+ c+ d a b = = a+b b+c c +d d +a M= + + + c+ d d +a a+b b+c a+b+ nc+ d c = a+b+ c+ nd d 13 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bài toán 2.12: Cho số a, b, c, d khác Tính Biết x, y, z, t thỏa mãn: = + + + + [ 6] + Giải Theo đề bài : = Trong trang này: Bài toán 2.11 dựa vào TLTK số + 2.12 dựa vào TLTK số (1) [ 6] Ta có : = + + Từ (1) suy ra : = + ⇒ ( + + ⇒ ( - + )+( - + )+( - )+ ) = 1 2 2 2 ( a +b +c + d - a )+ ( a +b +c + d 1 2 2 ( a +b +c + d - c )+ 2 2 2 b + c +d a + c +d 2 2 2 2 2 a ( a +b + c +d ) + a ( a +b + c +d ) + 2 + Do + + - ⇒ + 2 a +b +d 2 2 a ( a +b + c +d ) + nên suy 2 2 a +b +c 2 2 a (a +b + c +d ) b2 ) =0 (2) b + c +d a + c +d 2 2 2 2 2 Suy a ( a +b + c +d ) > 0, a ( a +b + c +d ) > 0, 2 2 2 a +b +d a +b +c a2 ( a2 +b2 + c +d ) > 0, a2 (a2 +b2 + c +d ) > ¿ 0, ¿ 0, ¿ 0, ¿ Mà Dấu “ = ” xảy (2) Vậy Nhận xét: Đây tốn khó, từ đề ta lấy tử chia cho mẫu đối vế trái sau sử dụng biến đổi chuyển vế đưa nhóm có chứa mẫu Cuối dùng lập luận với yếu tố cho sẵn dấu xảy 14 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Để từ tính T DẠNG 3: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC Phương pháp chung: - Ở dạng toán đề cho sẵn số điều kiện yêu cầu chứng minh biểu thức Để làm xuất biểu thức cần chứng minh biến đổi từ đề vận dụng tính chất tỉ lệ thức Với tính chất phép tốn tính chất dãy tỉ số mà biến đổi linh hoạt điều cho thành điều cần có Lưu ý: Khi biến đổi chứng minh nên ln nhìn biểu thức cần chứng minh để tránh biến đổi dài, vơ ích Bài toán 3.1: Cho số a , b, c thoả mãn: [4] Chứng minh: Giải Cách 1: Từ đề áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a−b b−c c−a = = −1 −1 = Suy ra: Vậy Cách 2: Đặt Vế trái ;Vế phải (đpcm) Nhận xét: Từ toán ta đề xuất tốn tương tự: Cho ba số a, b, c a b c = = k k +1 k +2 Chứng minh: thoả mãn Bài tốn đưa dạng với yêu cầu tính giá trị biểu thức tính giá trị a b c d = = = b c d e Bài toán 3.2: Cho số thực a, b, c, d, e khác thoả mãn Chứng minh rằng: a + b4 +4 c + d a = b4 +3 c +4 d + e e [ 6] Giải a b c d = = = Ta có: b c d e a4 b4 c4 d4 = = = b4 c4 d4 e4 ⇒ 4 4 a b c d a b c d = = = b c d e = b4 c d e = = 4 a +3 b +4 c + d a = b4 +3 c +4 d + e e 15 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com a Nhận xét: Bài tốn để có e ta phải nhân tỉ tỉ số với sau vận dụng tính chất dãy tỉ số đưa tỉ số xuất mũ Bài tốn 3.3: Cho (1); z y+z = Chứng minh: x x + z (2); (3); [ 5] Giải Vì 1011 + 1010 = 2021, nên ⇔ ⇒ z y −z = x z ⇒ z + y−z y+ z = x+z x +z Trong trang này: Bài toán 3.1 dựa vào TLTK số z y +z = Vậy x x +z [ ] ; Bài toán 3.2 dựa vào TLTK số [ ] Cách 2: Trừ (1) cho (2) theo vế, ta được: z y −z = x z = BT 3.3 dựa vào TLTK số (4) ⇔ Trừ (3) cho (4) theo vế, ta được: ⇔ z y +z = x x +z Nhận xét: Từ toán ta đề xuất tốn là: Cho z y +z = Chứng minh: x x +z Bài toán 3.4: Cho * Xét ; x y z = = a+2 b+c a+b−c a−4 b+c a b c = = Chứng minh rằng: x +2 y +z x+ y−z x−4 y +z Giải , không thoả mãn [ 3] * Xét Đặt Theo tính chất dãy tỉ số ta có: x +2 y +z 9a = x+2 y +z = (a+2 b+c )+( a+2 b−2 c )+( a−4 b +c ) 16 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Lập luận tương tự ta có: a b c = = Vậy x +2 y + z x+ y−z x−4 y +z x +2 y −z 9b = x−4 y +z 9c = Nhận xét: Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, tính x +2 y −z 9b , Tương tự tính chứng minh x−4 y +z 9c Bài toán 3.5: Cho dãy tỉ số x +2 y + z 9a theo k theo k Từ suy điều phải [ 1] Chứng minh: Giải Suy ra: Từ ; Bài toán 3.5 tham khảo từ TLTK số Trong trang này: Bài toán 3.4 dựa vào TLTK số a1 Ta lại có: a2 a2 a3 a3 a4 = = = a2 a3 a 3 a4 (1) = (2) = (3) (2020) Nhân đẳng thức trên, vế với vế ta được: a1 a2 a2 a3 a3 a4 Rút gọn vế trái, ta có: Nhận xét: Bài tốn để có ta phải nhân tỉ tỉ số với sau vận dụng tính chất dãy tỉ số đưa tỉ số xuất mũ 2020 lần biểu thức Từ tốn ta đề xuất tốn sau: 17 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com a1 = a2 = a3 Cho dãy tỉ số a2 a3 a4 = = an an+1 a1 a +2 a2 +3 a3 + + n a n = an+1 a2 +2 a3 +3 a + +n a n+1 ( n ) Chứng minh: Dạng tập giải phải biết sử dụng linh hoạt kiến thức để tạo dãy tỉ số hợp lí Khi chứng minh cần lựa chọn cách cho phù hợp để học sinh dễ hiểu, dễ làm, dễ trình bày DẠNG 4: VẬN DỤNG TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ Phương pháp chung: Khi giải phải chuyển từ lời văn biểu thức đại số có dạng đơn giản học Khi giải cần gọi kí hiệu đó, dựa vào đại lượng đặt kí hiệu để phân tích tốn Kết tìm kí hiệu phải đối chiếu với điều kiện ban đầu xem có thoả mãn khơng để trả lời tốn Bài tốn 4.1: Một mảnh đất hình tam giác có chu vi 99m Biết cộng độ dài hai đường cao tam giác thi tỉ lệ với 5:7:8 Tìm độ dài ba cạnh miếng đất [ ] Giải Gọi ba cạnh miếng đất hình tam giác ABC a, b, c độ dài ba đường cao tương ứng h a ; h b ; h c , S diện tích tam giác ABC + hb Theo đề ta có: hb + hc = hc +h a = =k ; Trong trang này: BT 4.1 dựa vào TLTK số Suy ra: Do đó: Ta có ⇒ a b c = = 10 15 Suy ra: a+b+c 99 = = 10+15+6 31 ; ; 990 1485 594 Vậy cạnh miếng đất là: 31 (m); 31 (m); 31 (m) Nhận xét: Trong toán sử dụng hệ thức cạnh đường cao tương ứng tam giác, suy quan hệ ba cạnh tam giác Vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải toán Bài toán 4.2: Nhà trường dự định chia viết cho ba lớp 7A, 7B 7C tỉ lệ theo số học sinh 7:6:5 Nhưng sau số học sinh thun chuyển ba lớp nên phải chia lại theo tỷ lệ 6:5:4 Như có lớp nhận theo dự định [4] 12 Tính số lớp nhận 18 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Giải Gọi số ba lớp 7A, 7B, 7C nhận theo dự định tương ứng ba lớp nhậ thực tế Theo đề ta có số x y z x+ y+z = = = hay 18 a b c a+ b+c = = = hay 15 x y z x+ y+ z a b c a+b+c = = = = = = Suy 35 30 25 90 36 30 24 90 Do số học sinh thuyên chuyển gữi lớp nên tổng số học sinh không thay đổi, kéo theo tổng số khơng thay đổi ta có x y z = = 35 30 25 = x a = Từ dãy tỷ số trên, ta nhận xét 35 36 , nên số lớp 7A nhận nhiều so với dự định Tương tự, số lớp 7B nhận không thay đổi số lớp 7C nhận so với dự định k= z−c =12 25−24 Suy Vậy lớp 7A nhận 432 vở, lớp 7B nhận 360 vở, lớp 7C nhận 288 Nhận xét: Bài toán toán thực tế chia có thay đổi Bài tốn 4.3: Hiện tuổi cha 2,2 lần tuổi Trước 25 năm tuổi 41 tuổi cha.Hỏi tuổi cha gấp lần tuổi tuổi [4] Trong trang này: BT 4.2, 4.3 dựa vào TLTK số ; Giải Gọi tuổi cha x, y(x,y nguyên dương) x 11 Ta có tỉ số tuổi cha y =2,2 = trước 25 năm x−25 41 = y −25 Theo tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: x y x− y x−25 y −25 x− y = = = 11 41 = 36 x y x−25 y−25 x− y = = = = =k 36 Suy 66 30 41 x− ( x−25 ) 25 = =1 25 Do k = 66−41 Vậy tuổi cha 66, tuổi 30 Từ , ta có 19 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Gọi tuổi cha tuổi cha gấp lần tuổi tương ứng (hiệu tuổi cha không đổi) , , , x y x −y = = , 36 =18 = Có Suy tuổi 18 tuổi Vậy tuổi cha gấp lần tuổi 18 tuổi Dạng tốn khó học sinh khá, giỏi, khó phần chuyển từ toán lời văn dạng biểu thức đại số Do dạy giáo viên phải dẫn dắt học sinh tỉ mỉ bước, từ phân tích đề để tìm yếu tố chưa biết, yếu tố cần tìm mối quan hệ chúng, kể mối quan hệ biết dạng ẩn Khi kết luận phải xác theo yêu cầu 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Với hoạt động giáo dục : Học sinh nắm vững phương pháp giải dạng bài, giải em khơng cịn lúng túng, diễn đạt chặt chẽ Nhờ phương pháp giúp cho em sáng tạo học giải toán Biết cách định hướng giải toán cách ngắn gọn Học sinh phát huy trí lực thân có lúc em phát triển toán Đặc biệt số em bồi dưỡng từ chỗ em ngại gặp dạng toán đến số em ham muốn tìm tịi tốn giải tốn khó vận dụng linh hoạt giải Với thân: Tôi cảm thấy tự tin công tác giảng dạy, công bồi dưỡng học sinh giỏi, đặc biệt bồi dưỡng học sinh giỏi tỉ lệ thức Có thể mở rộng sang phần kiến thức khác toán học Với nhà trường: Chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi ngày nâng lên Kết kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện đạt kết cao Các toán tỉ lệ thức học sinh đạt điểm tối đa x+2 y −3 z P= x−2 y+3 z Tính giá trị P biết số : Cho tỉ lệ với số Ví dụ [ 2] Ví dụ 2: Tìm biết Ví dụ 3: Cho dãy tỉ số 12 x−15 y 20 z−12 x 15 y−20 z = = 11 [ 1] [ 10 ] Chứng minh: Kết cụ thể em mà bồi dưỡng sau thời gian nhận thấy : Giỏi Khá Trung bình Yếu SL TL% SL TL% SL TL% SL TL% 66,7 33,3 0 0 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 20 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 3.1 Kết luận Bài toán tỉ lệ thức dạng tốn thường gặp chương trình toán bồi dưỡng học sinh giỏi THCS Nếu dừng lại yêu cầu sách giáo khoa chưa đủ, địi hỏi giáo viên phải tích cực tự học, tự nghiên cứu, tìm tịi sáng tạo thường xuyên bổ sung kiến thức tích luỹ kinh nghiệm vấn đề Để dạy học cho học sinh hiểu vận dụng tốt phương pháp giải tốn liên quan đến tỉ lệ thức thân giáo viên phải phân dạng toán liên quan đến tỉ lệ thức biết cách giải cụ thể dạng tốn Tóm tắt nội dung, giải pháp vận dụng để nâng cao chất lượng: Tìm thành phần chưa biết, tính giá trị biểu thức, chứng minh đẳng thức ứng dụng giải toán thực tế Qua việc nghiên cứu bên cạnh việc giúp cho thân nâng cao kiến thức, nâng cao nghiệp vụ, bồi dưỡng học sinh giỏi có hiệu quả, ngồi cịn giúp thân nâng cao phương pháp tự học, tự nghiên cứu để tiếp tục nghiên cứu vấn đề khác tốt suốt trình dạy học Đề tài giúp giáo viên học sinh phân dạng tốn tỉ lệ thức từ có kết cao giảng dạy học tập Để thực tốt công việc giảng dạy, đặc biệt công tác ôn tuyển sinh bồi dưỡng học sinh giỏi người thầy phải thường xuyên học, học tập, nghiên cứu, tìm tịi sáng tạo Trong q trình giảng dạy, học sinh học tập, học sinh bồi dưỡng, đọc tài liệu tham khảo rút số kinh nghiệm nêu Hy vọng nội dung “Một số kinh nghiệm dạy tính chất dãy tỉ số cho học sinh giỏi lớp trường THCS Hoằng Thắng” làm kinh nghiệm để giúp học sinh tiếp thu vấn đề này, phần nâng cao lực tư duy, sáng tạo rèn kỹ giải toán tỉ lệ thức cho học sinh Trong trình nghiên cứu khơng thể tránh khỏi sai sót, hạn chế mong giúp đỡ, góp ý đồng nghiệp [ 10 ] Trong trang ví dụ tham khảo từ TLTK số ví dụ tham khảo từ TLTK số ví dụ tham khảo từ TLTK số 3.2 Kiến nghị *Đối với nhà trường - Thường xuyên tổ chức hoạt động tham vấn tổ chun mơn, phát huy tích cực sinh hoạt nhóm mơn để giáo viên có điều kiện trao đổi, học hỏi lẫn kiến thức phương pháp nhằm hỗ trợ lẫn dạy chuyên đề khó - Ban giám hiệu nhà trường cần quan tâm đầu tư mua sắm trang thiết bị: máy chiếu, máy tính kết nối Internet, tài liệu tham khảo Nhằm tạo điều kiện tốt cho việc dạy học chuyên đề nâng cao * Đối với Phòng Giáo Dục, Sở Giáo Dục - Phòng GD&ĐT cần mở lớp tập huấn cho giáo viên tổ chức hội thảo chuyên đề ôn thi học sinh giỏi để GV trường trao đổi kinh nghiệm, học tập lẫn - Sở GD&ĐT cần xây dựng sở liệu hổ trợ cho việc dạy học chuyên đề 21 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com - Thường xuyên giới thiệu tài liệu liên quan tập huấn cho giáo viên bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Hoằng Hóa, ngày tháng năm 2021 Tơi xin cam đoan đề tài tự nghiên cứu, tích lũy Khơng chép cá nhân Tác giả Nguyễn Thị Hương 22 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... giảng dạy, học sinh học tập, học sinh bồi dưỡng, đọc tài liệu tham khảo rút số kinh nghiệm nêu Hy vọng nội dung ? ?Một số kinh nghiệm dạy tính chất dãy tỉ số cho học sinh giỏi lớp trường THCS Hoằng. .. giác Vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải toán Bài toán 4.2: Nhà trường dự định chia viết cho ba lớp 7A, 7B 7C tỉ lệ theo số học sinh 7: 6:5 Nhưng sau số học sinh thun chuyển ba lớp nên phải chia... Đổi chỗ ngoại tỉ cho nhau; Đổi chỗ trung tỉ cho nhau; Đổi chỗ ngoại tỉ cho đổi chỗ trung tỉ cho nhau; Tính chất dãy tỉ số nhau: e a±c±e a c = Nếu b d = f = k b±d±f = k (Giả thiết tỉ số có nghĩa)